基于非对称输出的欧拉-伯努利梁自适应迭代控制方法与流程

基于非对称输出的欧拉
‑
伯努利梁自适应迭代控制方法
技术领域
1.本发明涉及振动控制技术领域，具体涉及一种基于非对称输出限制的欧拉
‑
伯努利梁边界自适应迭代控制方法。


背景技术：

2.凭借重量轻，效率高和能耗低等优良特点，柔性结构设备广泛被应用于机械臂、海洋立管和航天器等工程领域。在这些领域的研究中，欧拉
‑
伯努利梁是这些工程领域设备的基础模型。在外部扰动的作用下，欧拉
‑
伯努利梁会不断产生弹性形变，进而导致系统的长时间振动，这会影响系统的正常工作，降低系统的工作效率甚至会导致系统瘫痪。因此，如何有效地降低欧拉
‑
伯努利梁的弹性形变和振动，是一个亟待解决的问题。
3.在现有的研究下，边界控制方法是一种有效能抑制欧拉
‑
伯努利梁振动的控制方法；但在设计的过程中，很少考虑到欧拉
‑
伯努利梁系统的输入饱和特性和非对称输出特性，这些特性在实际中无处不在，忽视这些特性，欧拉
‑
伯努利梁很容易出现不稳定现象。


技术实现要素：

4.本发明的目的是为了解决现有技术中的上述缺陷，提供一种基于非对称输出限制的欧拉
‑
伯努利梁边界自适应迭代控制方法。
5.本发明的目的可以通过采取如下技术方案达到：
6.一种基于非对称输出限制的欧拉
‑
伯努利梁边界自适应迭代控制方法，所述控制方法包括以下步骤：
7.根据欧拉
‑
伯努利梁的动力学特征，构建欧拉
‑
伯努利梁系统的动力学模型；
8.将所述欧拉
‑
伯努利梁系统的动力学模型转为下三角形式，基于反步技术设计虚拟控制；
9.基于欧拉
‑
伯努利梁系统输入饱和特性的影响，提出辅助系统用于补偿输入饱和该欧拉
‑
伯努利梁带来的影响；
10.基于欧拉
‑
伯努利梁系统受到外部周期性扰动d(t)的影响，构建欧拉
‑ꢀ
伯努利梁系统的边界控制的迭代项：构建lyapunov函数，并对该lyapunov函数求导，得到迭代项的控制方法；
11.基于反步技术选取lyapunov函数，得到边界自适应迭代控制方法，其中，所述边界控制方法包括参数自适应控制律，用于补偿参数不确定性。
12.进一步地，所述动力学特征包括欧拉
‑
伯努利梁系统的动能、势能以及非保守力对欧拉
‑
伯努利梁系统所做的虚功，将动能、势能、虚功代入哈密顿原理，得到欧拉
‑
伯努利梁系统的动力学模型为：
[0013][0014]
其中s(x,t)为欧拉
‑
伯努利梁系统在长度为x、时间t时产生的偏移量，表示
为该欧拉
‑
伯努利梁系统输出的下限值，
[0030]
设计辅助系统用来补偿输入饱和特性，具体为
[0031][0032]
其中λ3＞0，为辅助系统的控制参数；δu(t)＝u(t)
‑
u0(t)，是控制输入u(t) 与设计的控制输入u0(t)间的差值；μ(t)为辅助系统的状态，表示辅助系统状态的变化速率，μ0>0，为辅助系统的状态临界值，限定函数>0，为辅助系统的状态临界值，限定函数起到限定偏移量位于上限值c1和下限值c2区间之内的作用，如果x1(t)>0时，j(x1(t))的值为1，此时起作用的是限定函数的第一项，使得欧拉
‑
伯努利梁系统的偏移量的值不高于上限值c1；如果x1(t)<0时，j(x1(t))的值为0，此时起作用的是限定函数的第二项，使得欧拉
‑
伯努利梁系统的偏移量的值不低于下限值c2。
[0033]
进一步地，基于欧拉
‑
伯努利梁系统受到外部周期性扰动d(t)的影响，构建欧拉
‑
伯努利梁系统的边界控制的迭代项，该迭代项用于消除外部周期性扰动d(t)的影响，过程如下：
[0034]
选取如下的lyapunov函数，表达式为：
[0035][0036]
其中，是一个大于0的估计值且满足t
o
