时空扩散影响下海洋浮游生态系统的混合控制策略的制作方法

1.本发明属于控制器技术领域，具体的说是涉及一种时空扩散影响下海洋浮游生态系统的混合控制策略。


背景技术：

2.近年来，为了更好地了解海洋生态系统和生物的能量循环，建立了一些生态系统模型作为重要的分析方法。无论在海洋生态系统中还是湖泊生态系统中浮游生物都起着至关重要的作用。浮游生物分布广泛，繁殖能力强，已成为水体中其他生物繁殖的基础和未来世界的主要食物来源。浮游生物的种类和数量随时间(主要是季节分布)和空间(水平分布和垂直分布)而变化,基于反应扩散方程可以更准确地描述捕食者和被捕食者之间的相互作用，但目前仅有少数文献将物种迁移和扩散现象引入海洋浮游生态系统的动力学建模。
3.综合控制是提高动力学系统的常用方法，基于整数阶微分方程理论以及分数阶微分方程理论的发展，对于复杂系统的控制研究已经获得了学者们的广泛关注，目前已提出了状态反馈法、参数调节法、时滞反馈法、pid控制法等分岔控制方法，但对于含有扩散的偏微分方程鲜少有人研究，而且仅有的对扩散系统的分岔控制策略局限于时滞反馈控制器，但时滞反馈控制器存在设计难度较大、控制方式单一等问题。由于混合控制器不需要当前状态值，且控制器参数的可调域大，简便易行，因此在实际控制应用中常常被采用。


