一种七自由度协作机器人刚度建模与辨识方法与流程

1.本发明涉及协作机器人领域，具体地说是一种七自由度协作机器人刚度建模与辨识方法。


背景技术：

2.随着中国工业化进程的的不断推进，市场对工业机器人的需求也在不断变化，其中机器人和人的协作需求催生了协作机器人的发展。
3.协作机器人是指能够在指定的协作区域内与人进行直接交互的机器人，具有人机融合、安全易用、灵敏精准及灵活通用的特点，不仅适应工业领域中小批量、多品种、用户定制的柔性制造需求，在应对老龄化的社会服务、康复医疗等领域也有潜在的应用前景，已经成为引领未来机器人发展的重要方向。协作机器人轻质、高负载自重比的设计理念要求机器人关节一体化、结构紧凑以及臂杆轻量化，这使协作机器人引入了大量的柔性因素，而连杆等结构件和支撑件对机器人整机刚度的影响不可忽略，这对整机刚度的提高带来了困难，从而影响了机器人的动态性能和精度。虚拟关节法是机器人刚度建模的常用方法，但建模工作量大，而对协作机器人而言，如何减少建模工作量又能保证建模的精度是亟待解决的问题。


技术实现要素：

4.本发明的目的在于提供一种七自由度协作机器人刚度建模与辨识方法，对七自由度机器人刚度辨识位姿选取进行了研究，将逆条件数作为观察指标确定机器人灵活性较高的良好识别区域，提高了刚度模型的识别精度，可以有效地进行最优构型选择。
5.本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：
6.一种七自由度协作机器人刚度建模与辨识方法，包括如下步骤：
7.步骤一：对机器人进行运动学建模，定义机器人关节参数；
8.步骤二：对机器人进行刚度建模；
9.步骤三：选择逆条件数作为最优方法的观察性指标，求解各关节对逆条件数的个体影响，并根据各关节对逆条件数的影响获得关节空间内的良好识别区域；
10.步骤四：计算关节刚度。
11.步骤一中，将每两个相邻的连杆用改进的dh参数描述为：
[0012][0013]
其中是第i-1连杆的齐次变换矩阵，表示第i连杆坐标系到第i-1连杆坐标系的变换；
[0014]
推导出七自由度机器人运动学方程为：
[0015][0016]
步骤二中，冗余机器人的刚度模型k
x
简化为：
[0017]
k
x
＝(j)
t
k
θ
j
ꢀꢀ
(6)；
[0018]
上式(6)中，j表示机器人的雅克比矩阵，k
θ
表示关节刚度矩阵。
[0019]
步骤二中，冗余机器人的刚度模型k
x
简化过程如下：
[0020]
通过刚度矩阵定义机器人在终点时的刚度性能，具体为：
[0021]
f＝k
x
δt
ꢀꢀ
(3)；
[0022]
上式(3)中，f是施加在机器人端点上的外力和力矩矢量，δt表示笛卡尔空间中机器人端点的弹性形变；
[0023]
将冗余机器人的刚度模型k
x
表示为：
[0024]
k
x
＝(j)
t
(k
θ-k
c
)
j
ꢀꢀ
(4)；
[0025][0026]
上式(4)和(5)中，j表示机器人的雅克比矩阵，k
c
是刚度模型的互补刚度矩阵，k
θ
表示关节刚度矩阵，是关节位移矢量；
[0027]
对于冗余机械臂，雅可比矩阵j不可逆，并假设机器人的雅可比矩阵j不随末端负载而变化，即互补刚度矩阵k
c
对刚度模型的影响可以忽略不计，将刚度模型简化为：
[0028]
k
x
＝(j)
t
k
θ
j
ꢀꢀ
(6)。
[0029]
步骤三中，逆条件数定义如下：
[0030][0031]
上式(7)中，κ
f
表示基于frobenius(罗贝尼乌斯)范数的雅克比矩阵的条件数，tr(g)表示矩阵的迹；
[0032]
通过特征长度l将机器人的雅可比矩阵j进行归一化处理，维度均匀的雅可比矩阵j
n
与未规范化的雅可比矩阵j之间的关系表示为：
[0033][0034]
步骤三中，机器人的特征长度l推导如下：
[0035]
a
max
＝max{a
i
}，
[0036]
d
max
＝max{d
i
}(i＝1，2，
…
7)，
[0037]
m＝max{a
max
,d
max
}，
[0038][0039]
其中a
i
为机器人连杆长度，d
