不可压超弹性壳构型软材料生长变形方法及存储介质

1.本发明属于软材料加工控制的技术领域，具体涉及一种不可压超弹性壳构型软材料生长变形方法及存储介质。


背景技术：

2.软生物组织的生长和软聚合物凝胶的溶胀(或膨胀)在自然界中很常见。由于生长场不均匀或不相容的特性，软材料在生长过程中表现出多样的几何形状变化和表面形貌演化，通常称之为差异生长。为了满足工程应用的要求，人们通常希望软材料样品在生长过程中的形态可以控制。现有技术中，通常利用“形状编程”的方式来设计软材料的成分或结构，已被用于制造各种智能软器械，如仿生植物，驱动器，食品制造，软机器人等。现有技术在设计软材料的生长时，初始构型通常是薄板形式(二维构型)。
3.但是，壳体形式在自然界和工程领域中属于常见构型，现有技术中却缺失将其作为初始构型用于软材料的生长演化。目前针对壳状软材料生长变形的技术方案研究处于冷门状态，特别是缺少一种广泛适用的方法能够对任意的三维曲面构型(满足必要的光滑性要求)、且适用于任意壳构型的不可压超弹性软材料来计算确定壳状软材料样品内部的生长函数分布，实现相应的生长变形。


技术实现要素：

4.为了克服现有技术存在的一个或者多个缺陷与不足，本发明的第一目的在于提供一种不可压超弹性壳构型软材料生长变形方法，本发明的第二目的在于提供一种存储介质，用于针对任意的三维曲面的壳体构型进行生长变形，且适用于不可压超弹性材料。
5.为了达到上述目的，本发明采用以下的技术方案。
6.一种不可压超弹性壳构型软材料生长变形方法，包括步骤如下：
7.确定不可压超弹性软材料壳体参考构型底部的曲面确定目标构型的目标曲面构建曲面对应参数方程s(θ
α
)、目标曲面对应参数方程r(θ
α
)，设定两个参数方程均定义在区域ωr、曲面根据{θ1，θ2}生成的坐标曲线网是正交曲率线网；
8.根据目标曲面的参数方程r(θ
α
)计算其对应的第一类基本量{e，f，g}和第二类基本量{l，m，n}；
9.判断目标曲面的坐标曲线是否形成正交曲率线网；
10.若目标曲面的坐标曲线是正交曲率线网，则根据目标曲面的第一类基本量{e，f，g}和第二类基本量{l，m，n}出发计算相应的生长张量然后让不可压超弹性壳构型软材料根据生长张量从参考构型生长变形到目标构型；
11.若目标曲面的坐标曲线不是正交曲率线网，则进行自变量变换生成中间曲面使新的坐标曲线在中间曲面和目标曲面上均可组成正交曲率线网，然后根据目标
曲面的参数方程获取基本量{e，g}和{l，n}、根据中间曲面获取几何基本量{e
*
，g
*
}和主曲率进而获取相应的生长张量让不可压超弹性壳构型软材料根据生长张量从参考构型生长变形到目标构型。
12.进一步地，第一类基本量{e，f，g}、第二类基本量{l，m，n}满足以下关系式：
13.e＝r
，1
·r，1
，f＝r
，1
·r，2
，g＝r
，2
·r，2
，
14.l＝-r
，1
·nt，1
，m＝-r
，1
·nt，2
＝-r
，2
·nt，1
，n＝r
，2
·nt，2
，
15.其中，n
t
为目标曲面上材料点的单位法向量，r
，1
、r
，2
分别为目标曲面内一点的切平面上沿着坐标曲线的两个切向量，下标“,1”、“,2”表示沿曲率坐标θ
α
的导数，α＝1,2。
16.进一步地，判断目标曲面的坐标曲线是否形成正交曲率线网，具体的判断条件为在第一类基本量{e，f，g}和第二类基本量{l，m，n}中的f＝m＝0是否成立。
17.进一步地，若目标曲面的坐标曲线是正交曲率线网，则得到生长张量的过程具体为：
18.根据目标曲面的第一类基本量{e，f，g}和第二类基本量{l，m，n}确定唯一的曲面，获取相应的生长函数如下式：
[0019][0020]
其中，z为壳体的厚度方向坐标；
[0021]
然后由生长函数λ1与λ2得到对应的生长张量
