一种摇篮式五轴机床双旋转轴位置无关误差的辨识方法与流程

1.本发明属于数控机床检测技术领域，特别涉及一种关于任意转轴位置结构的摇篮式五轴机床双旋转轴位置无关几何误差的辨识方法。
技术背景
2.相较于三轴机床，五轴机床通过转动旋转轴可以调整刀具与加工平面间的相对方向，使其具有更好的灵活性和更高的效率。摇篮式五轴机床是小型复杂曲面零件加工中应用最为广泛的机床类型，其根据双旋转轴线位置的不同可分为相交结构和非相交结构。相交共面结构作为非相交结构的特殊情况，是众多研究和实验方法的研究对象，然而这些方法大多并不适用于双旋转轴轴线非相交结构。
3.针对机床位置无关几何误差的辨识主要分为机床建模和误差测量两部分。现有的建模方法理论有齐次变换矩阵、旋量理论和指数积公式等，但以上方法中在运动学模型建立过程中仍局限于误差矩阵间的相乘，一定程度上导致计算的效率较低。误差测量方面使用的仪器包括激光干涉仪、激光跟踪仪、球杆仪和r-test等仪器。其中球杆仪由于便携性、结构简单、使用方便等优点，被广泛应用于误差测量。但是由于球杆仪的测量原理限制，在多轴同步运动过程中会存在球杆仪合成运动与球杆仪采样频率不同步的问题，很少有一种通用且简便的测量方法适用于任意旋转轴线位置的摇篮式五轴机床双旋转轴位置无关几何误差的测量。


技术实现要素：

4.为解决上述问题，本发明的目的在于提出了一种关于任意旋转轴线位置结构的摇篮式五轴机床双旋转轴位置无关几何误差的辨识方法，通过基于单位对偶四元数建立全局坐标系下的五轴机床运动学误差模型，并结合球杆仪提出适用于任意旋转轴线位置结构的摇篮式五轴机床的双旋转轴同步协调运动轨迹，以更为简洁、快捷准确地辨识a轴和c轴的位置无关几何误差。具体方法步骤如下：
5.步骤1、基于单位对偶四元数变换原理对旋转轴位置无关几何误差进行重新定义表征，并建立五轴机床理想和实际的运动学模型。
6.步骤2、根据摇篮式五轴机床双旋转轴间的位置偏移并结合理想的运动学模型设计旋转轴a轴和c轴的同步协调运动轨迹。
7.步骤3、建立轨迹均分算法解决双旋转轴a轴和c轴同步协调运动过程中合运动与球杆仪采样频率间的不同步问题。
8.步骤4、简化实际的运动学误差模型，结合最小二乘算法进行双旋转轴位置无关几何误差的解耦。
9.步骤1中根据单位对偶四元数变换原理重新定义了摇篮式五轴机床双旋转轴的位置无关几何误差，并基于此建立了五轴机床理想和实际的运动学模型，包括步骤：
10.步骤1.1、基于单位对偶四元数，给出其旋量运动的指数表示形式：
[0011][0012]
其中对偶角度和对偶向量分别表示旋量运动的运动过程和所绕螺旋轴的位姿，θ表示绕螺旋轴的旋转角度，d表示沿螺旋轴的位移距离，n表示螺旋轴的单位方向向量，m＝p
×
n表示螺旋轴的矩，p是螺旋轴上任意一点。
[0013]
步骤1.2、根据泰勒展开式将等式(1)展开为
[0014][0015]
步骤1.3、根据五轴机床的运动轴类型，由式(2)分别给出线性轴和旋转轴运动的单位对偶四元数表征形式：
[0016][0017]
步骤1.4、基于式(3)，将梧州机床旋转轴的名义的和实际的运动轴线间的位置无关几何误差变换如图2所示。以旋转轴c轴为例，其理想轴线在基坐标系b下通过式(1)中的对偶向量(也被称为pl
ü
cker line)表示为
[0018][0019]
步骤1.5、对应得到轴线与基坐标系的xoy平面上的交点坐标为
[0020][0021]
步骤1.6、将名义轴线和实际轴线间的位置无关几何误差被转化一个为绕位于 xoy平面pl
ü
cker line的微量角度的旋转变换
[0022][0023]
以及一个xoy平面上的微量位移变换
[0024][0025]
其中表示微量位移向量。
[0026]
步骤1.7、基于最小角理论，由于角度参数非常小，式(6)简化为
[0027][0028]
其中表示微量旋转向量。
[0029]
步骤1.8、名义和实际轴线间的变换过程总结表示为
