具有丢包和多时滞的网络控制系统的最优控制研究方法与流程

1.本发明属于网络控制领域，具体涉及一种具有丢包和多时滞的网络控制系统的最优控制 研究方法。


背景技术：

2.网络控制系统(ncss)是一种反馈控制系统，该系统的控制环通过一个共享通信网络形 成闭合回路，且在通信网络中，系统信号(如参考输入、控制输入、设备输出等)可以在所 有的系统组件(如传感器、控制器、执行器等)中进行传输。与传统的控制系统相比，网络 控制系统具有布线少、成本低、系统灵活性高和可维护性强等特点，因此在工业控制、过程 控制、工程系统、航空航天系统、智能系统等实际应用中得到广泛的发展。
3.近年来出现了很多关于网络控制系统的热点问题，其中包括网络安全、容错网络控制系 统、分散和分布式网络控制系统、云网络控制系统等。在这些控制系统中经常出现丢包和网 络时滞的情形，这是由于节点故障或信息冲突以及信号采样或接收延迟所导致的。值得注意 的是，如果丢包和时滞超过了一定的期望值，装置或者设备可能会受到损坏，或者性能有所 下降。考虑到控制信号的传输经过一个不可靠的信道时，通过使用随机极大值原理，给出了 控制输入存在时滞时的最优控制器。针对具有量测丢包的网络控制系统，给出了最优估计器 的递推式和最优控制器的显示解。当系统输入不仅存在时滞，也存在从控制器到执行器之间 传输的数据丢包时，通过利用动态规划方法，给出了最优控制器的显式解。针对具有信息不 对称的网络控制系统，通过引入极大值原理，分别给出了有限时间和无限时间内的最优控制 问题可解的充分必要条件。
4.可以看出，以上的这些研究所讨论的问题都不够完善，对于带有乘性噪声的网络控制系 统，当有丢包和多时滞发生时，特别是系统中存在量测时滞时，很少有文章对此进行研究。 当系统中没有量测时滞时，最优估计器可以直接用量测数据进行设计，并且基于设计的估计 器可以求解最优控制器，分析稳定性问题。但是，上述研究成果有一个共同的缺陷，即没有 考虑系统中有量测时滞的情况，这使得所求得的控制器在实际中的应用有一定的局限性。本 文所讨论的问题如图1所示，当传感器的信号通过一个不可靠的信道进行传输时，会产生量 测丢包和量测时滞，而且在控制器到执行器的信号传输过程中存在输入时滞。由于量测时滞 的存在，量测数据{y
k
}不能直接用于估计器的设计。而且基于现有的估计器，最优输出反馈 控制器无法求解。换句话说，当系统中同时存在丢包和多时滞时，输出反馈控制和稳定性问 题将会变得更加的复杂。


技术实现要素：

5.针对现有技术中存在的上述技术问题，本发明提出了一种具有丢包和多时滞的网络控制 系统的最优控制研究方法，设计合理，克服了现有技术的不足，具有良好的效果。
6.为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：
7.具有丢包和多时滞的网络控制系统的最优控制研究方法，首先给出如下定义：符
号表 示n维欧氏空间；上标'表示矩阵的转置；实数矩阵m＞0表示矩阵m是正定的；实数矩阵m≥0 表示矩阵m是半正定的；表示指示函数，即当元素时，有否则有是由随机过程x所产生的自然滤波；e[
·
]是数学期望且是关于的条件期望；p(x)表 示当事件x发生时的概率；i表示单位矩阵；δ
kl
表示克罗内克函数，即当k＝l时有δ
kl
＝1，否 则有δ
kl
＝0；
[0008]
所述方法具体包括如下步骤：
[0009]
步骤1：利用带有时滞的量测数据{y
k
}设计出了最优估计器；
[0010]
步骤2：利用极大值原理，解出了最优控制器，并给出了有限时间范围内可解的充分必 要条件；且最优控制器的增益为耦合的黎卡提方程的解；
[0011]
步骤3：通过定义一个李雅普诺夫函数，得出系统在均方意义下是可镇定的，当且仅当 给定的耦合的黎卡提方程有唯一解。
[0012]
优选地，在步骤2中，具体设计如下：
[0013]
有限时间的情况
[0014]
问题描述
[0015]
考虑下面带有丢包、输入时滞和量测时滞的乘性噪声系统：
[0016][0017]
y
k
＝ω
k
x
k
‑
θ
，
ꢀꢀꢀ
(2)；
[0018]
其中，代表状态向量，代表控制器，代表其协方差为的标 量高斯白噪声；代表量测过程，ω
k
是服从概率为p(ω
k
＝1)＝p＝1
‑
q∈[0,1]的伯努利分布； a,b,是具有适当维数的常值矩阵，d和θ(>0)分别表示输入时滞和量测时滞；初始值x0表 示均值为μ，协方差为θ的高斯随机向量，初始控制器u
i
,i＝
‑
d,...,θ
‑
1的值是已知的，而且 {ω
k
}和x0彼此相互独立；
[0019]
系统(1)和(2)的性能指标定义为：
[0020][0021]
其中，常值矩阵分别是用来平衡状态向量和输入向量的权重矩阵， x
n 1
为终端状态向量，为有界的常数终端加权矩阵；
[0022]
对于具有丢包和多时滞的乘性噪声系统，控制器u
k
只允许访问量测过程{y
θ
,...,y
k
}，也 就是说，u
k
是可量测的；为了方便起见，将表示为同时，将 表示为将表示为
[0023]
问题1对于系统(1)和(2)，利用量测数据{y
k
}，找到一个可量测的控制器u
k
使 得目标函数(3)最小；
[0024]
为了确保问题的可解性，给出下面的假设：
[0025]
假设1目标函数(3)中矩阵满足q≥0，r>0和m
n 1
≥0；
[0026]
最优估计
[0027]
在求解最优控制器之前，首先给出最优估计器的表达式；为了表示方便，将估计器
表示 为下面给出本小节的重要定理：
[0028]
定理1对于系统的状态方程(1)和量测方程(2)，最优估计器的递推式为：
[0029][0030]
其中
[0031][0032]
初始值为且有 和p(ψ
k
＝1)＝q＝1
‑
p，θ≤k≤n，表示指示函数；
[0033]
除此之外，由系统方程(1)能够直接计算得到
[0034][0035]
证首先计算最优估计器的初始值令y
θ
＝ω
θ
x0＝h，则由条件期望的定义得到
[0036][0037]
其中，p(x
θ
＝r
i
|y
θ
＝h)表示在y
θ
＝h发生的情况下x
θ
取值为r
i
的条件概率；下面进行讨论：
[0038]
1)对于量测数据y
θ
，当出现数据丢包时，也就是说y
θ
＝h＝0，此时有 p(x
θ