[0022][0023]
从而实现不可压超弹性壳构型软材料从参考构型到目标构型的生长变形。
[0024]
进一步地，若目标曲面的坐标曲线不是正交曲率线网，则自变量变换的过程为：
[0025]
对目标曲面的参数方程r(θ
α
)进行自变量变换，建立从{θ1，θ2}到{η1，η2}的映射，进行坐标变换，使得新的坐标曲线在中间曲面和目标曲面上均可组成。
[0026]
进一步地，利用自变量变换，实现变换坐标构建正交曲率线网的过程如下：
[0027]
自变量变换需要满足θ1＝θ1(η1，η2)，θ2＝θ2(η1，η2)的形式，其中θ1(η1，η2)和θ2(η1，η2)足够光滑，并且其jacobi行列式
[0028]
建立一个{θ1，θ2}平面定义域ωr与{η1，η2}平面定义域的双射关系，此时目标曲面的参数方程为r
*
(η1，η2）＝r(θ1(η1，η2)，θ2(η1，η2))，r
*
(η1，η2)的一阶导数计算如下式：
[0029][0030][0031]
其中，ξ1、ξ2分别为目标曲面内任一点在ωr上两个主方向与x轴的夹角，且上式
中：
[0032][0033][0034]
为保证r
*
(η1，η2)的坐标曲线可以形成正交曲率线网，目标曲面上任一点的一阶导数需与主方向对齐，ξ1、ξ2需要根据以下方程确定：
[0035]
(lf-me)cos2ξ (lg-ne)cosξsinξ (mg-nf)sin2ξ＝0
[0036]
第一类基本量{e，f，g}和第二类基本量{l，m，n}需要根据坐标转换前的曲面参数方程r(θ1，θ2)计算；利用{θ1，θ2}与{η1，η2}的双射关系，给出dη1和dη2的表达式如下：
[0037][0038][0039]
其中，积分因子和分别为：
[0040][0041]
找到合适的积分因子和使dη1和dη2可积，得到η1(θ1，θ2)、η2(θ1，θ2)的显式表达式；
[0042]
让{θ1，θ2}平面定义域ωr通过显式表达式映射到{η1，η2}平面定义域在上定义目标曲面对应的中间曲面中间曲面的参数方程如下式：
[0043]
s(η
α
)＝{x1(η
α
)，x2(η
α
)，x3(η
α
)}其中，η
α
在内取值；中间曲面参数方程与曲面参数方程形式相同，其坐标曲线{η
α
}在和上均可组成正交曲率线网。
[0044]
进一步地，得到中间曲面生长张量的具体过程为：
[0045]
中间曲面的生长张量形式如下：
[0046][0047]
其中，{e
*
，g
*
}、分别是中间曲面的几何基本量、主曲率；目标曲面的基本量{e，g}和{l，n}需要根据参数方程r
*
(η1，η2)计算；
[0048]
根据所获得的生长张量不可压超弹性壳构型软材料即可从参考构型生长变形到目标构型。
[0049]
一种存储介质，存储介质用于存储执行前述任一项的不可压超弹性壳构型软材料生长变形方法的计算机可执行程序。
[0050]
本发明技术方案与现有的软材料生长变性控制技术相比，具有如下有益效果：
[0051]
考虑了壳构型曲面的坐标网是否为曲率线网的情况，对于坐标网为曲率线网的目标曲面，可以直接计算相应的生长函数，对于坐标网不为曲率线网的目标曲面，则通过坐标转换使壳构型目标曲面的坐标网为曲率线网再计算生长函数，使得任意壳构型目标曲面对应的生长场均能够通过生长函数对应的生长张量确定；精确演化不可压超弹性软材料从参考构型到目标构型的生长变形，突破了不可压超弹性软材料的壳构型在现有技术中难以通过生长变形获取的瓶颈，且相应生长函数的形式简单计算量低，降低对软材料进行形状编程设计的时间成本。
附图说明
[0052]
图1为本发明第一种不可压超弹性壳构型软材料生长变形方法的流程图；
[0053]
图2为本发明第二种不可压超弹性壳构型软材料生长变形方法的流程图；