[0030][0031]
其中形如表示单位对偶四元数的乘法运算，是其伴随表示形式。
[0032]
以旋转c轴为例的位置无关几何误差参数可以表征为
[0033][0034]
步骤1.9、基于如图3所示的五轴机床结构式意图和机床运动链示意图，将机床的基坐标系b设置与c轴旋转轴中心重合，各个运动轴在基坐标系下初始的pl
ü
cker line位姿分别为
[0035][0035][0035][0035][0035][0036]
其中y
ab
和z
ab
分别表示a轴在基坐标系下y和z方向的位置偏移。
[0037]
步骤1.10、基于单位对偶数的乘法运算及其误差表征，建立工件在基坐标系下的名义运动学模型为
[0038][0039]
其中其中分别表示刀具链中第i个运动轴在基础坐标系b中运动驱动量和pl
ü
cker线位姿表征，表示刀具在基坐标系下的位置单位对偶四元数。
[0040]
步骤1.11、建立刀具在基坐标系下的名义运动学模型为
[0041][0042]
其中其中分别表示工件链中第j个运动轴在基础坐标系b中运动驱动
量和pl
ü
cker线位姿表征，表示工件在基坐标系下的位置单位对偶四元数。
[0043]
步骤1.12、建立工件在刀具坐标系下名义下的运动学模型表示为
[0044][0045]
步骤1.13、结合旋转轴位置无关几何误差定义，建立五轴机床实际的运动学误差模型为
[0046][0047]
步骤2、针对双旋转轴线位置不相交的摇篮式五轴机床，结合理想的运动学模型设计了通用的a、c旋转轴的球杆仪同步协调运动轨迹。球杆仪两端分别吸附在主轴和工作台上，具体步骤如下：
[0048]
步骤2.1、根据式(14)的名义运动学模型，在不考虑线性轴的运动情况下，刀具工具杯保持静止，得到名义的工件在刀具坐标系下的位置变化为
[0049][0050]
进而得到相对坐标表示为
[0051][0052]
其中s θc＝sin θc，c θc＝cos θc，s θa＝sin θa，c θa＝cos θa；t
wb
(0)＝[x
wb y
wb z
wb
]
t
和 t
tb
(0)＝[x
tb y
tb z
tb
]
t
分别表示工件工具杯和刀具工具杯在基坐标系下的位置向量。为了保证球杆仪在运动过程中不掉落，式(17)表示的相对坐标各方向分量需要满足
[0053][0054]
步骤2.2、考虑使用的dmu 85摇篮式五轴机床双旋转轴线间的位置偏移，为了简化实验安装和误差模型，使用长度为l
dbb
＝100mm的球杆仪进行实验，分别对球杆仪刀具杯和工具杯的位置进行以下设置：
[0055]
设置1：当a轴和c轴转角都为0
°
时，工件工具杯和刀具工具杯均位于基坐标系的 z＝0平面上，即z
wb
＝z
tb
＝0；
[0056]
设置2：将工件工具杯和刀具工具杯分别设置在基坐标系x轴和y轴上，即 t
wb
＝[x
wb 0 0]和t
tb
＝[0 y
tb 0]，两坐标还需要满足
[0057][0058]
进而简化式(17)为
[0059][0060]
步骤2.3、以δy
tb
＝10mm作为位置间隔，获得如图4所示的一系列轨迹曲线。其中以y
tb
＝0mm作为界限划分了a类和b类轨迹曲线。其中a类和b类轨迹分别是以a轴转角(-45
°
to 45
°
)、c轴转角(0
°
to-180
°
)为初始条件获取的。将式(20)带入式(18)，基于辅助角度公式，a类和b类轨迹对应的c轴和a轴转动角度可以得到表示为
[0061][0062][0063]
其中aa＝(y
tb-x
wb
sθc)z
ab
，，ac＝y
ab
x
wb
(cθ
a-1) z
ab
x
wb
sθ
a-x
wbytb
cθa，
[0064]
a类轨迹和b类轨迹中的a轴和c轴转角如图5(a)和(b)所示，在图5(c)和(d)中分别给出了两类轨迹对应的c轴和a轴的转角跨度。b类轨迹以θc＝0
°
和θc＝-180
°
