基于跟踪误差和时变系数预测的蛇形机器人自适应路径跟随控制器及其设计方法与流程

1.本发明属于仿生机器人运动控制技术领域，尤其涉及一种基于跟踪误差和时变系数预测的蛇形机器人自适应路径跟随控制器及其设计方法。


背景技术：

2.随着科学技术的不断发展，机器人的研究领域不断扩大，机器人的种类不断丰富，而仿生机器人是新兴的一种将仿生学与机器人研究领域结合的产物，其中，尤其是多关节蛇形仿生机器人的研究备受人们的关注；蛇形机器人是人们仿照蛇的运动方式和运动机理研究的多自由度的柔性机器人；这种机器人可以在陆地、湖泊和沙漠等复杂环境中运动；蛇形机器人在灾后救援、水下勘探、危险作业和防恐防爆等领域发挥着重要的作用，因此，设计蛇形机器人的路径跟随控制器是非常重要的；
3.多关节蛇形机器人的运动环境复杂多变，这给蛇形机器人路径跟踪控制器的研究带来了许多困难；外界的未知干扰会导致蛇形机器人运动位置误差增加，而且地面摩擦系数和关节转动系数的突变也会给蛇形机器人的运动控制带来许多负面影响；所以研究具有抗干扰能力的多关节蛇形机器人路径跟随控制器具有十分重要的意义，这可以为蛇形机器人的复杂运动姿态研究奠定扎实的基础。


技术实现要素：

4.有鉴于此，为了弥补现有技术的空白和不足，本发明的目的在于提供一种基于跟踪误差和时变系数预测的蛇形机器人自适应路径跟随控制器及其设计方法，其所要解决的技术问题是：实现实现多关节蛇形机器人的运动步态和运动方向的稳定控制。
5.其具体采用以下技术方案：
6.一种基于跟踪误差和时变系数预测的蛇形机器人自适应路径跟随控制器，其特征在于：基于多关节蛇形机器人运动学模型和步态关节的控制函数，根据蛇形机器人路径跟随过程中的动态控制任务和姿态控制任务，所述动态控制任务用于使蛇形机器人的运动位置误差收敛；所述姿态控制任务用于使机器人的运动方向角误差和关节方向角误差收敛；基于蛇形机器人的运动位置误差的预测值、侧滑角的时变量预测值、干扰变量的预测值分量，通过改进的los方法，得到蛇形机器人的期望运动方向角，进行多关节蛇形机器人的步态控制；根据多关节蛇形机器人运动方向角速度的虚拟辅助函数和蛇形机器人的关节角补偿函数，基于参数预测值的更新律，实现多关节蛇形机器人的运动方向角误差、关节角误差、预测值误差渐进稳定。
7.进一步地，所述蛇形机器人由n个连杆组成，连杆之间由n
‑
1个关节连接；机器人每个连杆的质量为m，连杆的长度为2h；机器人在运动过程中的连杆模型具体为：
8.蛇形机器人第i＝1,
…
,n连杆的转动角度为θ
i
，连杆角的向量为
蛇形机器人第i＝1,
…
,n连杆的转动角速度为连杆角速度的向量为蛇形机器人第i＝1,
…
,n
‑
1关节的转动角度为φ
i
，关节角的向量为蛇形机器人第i＝1,
…
,n
‑
1关节的转动角速度为关节角速度的向量为蛇形机器人的质心在惯性坐标系中的运动位置为p＝[p
x
,p
y
]
t
；蛇形机器人在运动过程中受到的切向干扰速度和法向干扰分别为u
x
和u
y
；考虑机器人的切向摩擦力和法向摩擦力，蛇形机器人的质心在惯性坐标系中的切向和法向运动速度分别为v
t
和v
n
；对蛇形机器人的运动模型进行简化，得到机器人简化的连杆模型；在简化模型中，使用两套独立的坐标系；分别是惯性坐标系和机器人坐标系；蛇形机器人质心的运动方向角为机器人所有连杆的运动方向角的加权平均值，即机器人的运动方向角也作为惯性坐标系和机器人坐标系之间的夹角；同时，在简化模型中，假设蛇形机器人各连杆的运动方向与机器人坐标系对齐；蛇形机器人相邻连杆之间的位移作为机器人的关节角；设置累加矩阵为和差分矩阵为辅助矩阵为和系统的关节力矩控制输入量为蛇形机器人简化的连杆力学模型如下所示：
[0009][0010]
其中，切向和法向摩擦系数分别为λ1＞0和λ2＞0；设置机器人关节旋转速度到旋转加速度的映射比例为μ1＞0；设置机器人关节角度均值和切向速度到旋转加速度的映射比例为μ2＞0；
[0011]
根据蛇形机器人的蜿蜒运动步态，得到机器人第i关节的控制函数；
[0012][0013]