[0054]
图3为通过图2方法获得甜瓜形状生长变形的对照示意图；
[0055]
图4为通过图2方法获得牵牛花形状生长变形的对照示意图；
[0056]
图5为通过图2方法获得气管形状生长变形的对照示意图；
[0057]
图6为通过图2方法获得苹果形状生长变形的对照示意图；
[0058]
图7为本发明第三种不可压超弹性壳构型软材料生长变形方法的流程图；
[0059]
图8为通过图7获得仙人掌形状生长变形中坐标变换的对照示意图；
[0060]
图9为图7中曲面变形的对照示意图；
[0061]
图10为图7模仿仙人掌形状生长变形的对照示意图；
[0062]
图11为本发明第四种不可压超弹性壳构型软材料生长变形方法的流程图；
[0063]
图12为通过图9获得南瓜藤形状生长变形中坐标变化的对照示意图；
[0064]
图13为图11中曲面变形的对照示意图；
[0065]
图14为图11模仿南瓜藤形状生长变形的对照示意图；
[0066]
图15为壳体参考构型中任一点位置向量的分解示意图；
[0067]
图16为图15中壳体底部曲面的坐标系和位置向量局部协变基的示意图；
[0068]
图17为从参数平面映射到初始构型中曲面和目标构型中目标曲面的原理示意图；
[0069]
图18为曲面进行自变量变换改变坐标系的原理示意图。
具体实施方式
[0070]
为了使本发明的目的、技术方案及其优点更加清楚明白，以下结合附图及其实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
[0071]
实施例1
[0072]
如图1所示,本实施例的一种不可压超弹性壳构型软材料生长变形方法，包括步骤如下：
[0073]
s1、选择不可压超弹性软材料壳体参考构型底部的曲面确定目标构型的目标曲面曲面对应参数方程s(θ
α
)，目标曲面对应参数方程r(θ
α
)，α＝1,2，参数方程均定义在区域ωr；曲面根据{θ1，θ2}生成的坐标曲线网是正交曲率线网；
[0074]
s2、根据目标曲面的参数方程r(θ
α
)计算其对应的第一类基本量{e，f，g}和第二类基本量{l，m，n}，第一类基本量{e，f，g}和第二类基本量{l，m，n}满足以下关系式：
[0075]
e＝r
，1
·r，1
，f＝r
，1
·r，2
，g＝r
，2
·r，2
，
[0076]
l＝-r
，1
·nr，1
，m＝-r
，1
·nt，2
＝-r
，2
·nt，1
，n＝r
，2
·nt，2
，
[0077]
其中，n
t
为目标曲面上材料点的单位法向量，r
，1
、r
，2
分别为目标曲面内一点的切平面上沿着坐标曲线的两个切向量，下标表示沿曲率坐标θ
α
的导数；
[0078]
s3、判断目标曲面的坐标曲线是否形成正交曲率线网，即判断在步骤s2中f＝m＝0是否成立；若成立，则执行步骤s6；若不成立，则执行步骤s4；
[0079]
s4、对目标曲面的参数方程r(θ
α
)进行自变量变换，建立从{θ1，θ2}到{η1，η2}的映射进行坐标变换，使得新的坐标曲线构成目标曲面上的正交曲率线网，然后执行步骤s5；如图18所示，利用自变量变换变换坐标的原理如下：
[0080]
自变量变换需要满足θ1＝θ1(η1，η2)，θ2＝θ2(η1，η2)的形式，其中θ1(η1，η2)和θ2(η1，η2)足够光滑，并且其jacobi行列式
[0081]
建立一个{θ1，θ2}平面定义域ωr与{η1，η2}平面定义域的双射关系，此时目标曲面的参数方程为r
*
(η1，η2)＝(θ1(η1，η2)，θ2(η1，η2))，r
*
{η1，η2}的一阶导数计算如下式：
[0082]
[0083][0084]
其中，ξ1、ξ2分别为目标曲面内任一点在ωr上两个主方向与x轴的夹角，且上式中：
