一种机械臂系统鲁棒镇定控制方法和系统与流程

1.本发明属于机械臂系统鲁棒镇定技术领域，特别涉及一种机械臂系统鲁棒镇定控制方法和系统。


背景技术：

2.机械臂在工业自动化领域起着重要的作用。特别是随着技术的进一步发展，对机械臂工作精度的要求越来越高。因此，对机械臂系统的控制研究具有重要意义。众所周知，机械臂系统通常在复杂的环境中工作，并受到环境的干扰，这将增加超调量，降低系统的稳定性。
3.为了克服这些问题，机械臂系统的鲁棒控制得到广泛关注，并取得了良好的效果，有效地提高了系统的鲁棒性。值得注意的是，在实际生产过程中，为了获得状态变量，如机械臂系统的关节位置和速度，通常需要配备传感器。然而，由传感器测量的信息通常包含噪声，并且不能直接反馈给控制器。此外，如果传感器发生故障，上述鲁棒控制算法将会失效。为了解决所带来的问题，进一步降低机械臂的制造成本，必须设计其观测器。目前的观测器设计方法主要包括李亚普诺夫函数方法、坐标转换方法、扩展隆伯格观测器方法和扩展卡尔曼滤波方法等，但是目前设计的有限时间控制算法也是基于机械臂系统的近似线性化模型，这意味着它们有一定的局限性，比如：所得到的结果只适用于某些特殊形式，而不是一般的非线性形式。


技术实现要素：

4.为了解决上述技术问题，本发明提出了一种机械臂系统鲁棒镇定控制方法和系统，基于观测器，提出了非线性观测系统具有更快的收敛速度和鲁棒性能。
5.为实现上述目的，本发明采用以下技术方案：
6.一种机械臂系统鲁棒镇定控制方法，包括以下步骤：
7.建立机械臂系统的动力学方程；
8.将动力学方程利用广义动量通过坐标转换的方法得到机械臂系统的扩维系统；选用hamilton函数采用正交分解的方法得到等价机械臂hamilton模型；
9.设计机械臂系统的有限时间观测器；将所述机械臂hamilton模型和有限时间观测器扩展为一个高维数的hamilton模型；
10.构建李亚普诺夫函数，通过李雅普诺夫函数验证所述高维数的hamilton模型的有限时间稳定性，以验证所述机械臂系统的鲁棒镇定。
11.进一步的，所述机械臂的动力学方程为：
[0012][0013]
其中，q＝[q1,q2]
t
∈r2是机械臂关节旋转角向量；q1为机械臂第一关节与x轴的夹角；q2为机械臂第二关节与x轴的夹角；是机械臂关节旋转角速度矢量；是机械
臂关节旋转加速度向量；m(q)∈r2×2为惯性矩阵；为哥氏力矩阵；g(q)∈r2是重力矩向量；τ∈r2是控制输入力矩矢量；ω∈r2为机械臂系统外部干扰。
[0014]
进一步的，所述将动力学方程利用广义动量通过坐标转换的方法得到机械臂系统的扩维系统的过程为：
[0015]
假定
[0016]
其中p为机械臂系统的广义动量；所以
[0017][0018]
设定
[0019]
ξ1＝[x1,x2]
t
＝[q1‑
q
d1
,q2‑
q
d2
]
t
＝q
‑
q
d
,ξ2＝[x3,x4]
t
＝[p1‑
s
11
,p2‑
s
12
]
t
＝p
‑
s1,s1＝
‑
kξ1；则
[0020][0021][0022]
所以得到：
[0023][0024]
其中，ξ1为机械臂位置轨迹误差；ξ2为机械臂系统的广义动量与机械臂位置轨迹误差倍数的差值；x
i
状态变量，i为1、2、3和4；q
i
机械臂第i个关节的实际位置；q
di
为第i个关节的位置角度；q是机械臂关节旋转角向量；q
d
是机械臂关节期望位置；q
d
为常数；p
i
为广义动量分量；s
1i
为成倍数的角度差分量；s1成倍数的角度差；k为广义动量分量系数。
[0025]
进一步的，所述采用hamilton函数将所述哈密顿形式的动力学方程转换为等价机械臂hamilton模型的过程为：
[0026]
选选取hamilton函数
[0027]
其中n状态变量的个数；α系统状态次数；
[0028]
通过正交分解得到
[0029]
其中，其中j(x)是反对
称矩阵；r(x)是正定矩阵；f(x)为机械臂的原始模型；f
td
(x)为f(x)沿着切面分解得到切面函数；f
gd
(x)为f(x)沿着梯度切面分解得到梯度函数；
▽
h是hamilton函数的梯度；且
[0030]
令公式中的τ＝u得到得到等价哈密尔顿形式；