＝r
i
,y
θ
＝0)＝p(x
θ
＝r
i
)p(y
θ
＝0)，则由(5)能够得到
[0039][0040]
2)当没有发生丢包时，也即y
θ
＝h≠0，则由(5)能够得到
[0041][0042]
因此，结合式(6)和(7)，估计器的初始值表示为
[0043][0044]
由于系统噪声和{ω
k
}是相互独立的，则通过系统状态方程(1)得到
[0045][0046]
下面进一步分析最优估计器的一般形式θ≤k≤n；
[0047]
为了方便起见，令y
k
＝{y
θ
,...,y
k
}；类比式(5)，利用条件期望的定义，可得
[0048][0049]
分类讨论如下：
[0050]
1)若y
θ
＝y
θ 1
...＝y
k
＝0，则有
[0051]
p(x
k
＝r
i
,y
θ
＝0,y
θ 1
＝0,...,y
k
＝0)＝p(x
k
＝r
i
)p(y
θ
＝0,y
θ 1
＝0,...,y
k
＝0)；
[0052]
因此，根据式(8)可得
[0053]
e[x
k
|y
θ
＝h
θ
,y
θ 1
＝h
θ 1
,...,y
k
＝h
k
]＝ex
k
(9)；
[0054]
2)若有y
k
＝h
k
＝0,且其中{θ,θ 1,...,k
‑
1}＝ {i
θ
,i
θ 1
,...,i
k
‑1}，i
θ
＜i
θ 1
＜...＜i
j
；此时有；此时有
[0055]
则根据式(8)可得
[0056][0057]
3)若k时刻没有数据丢包，即y
k
＝h
k
≠0，估计器能够表示为
[0058][0059]
其中y
k
＝ω
k
x
k
‑
θ
，且上式第二行利用了状态{x
k
}的马尔可夫特性；
[0060]
由式(1)和(11)可得
[0061][0062]
同理可得
[0063][0064]
则由式(12)和(13)，式(11)中的估计器能够写成递推的形式，如下：
[0065][0066]
综上所述，由式(9)
‑
(11)可得最优估计器的形式为
[0067][0068]
同时由系统方程(1)直接计算可得
[0069][0070]
下面对式(14)作进一步的化简；利用指示函数的特性可知
[0071][0072][0073]
因此，当y
θ
＝y
θ 1
...＝y
k
＝0时，由式(16)，式(14)能够写为
[0074]
e[x
k
|y
θ
,...,y
k
]＝ex
k
＝ae[x
k
‑1|y
k
‑1] bu
k
‑
d
‑1ꢀꢀꢀ
(18)；
[0075]
同时，若有其中i
θ
＜i
θ 1
＜...＜i
j
＜...≤i
k
‑1，则
[0076]
1)当i
j
＜k
‑
1时，即且y
k
‑1＝0，由式(17)，式(14)能够写为
[0077][0078]
2)当i
j
＝k
‑
1时，即y
k
‑1≠0，由式(17)，式(14)能够写为
[0079][0080]
因此，由式(14)，(18)
‑
(20)，并将定义为ψ
k
，得到最优估计器的递推形式为
[0081][0082]
上式即为式(4)；
[0083]
最优输出反馈控制
[0084]
为了得到问题1的解，对系统状态方程(1)和目标函数(3)应用极大值原理得到如下 的共态方程：
[0085]
λ
n
＝m
n 1
x
n 1
ꢀꢀꢀ
(21)；
[0086][0087][0088]
其中下面给出问题1完整的解；
[0089]
定理2基于假设1，对于系统(1)和(2，问题1有唯一的解，当且仅当矩阵δ
k
＞0， k＝d θ,...,n；且设计的令目标函数(3)最小的最优输出反馈控制器为
[0090][0091]
其中估计器满足下式
[0092][0093]
估计器已经在定理1中给出，且增益δ
k d
和γ
k d
满足
[0094][0095][0096]
在式(25)和(26)中，矩阵ψ
k
,φ
k
满足下列的黎卡提差分方程
[0097][0098][0099][0100][0101]
φ
k
＝(1
‑
q)a
′
ψ
k 1
a a
′
φ
k 1
a，
ꢀꢀꢀ
(31)；
[0102]
式(27)
‑
(31)中的终端条件为
[0103]
同时可得式(3)中的最优目标函数为
[0104][0105]
且状态和共态之间的关系满足下式
[0106][0107]
推论令
[0108]
对式(27)
‑
(31)两端从i＝3到d 1进行累加，得到下面耦合的黎卡提方程
[0109][0110][0111][0112]
φ
k
＝(1
‑
q)a
′
ψ
k 1
a a
′
φ
k 1
a，
ꢀꢀꢀ
(37)；
[0113]
上式中的终端值为ξ
n 1
＝π
n 1
＝m
n 1
，且矩阵δ
k
和γ
k
能够直接计算得到
[0114][0115][0116]
下面给出定理2的证明：
[0117]
证首先给出必要性的证明，即在假设1的前提下，如果问题1有唯一解，式(25)中的 矩阵δ
k
，d θ≤k≤n是严格正定的；定义新的目标函数为
[0118][0119]
令式(40)中的k＝n，得到
[0120]
j(n)＝e[x
n
′
qx
n
u
n
‑
d
′
ru
n
‑
d
] x
n 1
′
m
n 1
x
n 1
；
[0121]
将系统的状态方程(1)代入上式，则j(n)能够写成状态x
n
和控制器u
n
‑
d
的二次型形式， 且由于控制器解的唯一性，该二次型必然是正定的；令状态x
n
＝0，得到
[0122][0123]
因此δ
n
＞0成立；
[0124]
下面计算最优控制器；由式(1)和(21)，平衡方程(23)能够写为
[0125][0126]
因此，当k＝n时的最优控制器为
[0127][0128]
明显式(41)满足式(24)；
[0129]
接下来说明k＝n时的共态方程具有式(33)的形式；利用式(1)、(21)、(22)和(41)， 得到
[0130][0131]
上式满足式(33)，且矩阵m
n1
和分别满足式(27)和(28)；
[0132]
为了进一步分析一般情况，并利用数学归纳法，取d θ≤l≤n，当k≥l 1，假设式(25) 中的矩阵是正定的，且控制器u
k
‑
d
和共态λ
k
‑1的表达式为式(24)和(33)；接下来证明该情形 在k＝l时也成立；
[0133]
首先需要证明矩阵δ
l