技术实现要素：

4.本发明所要解决的技术问题在于充实延伸了偏微分方程建模的研究领域，提供了一种混合控制方法，对时空扩散影响下海洋浮游生态系统的稳定性进行控制，并在控制器介入下讨论hopf分岔产生的可能性。
5.为了达到上述目的，本发明是通过以下技术方案实现的：
6.本发明是一种时空扩散影响下海洋浮游生态系统设计混合控制方法，包括以下步骤：
7.步骤1：建立扩散影响下由偏微分方程描述的无控海洋浮游生态系统：
[0008][0009]
其中p(t,x)和z(t,x)分别代表浮游植物和浮游动物在时间t和位置x的种群密度；
r1和r2分别表示浮游植物和浮游动物的内在生长率；δ是浮游植物的环境承载力；γ象征着浮游动物捕食浮游植物的能力；τ1和τ2分别表示浮游动物的发育延迟和浮游动物消化浮游植物的所需时间；mf(p)代表功能响应函数，并满足f(0)＝0，f
′
(x)＞0；δ代表r
n
上的拉普拉斯算子；d1和d2分别代表浮游植物和浮游动物的时空扩散系数。假设ω＝(0,lπ)(l＞0)是具有光滑边界的有界区域；υ是光滑边界的向外法向量。
[0010]
步骤2：令p(t,x)＝p(t
‑
τ2,x)，z(t,x)＝z(t,x)，τ＝τ1 τ2，平衡点处加入混合分岔控制器的表达式如下：
[0011][0012]
其中混合控制器参数α∈[
‑
1,1]表示控制器反馈增益参数，系统存在唯一正平衡点e
*
(p
*
,z
*
)，该平衡点满足z
*
＝γp
*
，r1(δ
‑
p
*
)＝δmγf(p
*
)。
[0013]
步骤3：对于受控模型在平衡点处进行线性化处理，得出被控系统的特征方程：
[0014]
det(λi
‑
m
k
‑
l1‑
l2e
‑
λτ
)＝0，
[0015]
其中
‑
k2(k∈n0)是δ的特征根，i是二阶单位矩阵
[0016]
以及
[0017][0018]
a
21
＝r2γ，
[0019]
a
22
＝
‑
r2，b
12
＝mf(p
*
)，m
k
＝
‑
k2d，
[0020]
则被控系统的特征方程为
[0021]
λ2 λ(k)λ θ(k) (1
‑
α)a
21
b
12
e
‑
λτ
＝0，
[0022]
其中
[0023]
λ(k)＝(d1 d2)k2‑
(1
‑
α)a
11
‑
α
‑
a
22
,
[0024]
θ(k)＝d1d2k4‑
[d1a
22
d2((1
‑
α)a
11
α)]k2 ((1
‑
α)a
11
α)a
22
。
[0025]
步骤4：选定系统分岔参数，对被控系统进行稳定性分析。
[0026]
选定系统的和时滞τ＝τ1 τ2作为系统分岔参数进行稳定性研究。当系统稳定时其特征方程的根具有负实部，因此需要找到临界稳定条件，特征方程出现纯虚根的情况。
[0027]
1、当系统无时滞(τ＝0)，特征方程可改写为：
[0028]
λ2 λ(k)λ θ(k) (1
‑
α)a
21
b
12
＝0
[0029]
讨论上述方程的特征根是否具有负实部。
[0030]
2、当系统有时滞(τ＞0)，讨论有时延的特征方程是否存在分岔点出现，如存在分岔点τ0,比较分岔点τ0和网络时延τ的大小判断系统是否稳定。
[0031]
本发明的有益效果是：
[0032]
1、本发明中所提出的时空扩散影响下海洋浮游生态系统能更好拟合实际生态竞争网络，所引入的反应扩散项对生态竞争网络动力学研究具有重要指导意义。
[0033]
2、本发明中所设计的混合分岔控制器具有较强的适用性，同样适用于其他的复杂动力学网络。
[0034]
3、本发明的控制器相较其他控制器，建模时无需系统当前状态值，控制参数可调域大，实际操作简便易行，控制效果显著。
附图说明
[0035]
图1为本发明的流程图。
[0036]
图2为无控模型(11)的d1＝0,d2＝0,τ＝0时，系统稳定的波形图。
[0037]
图3为无控模型(11)的d1＝0,d2＝0,τ＝0时，系统稳定的相位图。
[0038]
图4为无控模型(12)的d1＝0.05,d2＝0.4,τ＝2.6的情况下，系统稳定的时空波形图。
[0039]
图5为无控模型(12)的d1＝0.05,d2＝0.4,τ＝2.6的情况下，系统稳定的时空波形图。
[0040]
图6为无控模型(12)的d1＝0.05,d2＝0.4,τ＝2.8的情况下，系统不稳定的时空波形。
[0041]
图7为无控模型(12)的d1＝0.05,d2＝0.4,τ＝2.8的情况下，系统不稳定的时空波形。
[0042]
图8为在模型(13)控制器参数d1＝0.05,d2＝0.4,τ＝2.8,α＝0.2的情况下，被控模型稳定的时空波形图。
[0043]
图9为在模型(13)控制器参数d1＝0.05,d2＝0.4,τ＝2.8,α＝0.2的情况下，被控模型稳定的时空波形图。
具体实施方式
[0044]
以下将以图式揭露本发明的实施方式，为明确说明起见，许多实务上的细节将在以下叙述中一并说明。然而，应了解到，这些实务上的细节不应用以限制本发明。也就是说，在本发明的部分实施方式中，这些实务上的细节是非必要的。
[0045]
如图1所示，本发明是一种时空扩散影响下海洋浮游生态系统的混合控制策略，具体包括以下步骤：
[0046]
步骤1：对原始模型进行转化处理，并对其施加控制器。
[0047]
所述无控的海洋浮游生态系统的数学表达为：
[0048][0049]
其中p(t,x)和z(t,x)分别代表浮游植物和浮游动物在时间t和位置x的种群密度；r1和r2分别表示浮游植物和浮游动物的内在生长率；δ是浮游植物的环境承载力；γ象征着浮游动物捕食浮游植物的能力；τ1和τ2分别表示浮游动物的发育延迟和浮游动物消化浮游植物的所需时间；mf(p)代表功能响应函数，并满足f(0)＝0,δ代表r
n
上的拉普拉斯算子；d1和d2分别代表浮游植物和浮游动物的时空扩散系数。假设ω＝(0,lπ)(l＞0)是具有光滑边界的有界区域；υ是光滑边界的向外法向量。
[0050]
令p(t,x)＝p(t
‑
τ2,x),z(t,x)＝z(t,x),τ＝τ1 τ2，并对浮游植物施加所设计的混合分岔控制器：
[0051][0052]
其中混合控制器参数α∈[
‑
1,1]，故所得如下被控模型
[0053][0054]
其中混合控制器参数α∈[
‑
1,1]表示控制器反馈增益参数，系统存在唯一正平衡点e
*
(p
*
,z
*
)，该平衡点满足z
*
＝γp
*
,r1(δ
‑
p
*
)＝δmγf(p
*
)。
[0055]
步骤2：对于上述的模型在平衡点处进行线性化处理，得出被控系统的特征方程。