其中，a为蛇形机器人的摆动幅值增益；ω为摆动频率；φ0为关节角偏移量；δ为关节之间的相移；其中，摆动频率用于对机器人的运动速度补偿；关节角偏移量用于对机器人的运动方向补偿。
[0014]
进一步地，所述动态控制任务具体为：蛇形机器人在惯性坐标系下的位置为(p
x
,p
y
)，设置机器人的期望路径位置为(x
d
,y
d
)；目的是实现蛇形机器人的运动位置误差p
x
‑
x
d
和p
y
‑
y
d
一致最终有界，即满足；
[0015]
and
[0016]
其中，ε1和ε2为任一小的值；
[0017]
所述姿态控制任务具体包括：
[0018]
姿态控制任务
‑
运动方向角任务：蛇形机器人的实际运动方向角为θ，设置机器人理想的运动方向角为目的是使蛇形机器人的运动方向角误差收敛到0并稳定，即满足；
[0019][0020]
姿态控制任务
‑
关节角任务：蛇形机器人的实际关节角为φ，设置机器人理想的关节角为目的是使蛇形机器人的关节角误差收敛到0并稳定，即满足；
[0021][0022]
进一步地，基于蛇形机器人的运动位置误差的预测值、侧滑角的时变量预测值、干扰变量的预测值分量，通过改进的los方法，得到蛇形机器人的期望运动方向角，进行多关节蛇形机器人的步态控制，其具体为：
[0023]
根据所述动态控制任务设置蛇形机器人的期望路径运动位置为(x
d
,y
d
)，期望路径的正切角为
[0024]
通过旋转矩阵，得到蛇形机器人在路径坐标系中的运动位置误差为；
[0025][0026]
对公式进行微分得到；
[0027][0028]
其中，为u的方向；沿着期望路径切线方向的虚拟速度为ψ
x
＝ucos(β2‑
α)和ψ
y
＝usin(β2‑
α)分别为干扰变量在x轴和y轴方向上的分量；蛇形机器人的运动速度为机器人在路径跟随过程中的侧滑角为
[0029]
扰动变量和侧滑角是都是有界的，即和|β|≤β
*
；同时，扰动变量和侧滑角的运动速度缓慢且有界，即和和和c
β
＞0为正常数；
[0030]
由于蛇形机器人的侧滑角是微幅的，通常情况下|β|≤5
°
；因此cosβ＝1和sinβ＝β；蛇形机器人运动位置误差的另一种形式被得到；
[0031][0032]
为了消除蛇形机器人在路径跟随过程中的侧滑角，分别设计机器人的运动位置误差e
x
和e
y
的预测值为和设计干扰变量ψ
x
和ψ
y
的预测值为和设计侧滑角β的预测值为
[0033]
蛇形机器人的运动位置误差的预测误差分别是和干扰变量的预测误差分别是和侧滑角的预测误差为
[0034]
蛇形机器人的运动位置误差的预测值为；
[0035][0036]
其中，k
x
＞0和k
y
＞0分别为正常数增益；
[0037]
蛇形机器人的运动位置误差的预测误差被得到；
[0038][0039]
干扰变量在x轴和y轴方向上的时变量预测值分量为和
[0040]
其中，r1＞0和r2＞0分别为正常数增益；
[0041]
蛇形机器人的侧滑角的时变量预测值为；
[0042][0043]
其中，η4＞0为正常数增益；
[0044]
为了消除蛇形机器人在运动过程中出现的侧滑现象，采用优化los方法；机器人的运动方向角的理想值为；
[0045][0046]
其中，ε
e
为虚拟控制输入；δ为前向距离；为蛇形机器人的运动方向角误差；
[0047]
蛇形机器人的运动方向角误差为；
[0048][0049]
当蛇形机器人的运动方向角误差实现稳定时，得到或即，蛇形机器人的实际运动方向角θ跟踪到理想值
[0050][0051][0052][0053]
e
x
的虚拟控制速度u
d
为；
[0054][0055]
其中，k
e
＞0为正常数增益；
[0056]
运动位置误差的预测值的另一种形式被得到；
[0057][0058]
虚拟控制输入ε
e
为；
[0059][0060]
进一步地，根据多关节蛇形机器人运动方向角速度的虚拟辅助函数和蛇形机器人的关节角补偿函数，基于参数预测值的更新律，实现多关节蛇形机器人的运动方向角误差、关节角误差、预测值误差渐进稳定，其具体为：
[0061]
蛇形机器人的运动方向角误差和运动方向角速度误差为；