[0031]
其中，τ和u均为机械臂系统的控制器；表示x的导数；x等于x
i
，i为1、2、3和4；g(x)为含有变量的第一系数矩阵；q(x)为含有变量的第二系数矩阵；c(x)为含重力矩阵的相关矩阵。
[0032]
进一步的，所述设计机械臂系统的有限时间观测器的过程为：
[0033]
设计基于观测器的输出反馈控制律为：u为机械臂系统的控制器；a为一函数关系；为机械臂系统的观测值，y是机械臂系统的输出；当ω＝0，系统在控制定律下的所有状态在有限时间内收敛为0，θ为机械臂系统外部干扰ω上的有界集的任何非零ω∈θ，闭环系统ω(0)＝0的零状态响应满足
[0034][0035]
其中t为常数；z为罚信号；r为扰动衰减，且r为第一加权矩阵；
[0036]
且z＝ry；
ꢀꢀ
(12)
[0037]
假定q1和q2具有固定范围；所以hamilton系统的观测器设计为：
[0038][0039]
其中代表机械臂的观测器系统；为反对称矩阵对应的观测值；为正定矩阵对应的观测值；为hamilton函数的梯度对应的观测值；为第一系数矩阵对应的观测值；是第二加权矩阵对应的观测值；
[0040]
将y代入上式得到
[0041][0042]
对于给定的γ>0，γ为常数；存在常数矩阵l和常数ν，使得ν≤γ2和
[0043][0044]
其中，
[0045]
[0046][0047]
h(x)表示hamilton函数与hamilton函数观测值的和；l
i
为一过渡变量；ν为常数；
[0048]
所以设计的基于观测器的系统有限时间鲁棒稳定控制器为
[0049][0050][0051]
k(γ)是比例系数；r适当维数的权重矩阵；e表示适当的维数。
[0052]
进一步的，所述将所述机械臂hamilton模型和有限时间观测器扩展为一个高维数的hamilton模型的过程为：
[0053]
通过公式(10)和(14)得到
[0054][0055]
通过公式(16)和(18)得到扩维系统：
[0056][0057]
其中为机械臂系统和观测器系统组成的矩阵的状态量导数；j1(x)为第一参数矩阵；r1(x)为第二参数矩阵；为包含重力矩阵的一个矩阵；
[0058][0059]
其中r
i,j
为r(x)中的第i行j列的数值；
[0060]
将ν代入公式(19)，
[0061]
[0062]
其中，
[0063][0064][0065]
为扩维后系统的反对称矩阵；为扩维后系统的正定对称矩阵；
▽
x
h(x)为扩维后的系统的hamilton函数的梯度；为正定对称矩阵中每个元素的数值。
[0066]
进一步的，所述构建李亚普诺夫函数的过程为：
[0067]
构建李亚普诺夫函数候选项v(x)＝2h(x)；
ꢀꢀ
(22)
[0068]
其中，v(x)为李雅普诺夫函数；计算所述v(x)的导数，得到：
[0069][0070]
因为和得到
[0071]
其中，
[0072][0073]
因为q(x)＝[q
t
(x),0]
t
,z＝ry，通过公式(23)可得到：
[0074][0075]
进一步的，通过李雅普诺夫函数验证所述高维数的hamilton模型的有限时间稳定性，以验证所述机械臂系统的鲁棒镇定的过程为：
[0076]
令
[0077][0078]
在零状态响应条件下，将公式(26)从0积分至t，得到：
[0079][0080]
从公式(27)和v(x)≥0，得到
[0081][0082]
其中t(x)性能函数；z(s)为系统的罚信号；ω(s)为系统的干扰；
[0083]
从公式(25)可以得到如果ω＝0，那么则证明所述机械臂系统是趋于稳定；
[0084]
令v(x)＝2h(x)；则得到
[0085][0086]
因为及得到：
[0087][0088]
因为得到：
[0089][0090]
同样的，
[0091]
即
[0092]
将公式(32)替换(29)，注意到γ1<0和γ2<0，其中γ1为一常数；γ2是一个常数；β为一常数；得到
[0093]
[0094]
得到存在常数n1和n2，因为得到：
[0095]
选择n＝min{n1,n2}，其中，n为常数n1,n2中的最小值；得到
[0096][0097][0098][0099]
即证明了所述机械臂系统的鲁棒镇定。