[0085][0086][0087]
为保证r
*
(η1，η2)的坐标曲线可以形成正交曲率线网，目标曲面上任一点的一阶导数和需要与主方向对齐，ξ1、ξ2需要根据以下方程确定：
[0088]
(lf-me)cos2ξ (lg-ne)cosξsinξ (mg-nf)sin2ξ＝0
[0089]
第一类基本量{e，f，g}和第二类基本量{l，m，n}需要根据坐标转换前的曲面参数方程r(θ1，θ2)计算；利用{θ1，θ2}与{η1，η2}的双射关系，给出dη1和dη2的表达式如下：
[0090][0091][0092]
其中，积分因子和分别为：
[0093][0094]
找到合适的积分因子和使dη1和dη2可积，得到η1(θ1，θ2)、η2(θ1，θ2)的显式表达式；
[0095]
让{θ1，θ2}平面定义域ωr通过显式表达式映射到{η1，η2}平面定义域在上定义目标曲面对应的中间曲面中间曲面的参数方程如下式：
[0096]
s(η
α
)＝{x1(η
α
)，x2(η
α
)，x3(η
α
)}
[0097]
其中，η
α
在内取值；中间曲面参数方程与曲面参数方程形式相同，其坐标曲线{η
α
}在和上均可组成曲率线网；经过自变量变换，可以从曲面变形到中间曲面后再变形成目标曲面
[0098]
s5、中间曲面的生长张量形式如下：
[0099][0100]
其中，{e
*
，g
*
}、分别是中间曲面的几何基本量、主曲率；目标曲面的基本量{e，g}和{l，n}需要根据参数方程计算；
[0101]
根据所获得的生长张量不可压超弹性壳构型软材料即可从参考构型生长变形到目标构型；
[0102]
s6、根据目标曲面的第一类基本量{e，f，g}和第二类基本量{l，m，n}确定唯一的曲面，获取相应的生长函数如下式：
[0103][0104]
其中，z为壳体的厚度方向坐标；
[0105]
然后由生长函数λ1与λ2得到对应的生长张量
[0106][0107]
从而实现不可压超弹性壳构型软材料从参考构型到目标构型的生长变形。
[0108]
在本实施例中，完成前述步骤获得相应的目标构型后，可在有限元软件abaqus的子程序umat对相应不可压超弹性软材料的壳构型进行编写，将生长张量的各个分量设为状态变量，通过子程序计算弹性应变、柯西应力、一致切线算子，对壳的生长变形进行模拟，从而验证本实施例最后实现目标构型的精度。
[0109]
本实施例的不可压超弹性壳构型软材料生长变形方法与现有技术相比，其有益效果在于：
[0110]
考虑了壳构型曲面的坐标网是否为曲率线网的情况，对于坐标网为曲率线网的目标曲面，可以直接计算相应的生长函数，对于坐标网不为曲率线网的目标曲面，则通过坐标转换使壳构型目标曲面的坐标网为曲率线网再计算生长函数，使得任意壳构型目标曲面对应的生长场均能够通过生长函数对应的生长张量确定；精确控制不可压超弹性软材料从参考构型到目标构型的生长变形，突破了不可压超弹性软材料的壳构型在现有技术中难以通过生长变形获取的瓶颈，且相应生长函数的形式简单计算量低，能够降低不可压超弹性壳构型在软材料形状编程设计的时间成本。
[0111]
实施例2
[0112]
如图2所示,本实施例的一种不可压超弹性壳构型软材料生长变形方法，设定目标
曲面中坐标曲线可以形成正交曲率线网、以旋转面作为目标构型中目标曲面的情况下进行。
[0113]
本实施例的具体步骤如下：
[0114]
s1、选择不可压超弹性软材料壳体参考构型底部的曲面为圆柱面、半径为r0、长度为l、厚度为2h，曲面根据{θ1，θ2}生成的坐标曲线网是正交曲率线网；曲面的参数方程如下式：
[0115]
s(θ1，θ2)＝{r0cosθ1，r0sinθ1，θ2}
[0116]