的可逆性；由式(1)、(22)和(23)，得到
[0134][0135]
将上式从k＝l 1到n进行累加，得到
[0136][0137]
利用上式以及式(21)，并令式(40)中的k＝l，则j(l)表示成
[0138][0139][0140]
将式(33)代入上式，并令x
l
＝0，则j(l)被写成
[0141][0142]
由于最优控制器解u
l
‑
d
的唯一性，则式(25)中矩阵δ
l
是严格正定的，也即δ
l
＞0成立；
[0143]
下面求解最优控制器；将式(33)代入式(23)得到
[0144][0145]
则最优控制器的解为
[0146][0147]
其中矩阵δ
l
和γ
l
分别满足式(25)和(26)；因此，最优控制器(24)在k＝l时也成立；
[0148]
最后证明状态和共态之间的关系式满足式(33)，如下：
[0149][0150]
显然该式成立；这就完成了必要性的证明；
[0151]
下面给出充分性的证明，即当式(25)中的矩阵δ
k
＞0，k＝d θ,...,n时，证明问题1有 唯一解；定义
[0152][0153]
则由式(1)、(25)
‑
(31)，能够计算得到v
n
(k 1,x
k 1
)如下
[0154][0155][0156]
令v
n
(k,x
k
)和v
n
(k 1,x
k 1
)作差，得到
[0157][0158]
对式(41)两端从k＝d θ到n进行累加，得到
[0159][0160]
利用上式将目标函数写为
[0161][0162]
在上式中，x0,u
i
,i＝
‑
d,...,θ
‑
1已经初始化，对于0≤k≤d θ
‑
1，x
k
能够由初始值进行求 解，且矩阵δ
k
是严格正定的；因此，令目标函数取到最小值，最优控制器的唯一性即可得证， 且满足式(24)。
[0163]
优选地，在步骤3中，具体设计如下：
[0164]
无限时间的情况
[0165]
问题描述
[0166]
为了分析系统的镇定性，求解系统(1)和(2)在无限时间时的镇定问题；当n
→
∞时 考虑如下的性能指标：
[0167][0168]
首先给出下面几个重要的定义：
[0169]
定义1对于给定的初始值x0,u
‑
d
,...,u
θ
‑1，且控制器u
k
‑
d
＝0,k≥d θ，如果有
[0170][0171]
则称方程(1)为渐进均方稳定的；
[0172]
定义2方程(1)在均方意义下是可镇定的，当存在一个可量测的控制器 k≥θ，其中l和l
i
(i＝1,...,d θ)是常值矩阵，且满足使得 (1)的闭环系统是渐进均方稳定的；
[0173]
定义3对于下面的随机系统
[0174][0175]
为了方便起见，将上述系统简记为基于假设1，有q＝c'c成立；如果有下式成立
[0176][0177]
则称系统是完全可观测的；
[0178]
问题2找到一个可测的控制器u
k
‑
d
使得系统(1)是渐进均方稳定的，同时使
得 目标函数(44)最小；
[0179]
假设2是完全可观测的；
[0180]
问题2的解
[0181]
为了表述清晰，将矩阵δ
k
,γ
k
,ψ
k
,φ
k
,ξ
k
,π
k
写为δ
k
(n),γ
k
(n),ψ
k
(n), φ
k
(n),ξ
k
(n),π
k
(n)；由于终端值m
n 1
＝0，故上述矩阵都为时不变矩阵；
[0182]
下面给出几个重要引理：
[0183]
引理1基于假设1，得到π
k
(n)≥ξ
k
(n)≥0,φ
k
(n)＜0和 [0184]
证在定理1中已经证得了δ
k
(n)＞0，k≥d θ，由式(28)
‑
(31)能够直接观察得出矩 阵ψ
k
(n),φ
k
(n)都是负定的；接下来证明π
k
(n)≥ξ
k
(n)≥0和成立；定义
[0185][0186]
其中m≥d θ；由式(3)和(32)能够类比得到式(45)的最优解为
[0187][0188][0189]
对式(46)分析如下：
[0190][0191]
其中有同理可得
[0192][0193][0194]
则由式(46)
‑
(49)；得到
[0195][0196]
由于状态x
d θ
是随机变量，因此，得到
[0197]
ξ
d θ
(m)≥0；
[0198]
也即由定理2看出则必有利用ξ
d θ
(m),和的时 不变特性，令m＝n d θ
‑
k，则有ξ
k
(n)＝ξ
d θ
(n d θ
‑
k)≥0,和 [0199]
因此不等式π
k
(n)≥ξ
k
(n)≥0，和也成立；
[0200]
引理2基于假设1和2，存在一个常数n0>0，使得当n＞n0时，有ξ
d θ
(n)＞0；
[0201]
证对于式(46)，选定状态向量x
d θ
(≠0)，则有假设ξ
d θ
(n)＝0成立，那么式(46)能够写为
[0202][0203]
其中和分别代表最优状态策略和最优控制器；由假设1可知，q＝c'c≥0且r＞0， 再由式(51)能够观察得出
[0204][0205]
则系统方程(1)能够写成
[0206][0207]
基于定义3和假设2，得到x
d θ
＝0，矛盾；因此假设不成立，则有n0>0，使得当n＞n0时，有ξ
d θ
(n)＞0成立；
[0208]
引理3系统方程(1)是可镇定的，当且仅当不等式成立；
[0209]
证首先给出充分性的证明；显然，如果成立，则必有基于 定义2可知系统方程(1)是可镇定的；
[0210]
下面证明必要性，即若系统方程(1)是可镇定的，则不等式成立；
[0211]
由定义2可知，存在使得系统方程(1)是渐进均方稳定的；定 义如下矩阵
[0212]
[0213][0214]
利用上述矩阵可将系统方程(1)转变为一个新的状态方程为
[0215][0216]
且控制器u
k
能够写为
[0217][0218]
将式(53)代入式(52)得到
[0219][0220]
回顾定义2可知，控制器可使系统方程(1)渐进均方稳定，也即存在同时，我们能够得到
[0221][0222]
则由式(54)能够直接得到且有因此可得
[0223][0224]
利用式(55)，能够得到也即
[0225][0226]
定理3系统方程在均方意义下是可镇定的，当且仅当推论中耦合的黎卡提方程有唯一解， 且有π≥ξ＞0,m1≥0,ψ,φ≤0和m
j
≤0,j＝2,...,d 1：