为分界线被分成了两段轨迹。当工件工具杯安装在y轴负方向上时，a轴顺时针旋转角度过大会导致dbb 掉落，因此b类轨迹上半段轨迹被舍去。为了可以更加有效和精准地进行数据测量，球杆仪运行轨迹所涉及的运动轴运动范围应该更加广泛，综合图5(c)和(d)，选取y
tb
＝-70mm处ac 联动轨迹进行球杆仪实验。
[0065]
步骤3、建立轨迹均分算法，通过直接均分运动轨迹以解决双旋转轴a轴和c轴同步协调运动过程中球杆仪合运动与采样频率间的不同步问题，具体步骤如下：
[0066]
步骤3.1、基于式(20)-(22)，建立只含有参数θc的b类轨迹参数方程为
[0067][0068]
步骤3.2、基于式(23)，实验轨迹的总长通过积分表示为
[0069][0070]
步骤3.3、旋转角度相对于球体半径较小时，转过的弧长可近似为弧长两端i和i-1之间线段的长度，表示为
[0071][0072]
步骤3.4、均分整条轨迹长度为n段，得到每段长度为
[0073][0074]
步骤3.5、将式(23)带入式(26)，可以得到仅包含c轴转角θc的方程为
[0075]
[0076]
步骤3.6、基于matlab中的solve函数，通过如图6所示迭代算法对式(27)中的未知数进行解算，以获得均分轨迹后所对应的一系列点坐标p＝{p0，p1，...pn}和c轴转角θc＝{θ
c0
，θ
c1
，...θ
cn
}。
[0077]
图6中c轴转角从-180
°‑0°
，即θ0＝-180
°
，通过式(23)可以得到对应的p0。通过将θc带入式(22)中得到对应的a轴转角θa＝{θ
a0
，θ
a1
，...θ
an
}。图7所示为均分后的球杆仪运动轨迹，图8为在dmu 85 ac五轴机床使用球杆仪进行的a、c轴同步轨迹实验示意图。
[0078]
步骤4、简化实际的运动学误差模型，结合最小二乘算法进行位置无关几何误差的解耦，具体步骤如下：
[0079]
步骤4.1、根据式(15)，给出刀具在工件坐标系下的实际运动学模型：
[0080][0081]
步骤4.2、通过省略二次项和高阶项的方式对式(47)所得结果进行简化为
[0082][0083]
步骤4.3、建立实验中球杆仪的实际长度和相对运动坐标向量间的关系为
[0084][0085]
步骤4.4、对式(30)进行整理并简化表示形如
[0086]
rexe＝y
ꢀꢀꢀꢀ
(31)
[0087]
其中和分别表示所定义的位置无关几何误差参数和系数矩阵，是式(30)简化所得到的常数项。
[0088]
步骤4.5、基于最小二乘法对式(31)进行误差解耦得到位置无关几何误差表示为
[0089]
附图说明
[0090]
图1为qc20-w球杆仪测量设备
[0091]
图2为以c轴为例的旋转轴的误差变换示意图
[0092]
图3为五轴机床结构示意图和机床运动链示意图
[0093]
图4为工件工具杯相对刀具工具杯形成的一系列球形轨迹线
[0094]
图5为a类和b类轨迹中对应的a轴和c轴的角度变化示意图
[0095]
图6为实验轨迹均分数据迭代算法流程图
[0096]
图7为均分后的球杆仪运动轨迹均匀分布示意图
[0097]
图8为a轴和c轴同步轨迹实验示意图
具体实施方式
[0098]
下面结合实验测量方法和附图叙述本发明的具体实施方式。
[0099]
附图1为本实验涉及到的qc20-w球杆仪测量设备。
[0100]
步骤1中根据单位对偶四元数变换原理重新定义了摇篮式五轴机床双旋转轴的位置无关几何误差，并基于此建立了五轴机床理想和实际的运动学模型，包括步骤：
[0101]
步骤1.1、基于单位对偶四元数，给出其旋量运动的指数表示形式：
[0102][0103]
其中对偶角度和对偶向量分别表示旋量运动的运动过程和所绕螺旋轴的位姿，θ表示绕螺旋轴的旋转角度，d表示沿螺旋轴的位移距离，n表示螺旋轴的单位方向向量，m＝p
×
n表示螺旋轴的矩，p是螺旋轴上任意一点。
[0104]
步骤1.2、根据泰勒展开式将等式(1)展开为
[0105][0106]