[0100]
本发明还提出了一种机械臂系统鲁棒镇定控制系统，包括建立模块、转换模块、扩展模块和验证模块；
[0101]
所述建立模块用于建立机械臂系统的动力学方程；
[0102]
所述转换模块用于将动力学方程利用广义动量通过坐标转换的方法得到机械臂系统的扩维系统；选用hamilton函数采用正交分解的方法得到等价机械臂hamilton模型；
[0103]
所述扩展模块用于设计机械臂系统的有限时间观测器；将所述机械臂hamilton模型和有限时间观测器扩展为一个高维数的hamilton模型；
[0104]
所述验证模块用于构建李亚普诺夫函数，通过李雅普诺夫函数验证所述高维数的hamilton模型的有限时间稳定性，以验证所述机械臂系统的鲁棒镇定。
[0105]
发明内容中提供的效果仅仅是实施例的效果，而不是发明所有的全部效果，上述技术方案中的一个技术方案具有如下优点或有益效果：
[0106]
本发明提出了一种机械臂系统鲁棒镇定控制方法和系统，该方法的过程为：建立机械臂系统的动力学方程；将动力学方程利用广义动量通过坐标转换的方法得到机械臂系统的扩维系统；选用hamilton函数采用正交分解的方法得到等价机械臂hamilton模型；设计机械臂系统的有限时间观测器；将机械臂hamilton模型和有限时间观测器扩展为一个高维数的hamilton模型；构建李亚普诺夫函数，通过李雅普诺夫函数验证高维数的hamilton模型的有限时间稳定性，以验证机械臂系统的鲁棒镇定。基于一种机械臂系统鲁棒镇定控制方法，还提出了一种机械臂系统鲁棒镇定控制系统。本发明采用有限时间观测器，采取非线性的观测系统，相对于线性观测系统，具有更好的控制性能，与现有的机械臂无限时间算法相比，本发明具有更快的收敛速度和鲁棒性能，本发明以真实的机械臂系统为基础，实现了更好的鲁棒镇定控制。
附图说明
[0107]
如图1为本发明实施例1一种机械臂系统鲁棒镇定控制方法流程图
[0108]
如图2为本发明实施例1机械臂系统结构示意图；
[0109]
如图3为本发明实施例2一种机械臂系统鲁棒镇定控制系统示意图；
[0110]
如图4为本发明实施例1机械臂第一关节轨迹跟踪仿真示意图；
[0111]
如图5为本发明实施例1机械臂第一关节轨迹跟踪误差仿真示意图；
[0112]
如图6为本发明实施例1机械臂第二关节轨迹跟踪仿真示意图；
[0113]
如图7为本发明实施例1机械臂第二关节轨迹跟踪误差仿真示意图。
具体实施方式
[0114]
为能清楚说明本方案的技术特点，下面通过具体实施方式，并结合其附图，对本发明进行详细阐述。下文的公开提供了许多不同的实施例或例子用来实现本发明的不同结构。为了简化本发明的公开，下文中对特定例子的部件和设置进行描述。此外，本发明可以在不同例子中重复参考数字和/或字母。这种重复是为了简化和清楚的目的，其本身不指示所讨论各种实施例和/或设置之间的关系。应当注意，在附图中所图示的部件不一定按比例绘制。本发明省略了对公知组件和处理技术及工艺的描述以避免不必要地限制本发明。
[0115]
实施例1
[0116]
如图1给出了本发明实施例1提出的一种机械臂系统鲁棒镇定控制方法和系统。
[0117]
在步骤s101中，建立机械臂系统的动力学方程，如图2给出了机械臂系统结构示意图，其中图中m1为机械臂第一关节的质量，m2为机械臂第二关节的质量。
[0118]
其中动力学方程为：
[0119]
其中，q＝[q1,q2]
t
∈r2是机械臂关节旋转角向量；q1为机械臂第一关节与x轴的夹角；q2为机械臂第二关节与x轴的夹角；是机械臂关节旋转角速度矢量；是机械臂关节旋转加速度向量；m(q)∈r2×2为惯性矩阵；为哥氏力矩阵；g(q)∈r2是重力矩向量；τ∈r2是控制输入力矩矢量；ω∈r2为机械臂系统外部干扰。
[0120]
在步骤s102中，将动力学方程利用广义动量通过坐标转换的方法得到机械臂系统的扩维系统。
[0121]
假定
[0122]
其中p为机械臂系统的广义动量；所以
[0123][0124]
设定
[0125]
ξ1＝[x1,x2]
t
＝[q1‑
q
d1
,q2‑
q
d2
]
t
＝q
‑
q
d
,ξ2＝[x3,x4]
t
＝[p1‑