[0227][0228][0229]
ψ＝
‑
(a
′
)
d
γ
′
δ
‑1γa
d
qa
′
ψa
ꢀꢀꢀ
(58)；
[0230]
φ＝(1
‑
q)a
′
ψa a
′
φa
ꢀꢀꢀ
(59)；
[0231]
其中δ和γ为
[0232][0233]
[0234]
使系统镇定的控制器为
[0235][0236]
式(44)对应的最优目标函数为
[0237][0238]
其中
[0239][0240]
下面给出定理3的证明：
[0241]
必要性：即若系统方程(1)是均方可镇定的，则式(34)
‑
(39)中耦合的黎卡提方程 有唯一解，且π≥ξ＞0,ψ,φ≤0；
[0242]
首先给出矩阵ξ
d θ
(n),π
d θ
(n),ψ
d θ
(n)和φ
d θ
(n)关于n的单调性证明；回顾式(32)和(42)， 最优目标函数能够写为
[0243][0244]
其中，且u
j
＝0,j＝
‑
d,...,
‑
1,1,下面对式(65)进行讨论：
[0245]
1)如果有x0＝ex0成立，则由定理1可以得到那么式(65)能够写为
[0246][0247]
由于j
*
(n)≤j
*
(n 1)能够得到也即 π0(n)≤π0(n 1)成立；
[0248]
2)如果有ex0＝0成立，能够得到类比上述分析得
[0249][0250]
3)对于给定的x
d θ
，由式(46)，令m＝n，可有h
*
(n)≤h
*
(n 1)，则可得
[0251][0252]
也即ξ
d θ
(n)≤ξ
d θ
(n 1)成立；
[0253]
综上所述，看出π0(n),和ξ
d θ
(n)关于n是单调递增的；
[0254]
下面证明上述矩阵是有界的；由定义2知，存在控制器使得系统方程(1)镇 定；选定一常数λ使得q≤λi,成立；则有
[0255][0256]
其中c和c1是常数；因此，得到
[0257][0258]
再由式（50），可知
[0259][0260]
上式表明矩阵ξ
d θ
(n)是有界的；
[0261]
类比式（65）进行如下讨论：
[0262]
1）若x0＝ex0，则有故有
[0263][0264]
上式表明矩阵是有界的；
[0265]
2）若ex0＝0，则有故有
[0266][0267]
得出也是有界的；
[0268]
综上可知矩阵ξ
d θ
(n),π0(n),ψ0(n)和φ0(n)都是收敛的；且上述矩阵都是时不变矩 阵，即有
[0269]
ξ
d θ
(n)＝ξ0(n
‑
d
‑
θ),π
d θ
(n)＝π0(n
‑
d
‑
θ)；
[0270]
ψ
d θ
(n)＝ψ0(n
‑
d
‑
θ)；
[0271]
φ
d θ
(n)＝φ0(n
‑
d
‑
θ)；
[0272]
因此，存在矩阵ξ,π,m1,ψ和φ，满足
[0273][0274][0275][0276]
同时，在式（25），（26），（28）和（29）两端取极限也可得到收敛值为
[0277][0278][0279]
因此，当时间变量n
→
∞，式（56）
‑
（61）是成立的；且利用引理1和2直接得到，π≥ξ＞0, m1≥0,ψ＜0,φ＜0和m
j
≤0,j＝2,...,d 1；
[0280]
最后证明式（56）
‑
（59）的解是唯一的；现假设存在另外一组解h,f,p和k也满足式(56)
‑
(59)；当有x0＝ex0时，对式(66)两端取极限，得到
[0281]
j
*
(n)＝e(x
′0πx0)＝e(x
′0fx0)；
[0282]
则有π＝f；而且若有ex0＝0，可得
[0283]
j
*
(n)＝e{x
′0[π0(n)
‑
qψ0(n)
‑
qφ0(n)]x0}
[0284]
ꢀꢀꢀꢀꢀ
＝e{x
′0[f0(n)
‑
qp0(n)
‑
qk0(n)]x0}；
[0285]
由式(30)和(31)，看出φ
k
(n)依赖于ψ
k
(n)，也即若ψ0(n)≠p0(n)，则有φ0(n)≠k0(n)，这 与上述方程式矛盾；故在该方程两侧取极限得到ψ＝p，φ＝k；同时，对于给定的x
d θ
，在式 (51)两端取极限，直接得到e(x
′
d θ
ξx
d θ
)＝e(x
′
d θ
hx
d θ
)，则有ξ＝h；综上可知式(56)
‑
(61) 的解是唯一的；
[0286]
充分性：若式(56)
‑
(61)中耦合的黎卡提方程有唯一解，则控制器(62)能够使得系 统方程(1)镇定；
[0287]
首先，令
[0288][0289]
同时经计算也能够得到
[0290][0291]
则对k≥d θ，有
[0292][0293][0294]
从式(69)看出，控制器满足式(62)，且函数v(k,x
k
)关于n是单调递
减的； 同时经计算可得到
[0295][0296]
上式表明函数v(k,x
k
)是有界的，由单调有界原理可知函数v(k,x
k
)是收敛的；
[0297]
因此，通过式(69)得到
[0298][0299]
再由式(50)可得
[0300][0301]
在式(71)两端取极限并利用式(70)，可得
[0302][0303]
利用引理2知ξ
d θ
(n)＞0，则有也即式(62)中的控制器能够使得系统方程 (1)镇定；
[0304]
接下来证明控制器(62)可使目标函数(44)最小为(63)；对式(68)两端从k＝0到n 进行累加，得到
[0305][0306]
其中v(0,x0)和v(n 1,x
n 1
)已在式(67)中给出定义；利用射影定理可有
[0307][0308]
我们已经得到控制器(62)能够使得系统(1)镇定，因此有则
在式(72)两端对n取极限，目标函数(44)能够写为
[0309][0310]
通过以上的分析，控制器(62)可以使得目标函数(44)最小，且最优目标函数为式(63)。
[0311]
本发明所带来的有益技术效果：
[0312]
本文分析了带有乘性噪声、丢包、输入和量测时滞的离散网络控制系统中的最优输出反 馈控制和镇定性问题。对于带有丢包和量测时滞的乘性噪声系统，首次给出了递归的最优估 计器。基于该估计器，利用极大值原理求得了最优输出反馈控制器。同时给出了有限时间范 围内最优控制问题可解的充分必要条件。最后，基于标准的可观性假设，证明了在均方意义 下设计的控制器可以使得系统方程镇定，当且仅当耦合的黎卡提方程有唯一解。
附图说明
[0313]