[0056]
令并去除
“‑”
，则系统(2)的线性化模型为：
[0057][0058]
其中
[0059][0060]
以及
[0061]
a
21
＝r2γ,a
22
＝
‑
r2,b
12
＝mf(p
*
)。
[0062]
‑
k2是δ的特征根,其中，k∈n0得出被控系统(2)的特征方程为：
[0063]
det(λi
‑
m
k
‑
l1‑
l2e
‑
λτ
)＝0
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(4)
[0064]
即
[0065]
λ2 λ(k)λ θ(k) k1a
21
b
12
e
‑
λτ
＝0
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(5)
[0066]
其中
[0067]
λ(k)＝(d1 d2)k2‑
(1
‑
α)a
11
‑
α
‑
a
22
,
[0068]
θ(k)＝d1d2k4‑
[d1a
22
d2((1
‑
α)a
11
α)]k2 ((1
‑
α)a
11
α)a
22
。
[0069]
步骤3：选定系统分岔参数，对被控系统进行稳定性分析。
[0070]
1.当系统无时滞(τ＝0)，特征方程(5)可改写为：
[0071]
λ2 λ(k)λ θ(k) (1
‑
α)a
21
b
12
＝0
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(6)
[0072]
讨论上述方程的特征根是否具有负实部。
[0073]
上述方程的根具有负实部的充要条件为如下的routh
‑
hurwitz判据满足。
[0074]
λ(k)＞0,θ(k) (1
‑
α)a
21
b
12
＞0。
ꢀꢀ
(7)
[0075]
因此可得结论一：
[0076]
a.当控制器参数满足上述这个不等式时，无时滞情况下的系统是稳定的。
[0077]
2.当系统有时滞(τ＞0)，将λ＝iω带入特征方程(5)中，分离实部虚部可得：
[0078]
(1
‑
α)a
21
b
12 cos(ωτ)＝ω2‑
d1d2k4‑
((1
‑
α)a
11
α)a
22
[d1a
22
d2((1
‑
α)a
11
α)]k2,
[0079]
(1
‑
α)a
21
b
12 sin(ωτ)＝ω[(d1 d2)k2‑
(1
‑
α)a
11
‑
α
‑
a
22
]。
[0080]
上式平方相加可得：
[0081]
ω4 c1ω2 c2＝0,
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(8)
[0082]
其中
[0083]
c1＝[(d1 d2)k2‑
(1
‑
α)a
11
‑
α
‑
a
22
]2‑
2d1d2k4 2[d1a
22
d2((1
‑
α)a
11
α)]k2‑
2((1
‑
α)a
11
α)a
22
,
[0084]
c2＝{d1d2k4‑
[d1a
22
d2((1
‑
α)a
11
α)]k2 ((1
‑
α)a
11
α)a
22
}2‑
((1
‑
α)a
21
b
12
)2。
[0085]
此时令
[0086]
h(ω)＝ω4 c1ω2 c2ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(9)
[0087]
当c2＜0，上述方程至少有一个正根ω0，对应可解出此时的时滞
[0088][0089]
其中
[0090]
ι＝ω
02
‑
d1d2k4 [d1a
22
d2((1
‑
α)a
11
α)]k2‑
((1
‑
α)a
11
α)a
22
,
[0091]
κ＝(1
‑
α)a
21
b
12
。
[0092]
分岔点是系统从稳定到不稳定的一个临界点，那么对应的特征方程的根要从该点处穿越虚轴到达虚轴的右半平面，因此在该点特征根对于分岔参数τ的导数在τ0处的实部是大于零的，那么特征根才能从复平面的左半平面穿越到右半平面。
[0093]
对于特征方程(5)两边对于τ求导得出
[0094][0095]
进一步可得导数的实部为：
[0096]
其中
[0097][0098]
其中
[0099]
ω1＝2ω0cosω0τ0 [(d1 d2)k2‑
(1
‑
α)a
11
‑
α
‑
a
22
]sinω0τ0,
[0100]
ω2＝ω0(1
‑
α)a
21
b
12
。
[0101]
如果满足可以看出在τ0处满足穿越条件，因此，τ0是原被控系统的分岔点。可以得出以下结论二：
[0102]
b.当时滞选取满足τ∈[0,τ0)，受控系统在平衡点e(p
*
,z
*
)处局部渐近稳定；
[0103]
c.当时滞满足τ＝τ0时，系统在平衡点e(p
*
,z
*
)周围产生hopf分岔现象，当τ穿越τ0时，系统产生一组周期解。
[0104]
下面运用实例对本发明作进一步说明。本发明运用matlab仿真实例来验证。
[0105]
第一步：选取无控无扩散的海洋浮游生态系统模型。具体数学表达如下：
[0106][0107]
如图2，3所示，当选取泄漏时滞为τ＝τ1 τ2＝0时，模型(11)在平衡点处渐近稳定。
[0108]
第二步：选取无控海洋浮游生态系统模型。具体数学表达如下：
[0109][0110]
由计算程序可得出，模型(12)的分岔点为τ0＝2.6727。
[0111]
如图4，5所示，当选取泄漏时滞为τ＝2.6＜τ0时，无控模型(12)在平衡点处渐近稳定。
[0112]
如图6，7所示，当选取泄漏时滞为τ＝2.8＞τ0时，无控模型(12)失去稳定性，产生震荡，且在平衡点周围出现hopf分岔现象。
[0113]
第三步：对时空影响下的海洋浮游生态系统加入混合控制器，控制器参数α＝0.2。
受控系统的具体数学表达如下：
[0114][0115]
由计算程序可得出，无控系统的分岔点为τ0＝2.6727。
[0116]
如图8，9所示，当选取泄漏时滞为τ＝2.8＞τ0时，系统在平衡点处渐近稳定。
[0117]
本发明的控制器相较其他控制器，建模时无需系统当前状态值，控制参数可调域大，实际操作简便易行，控制效果显著。
[0118]
以上所述仅为本发明的实施方式而已，并不用于限制本发明。对于本领域技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原理的内所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包括在本发明的权利要求范围之内。