是d(t) 的周期，θ是控制参数且0＜θ＜1，φ(t)为迭代项；
[0037]
对v
h
(t)进行求导，根据lyapunov稳定性原理，设计出迭代项，迭代项具体为
[0038][0039]
其中是d1(t)关于时间的导数，为迭代项φ(t)关于时间的导数，φ(t
‑
t
o
)为t
‑
t
o
时刻的迭代项的值。
[0040]
进一步地，基于反步技术选取新的lyapunov函数，得到边界控制方法，过程如下：
[0041][0042]
其中，v(t)为新构造的lyapunov函数，从能量函数角度来看，v1(t)为能量项，v2(t)交叉项，v
e
(t)为误差控制项，用于处理非对称输出限制，为辅助系统附加项，具体表达式为：
[0043][0044][0045][0046]
其中，α为能量项v1(t)的加权常数，η为辅助项的加权常数。
[0047]
进一步地，所述边界自适应迭代控制方法，基于选取的lyapunov函数，对v(t)求导，根据lyapunov稳定性原理，保证其负定性，具体如下：
[0048][0049]
其中，k1和k均为大于0的控制参数，φ(t)为迭代项，0的控制参数，φ(t)为迭代项，0的控制参数，φ(t)为迭代项，是s
′
(l,t)关于时间t的导数，是s
″′
(l,t)关于时间t的导数；(l,t)关于时间t的导数；分别为ei、t、m
s
的估计值，分别为对应参数的误差值，定义p＝[ei、t、m
s
]，相应的参数误差矩阵为p
‑
p(t)＝[ei t m
s
]
t
，
[0050]
所述参数自适应控制律为是关于时间t的导数，r
t
(t)是r(t)矩阵的转置矩阵；γ是一个属于实数集空间上的三行三列正定对角矩阵，且ξ＞0，该参数自适应控制律用于补偿欧拉
‑
伯努利梁系统的参数的不确定性。
[0051]
本发明相对于现有技术具有如下的优点及效果：
[0052]
本发明提出的基于非对称输出限制的欧拉
‑
伯努利梁边界自适应迭代控制方法与传统的控制方法相比，该控制方法易于实现，控制精度高，适应性强。本设计方法中含有迭代项，可以利用先前相关信息来产生期望输出，改善控制质量。并且，可以同时解决欧拉
‑
伯努利梁系统输入饱和现象和处理非对称输出特性。
附图说明
[0053]
图1是本发明公开的一种基于非对称输出限制的欧拉
‑
伯努利梁边界自适应迭代控制方法的流程示意图；
[0054]
图2是本发明公开的欧拉
‑
伯努利梁系统的结构示意图；
[0055]
图3是本发明实施例中未施加控制的欧拉
‑
伯努利梁的弹性形变s(x， t)仿真结果示意图；
[0056]
图4是本发明实施例中施加控制后，迭代次数k＝9的欧拉
‑
伯努利梁的弹性形变s(x，t)的仿真结果示意图；
[0057]
图5是本发明实施例中施加控制后，迭代次数k＝9的欧拉
‑
伯努利梁的末端弹性形
变s(l，t)的仿真结果示意图；
[0058]
图6是本发明实施例中的施加控制后，欧拉
‑
伯努利梁的边界弹性形变 s(l，t)的最大数值与迭代次数k的关系示意图；
[0059]
图7是本发明提供的控制设计命令的输入波形的分析示意图；
[0060]
图8是本发明提供的具有饱和非线性特征的控制输入分析示意图。
具体实施方式
[0061]
为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
[0062]
实施例一
[0063]
参阅图1，本实施例提供了一种基于非对称输出限制的欧拉
‑
伯努利梁边界自适应迭代控制方法，针对该方法，至少包含以下步骤：
[0064]
s1、根据欧拉
‑
伯努利梁的动力学特征，构建欧拉
‑
伯努利梁系统的动力学模型。
[0065]