图1为带有丢包和多时滞的网络控制系统图。
[0314]
图2为控制器为时系统的状态轨迹e(x
′
k
x
k
)图。
[0315]
图3为控制器为时系统的状态轨迹e(x
′
k
x
k
)图。
具体实施方式
[0316]
下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：
[0317]
具有丢包和多时滞的网络控制系统的最优控制研究方法，首先给出如下定义：符号表 示n维欧氏空间；上标'表示矩阵的转置；实数矩阵m＞0表示矩阵m是正定的；实数矩阵m≥0 表示矩阵m是半正定的；表示指示函数，即当元素时，有否则有是由随机过程x所产生的自然滤波；e[
·
]是数学期望且是关于的条件期望；p(x)表 示当事件x发生时的概率；i表示单位矩阵；δ
kl
表示克罗内克函数，即当k＝l时有δ
kl
＝1，否 则有δ
kl
＝0；
[0318]
所述方法具体包括如下步骤：
[0319]
步骤1：利用带有时滞的量测数据{y
k
}设计出了最优估计器；
[0320]
步骤2：利用极大值原理，解出了最优控制器，并给出了有限时间范围内可解的充分必 要条件；且最优控制器的增益为耦合的黎卡提方程的解；
[0321]
步骤3：通过定义一个李雅普诺夫函数，得出系统在均方意义下是可镇定的，当且仅当 给定的耦合的黎卡提方程有唯一解。
[0322]
在步骤2中，具体设计如下：
[0323]
有限时间的情况
[0324]
问题描述
[0325]
考虑下面带有丢包、输入时滞和量测时滞的乘性噪声系统：
[0326][0327]
y
k
＝ω
k
x
k
‑
θ
，
ꢀꢀꢀ
(2)；
[0328]
其中，代表状态向量，代表控制器，代表其协方差为的标 量高斯白噪声；代表量测过程，ω
k
是服从概率为p(ω
k
＝1)＝p＝1
‑
q∈[0,1]的伯努利分布； a,b,是具有适当维数的常值矩阵，d和θ(>0)分别表示输入时滞和量测时滞；初始值x0表 示均值为μ，协方差为θ的高斯随机向量，初始控制器u
i
,i＝
‑
d,...,θ
‑
1的值是已知的，而且 {ω
k
}和x0彼此相互独立；
[0329]
系统(1)和(2)的性能指标定义为：
[0330][0331]
其中，常值矩阵分别是用来平衡状态向量和输入向量的权重矩阵， x
n 1
为终端状态向量，为有界的常数终端加权矩阵；
[0332]
对于具有丢包和多时滞的乘性噪声系统，控制器u
k
只允许访问量测过程{y
θ
,...,y
k
}，也 就是说，u
k
是可量测的；为了方便起见，将表示为同时，将 表示为将表示为
[0333]
问题1对于系统(1)和(2)，利用量测数据{y
k
}，找到一个可量测的控制器u
k
使 得目标函数(3)最小；
[0334]
为了确保问题的可解性，给出下面的假设：
[0335]
假设1目标函数(3)中矩阵满足q≥0，r>0和m
n 1
≥0；
[0336]
最优估计
[0337]
在求解最优控制器之前，首先给出最优估计器的表达式；为了表示方便，将估计器表示 为下面给出本小节的重要定理：
[0338]
定理1对于系统的状态方程(1)和量测方程(2)，最优估计器的递推式为：
[0339][0340]
其中
[0341][0342]
初始值为且有 和p(ψ
k
＝1)＝q＝1
‑
p，θ≤k≤n，表示指示函数；
[0343]
除此之外，由系统方程(1)能够直接计算得到
[0344][0345]
证首先计算最优估计器的初始值令y
θ
＝ω
θ
x0＝h，则由条件期望的定义得到
[0346][0347]
其中，p(x
θ
＝r
i
|y
θ
＝h)表示在y
θ
＝h发生的情况下x
θ
取值为r
i
的条件概率；下面进行讨论：
[0348]
1)对于量测数据y
θ
，当出现数据丢包时，也就是说y
θ
＝h＝0，此时有 p(x
θ
＝r
i
,y
θ
＝0)＝p(x
θ
＝r
i
)p(y
θ
＝0)，则由(5)能够得到
[0349][0350]
2)当没有发生丢包时，也即y
θ
＝h≠0，则由(5)能够得到
[0351][0352]
因此，结合式(6)和(7)，估计器的初始值表示为
[0353][0354]
由于系统噪声和{ω
k
}是相互独立的，则通过系统状态方程(1)得到
[0355][0356]
下面进一步分析最优估计器的一般形式θ≤k≤n；
[0357]
为了方便起见，令y
k
＝{y
θ
,...,y
k
}；类比式(5)，利用条件期望的定义，可得
[0358][0359]
分类讨论如下：
[0360]
1)若y
θ
＝y
θ 1
...＝y
k
＝0，则有
[0361]
p(x
k
＝r
i
,y
θ
＝0,y
θ 1
＝0,...,y
k
＝0)＝p(x
k
＝r
i
)p(y
θ
＝0,y
θ 1
＝0,...,y
k
＝0)；
[0362]
因此，根据式(8)可得
[0363]
e[x
k
|y
θ
＝h
θ
,y
θ 1
＝h
θ 1
,...,y
k
＝h
k
]＝ex
k
ꢀꢀꢀ
(9)；
[0364]
2)若有且其中{θ,θ 1,...,k
‑
1}＝ {i
θ
,i
θ 1
,...,i
k
‑1}，i
θ
＜i
θ 1
＜...＜i
j
；此时有；此时有
[0365]
则根据式(8)可得
[0366][0367]
3)若k时刻没有数据丢包，即y
k
＝h
k
≠0，估计器能够表示为
[0368][0369][0370]
其中y
k
＝ω
k
x
k
‑
θ
，且上式第二行利用了状态{x
k
}的马尔可夫特性；
[0371]
由式(1)和(11)可得
[0372][0373]
同理可得
[0374][0375]
则由式(12)和(13)，式(11)中的估计器能够写成递推的形式，如下：
[0376][0377]
综上所述，由式(9)
‑
(11)可得最优估计器的形式为
[0378][0379]
同时由系统方程(1)直接计算可得
[0380][0381]
下面对式(14)作进一步的化简；利用指示函数的特性可知
[0382][0383][0384]
因此，当y
θ
＝y
θ 1
...＝y
k
＝0时，由式(16)，式(14)能够写为
[0385]
e[x
k
|y
θ
,...,y
k
]＝ex
k
＝ae[x
k
‑1|y
k
‑1] bu