步骤1.3、根据五轴机床的运动轴类型，由式(2)分别给出线性轴和旋转轴运动的单位对偶四元数表征形式：
[0107][0108]
步骤1.4、基于式(3)，将梧州机床旋转轴的名义的和实际的运动轴线间的位置无关几何误差变换如图2所示。以旋转轴c轴为例，其理想轴线在基坐标系b下通过式(1)中的对偶向量(也被称为pl
ü
cker line)表示为
[0109][0110]
步骤1.5、对应得到轴线与基坐标系的xoy平面上的交点坐标为
[0111][0112]
步骤1.6、将名义轴线和实际轴线间的位置无关几何误差被转化一个为绕位于 xoy平面pl
ü
cker line的微量角度的旋转变换
[0113][0114]
以及一个xoy平面上的微量位移变换
[0115][0116]
其中表示微量位移向量。
[0117]
步骤1.7、基于最小角理论，由于角度参数非常小，式(6)简化为
[0118][0119]
其中表示微量旋转向量。
[0120]
步骤1.8、名义和实际轴线间的变换过程总结表示为
[0121][0122]
其中形如表示单位对偶四元数的乘法运算，是其伴随表示形式。
[0123]
以旋转c轴为例的位置无关几何误差参数可以表征为
[0124][0125]
对应旋转c轴的位置无关几何误差参数表征，给出a轴和b轴的误差定义如表1所示。
[0126]
表1 旋转轴位置无关几何误差表示
[0127]
步骤1.9、基于如图3所示的五轴机床结构式意图和机床运动链示意图，将机床的基坐标系b设置与c轴旋转轴中心重合，各个运动轴在基坐标系下初始的pl
ü
cker line位姿分别为
[0128][0128][0128][0128][0128][0129]
其中y
ab
和z
ab
分别表示a轴在基坐标系下y和z方向的偏移。
[0130]
步骤1.10、基于单位对偶数的乘法运算及其误差表征，建立工件在基坐标系下的名义运动学模型为
[0131][0132]
其中其中分别表示刀具链中第i个运动轴在基础坐标系b中运动驱动量和pl
ü
cker线位姿表征，表示刀具在基坐标系下的位置单位对偶四元数。
[0133]
步骤1.11、建立刀具在基坐标系下的名义运动学模型为
[0134][0135]
其中其中分别表示工件链中第j个运动轴在基础坐标系b中运动驱动量和pl
ü
cker线位姿表征，表示工件在基坐标系下的位置单位对偶四元数。
[0136]
步骤1.12、建立工件在刀具坐标系下名义下的运动学模型表示为
[0137][0138]
步骤1.13、结合旋转轴位置无关几何误差定义，建立五轴机床实际的运动学误差模型为
[0139][0140]
步骤2、针对双旋转轴线位置不相交的摇篮式五轴机床，结合理想的运动学模型设计了通用的a和c旋转轴的球杆仪同步协调运动轨迹。球杆仪两端分别吸附在主轴和工作台上，具体步骤如下：
[0141]
步骤2.1、根据式(14)的名义运动学模型，在不考虑线性轴的运动情况下，刀具工具杯保持静止，得到名义的工件在刀具坐标系下的位置变化为
[0142][0143]
进而得到相对坐标表示为
[0144][0145]
其中s θc＝sin θc，c θc＝cos θc，s θa＝sin θa，c θa＝cos θa；t
wb
(0)＝[x
wb y
wb z
wb
]
t
和 t
tb
(0)＝[x
tb y
tb z
tb
]
t
分别表示工件工具杯和刀具工具杯在基坐标系下的位置向量。为了保证球杆仪在运动过程中不掉落，式(17)表示的相对坐标各方向分量需要满足
[0146][0147]
步骤2.2、考虑使用的dmu 85摇篮式五轴机床双旋转轴线间的位置偏移，为了简化实验安装和误差模型，使用长度为l
dbb
＝100mm的球杆仪进行实验，分别对球杆仪刀具杯和工具杯的位置进行以下设置：
[0148]
设置1：当a轴和c轴转角都为0
°
时，工件工具杯和刀具工具杯均位于基坐标系的 z＝0平面上，即z
wb
＝z