如图2所示，一种典型的欧拉
‑
伯努利梁系统，梁的左侧边界固定于坐标原点，边界控制器u(t)和外部周期扰动d(t)作用于柔性梁的右侧。柔性梁长度为l，其振动偏移量为s(l,t)。
[0066]
欧拉
‑
伯努利梁式结构的动力学方程为：
[0067][0068]
其中，s(x,t)为欧拉
‑
伯努利梁系统在长度为x，时间t时产生的偏移量；表示为s(x,t)对时间t的二次导数，s
″′
(x,t)和s
″″
(x,t)分别表示s(x,t)对x的三阶导数和四阶导数。
[0069]
其边界条件为：
[0070][0071]
其中，l为欧拉
‑
伯努利梁的长度，ρ为该系统的密度， ei为所述系统的弯曲刚度，t为欧拉
‑
伯努利梁的张力，m
s
为系统末端负载的质量。
[0072]
s2、基于反步法，将欧拉
‑
伯努利梁的动力学方程转为下三角形式，并构建虚拟控制。
[0073]
在本实施例中，下三角形式为：
[0074]
[0075]
定义v(t)为x2(t)的虚拟控制，具体为v(t)＝
‑
λ1s
′
(l,t) λ2s
″′
(l,t)，其中λ1,λ2为控制参数，且λ1,λ2＞0。
[0076]
x2(t)与虚拟控制v(t)之间的误差为：e(t)＝x2(t)
‑
v(t)。
[0077]
s3、设计辅助系统补偿欧拉
‑
伯努利梁输入饱和带来的影响。大多数边界控制方法没考虑非线性，因此本发明通过设置辅助系统来补偿欧拉
‑
伯努利梁输入饱和特性。
[0078]
考虑到欧拉
‑
伯努利梁系统非对称输出，提出如下lyapunov函数:
[0079][0080]
c1≠c2，c1>0,c2<0且c2＜s(l,t)＜c1，c1为该欧拉
‑
伯努利梁系统输出的上限值，c2为该欧拉
‑
伯努利梁系统输出的下限值，
[0081]
系统的饱和输入特性表示为：
[0082][0083]
其中u0(t)表示设计的系统输入，u
m
表示饱和输入的最大绝对值。
[0084]
设计辅助系统用来补偿输入饱和特性，具体为
[0085][0086]
其中λ3＞0，δu(t)＝u(t)
‑
u0(t)，μ(t)为辅助系统的状态函数，μ0为设计参数，
[0087]
s4、构建lyapunov函数，并对该函数求导，得到迭代部分的控制方法来处理外部的周期性扰动d(t)。
[0088]
选取如下的lyapunov函数，具体为：
[0089][0090]
其中，是一个估计值且满足t
o
是d(t)的周期，θ是控制参数且0＜θ＜1；φ(t)为迭代项。
[0091]
对v
h
(t)进行求导，根据lyapunov稳定性原理，即保证负定性，设计出迭代项，迭代项具体为
[0092][0093]
s5、基于反步法，选取lyapunov函数，对v(t)求导，根据lyapunov 稳定性原理，保证其负定性，设计边界控制方法，具体为：
[0094][0095]
其中，v1(t)为能量项，v2(t)交叉项，v
e
(t)为误差控制项，用来处理非对称输出特性，为辅助系统附加项；具体表达式为：
[0096][0097][0098][0099]
对选取的lyapunov函数，对v(t)求导，根据lyapunov稳定性原理，保证其负定性，设计边界控制方法，具体如下：
[0100][0101]
其中，φ(t)为迭代项，用来处理外部周期性扰动，其中，φ(t)为迭代项，用来处理外部周期性扰动，p(t)＝[ei t m
s
]
t
，ei,t,m
s
分别为ei,t,m
s
的估计值，相应的参数误差矩阵为p
‑
p(t)＝[ei t m
s
]
t
，
[0102]
参数自适应控制律为γ是一个属于实数集空间上的三行三列正定对角矩阵，ξ＞0；将参数自适应控制律用于补偿该系统的参数的不确定性。