k
‑
d
‑1ꢀꢀꢀ
(18)；
[0386]
同时，若有其中i
θ
＜i
θ 1
＜...＜i
j
＜...≤i
k
‑1，则
[0387]
1)当i
j
＜k
‑
1时，即且y
k
‑1＝0，由式(17)，式(14)能够写为
[0388][0389]
2)当i
j
＝k
‑
1时，即y
k
‑1≠0，由式(17)，式(14)能够写为
[0390][0391]
因此，由式(14)，(18)
‑
(20)，并将定义为ψ
k
，得到最优估计器的递推形式为
[0392][0393]
上式即为式(4)；
[0394]
最优输出反馈控制
[0395]
为了得到问题1的解，对系统状态方程(1)和目标函数(3)应用极大值原理得到如下 的共态方程：
[0396]
λ
n
＝m
n 1
x
n 1
ꢀꢀꢀ
(21)；
[0397][0398][0399]
其中下面给出问题1完整的解；
[0400]
定理2基于假设1，对于系统(1)和(2，问题1有唯一的解，当且仅当矩阵δ
k
＞0， k＝d θ,...,n；且设计的令目标函数(3)最小的最优输出反馈控制器为
[0401][0402]
其中估计器满足下式
[0403][0404]
估计器已经在定理1中给出，且增益δ
k d
和γ
k d
满足
[0405][0406][0407]
在式(25)和(26)中，矩阵ψ
k
,φ
k
满足下列的黎卡提差分方程
[0408][0409][0410][0411][0412]
φ
k
＝(1
‑
q)a
′
ψ
k 1
a a
′
φ
k 1
a，
ꢀꢀꢀ
(31)；
[0413]
式(27)
‑
(31)中的终端条件为ψ
n 1
＝0,φ
n 1
＝0；
[0414]
同时可得式(3)中的最优目标函数为
[0415][0416]
且状态和共态之间的关系满足下式
[0417][0418]
推论令
[0419]
对式(27)
‑
(31)两端从i＝3到d 1进行累加，得到下面耦合的黎卡提方程
[0420][0421]
[0422][0423]
φ
k
＝(1
‑
q)a
′
ψ
k 1
a a
′
φ
k 1
a，
ꢀꢀꢀ
(37)；
[0424]
上式中的终端值为ξ
n 1
＝π
n 1
＝m
n 1
，且矩阵δ
k
和γ
k
能够直接计算得到
[0425][0426][0427]
下面给出定理2的证明：
[0428]
证首先给出必要性的证明，即在假设1的前提下，如果问题1有唯一解，式(25)中的 矩阵δ
k
，d θ≤k≤n是严格正定的；定义新的目标函数为
[0429][0430]
令式(40)中的k＝n，得到
[0431]
j(n)＝e[x
n
′
qx
n
u
n
‑
d
′
ru
n
‑
d
] x
n 1
′
m
n 1
x
n 1
；
[0432]
将系统的状态方程(1)代入上式，则j(n)能够写成状态x
n
和控制器u
n
‑
d
的二次型形式， 且由于控制器解的唯一性，该二次型必然是正定的；令状态x
n
＝0，得到
[0433][0434]
因此δ
n
＞0成立；
[0435]
下面计算最优控制器；由式(1)和(21)，平衡方程(23)能够写为
[0436][0437]
因此，当k＝n时的最优控制器为
[0438][0439]
明显式(41)满足式(24)；
[0440]
接下来说明k＝n时的共态方程具有式(33)的形式；利用式(1)、(21)、(22)和(41)， 得到
[0441][0442]
上式满足式(33)，且矩阵和分别满足式(27)和(28)；
[0443]
为了进一步分析一般情况，并利用数学归纳法，取d θ≤l≤n，当k≥l 1，假设式(25) 中的矩阵是正定的，且控制器u
k
‑
d
和共态λ
k
‑1的表达式为式(24)和(33)；接下来证明该情形 在k＝l时也成立；
[0444]
首先需要证明矩阵δ
l
的可逆性；由式(1)、(22)和(23)，得到
[0445][0446]
将上式从k＝l 1到n进行累加，得到
[0447]
[0448]
利用上式以及式(21)，并令式(40)中的k＝l，则j(l)表示成
[0449][0450]
将式(33)代入上式，并令x
l
＝0，则j(l)被写成
[0451][0452]
由于最优控制器解u
l
‑
d
的唯一性，则式(25)中矩阵δ
l
是严格正定的，也即δ
l
＞0成立；
[0453]
下面求解最优控制器；将式(33)代入式(23)得到
[0454][0455]
则最优控制器的解为
[0456][0457]
其中矩阵δ
l
和γ
l
分别满足式(25)和(26)；因此，最优控制器(24)在k＝l时也成立；
[0458]
最后证明状态和共态之间的关系式满足式(33)，如下：
[0459][0460]
显然该式成立；这就完成了必要性的证明；
[0461]
下面给出充分性的证明，即当式(25)中的矩阵δ
k
＞0，k＝d θ,...,n时，证明问题1有 唯一解；定义
[0462][0463]
则由式(1)、(25)
‑
(31)，能够计算得到v
n
(k 1,x
k 1
)如下
[0464][0465]
令v
n
(k,x
k
)和v
n
(k 1,x
k 1
)作差，得到
[0466][0467]
对式(41)两端从k＝d θ到n进行累加，得到
[0468][0469]
利用上式将目标函数写为
[0470][0471][0472]
在上式中，x0,u
i
,i＝
‑
d,...,θ
‑
1已经初始化，对于0≤k≤d θ
‑
1，x
k
能够由初始值进行求 解，且矩阵δ
k
是严格正定的；因此，令目标函数取到最小值，最优控制器的唯一性
即可得证， 且满足式(24)。
[0473]
在步骤3中，具体设计如下：
[0474]
无限时间的情况
[0475]
问题描述
[0476]
为了分析系统的镇定性，求解系统(1)和(2)在无限时间时的镇定问题；当n
→
∞时 考虑如下的性能指标：
[0477][0478]
首先给出下面几个重要的定义：
[0479]
定义1对于给定的初始值x0,u
‑
d
,...,u
θ
‑1，且控制器u
k
‑
d
＝0,k≥d θ，如果有
[0480][0481]
则称方程(1)为渐进均方稳定的；
[0482]
定义2方程(1)在均方意义下是可镇定的，当存在一个可量测的控制器 其中l和l