[0062][0063][0064]
设辅助函数为；
[0065]
[0066]
其中，为k
θ
的预测值，且k
θ
＞0为正常数增益；
[0067]
蛇形机器人的关节角补偿函数为；
[0068][0069]
其中，为的预测值，为的预测值；k
v,θ
＞0为正常数增益；预测值为和
[0070]
蛇形机器人的关节角误差和关节角速度误差为；
[0071][0072]
关节角误差和关节角速度误差的微分形式为；
[0073][0074]
辅助函数设置为；
[0075][0076]
其中，为k
φ
的预测值，用于抑制中的未知有界函数k
φ
＞0为正常数增益；
[0077]
利用自适应控制理论，系统的输入u设置为；
[0078][0079]
其中，和分别为λ1和λ2的预测值；反馈输入
‑
输出控制器
[0080]
以及，根据以上优选的基于跟踪误差和时变系数预测的蛇形机器人自适应路径跟随控制器的设计方法，其特征在于，包括以下步骤：
[0081]
步骤s1：分析蛇形机器人的运动方式和运动机理，获得机器人简化的连杆力学模型；根据蛇形机器人的蜿蜒运动步态，设计机器人的关节控制函数；
[0082]
步骤s2：制定蛇形机器人路径跟随控制器的动态控制任务和姿态控制任务，所述动态控制任务用于使使蛇形机器人的运动位置误差收敛到任意小值；所述姿态控制任务用于使机器人的运动方向角误差和关节角误差收敛到0；
[0083]
步骤s3：设计蛇形机器人的运动位置误差的预测值、侧滑角的时变量预测值、干扰变量的预测值分量，通过改进的los方法，得到蛇形机器人的期望运动方向角，进行多关节蛇形机器人的步态控制；
[0084]
步骤s4：设计多关节蛇形机器人运动方向角速度的虚拟辅助函数和蛇形机器人的关节角补偿函数，基于参数预测值的更新律，实现多关节蛇形机器人的运动方向角误差、关节角误差、预测值误差渐进稳定。
[0085]
进一步地，还包括步骤s5：构造lyapunov函数，验证步骤s3中的运动位置的预测误差、干扰变量的预测误差和步骤s4中的运动方向角误差、关节角误差、模型系数预测值误差的渐进稳定性。
[0086]
进一步地，还包括步骤s6：通过matlab仿真实验，验证基于跟踪误差和时变系数预测的蛇形机器人自适应路径跟随控制器的有效性。
[0087]
与现有技术相比，本发明及其优选方案具有以下有益效果：
[0088]
1、充分考虑了蛇形机器人的运动位置跟踪误差、干扰变量和时变控制系数对机器人轨迹跟随的影响，实现了机器人对跟踪位置误差和干扰变量的预测，并用预测值代替控制参数来实时对控制器进行实时调整，提高了机器人的运动效率和跟踪精度，确保了自适应轨迹跟随控制器的稳定性；
[0089]
2、优化了los方法，消除了侧滑现象导致的蛇形机器人运动方向角抖动的问题，提高了机器人运动方向角的收敛速度与稳定性；
附图说明
[0090]
下面结合附图和具体实施方式对本发明进一步详细的说明：
[0091]
图1是本发明实施例蛇形机器人连杆实际运动模型示意图；
[0092]
图2是本发明实施例蛇形机器人连杆实际运动模型示意图；
[0093]
图3是本发明实施例控制器任务之间的关系示意图；
[0094]
图4是本发明实施例优化的los方法示意图；
[0095]
图5是本发明实施例自适应路径跟随控制器流程示意图；
[0096]
图6是本发明实施例蛇形机器人在不同控制下的运动轨迹示意图；
[0097]
图7是本发明实施例蛇形机器人的切向位置误差示意图；
[0098]
图8是本发明实施例蛇形机器人的法向位置误差示意图；
[0099]
图9是本发明实施例蛇形机器人的运动速度示意图；
[0100]
图10是本发明实施例蛇形机器人的控制输入示意图；
[0101]
图11是本发明实施例蛇形机器人的运动方向角误差示意图；
[0102]
图12是本发明实施例蛇形机器人运动方向角速度误差示意图；
[0103]
图13是本发明实施例蛇形机器人的关节角误差示意图；
[0104]
图14是本发明实施例蛇形机器人的关节角速度误差示意图。
具体实施方式
[0105]