其中，{θ1，θ2}为曲面在曲率坐标系上的参数变量，θ1取值范围为0≤θ1≤θ0，θ2取值范围为0≤θ2≤l，θ0取值为π时表示参考构型为半圆柱课题，θ0取值为2π时表示参考构型为完整的圆柱壳体；
[0117]
s2、由于此时{θ1，θ2}对应的坐标曲线网在曲面上为正交曲率线网、目标曲面为旋转面且坐标曲线可以形成正交曲率线网，因此根据目标曲面的参数方程r{x，y}计算其对应的第一类基本量{e，f，g}和第二类基本量{l，m，n}，目标曲面的参数方程r(x，y)满足以下关系式：
[0118]
r(x，y)＝(u(θ2)cos(θ1)，u(θ2)sin(θ1)，v(θ2))
[0119]
其中，u(θ2)、v(θ2)分别为任意的光滑函数，u(θ2)和v(θ2)根据具体的不可压超弹性软材料的性质进行设置，(x,y)表示壳体长度和宽度方向的空间坐标；
[0120]
s3、从目标曲面的参数方程r(x，y)中求解出第一类基本量{e，f，g}和第二类基本量{l，m，n}；对于第一类基本量{e，f，g}，其求解结果如下：
[0121]
e＝u2，f＝0，g＝u
′2 v
′2[0122]
对于第二类基本量{l，m，n}，其求解结果如下：
[0123]
m＝0，
[0124]
s4、由于步骤s3中f＝m＝0，因此坐标曲线网在曲面上为正交曲率线网，所以从第一类基本量{e，f，g}出发可获得其生长函数λ1如下式所示：
[0125][0126]
从第二类基本量{l，m，n}出发可获得其生长函数λ2如下式所示：
[0127][0128]
其中，z为壳体厚度方向的坐标；
[0129]
根据生长函数λ1和λ2确定相应的生长张量实现让不可压超弹性软材料从参考构型底部的曲面变换到达目标构型的目标曲面从而实现从参考构型生长变形到目标构型。
[0130]
为进一步说明本实施例所产生的效果，下面结合图3、图4、图5、图6所示，选择四种
目标构型按照前述步骤s1至步骤s4操作后，分别模仿出甜瓜、牵牛花、气管、苹果的形状，x1、x2、x3分别表示各材料点当前位置向量的三个坐标，四个形状各自对应的生长函数分别如下：
[0131]
(1)甜瓜(0≤θ1≤π，0≤θ2≤4)：
[0132][0133]
(2)牵牛花(0≤θ1≤π，0≤θ2≤4)：
[0134][0135]
(3)气管(0≤θ1≤2π，0≤θ2≤4)：
[0136][0137]
(4)苹果(0≤θ1≤2π，0≤θ2≤4)：
[0138][0139]
对前述(1)、(2)、(3)、(4)中的形状进行精度验证，通过数值计算模拟壳的生长变形，根据数值计算结果验证生长函数的设置是否正确。使用商用有限元软件abaqus的子程序umat对neo-hookeank可压缩超弹性材料的本构模型进行编写，其中生长函数设为状态变量；在数值计算过程中，umat将在每个单元的积分点处调用，材料常数选取时保证泊松比μ＝0.4995，即接近不可压缩状态，壳的内径为4，长度为4，厚度设置为0.01，并整个样品划分成20160个c3d8ih(an 8-node linear brick,hybrid,linear pressure,incompatible modes)单元；为了模拟壳的生长过程，生长函数从1开始线性变化到指定值；基于输入的位移数据和状态变量，变形梯度张量和生长张量的取值得以确定，子程序计算弹性应变，进一步计算柯西应力与一致切线算子，并作为输出数据传递到有限元主程序中；壳生长变形的数值模拟结果如图所示，可以看到在前述四种曲面生长之后的壳与目标曲面非常吻合，验证上述生长函数设置正确。
[0140]
本实施例的不可压超弹性壳构型软材料生长变形方法与现有技术相比，其有益效果在于：
[0141]