i
(i＝1,...,d θ)是常值矩阵，且满足使得 (1)的闭环系统是渐进均方稳定的；
[0483]
定义3对于下面的随机系统
[0484][0485]
为了方便起见，将上述系统简记为基于假设1，有q＝c'c成立；如果有下式成立
[0486][0487]
则称系统是完全可观测的；
[0488]
问题2找到一个可测的控制器u
k
‑
d
使得系统(1)是渐进均方稳定的，同时使得 目标函数(44)最小；
[0489]
假设2是完全可观测的；
[0490]
问题2的解
[0491]
为了表述清晰，将矩阵δ
k
,γ
k
,ψ
k
,φ
k
,ξ
k
,π
k
写为δ
k
(n),γ
k
(n),ψ
k
(n), φ
k
(n),ξ
k
(n),π
k
(n)；由于终端值m
n 1
＝0，故上述矩阵都为时不变矩阵；
[0492]
下面给出几个重要引理：
[0493]
引理1基于假设1，得到π
k
(n)≥ξ
k
(n)≥0,φ
k
(n)＜0和 [0494]
证在定理1中已经证得了δ
k
(n)＞0，k≥d θ，由式(28)
‑
(31)能够直接观察得出矩 阵ψ
k
(n),φ
k
(n)都是负定的；接下来证明π
k
(n)≥ξ
k
(n)≥0和成立；定义
[0495]
[0496]
其中m≥d θ；由式(3)和(32)能够类比得到式(45)的最优解为
[0497][0498]
对式(46)分析如下：
[0499][0500]
其中有同理可得
[0501][0502][0503]
则由式(46)
‑
(49)；得到
[0504][0505]
由于状态x
d θ
是随机变量，因此，得到
[0506]
ξ
d θ
(m)≥0；
[0507]
也即由定理2看出则必有利用ξ
d θ
(m),和的时 不变特性，令m＝n d θ
‑
k，则有ξ
k
(n)＝ξ
d θ
(n d θ
‑
k)≥0,和 [0508]
因此不等式π
k
(n)≥ξ
k
(n)≥0，和也成立；
[0509]
引理2基于假设1和2，存在一个常数n0>0，使得当n＞n0时，有ξ
d θ
(n)＞0；
[0510]
证对于式(46)，选定状态向量x
d θ
(≠0)，则有假设ξ
d θ
(n)＝0成立，那么式(46)能够写为
[0511][0512]
其中和分别代表最优状态策略和最优控制器；由假设1可知，q＝c'c≥0且r＞0， 再由式(51)能够观察得出
[0513]
[0514]
则系统方程(1)能够写成
[0515][0516]
基于定义3和假设2，得到x
d θ
＝0，矛盾；因此假设不成立，则有n0>0，使得当n＞n0时，有ξ
d θ
(n)＞0成立；
[0517]
引理3系统方程(1)是可镇定的，当且仅当不等式成立；
[0518]
证首先给出充分性的证明；显然，如果成立，则必有基于 定义2可知系统方程(1)是可镇定的；
[0519]
下面证明必要性，即若系统方程(1)是可镇定的，则不等式成立；
[0520]
由定义2可知，存在使得系统方程(1)是渐进均方稳定的；定 义如下矩阵
[0521][0522][0523]
利用上述矩阵可将系统方程(1)转变为一个新的状态方程为
[0524][0525]
且控制器u
k
能够写为
[0526][0527]
将式(53)代入式(52)得到
[0528][0529]
回顾定义2可知，控制器可使系统方程(1)渐进均方稳定，也即存在
同时，我们能够得到
[0530][0531]
则由式(54)能够直接得到且有因此可得
[0532][0533]
利用式(55)，能够得到也即
[0534][0535]
定理3系统方程在均方意义下是可镇定的，当且仅当推论中耦合的黎卡提方程有唯一解， 且有π≥ξ＞0,m1≥0,ψ,φ≤0和m
j
≤0,j＝2,...,d 1：
[0536][0537][0538]
ψ＝
‑
(a
′
)
d
γ
′
δ
‑1γa
d
qa
′
ψa
ꢀꢀꢀ
(58)；
[0539]
φ＝(1
‑
q)a
′
ψa a
′
φa
ꢀꢀꢀ
(59)；
[0540]
其中δ和γ为
[0541][0542][0543]
使系统镇定的控制器为
[0544][0545]
式(44)对应的最优目标函数为
[0546][0547]
其中
[0548][0549]
下面给出定理3的证明：
[0550]
必要性：即若系统方程(1)是均方可镇定的，则式(34)
‑
(39)中耦合的黎卡提方程 有唯一解，且π≥ξ＞0,ψ,φ≤0；
[0551]
首先给出矩阵ξ
d θ
(n),π
d θ
(n),ψ
d θ
(n)和φ
d θ
(n)关于n的单调性证明；回顾式(32)和(42)， 最优目标函数能够写为
[0552][0553]
其中，且u
j
＝0,j＝
‑
d,...,
‑
1,1,下面对式(65)进行讨论：
[0554]
1)如果有x0＝ex0成立，则由定理1可以得到那么式(65)能够写为
[0555][0556]
由于j
*
(n)≤j
*
(n 1)能够得到也即 π0(n)≤π0(n 1)成立；
[0557]
2)如果有ex0＝0成立，能够得到类比上述分析得
[0558][0559]
3)对于给定的x
d θ
，由式(46)，令m＝n，可有h
*
(n)≤h
*
(n 1)，则可得
[0560][0561]
也即ξ
d θ
(n)≤ξ
d θ
(n 1)成立；
[0562]
综上所述，看出π0(n),和ξ
d θ
(n)关于n是单调递增的；
[0563]
下面证明上述矩阵是有界的；由定义2知，存在控制器使得系统方程(1)镇 定；选定一常数λ使得q≤λi,成立；则有
[0564][0565]
其中c和c1是常数；因此，得到
[0566][0567]
再由式(50)，可知
[0568][0569]
上式表明矩阵ξ
d θ
(n)是有界的；
[0570]
类比式(65)进行如下讨论：
[0571]
1)若x0＝ex0，则有故有
[0572][0573]
上式表明矩阵是有界的；
[0574]
2)若ex0＝0，则有故有
[0575][0576]
得出也是有界的；
[0577]
综上可知矩阵ξ
d θ
(n),π0(n),ψ0(n)和φ0(n)都是收敛的；且上述矩阵都是时不变矩 阵，即有
[0578]
ξ
d θ
(n)＝ξ0(n