s
11
,p2‑
s
12
]
t
＝p
‑
s1,s1＝
‑
kξ1；则
[0126][0127][0128]
所以得到：
[0129][0130]
其中，ξ1为机械臂位置轨迹误差；ξ2为机械臂系统的广义动量与机械臂位置轨迹误差倍数的差值；x
i
状态变量，i为1、2、3和4；q
i
机械臂第i个关节的实际位置；q
di
为第i个关节的位置角度；q是机械臂关节旋转角向量；q
d
是机械臂关节期望位置；q
d
为常数；p
i
为广义动量分量；s
1i
为成倍数的角度差分量；s1成倍数的角度差；k为广义动量分量系数。
[0131]
在步骤s103中，选用hamilton函数采用正交分解的方法得到等价机械臂hamilton模型；
[0132]
选选取hamilton函数
[0133]
其中n状态变量的个数；α系统状态次数；
[0134]
通过正交分解得到
[0135]
其中，其中j(x)是反对称矩阵；r(x)是正定矩阵；f(x)为机械臂的原始模型，f
td
(x)为f(x)沿着切面分解得到切面函数；f
gd
(x)为f(x)沿着梯度切面分解得到梯度函数；
▽
h是hamilton函数的梯度；且
[0136]
令公式中的τ＝u得到得到等价哈密尔顿形式；
[0137]
其中，τ和u均为机械臂系统的控制器；表示x的导数；x等于x
i
，i为1、2、3和4；g(x)为含有变量的第一系数矩阵；q(x)均为含有变量的第二系数矩阵；c(x)为含重力矩阵的相关矩阵。
[0138]
其中，
[0139][0140]
a
ij
是反对称矩阵j(x)中第i行，第j列的元素；b
ij
是正定矩阵r(x)中第i行，第j列的元素。
[0141]
a
12
＝
‑
a
21
＝0,
[0142][0143][0144][0145][0146][0147][0148]
b
12
＝b
21
＝0
[0149][0150][0151][0152][0153]
[0154][0155][0156][0157][0158][0159]
其中，l1为机械臂第一关节的长度，l
c1
为机械臂第一关节的长度的一半；l2为机械臂第一关节的长度；l
c2
为机械臂第二关节的长度的一半。
[0160]
在步骤s104中，设计机械臂系统的有限时间观测器；
[0161]
设计基于观测器的输出反馈控制律为：u为机械臂系统的控制器；a为一函数关系；为机械臂系统的观测值，y是机械臂系统的输出；当ω＝0，系统在控制定律下的所有状态在有限时间内收敛为0，θ为机械臂系统外部干扰ω上的有界集的任何非零ω∈θ，闭环系统ω(0)＝0的零状态响应满足
[0162][0163]
其中t为常数；z为罚信号；r为扰动衰减，且r为第一加权矩阵；
[0164]
且z＝ry
ꢀꢀ
(12)
[0165]
假定q1和q2具有固定范围；所以hamilton系统的观测器设计为：
[0166][0167]
其中代表机械臂的观测器系统；为反对称矩阵对应的观测值；为正定矩阵对应的观测值；为hamilton函数的梯度对应的观测值；为第一系数矩阵对应的观测值；是第二加权矩阵对应的观测值；
[0168]
将y代入上式得到
[0169][0170]
对于给定的γ>0，γ为常数；存在常数矩阵l和常数ν，使得ν≤γ2和
[0171][0172]
其中，
[0173][0174][0175]
h(x)表示hamilton函数与hamilton函数观测值的和；l
i
为一过渡变量；ν为常数；
[0176]
所以设计的基于观测器的系统有限时间鲁棒稳定控制器为
[0177][0178][0179]
k(γ)是比例系数；r适当维数的权重矩阵；e表示适当的维数。
[0180]
在步骤s105中，将机械臂hamilton模型和有限时间观测器扩展为一个高维数的hamilton模型；
[0181]
通过公式(10)和(14)得到
[0182][0183]
通过公式(16)和(18)得到扩维系统：
[0184][0185]
其中为机械臂系统和观测器系统组成的矩阵的状态量导数；j1(x)为第一参数矩阵；r1(x)为第二参数矩阵；为包含重力矩阵的一个矩阵；
[0186][0187][0188][0189]
其中r
i,j