对于坐标网为曲率线网的目标曲面，通过直接计算相应的生长函数，使得任意壳构型目标曲面对应的生长场均能够通过生长函数对应的生长张量确定，精确演化不可压超弹性软材料从参考构型到目标构型的生长变形，突破了不可压超弹性软材料的壳构型在现有技术中难以通过生长变形获取的瓶颈，且相应生长函数的形式简单计算量低。
[0142]
实施例3
[0143]
如图7、图8、图9、图10所示,本实施例的一种不可压超弹性壳构型软材料生长变形方法，设定目标曲面为螺旋面，螺旋面的坐标曲线不能直接形成正交曲率线网，目标构型为类似仙人掌的形状。
[0144]
本实施例的具体包括步骤如下：
[0145]
s1、选择不可压超弹性软材料壳体参考构型底部的曲面为半圆柱面、半径r0为4、长度l为4、厚度为2h，曲面根据{θ1，θ2}生成的坐标曲线网是正交曲率线网，曲面的参数方程如下式：
[0146]
s(θ1，θ2)＝{4cosθ1，4sinθ1，θ2}
[0147]
其中，0≤θ1≤π，0≤θ2≤4；
[0148]
s2、根据目标曲面的参数方程r(x，y)构建其对应的第一类基本量{e，f，g}和第
二类基本量{l，m，n}，目标曲面的参数方程r(x，y)满足以下关系式：
[0149][0150]
其中，曲面的基本量f＝0，
[0151]
s3、由于目标曲面的坐标曲线不能直接形成正交曲率线网，因此进行自变量变换，建立从{θ1，θ2}映射到{η1，η2}的坐标变换；具体过程为：
[0152]
映射关系可表示为θ1＝θ1(η1，η2)，θ2＝θ2(η1，η2)，参考构型底部的曲面变换后形成中间曲面目标曲面的参数方程为r
*
(η1，η2)＝r(θ1(η1，η2)，θ2(η1，η2))，目标曲面的参数方程计算r
*
(η1，η2)的自然坐标基为自然坐标基的计算如下式：
[0153][0154][0155]
其中，{sinξ
α
，cosξ
α
}
α＝1，2
根据下式计算得到：
[0156][0157][0158]
根据{θ1，θ2}到{η1，η2}的双射关系，给出dη1和dη2的表达式如下：
[0159][0160][0161]
其中，积分因子和分别为：
[0162][0163]
上式中，积分因子和使dη1和dη2可积，选定积分因子的值之后，η1(θ1，θ2)、η2(θ1，θ2)的显式表达式分别如下所示：
[0164][0165]
[0166]
从而将定义域ωr通过显式表达式映射到平面定义域
[0167]
s4、在步骤s3完成目标曲面的坐标变换后，根据目标曲面的参数方程为r
*
(η1，η2)＝r(θ1(η1，η2)，θ2(η1，η2))，计算对应的第一类基本量{e，f，g}和第二类基本量{l，m，n}，具体计算如下式所示：
[0168]
f＝0
[0169]
m＝0；
[0170]
s5、根据步骤s4的结果，计算中间曲面的几何基本量为{e
*
，g
*
}＝{16，1}、主曲率然后根据参数方程r
*
(η1，η2)计算螺旋面的基本量{e，g}和{l，n}，然后将{e，g}和{l，n}代入下式：
[0171][0172]
得到从参考构型生长变形成目标构型的生长张量如下：
[0173][0174]
让不可压超弹性软材料壳体根据生长张量从参考构型生长变形到为类似仙人
掌形状的目标构型。
[0175]
本实施例的不可压超弹性壳构型软材料生长变形方法与现有技术相比，其有益效果在于：
[0176]
对于坐标网为曲率线网的目标曲面，通过直接计算相应的生长函数，使得任意壳构型目标曲面对应的生长场均能够通过生长张量确定，精确演化不可压超弹性软材料从参考构型到目标构型的生长变形，突破了不可压超弹性软材料的壳构型在现有技术中难以通过生长变形获取的瓶颈，且相应生长函数的形式简单计算量低。
[0177]
实施例4
[0178]
如图11、图12、图13、图14所示,本实施例的一种不可压超弹性壳构型软材料生长变形方法，设定目标曲面为螺旋管面，螺旋管面的坐标曲线不能直接形成正交曲率线网，目标构型为类似南瓜藤的形状。