[0103]
边界控制器中的所有信号均可由传感器直接测得或由有限差分法间接获得。
[0104]
实施例二
[0105]
本实施例基于lyapunov稳定性原理，验证在自适应迭代控制方法的作用下，欧拉
‑
伯努利梁系统的稳定性。
[0106]
lyapunov函数更新为其中v
p
(t)为
[0107]
在本实施例中，验证v(t)的正定性，方法如下：
[0108]
根据不等式的放缩原理，对于v2(t)有
[0109]
其中
‑
a1v1(t)≤v2(t)≤a1v1(t)，为了保证0≤a1≤1，需满足
[0110]
定义
[0111]
记v
a
(t)＝v1(t) v2(t)，
[0112]
则有v
a
(t)≤(1 a1)v1(t)≤a3v1(t)，则v(t)可写成为：
[0113]
a2v1(t) v
e
(t) v
b
(t)≤v(t)≤a3v1(t) v
e
(t) v
b
(t)，其中v1(t)≥0，v
e
(t)≥0， v
b
(t)≥0，所以可知v(t)≥0，v(t)的正定性得到证明。
[0114]
验证v(t)的一阶导数的负定性方法如下：
[0115]
v1(t)，v2(t)对时间求导可得：
[0116][0117]
v
e
(t)对时间求导可得：
[0118][0119]
v
b
(t)对时间求导，
[0120][0121]
其中，λ
b
是矩阵γ的最小特征值，将迭代项代入(3)式可得
[0122][0123][0124]
将式(1)、式(2)、式(3)、式(4)代入式(5)，并结合设计的边界控制方法u0(t)，化简可得：
[0125][0126]
其中δ1～δ4均为根据实际情况选取的控制参数，是大于0的常数，且满足
[0127][0128][0129]
其中，λ3＝min(1
‑
θ,θ)。
[0130]
以上证明了的负定性，系统在设计的控制方法下是渐近稳定的。
[0131]
分析系统状态的有界性：
[0132]
将式(6)乘以e
‑
ζt
并且积分可得：
[0133][0134]
结合v1(t)和上式可得：
[0135][0136]
进而有
[0137]
当判断欧拉
‑
伯努利梁系统满足预设的稳定性要求时，利用matlab仿真软件对该欧拉
‑
伯努利梁系统进行数字仿真，得到仿真结果来验证自适应迭代控制方法的有效性。
[0138]
在本实施例中，请参阅图3，图3为本发明实施例中未施加控制的欧拉
‑
伯努利梁系统的弹性形变s(x，t)仿真结果示意图。在未施加控制时，欧拉
‑
伯努利梁各处均存在振动(横向位移)。图4为本发明实施例中施加控制作用后，迭代次数为9后的欧拉
‑
伯努利梁系统的末端弹性形变仿真结果示意图，当施加控制后，其末端位置的横向位移的最大值不超过0.012，欧拉
‑
伯努利梁的弹性形变趋于相对平稳。图5是本发明实施例中施加控制作用后，迭代次数为9后的欧拉
‑
伯努利梁系统的弹性形变数值示意图，当施加控制后，欧拉
‑
伯努利梁系统的弹性形变的数值始终维持在
‑
0.003到0.011 之间，欧拉
‑
伯努利梁系统的非对称输出限制符合要求。图6是本发明实施例中施加控制作用后，欧拉
‑
伯努利梁系统在每次迭代过程中的末端振动量最大值随次数的变化情况，可以看出，随着迭代次数的增加，欧拉
‑
伯努利梁系统的振动幅度逐渐减小，迭代项产生了控制作用；从图7和图8可以看出控制设计命令的输入波形在饱和非线性特征作用下依然能将输入信号控制在有效输入范围内，非线性输入饱和特性在辅助系统作用下得到妥善处理。
[0139]
上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。