为r(x)中的第i行j列的数值；
[0190]
将ν代入公式(19)，
[0191][0192]
其中，
[0193][0194][0195]
为扩维后系统的反对称矩阵；为扩维后系统的正定对称矩阵；
▽
x
h(x)为扩维后的系统的hamilton函数的梯度；为正定对称矩阵中每个元素的数值。
[0196]
在步骤s106中，构建李亚普诺夫函数。
[0197]
构建李亚普诺夫函数候选项v(x)＝2h(x)；
ꢀꢀ
(22)
[0198]
其中，v(x)为李雅普诺夫函数；计算所述v(x)的导数，得到：
[0199][0200]
因为和得到
[0201]
其中，
[0202][0203]
因为q(x)＝[q
t
(x),0]
t
,z＝ry，通过公式(23)可得到：
[0204]
[0205]
在步骤s107中，通过李雅普诺夫函数验证所述高维数的hamilton模型的有限时间稳定性，以验证所述机械臂系统的鲁棒镇定。
[0206]
首先证明公式(21)的是鲁棒稳定的，然后证明了当ω＝0时公式(21)是有限时间稳定性的。
[0207]
令
[0208][0209]
在零状态响应条件下，将公式(26)从0积分至t，得到：
[0210][0211]
从公式(27)和v(x)≥0，得到
[0212][0213]
其中t(x)性能函数；z(s)为系统的罚信号；ω(s)为系统的干扰；
[0214]
从公式(25)可以得到如果ω＝0，那么则证明所述机械臂系统是趋于稳定；
[0215]
令v(x)＝2h(x)；则得到
[0216][0217]
因为及得到：
[0218][0219]
因为得到：
[0220][0221]
同样的，
[0222]
即
[0223]
将公式(32)替换(29)，注意到γ1<0和γ2<0，其中γ1为一常数；γ2是一个常数；β
为一常数；得到
[0224][0225]
得到存在常数n1和n2，因为得到：
[0226]
选择n＝min{n1,n2}，其中，n为常数n1,n2中的最小值；得到
[0227][0228][0229][0230]
即证明了所述机械臂系统的鲁棒镇定。
[0231]
实施例2
[0232]
基于本发明实施例1提出的一种机械臂系统鲁棒镇定控制方法，本发明实施例2还提出了一种机械臂系统鲁棒镇定控制系统，如图3给出了本发明实施例2一种机械臂系统鲁棒镇定控制示意图，该系统包括：建立模块、转换模块、扩展模块和验证模块；
[0233]
建立模块用于建立机械臂系统的动力学方程；
[0234]
转换模块用于将动力学方程利用广义动量通过坐标转换的方法得到机械臂系统的扩维系统；选用hamilton函数采用正交分解的方法得到等价机械臂hamilton模型；
[0235]
扩展模块用于设计机械臂系统的有限时间观测器；将所述机械臂hamilton模型和有限时间观测器扩展为一个高维数的hamilton模型；
[0236]
验证模块用于构建李亚普诺夫函数，通过李雅普诺夫函数验证所述高维数的hamilton模型的有限时间稳定性，以验证所述机械臂系统的鲁棒镇定。
[0237]
如图4为本发明实施例1机械臂第一关节轨迹跟踪仿真示意图；如图5为本发明实施例1机械臂第一关节轨迹跟踪误差仿真示意图；如图6为本发明实施例1机械臂第二关节轨迹跟踪仿真示意图；如图7为本发明实施例1机械臂第二关节轨迹跟踪误差仿真示意图。
[0238]
从图1和图3可以看出，在本文提出的基于观测器的有限时间控制器的作用下，该机械臂系统的两个关节在1.5秒内就快速趋于稳定，并且没有明显的振荡和波动，体现出了该有限时间控制器的有效性；
[0239]
从图2和图4中可以看出，观测器与关节角的轨迹跟踪误差相对较小，表明观测器
能够有效的观测该机械臂系统的关节角的位置状态量。
[0240]
上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制。对于所属领域的技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的修改或变形。这里无需也无法对所有的实施方式予以穷举。在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。