一种基于齿廓法线法计算齿轮渐开线起始点的方法与流程

技术特征：
1.一种基于齿廓法线法计算齿轮渐开线起始点的方法，其特征在于，包括以下步骤：1)根据齿轮平面啮合原理，设置滚刀齿廓为第一齿廓，工件齿轮的齿廓为第二齿廓，建立以下坐标系：
①
以第一齿廓与第二齿廓的啮合节点p为原点作空间固定的坐标系(p
‑
x，y)；
②
以滚刀o1(p
no
/2，h
ao
)为原点建立坐标系(o1‑
x1，y1)，横坐标x1在滚刀节线上，h
ao
为齿顶高，p
no
为滚刀法向齿距，在起始位置，坐标系(o1‑
x1，y1)与坐标系(p
‑
x，y)重合；
③
以齿轮中心o2(s
t
/2，r2)为原点作与齿轮固联的坐标系(o2‑
x2，y2)，s
t
为齿轮端面齿厚，r2为齿轮节圆半径，所述坐标系(o2‑
x2，y2)随齿轮的旋转而旋转，在起始位置，y2轴在o2p上，o2p与y轴方向一致，x2轴与x平行；2)按照下列步骤计算滚刀齿顶圆弧上的任意点m换算到齿轮齿根曲线上的r
i
以及坐标系(o2‑
x2，y2)下x的坐标设置第一齿廓上任意点m在坐标系(p
‑
x，y)、(o1‑
x1，y1)、(o2‑
x2，y2)中的坐标值分别为(x，y)、(x1，y1)、(x2，y2)，且当m点成为接触点的时候，齿轮由起始位置转过角，则滚刀由起始位置移动距离接下来求m点在三个坐标系中它们之间的变换关系式。
①
啮合线与齿轮滚刀齿顶圆弧的关系方程式为：式中，(x，y)为点m在啮合线坐标系(p
‑
x，y)中的坐标，(x1，y1)为坐标系(o1‑
x1，y1)中任意一点的坐标，r2为齿轮分度圆半径，t、t1是辅助变量，为齿轮旋转角度；
②
啮合线与齿轮齿根曲线的方程式如下：式中，(x2，y2)为点m在坐标系(o2‑
x2，y2)中的坐标，(x，y)为啮合线坐标系(p
‑
x，y)中任意一点的坐标，r2为齿轮分度圆半径，为齿轮旋转角度，t、t2是辅助变量；
③
根据啮合关系，最终得到齿轮齿根曲线与滚刀齿顶圆弧的关系方程式如下：式中，(x2，y2)为m点在坐标系(o2‑
x2，y2)中的坐标，(x1，y1)为坐标系(o1‑
x1，y1)中任意一点的坐标，为齿轮的旋转角度，r2为齿轮分度圆半径，t1、t2是辅助变量；按照下列公式计算得出齿轮上任意点m的圆半径r
m
：式中，x2为m点在坐标系(o2‑
x2，y2)中的横坐标，y2为m点在坐标系(o2‑
x2，y2)中的纵坐标；
④
由滚刀刀具图滚刀齿顶圆弧端面齿形坐标方程：滚刀齿顶圆弧的法向齿形方程式如下所示：且0≤θ≤90
°‑
α
pn
γ0式中，(x1，y1)为m点在坐标系(o1‑
x1，y1)中的坐标，(x0，y0)为滚刀顶刃与滚刀顶圆弧在坐标系(o1‑
x1，y1)中的交点，β为齿轮的螺旋角，α
pn
为滚刀齿形主刀刃的压力角，θ为滚刀顶圆圆弧上任一点与y1轴的夹角，γ0为滚刀齿形主刀刃与过渡刃之间的夹角，ρ0为滚刀齿顶圆弧的圆弧半径；滚刀齿顶圆弧的端面齿形方程式为：且0≤θ≤90
°‑
α
pn
γ0式中，(x1，y1)为m点在坐标系(o1‑
x1，y1)中的坐标，(x0，y0)为滚刀顶刃与滚刀顶圆弧在坐标系(o1‑
x1，y1)中的交点，β为齿轮的螺旋角，α
pn
为滚刀齿形主刀刃的压力角，θ为滚刀顶圆圆弧上任一点与y1轴的夹角，γ0为滚刀齿形主刀刃与过渡刃之间的夹角，ρ0为滚刀齿顶圆弧的圆弧半径；
⑤
根据齿轮齿根曲线与滚刀齿顶圆弧的关系方程式，将滚刀齿顶圆弧的圆弧半径变量θ在定义域[0，90
°‑
α
pn
γ0]内等分n份(n≥1)，且从第n份开始且以θ0＝0，δθ＝(90
°‑
α
pn
γ0)/(n
‑
1)为等差数列的自变量依次映射到坐标系(o2‑
x2，y2)，其中θ0＝0，θ
t
＝90
°‑
α
pn
γ0；当i＝1000时，θ
i
＝90
°‑
α
pn
γ0，由齿轮齿根曲线与滚刀齿顶圆弧的关系方程式r
m(i)
得到齿轮初始圆半径r
i
|
i＝1000
以及多次重复计算当i＝999、998、997、
……
、2、1时，齿轮初始圆半径r
i
以及3)按照下列方法得到任意点m
‘
的r
inv(i)
以及任意点m
‘
的在坐标系(o2‑
x2，y2)下x坐标的数学表达式，并由齿轮参数计算出渐开线上任意点m