[0179]
本实施例的具体包括步骤如下：
[0180]
s1、选择不可压超弹性软材料壳体参考构型底部的曲面为完整圆柱面、半径r0为4、长度l为8、厚度为2h，曲面根据{θ1，θ2}生成的坐标曲线网是正交曲率线网，曲面的参数方程如下式：
[0181]
s(θ1，θ2)＝{4cosθ1，4sinθ1，θ2}
[0182]
其中，0≤θ1≤2π，0≤θ2≤8；
[0183]
s2、根据目标曲面的参数方程r(x，y)计算其对应的第一类基本量{e，f，g}和第二类基本量{l，m，n}，目标曲面的参数方程r(x，y)满足以下关系式：
[0184][0185]
其中，f＝cosθ1，
[0186]
s3、由于步骤s2中f≠0，m≠0，目标曲面的坐标曲线不能直接形成正交曲率线网，因此进行自变量变换，建立从{θ1，θ2}映射到{η1，η2}的坐标变换；具体过程为：
[0187]
映射关系可表示为θ1＝θ1(η1，η2)，θ2＝θ2(η1，η2)，参考构型底部的曲面变换后形成中间曲面目标曲面的参数方程为r
*
{η1，η2}＝r(θ1(η1，η2)，θ2(η1，η2))，目标曲面的参数方程计算r
*
{η1，η2}的自然坐标基为
[0188]
根据{θ1，θ2}到{η1，η2}的双射关系，给出dη1和dη2的表达式；由于螺旋管面的积分因子和解释复杂，所以采用数值方法对其求解；：
[0189]
选定积分因子的值之后，η1(θ1，θ2)、η2(θ1，θ2)的显式表达式通过插值函数表示，从而将定义域ωr通过显式表达式映射到平面定义域
[0190]
s4、在步骤s3完成目标曲面的坐标变换后，根据目标曲面的参数方程为r
*
(η1，η2)＝r(θ1(η1，η2)，θ2(η1，η2))，计算对应为插值函数形式的第一类基本量{e，f，g}和第二类基本量{l，m，n}；
[0191]
s5、根据步骤s4的结果，计算中间曲面的几何基本量为{e
*
，g
*
}＝{16，1}、主曲率然后根据参数方程r
*
(η1，η2)计算基本量{e，g}和{l，n}，然后将{e，g}和{l，n}代入下式：
[0192][0193]
得到从参考构型生长变形成目标构型的生长张量让不可压超弹性软材料壳体根据生长张量从参考构型生长变形到为类似南瓜藤形状的目标构型。
[0194]
本实施例的不可压超弹性壳构型软材料生长变形方法与现有技术相比，其有益效果在于：
[0195]
对于坐标网为曲率线网的目标曲面，通过直接计算相应的生长函数，使得任意壳构型目标曲面对应的生长场均能够通过生长张量确定，精确演化不可压超弹性软材料从参考构型到目标构型的生长变形，突破了不可压超弹性软材料的壳构型在现有技术中难以通过生长变形获取的瓶颈，且相应生长函数的形式简单计算量低。
[0196]
为说明以上实施例1、实施例2、实施例3的可行性，对本发明的原理做出如下文的阐释(在下文中，希腊字母(α,β,γ
…
)从1到2变化，拉丁字母(i,j,k
…
)从1到3变化)：如图15、图16、图17所示，对三维欧氏空间中具有一定厚度的超弹性壳，选取合适的笛卡尔坐标系，假设壳的参考构型所在的域为中的其厚度2远小于曲面区域的尺寸及其局部曲率半径；沿笛卡尔坐标轴方向的单位矢量系统表示为{e1，e2，e3}，壳中给定的材料点的位置向量为x＝x
iei
＝x1e1 x2e2 x3e3，使用曲率坐标系{ω
α
}
α＝1，2
对壳参考构型中的曲面进行参数化，其参数方程为s(θ
α
)＝{x1(θ
α
)，x2(θ
α
)，x3(θ
α
)}，变量{θ1，θ2}定义在参数平面ωr上；
[0197]
曲面内一点的切平面上沿着坐标曲线的两个切向量为下标“，α”表示沿曲率坐标θ
α
的导数，{g
α
}
α＝1，2