为让本专利的特征和优点能更明显易懂，下文特举实施例，作详细说明如下：
[0106]
本实施例从多关节蛇形机器人的需求出发，结合多关节蛇形机器人的运动特点，设计一种基于跟踪误差和时变系数预测的蛇形机器人自适应路径跟随控制器：其基于多关节蛇形机器人运动学模型和步态关节的控制函数，根据蛇形机器人路径跟随过程中的动态控制任务和姿态控制任务，所述动态控制任务用于使蛇形机器人的运动位置误差收敛；所述姿态控制任务用于使机器人的运动方向角误差和关节方向角误差收敛；基于蛇形机器人的运动位置误差的预测值、侧滑角的时变量预测值、干扰变量的预测值分量，通过改进的los方法，得到蛇形机器人的期望运动方向角，进行多关节蛇形机器人的步态控制；根据多
关节蛇形机器人运动方向角速度的虚拟辅助函数和蛇形机器人的关节角补偿函数，基于参数预测值的更新律，实现多关节蛇形机器人的运动方向角误差、关节角误差、预测值误差渐进稳定。
[0107]
以下结合其设计和验证过程进行进一步的解释和阐述：
[0108]
步骤一：蛇形机器人由n个连杆组成，连杆之间由n
‑
1个关节连接；机器人每个连杆的质量为m，连杆的长度为2h；机器人在运动过程中的连杆模型，如图1所示；蛇形机器人第i＝1,
…
,n连杆的转动角度为θ
i
，连杆角的向量为蛇形机器人第i＝1,
…
,n连杆的转动角速度为连杆角速度的向量为蛇形机器人第i＝1,
…
,n
‑
1关节的转动角度为φ
i
，关节角的向量为蛇形机器人第i＝1,
…
,n
‑
1关节的转动角速度为关节角速度的向量为蛇形机器人的质心在惯性坐标系中的运动位置为p＝[p
x
,p
y
]
t
；蛇形机器人在运动过程中受到的切向干扰速度和法向干扰分别为u
x
和u
y
；考虑机器人的切向摩擦力和法向摩擦力，蛇形机器人的质心在惯性坐标系中的切向和法向运动速度分别为v
t
和v
n
；对蛇形机器人的运动模型进行简化，得到机器人简化的连杆模型，如图2所示；在简化模型中，使用两套独立的坐标系；分别是惯性坐标系和机器人坐标系；蛇形机器人质心的运动方向角为机器人所有连杆的运动方向角的加权平均值，即机器人的运动方向角也作为惯性坐标系和机器人坐标系之间的夹角；同时，在简化模型中，假设蛇形机器人各连杆的运动方向与机器人坐标系对齐；蛇形机器人相邻连杆之间的位移作为机器人的关节角；设置累加矩阵为和差分矩阵为辅助矩阵为和系统的关节力矩控制输入量为蛇形机器人简化的连杆力学模型被得到：
[0109]
[0110]
其中，切向和法向摩擦系数分别为λ1＞0和λ2＞0，摩擦系数的大小受地理环境影响；设置机器人关节旋转速度到旋转加速度的映射比例为μ1＞0；设置机器人关节角度均值和切向速度到旋转加速度的映射比例为μ2＞0。
[0111]
根据蛇形机器人的蜿蜒运动步态，得到机器人第i关节的控制函数；
[0112][0113]
其中，a为蛇形机器人的摆动幅值增益；ω为摆动频率；φ0为关节角偏移量；δ为关节之间的相移；其中，摆动频率用来对机器人的运动速度补偿；关节角偏移量用来对机器人的运动方向补偿。
[0114]
步骤二：制定蛇形机器人路径跟随过程中的两项控制任务，分别是动态控制任务和姿态控制任务；完成动态控制任务可以使蛇形机器人的运动位置误差收敛；完成姿态控制任务可以使机器人的运动方向角误差和关节方向角误差收敛；
[0115]
动态控制任务：蛇形机器人在惯性坐标系下的位置为(p
x
,p
y
)，设置机器人的期望路径位置为(x
d
,y
d
)；目的是实现蛇形机器人的运动位置误差p
x
‑
x
d
和p
y
‑
y
d
一致最终有界，即满足；
[0116]
and
[0117]
其中，ε1和ε2为任一小的值。
[0118]
姿态控制任务
‑
运动方向角任务：蛇形机器人的实际运动方向角为θ，设置机器人理想的运动方向角为目的是使蛇形机器人的运动方向角误差收敛到0并稳定，即满足；
[0119][0120]
姿态控制任务
‑
关节角任务：蛇形机器人的实际关节角为φ，设置机器人理想的关节角为目的是使蛇形机器人的关节角误差收敛到0并稳定，即满足；
[0121][0122]