tb
＝0；
[0149]
设置2：将工件工具杯和刀具工具杯分别设置在基坐标系x轴和y轴上，即 t
wb
＝[x
wb 0 0]和t
tb
＝[0 y
tb 0]，两坐标还需要满足
[0150][0151]
进而式(17)被简化为
[0152][0153]
步骤2.3、以δy
tb
＝10mm作为位置间隔，获得如图4所示的一系列轨迹曲线。其中以y
tb
＝0mm作为界限划分了a类和b类轨迹曲线。其中a类和b类轨迹分别是以a轴转角(-45
°
to 45
°
)、c轴转角(0
°
to-180
°
)为初始条件获取的。通过将式(20)带入式(18)，a类和b 类轨迹对应的c轴和a轴转动角度基于辅助角度公式可以得到表示为
[0154][0155][0156]
其中aa＝(y
tb-x
wb
sθc)z
ab
，，ac＝y
ab
x
wb
(cθ
a-1) z
ab
x
wb
sθ
a-x
wbytb
cθa，
[0157]
a类轨迹和b类轨迹中的a轴和c轴转角如图5(a)和(b)所示，在图5(c)和(d)中分别给出了两类轨迹对应的c轴和a轴的转角跨度。b类轨迹以θc＝0
°
和θc＝-180
°
为分界线被分成了两段轨迹。当工件工具杯安装在y轴负方向上时，a轴顺时针旋转角度过大会导致dbb 掉落，因此b类轨迹上半段轨迹被舍去。为了可以更加有效和精准地进行数据测量，球杆仪运行轨迹所涉及的运动轴运动范围应该更加广泛，综合图5(c)和(d)，选取y
tb
＝-70mm处ac 联动轨迹进行球杆仪实验。
[0158]
步骤3、建立轨迹均分算法，通过直接均分运动轨迹以解决双旋转轴a轴和c轴同步协调运动过程中球杆仪合运动与采样频率间的不同步问题，具体步骤如下：
[0159]
步骤3.1、基于式(20)-(22)，建立只含有参数θc的b类轨迹参数方程为
[0160][0161]
步骤3.2、基于式(23)，实验轨迹的总长通过积分表示为
[0162][0163]
步骤3.3、旋转角度相对于球体半径较小时，转过的弧长近似为弧长两端i和i-1之间线段的长度，表示为
[0164][0165]
步骤3.4、均分整条轨迹长度为n段，得到每段长度为
[0166][0167]
步骤3.5、将式(23)带入式(26)，可以得到仅包含c轴转角θc的方程为
[0168][0169]
步骤3.6、基于matlab中的solve函数，通过如图6所示迭代算法对式(27)中的未知数进行解算，以获得均分轨迹后所对应的一系列点坐标p＝{p0，p1，...pn}和c轴转角θc＝{θ
c0
，θ
c1
，...θ
cn
}。
[0170]
图6中c轴转角从-180
°‑0°
，即θ0＝-180
°
，通过式(23)可以得到对应的p0。通过将θc带入式(22)中得到对应的a轴转角θa＝{θ
a0
，θ
a1
，...θ
an
}。图7所示为均分后的球杆仪运动轨迹，图8为在dmu 85ac五轴机床使用球杆仪进行的a、c轴同步轨迹实验示意图。
[0171]
步骤4、简化实际的运动学误差模型，结合最小二乘算法进行位置无关几何误差的解耦，具体步骤如下：
[0172]
步骤4.1、根据式(15)，给出刀具在工件坐标系下的实际运动学模型：
[0173][0174]
步骤4.2、通过省略二次项和高阶项的方式对式(47)所得结果进行简化为
[0175][0176]
步骤4.3、建立实验中球杆仪的实际长度和相对运动坐标向量间的关系为
[0177][0178]
步骤4.4、对式(30)进行整理并简化表示形如
[0179]
rexe＝y
ꢀꢀꢀꢀ
(31)
[0180]
其中和分别表示所定义的位置无关几何误差参数和系数矩阵，是式(30)简化所得到的常数项。
[0181]
步骤4.5、基于最小二乘法对式(31)进行误差解耦得到位置无关几何误差表示为
[0182][0183]
辨识的a轴和c轴的位置无关几何误差如表2所示。
[0184]
表2 旋转轴位置无关几何误差表示。