组成了切平面上的两个协变基，{g
α
}
α＝1，2
组成了切平面上的两个逆变基，曲面内一点的单位法向量定义为∧为向量之间的外积运算符，|
·
|为绝对值运算符；令g3和g3均为n，则{gi}
i＝1，2，3
和{gi}
i＝1，2，3
组成了曲面上的两组右手正交基；壳参考构型中材料点的位置向量x可以分解为x＝s(θ
α
) zn(θ
α
)，其
中0≤z≤2h，z为材料点沿着法向n的坐标；
[0198]
曲面的第一类基本形式ir和第二类基本形式iir可以写成下式所示：
[0199]
ir＝g
αβ
dθ
α
dθ
β
，iir＝b
αβ
dθ
α
dθ
β
[0200]
其中，g
αβ
＝g
α
·gβ
、b
αβ
＝s
,αβ
·
n是基本量，曲面的第一类基本量{er，fr，gr}和第二类基本量{lr，mr，nr}记作以下的形式：
[0201]er
＝g
11
，fr＝g
12
＝g
21
，gr＝g
22
[0202]
lr＝b
11
，mr＝b
12
＝b
21
，nr＝b
22
[0203]
让壳沿着g1和g2的方向双轴生长变形时，壳的生长场就可以用对角张量表示，生长函数分别对应λ1(θ1，θ2，z)和λ2(θ1，θ2，z)；让生长场沿壳的厚度方向线性分布，则生长函数能够使壳生长为任意的目标构型，如以下形式：
[0204][0205][0206]
由于壳中的生长场可能是不相容的，壳内会产生残余应力，进而导致壳的弹性变形到达当前构型材料点新的位置向量x(θ
α
，z)＝xi(θ
α
，z)ei，其中当前坐标(x1，x2，x3)依赖中的参考坐标(θ1，θ2，z)；采用总变形梯度张量描述变形的情况，如以下的形式：
[0207][0208]
其中，是平面内的二维梯度算子，为张量积运算符，是矩阵的逆矩阵，的逆矩阵，为2
×
2的单位矩阵，曲率张量下标“，z”记作对坐标z的导数；
[0209]
通常来说，总变形梯度张量分解为弹性应变张量满足约束方程形式如下：
[0210][0211]
其中，det(
·
)表示矩阵的行列式，对于不可压超弹性软材料的壳，弹性应变能函数形式如下：
[0212][0213]
由此可得名义应力张量形式如下：
[0214][0215]
其中p(θ
α
，z)是与相关的拉格朗日乘子；
[0216]
不可压超弹性壳生长变形过程中，参考构型、目标构型中壳底面参数方程分别假
定为s(θ
α
)＝{x1(θ
α
)，x2(θ
α
)，x3（θ
α
)}、r(θ
α
)＝{x1(θ
α
)，x2(θ
α
)，x3（θ
α
)}，分别将二维的参数平面映射为参考构型中的曲面当前构型中的曲面通过在初始构型中设置合适的生长函数，曲面通过生长变形到达目标曲面固定θ1或θ2的其中一个再改变另外一个，可以在曲面上生成坐标线组成曲面和参数曲线网；曲面内一点的切平面上沿着坐标曲线的两个切向量为单位法向量为
[0217]
若进一步设定参考构型底部的曲面上由{θ1，θ2}生成的坐标曲线网是一个正交曲率线网，则g1和g2相互垂直，以下的几何量可做相应形式的简化：
[0218]fr
＝g
12
＝g
21
＝0，mr＝b
12
＝b
21
＝0，
[0219][0220]
其中，κ1、κ2均分别为曲面的主曲率。
[0221]
实施例5
[0222]
本实施例提供一种存储介质，用于存储前述实施例1、实施例2、实施例3、实施例4其中的一种或多种不可压超弹性壳构型软材料生长变形方法对应的计算机可执行程序。当本实施例的存储介质中的计算机可执行程序被执行时，前述实施例1、实施例2、实施例3、实施例4其中的一种或多种不可压超弹性壳构型软材料生长变形方法可被依次执行。
[0223]
上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。