所制定的两项控制任务之间相互作用、相互联系；只有完成自适应路径跟随控制器的动态控制任务和姿态控制任务才能使蛇形机器人快速、准确的跟踪期望路径；两项控制任务之间的关系如图3所示。
[0123]
步骤三：根据步骤二制定的动态控制任务，设计多关节蛇形机器人的动态位置控制器，实现多关节蛇形机器人动态位置的渐进收敛；设置蛇形机器人的期望路径运动位置为(x
d
,y
d
)，期望路径的正切角为
[0124]
通过旋转矩阵，得到蛇形机器人在路径坐标系中的运动位置误差为；
[0125][0126]
对公式进行微分得到；
[0127][0128]
其中，为u的方向；沿着期望路径切线方向的虚拟速度为ψ
x
＝ucos(β2‑
α)和ψ
y
＝usin(β2‑
α)分别为干扰变量在x轴和y轴方向上的分量；蛇形机器人的运动速度为机器人在路径跟随过程中的侧滑角为如图4所示；其中，δ是前向距离。
[0129]
扰动变量和侧滑角是都是有界的，即和|β|≤β
*
；同时，扰动变量和侧滑角的运动速度缓慢且有界，即和和和c
β
＞0为正常数。
[0130]
由于蛇形机器人的侧滑角是微幅的，通常情况下|β|≤5
°
；因此cosβ＝1和sinβ＝β；蛇形机器人运动位置误差的另一种形式被得到；
[0131][0132]
为了消除蛇形机器人在路径跟随过程中的侧滑角，分别设计机器人的运动位置误差e
x
和e
y
的预测值为和设计干扰变量ψ
x
和ψ
y
的预测值为和设计侧滑角β的预测值为
[0133]
蛇形机器人的运动位置误差的预测误差分别是和干扰变量的预测误差分别是和侧滑角的预测误差为
[0134]
蛇形机器人的运动位置误差的预测值被设计为；
[0135][0136]
其中，k
x
＞0和k
y
＞0分别为正常数增益。
[0137]
蛇形机器人的运动位置误差的预测误差被得到；
[0138][0139]
干扰变量在x轴和y轴方向上的时变量预测值分量被设计为和
[0140]
其中，r1＞0和r2＞0分别为正常数增益。
[0141]
蛇形机器人的侧滑角的时变量预测值被设计为；
[0142][0143]
其中，η4＞0为正常数增益；
[0144]
为了消除蛇形机器人在运动过程中出现的侧滑现象，los方法被优化；机器人的运动方向角的理想值被设计为；
[0145][0146]
其中，ε
e
为虚拟控制输入；δ为前向距离；为蛇形机器人的运动方向角误差。
[0147]
蛇形机器人的运动方向角误差被设计为；
[0148][0149]
当蛇形机器人的运动方向角误差实现稳定时，可以得到或换句话说，蛇形机器人的实际运动方向角θ跟踪到理想值
[0150][0151][0152][0153]
设计e
x
的虚拟控制速度u
d
为；
[0154][0155]
其中，k
e
＞0为正常数增益。
[0156]
运动位置误差的预测值的另一种形式被得到；
[0157][0158]
虚拟控制输入ε
e
被设计；
[0159][0160]
步骤四：根据步骤二制定的姿态控制任务，设计多关节蛇形机器人的姿态控制器，
实现多关节蛇形机器人运动方向角误差和关节角误差的渐进收敛；蛇形机器人的运动方向角误差和运动方向角速度误差被设计；
[0161][0162][0163]
不防设辅助函数为；
[0164][0165]
其中，为k
θ
的预测值，且k
θ
＞0为正常数增益。
[0166]
蛇形机器人的关节角补偿函数被设计为；
[0167][0168]
其中，为的预测值，为的预测值；k
v,θ
＞0为正常数增益；预测值被设计为和
[0169]
蛇形机器人的关节角误差和关节角速度误差被设计为；
[0170][0171]
关节角误差和关节角速度误差的微分被得到；
[0172][0173]
辅助函数设置为；
[0174][0175]
其中，为k
φ
的预测值，目的是为了抑制中的未知有界函数同时k
φ
＞0为正常数增益。
[0176]
利用自适应控制理论，系统的输入u被设置；
[0177][0178]
其中，和分别为λ1和λ2的预测值；反馈输入
‑
输出控制器
[0179]
设计预测值为和其中，η8＞0，η9＞0和