‘
的p
inv(i)
值：
①
齿轮齿根曲线渐开线方程为：式中，(x2，y2)为坐标系(o2‑
x2，y2)中任意一点m
‘
的坐标，ξ
m(i)
为齿轮上点m
‘
的展开角，ψ
b
为齿轮基圆齿厚半角，r
b
为齿轮基圆半径；
②
建立齿轮渐开线上任意点的圆的半径r
inv(i)
与以该任意点的压力角α
t(i)
为变量的一元一次方程：根据渐开线特性，发生线沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的圆弧长度，即r
b
ξ
m(i)
＝r
b
tanα
t(i)
，α
t(i)
为齿轮渐开线上任意一点m
‘
的压力角，则ξ
m(i)
＝tanα
t(i)
③
齿轮渐开线上任意点m
‘
圆的半径r
inv(i)
的计算公式如下所示：
式中，x2为任意点m
‘
在坐标系(o2‑
x2，y2)中的横坐标，y2为m点在坐标系(o2‑
x2，y2)中的纵坐标；
④
根据齿轮任意圆的压力角定义得到下列公式：
⑤
将齿轮齿根曲线渐开线方程与ξ
m(i)
＝tanα
t(i)
代入齿轮渐开线上任意点m
‘
圆的半径r
inv(i)
计算公式，则r
inv
(α
t(i)
)如下所示：，且式中，r
a
为齿轮齿顶圆半径，(x，y)为啮合线坐标系(p
‑
x，y)中任意一点的坐标，ψ
b
为齿轮基圆齿厚半角(已知量)，r
b
为齿轮基圆半径(已知量)，α
tm
‘
为齿轮渐开线上任意点(x2，y2)的压力角；4)按照下列迭代法计算得出d
tif
如下所示：
①
给定值r，已知齿轮渐开线上任意点的圆半径r
inv
(α
t(i)
)，利用二分法，迭代α
t(k)
，返回α
t(k)
，使得函数f(α
t(k)
)＝r
‑
r
inv
(α
t(k)
)存在零点近似值，精确度ξ＝10
‑5，其中，所述近似值与真实值的误差不超过ξ；再将得到的α
t(k)
带入到齿轮齿根曲线渐开线方程中的横坐标，得到点p
inv(k)
，则点p
inv(k)
在r圆上，点p
inv(k)
的x坐标表示为
②
给定滚刀圆弧曲线上第i点，可得到定值r
i
以及又由步骤4)中的第
①
步得出齿轮渐开线上点的圆半径r
inv(i)
，假设i＝1000和i＝999时，有通过步骤4)中的第
①
步可得与
③
构造函数利用牛顿下山法寻找使e＝10
‑
12
的定义域：令比较e与e0的大小，存在以下三种情况：
⑴
当e＞0，e0＞0且e0＜e时，令e＝e0，重新计算i＝998，得再迭代比较e与e0，直到第n点时，有e
·
e0＜0，则此时e
n 1
·
e
n
＜0，θ的定义域为[θ
j
，θ
k
]，其中j＝n 1，k＝n；
⑵
当e＝0时，即为所求，d
tif
＝2
·
r
i|i＝1000
；当e＜0时，此滚刀参数设计有误，需返回重新设计；
⑶
e单调且连续可导，在定义域[θ
j
，θ
k
]内，必存在零点使精确度ξ＝10
‑
12
；
④
给定精确度ξ＝10
‑
12
，用二分法求函数e零点近似值：由步骤4)中的第
③
步确定区间[θ
j
，θ
k
]，e
j
·
e
k
＜0，然后根据区间[θ
j
，θ
k
]的中点θ
mid
，计算得到e
mid
；
若e
mid
＝0，则θ
mid
就是函数的零点；若e
j
·
e
mid
＜0，则令k＝mid；若e
mid
·
e
k
＜0，则令j＝mid；最后，判断是否达到精确度ξ＝10
‑
12
，即|θ
j
‑
θ
k
|＜ξ，若没有达到零点近似值θ
j
或θ
k
，则重复计算，直到满足精确度ξ＝10
‑
12
，且计算得出d
tif
＝2
·
r
i
；5)将步骤4)计算得出的数据d
tif
与滚刀刀具设计图纸上标注的齿轮渐开线起始圆d
tif
相对比，若d
tif
≤d
tif
，则该滚刀满足设计要求，若d
tif
＜d
tif
，则该滚刀不满足设计要求。

技术总结
一种基于齿廓法线法计算齿轮渐开线起始点的方法，包括以下步骤：1)建立坐标系；2)求给定滚刀齿顶圆弧上的任意点M换算到齿轮齿根曲线上的R


技术研发人员：李亚娟 孙宇 胡佳会 张向奎 毛世民
受保护的技术使用者：重庆青山工业有限责任公司
技术研发日：2021.05.31
技术公布日：2021/10/23