‑
d
‑
θ),π
d θ
(n)＝π0(n
‑
d
‑
θ)；
[0579]
ψ
d θ
(n)＝ψ0(n
‑
d
‑
θ)；
[0580]
φ
d θ
(n)＝φ0(n
‑
d
‑
θ)；
[0581]
因此，存在矩阵ξ,π,m1,ψ和φ，满足
[0582][0583][0584][0585]
同时，在式(25)，(26)，(28)和(29)两端取极限也可得到收敛值为
[0586][0587][0588]
因此，当时间变量n
→
∞，式(56)
‑
(61)是成立的；且利用引理1和2直接得到，π≥ξ＞0, m1≥0,ψ＜0,φ＜0和m
j
≤0,j＝2,...,d 1；
[0589]
最后证明式(56)
‑
(59)的解是唯一的；现假设存在另外一组解h,f,p和k也满足式 (56)
‑
(59)；当有x0＝ex0时，对式(66)两端取极限，得到
[0590]
j
*
(n)＝e(x
′0πx0)＝e(x
′0fx0)；
[0591]
则有π＝f；而且若有ex0＝0，可得
[0592]
j
*
(n)＝e{x
′0[π0(n)
‑
qψ0(n)
‑
qφ0(n)]x0}
[0593]
ꢀꢀꢀꢀꢀ
＝e{x
′0[f0(n)
‑
qp0(n)
‑
qk0(n)]x0}；
[0594]
由式(30)和(31)，看出φ
k
(n)依赖于ψ
k
(n)，也即若ψ0(n)≠p0(n)，则有φ0(n)≠k0(n)，这 与上述方程式矛盾；故在该方程两侧取极限得到ψ＝p，φ＝k；同时，对于给定的x
d θ
，在式 (51)两端取极限，直接得到e(x
′
d θ
ξx
d θ
)＝e(x
′
d θ
hx
d θ
)，则有ξ＝h；综上可知式(56)
‑
(61) 的解是唯一的；
[0595]
充分性：若式(56)
‑
(61)中耦合的黎卡提方程有唯一解，则控制器(62)能够使得系 统方程(1)镇定；
[0596]
首先，令
[0597][0598]
同时经计算也能够得到
[0599][0600]
则对k≥d θ，有
[0601][0602]
＝e[x
′
k
qx
k
u
′
k
‑
d
ru
k
‑
d
]≥0。
ꢀꢀꢀ
(69)；
[0603]
从式(69)看出，控制器满足式(62)，且函数v(k,x
k
)关于n是单调递减的； 同时经计算可得到
[0604][0605]
上式表明函数v(k,x
k
)是有界的，由单调有界原理可知函数v(k,x
k
)是收敛的；
[0606]
因此，通过式(69)得到
[0607][0608]
再由式(50)可得
[0609][0610]
在式(71)两端取极限并利用式(70)，可得
[0611][0612]
利用引理2知ξ
d θ
(n)＞0，则有也即式(62)中的控制器能够使得系统方程 (1)镇定；
[0613]
接下来证明控制器(62)可使目标函数(44)最小为(63)；对式(68)两端从k＝0到n 进行累加，得到
[0614][0615]
其中v(0,x0)和v(n 1,x
n 1
)已在式(67)中给出定义；利用射影定理可有
[0616][0617][0618]
我们已经得到控制器(62)能够使得系统(1)镇定，因此有则在式(72)两端对n取极限，目标函数(44)能够写为
[0619][0620]
通过以上的分析，控制器(62)可以使得目标函数(44)最小，且最优目标函数为式(63)。
[0621]
仿真例子
[0622]
例1令系统方程(1)和目标函数(3)的参数为
[0623]
a＝0.8,σ2＝1,d＝3,θ＝2
[0624]
x0＝1,u1＝0.8,u
i
＝0,i＝
‑
3,...,0
[0625]
q＝r＝1,n＝7,m
n 1
＝0。
[0626]
利用推论直接计算可以得到
[0627]
ξ5＝1.7101,ξ6＝1.5399,ξ7＝1
[0628]
π5＝2.6821,π6＝1.8900,π7＝1
[0629]
ψ5＝0,ψ6＝0,ψ7＝0
[0630]
φ5＝0,φ6＝0,φ7＝0
[0631]
δ5＝2.0570,δ6＝1.6500,δ7＝1
[0632]
γ5＝1.2404,γ6＝0.7600,γ7＝0。
[0633]
从上述值中可以看出对于k＝4,5,6有δ
k
＞0，因此由定理2可知输出反馈控制问题有唯一 解。计算得到的最优控制器为
[0634]
u4＝0。
[0635]
例2该数值算例证明了对于无限时间的情况，在定理3中设计的控制器可以使系统方程 (1)镇定。考虑系统方程(1)和目标函数(3)的参数为
[0636]
a＝0.4,b＝0.4,σ2＝1,d＝4,θ＝3
[0637]
x0＝1,u1＝0.5,u2＝1,u
i
＝0,i＝
‑
4,...,0
[0638]
q＝r＝1＞0，
[0639]
且假设1和2都满足。通过解式(56)
‑
(61)可以得到
[0640]
ξ＝2.2074,π＝31.4114,ψ＝
‑
0.0165,φ＝
‑
0.0025
[0641]
δ＝21.4310,γ＝22.9407，
[0642]
明显有π＞ξ＞0,ψ＜0和φ＜0。由定理3可知，在均方意义下求得的控制器u
k
‑
d
＝
‑
1.0704
[0643]
可以使得系统方程(1)镇定。如图所示，系统状态是渐进均方稳定的。
[0644]
例3为了证明定理3的有效性，根据例2的描述，选择另外一个控制器u
k
‑
d
＝
‑
4.5596
[0645]
其中该控制器的增益也是解式(56)
‑
(61)中耦合的黎卡提方程得到的。此时相关的 仿真例子如图所示，可以明显的看出选定的控制器不能使系统方程(1)镇定。
[0646]
本文分析了带有乘性噪声、丢包、输入和量测时滞的离散网络控制系统中的最优输出反 馈控制和镇定性问题。对于带有丢包和量测时滞的乘性噪声系统，首次给出了递归的最优估 计器。基于该估计器，利用极大值原理求得了最优输出反馈控制器。同时给出了有限时间范 围内最优控制问题可解的充分必要条件。最后，基于标准的可观性假设，证明了在均方意义 下设计的控制器可以使得系统方程镇定，当且仅当耦合的黎卡提方程有唯一解。
[0647]
当然，上述说明并非是对本发明的限制，本发明也并不仅限于上述举例，本技术领域的 技术人员在本发明的实质范围内所做出的变化、改型、添加或替换，也应属于本发明的保护 范围。