η
10
＞0为正常数增益。
[0180]
步骤五：lyapunov候选函数被设计为：
[0181][0182]
其中，η1＞0，η2＞0和η3＞0分别为正常数增益。
[0183][0184]
扰动变量ψ
x
和ψ
y
是有界的，蛇形机器人的侧滑角β是有界的；根据柯西不等式可以得到：
[0185][0186][0187][0188][0189][0190][0191]
的另一种形式被得到：
[0192][0193]
其中，有c1为常数；因此，e
x
和e
y
均是一致最终有界系统。
[0194]
lyapunov候选函数被设计：
[0195][0196][0197]
根据柯西不等式：
[0198][0199][0200]
由于e
x
和e
y
为一致最终有界系统；因此，存在|e
x
|≤e
x，max
和|e
y
|≤e
y，max
。
[0201]
的另一种形式被得到：
[0202][0203][0204]
其中，r1η1＞1，r2η2＞1，η3η4＞1，2k
e
＞k
x
＞0和因此，得到：
[0205][0206][0207]
因此，蛇形机器人的动态控制系统为一致最终有界系统。不防令那么很明显，可以采取降低c或者提高τ的方式来降低||f||；同时，只要改变前向距离δ、参数η1、参数η2、参数η3、参数
η4、参数r1、参数r2、参数k
e
、参数k
x
和参数k
y
的值，就可以使减小到任意值；从收敛性的角度来说，通过调整参数，蛇形机器人的位置跟踪误差可以收敛到任意小的期望数值。
[0208]
蛇形机器人的姿态lyapunov候选函数设计为；
[0209][0210][0211]
其中，η5＞0，η6＞0和η7＞0为正常数增益。
[0212]
将预测值的更新律代入，的另一种形式被得到；
[0213][0214]
存在不等式：
[0215][0216]
蛇形机器人的关节角误差设计为；
[0217][0218][0219]
不等式满足
[0220][0221]
和
[0222][0223]
的另一种形式被得到；
[0224][0225]
lyapunov候选函数设计为；
[0226]
[0227][0228]
lyapunov候选函数设计为；
[0229][0230][0231]
的另一种形式被得到；
[0232][0233]
lyapunov函数为l＝l2 l3设计为：
[0234][0235]
不妨设存在不等式；
[0236][0237]
的另一种形式被得到：
[0238][0239]
只要满足k
v,θ
＞1，则可以使为半负定的；同时，l≥0是正定的，所以l是正的且有界的；设计所以，式(63)的另一种形式为对该式两边积分可以得到因为l是正的且有界的，所以是正的且有界的，这说明极限是存在的；根据barbalat引理，可以得到所以存在和换句话说，蛇形机器人的姿态控制任务的稳定性被实现；
[0240]
步骤六：本实施例通过matlab对基于跟踪误差和时变系数预测的蛇形机器人自适应路径跟随控制器进行仿真实验；蛇形机器人在不同控制下的运动轨迹如图6所示，蛇形机器人的切向位置误差如图7所示，蛇形机器人的法向位置误差如图8所示，蛇形机器人的运动速度如图9所示，蛇形机器人的控制输入如图10所示，蛇形机器人的运动方向角误差如图11所示，蛇形机器人的运动方向角速度误差如图12所示，蛇形机器人的关节角误差如图13所示，蛇形机器人的关节角速度误差如图14所示；根据仿真结果可以发现，所提出的基于跟踪误差和时变系数预测的蛇形机器人自适应路径跟随控制器有效的提高了蛇形机器人的路径跟随效率，加快了跟踪误差的收敛速度，而且减小了误差的波动峰值，增加了系统的稳定性，该结果与预期结果一致。
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本专利不局限于上述最佳实施方式，任何人在本专利的启示下都可以得出其它各种形式的基于跟踪误差和时变系数预测的蛇形机器人自适应路径跟随控制器及其设计方法，凡依本发明申请专利范围所做的均等变化与修饰，皆应属本专利的涵盖范围。