i
为连杆偏距；
[0040]
通过使雅可比矩阵j
n
最小条件数最小的来寻找特征长度l，把所有设计变量放到新的设计向量中，即：
[0041][0042]
向量值x的求解可转化为求解优化问题：
[0043][0044]
步骤三中，求解各关节对逆条件数的个体影响及获得良好识别区域的过程如下：
[0045]
将的数学模型表示为：
[0046][0047]
用影响因素x
i
的个体效应表示当x
i
不变，变化其他m-1个影响因素所得的条件数平均值，即：
[0048][0049]
使各影响因素x
i
在允许变化范围[a
i
,b
i
]内离散为s
i
个小区间，将等分点作为离散节点(s
i
1)，于是：
[0050][0051]
上式(13)中，p
j
为离散点编号，x
j
(p
j
)表示第j个影响因素在p
j
离散点处的数值；
[0052]
用影响因素x
i
和每个影响因素x
i
的离散点构造下式(14)中所示的正交阵列(oa)：
[0053][0054][0055]
其中，λ
j,i
是第j个实验单元中第i个影响因子的离散点的序列号；
[0056]
通过下式(16)解决个体效用f(x
i
)的影响：
[0057]
[0058]
其中x
m
(λ
j,m
)代表在第λ
j,m
离散点的影响因子x
m
的值；
[0059]
通过执行方差分析来确定影响因素x
i
是否对逆条件数数产生重大影响，根据各影响因素x
i
对逆条件数的影响获取关节空间中的良好识别区域。
[0060]
步骤三中，通过执行方差分析来确定影响因素x
i
是否对逆条件数产生重大影响，归因于以下假设检验：
[0061][0062]
影响因素x
i
的总平均值μ(x
i
)推导为：
[0063][0064]
影响因素x
i
误差的平方和s
e
(x
i
)得出：
[0065][0066]
影响因素x
i
的平方和s
a
(x
i
)得出：
[0067][0068]
因此，测试统计t
i
的f分布检验统计量为：
[0069][0070]
通过方差分析忽略对逆条件数没有重大影响的因素，并简化逆条件数数学模型，同时通过比较t
i
得出各影响因素x
i
对逆条件数的影响顺序，t
i
越大，第i个因素对逆条件数的影响越大。
[0071]
步骤三中，根据各影响因素x
i
对逆条件数的影响确定优化关节，并绘制关节轮廓图，分别计算全局区域、良好识别区域和其他区域的逆条件数，良好识别区域的平均逆条件数、最大逆条件数和最小逆条件数均大于全局区域和其他区域的逆条件数。
[0072]
步骤四中通过最小二乘法计算关节刚度值。
[0073]
本发明的优点与积极效果为：
[0074]
1、本发明对七自由度机器人刚度辨识位姿选取进行了研究，将逆条件数最为观察指标确定机器人灵活性较高的良好识别区域，在该区域内选取多组测量位姿用于刚度辨识，降低了最小二乘解的误差敏感度，提高了刚度模型的识别精度。
[0075]
2、本发明采用基于正交设计实验(ode)的影响因子分离方法(ifsm)来分离关节对逆条件数的个体影响，并根据逆条件数找出每个关节的变化规律，通过实验结果的方差分析(anova)，可以找出对指标有显著影响的关节，从而获得关节空间内机器人的良好识别区域，降低了建模工作量。
附图说明
[0076]
图1为本发明的设计方法流程图；
[0077]
图2为本发明的七自由度冗余机器人示意图；
[0078]
图3为图2中七自由度冗余机器人虚拟关节原理图；
[0079]
图4为本发明实施例的逆条件数与影响因素的关系图；
[0080]
图5为本发明实施例确定良好识别区域的关节轮廓图。
具体实施方式
[0081]
下面结合附图对本发明作进一步详述。
[0082]
如图1～5所示，本发明包括如下步骤：
[0083]
步骤一：对机器人进行运动学建模，定义机器人关节参数。
[0084]
如图2～3所示，七自由度冗余机器人可以看成由八个连杆和七个关节组成，dhm参数化建模方法能够通过连杆转角α
i-1
，连杆长度a
i-1
，连杆偏距d
i
，关节角θ
i
四个参数来描述连杆的运动特性，其中，α
i-1
、a
i-1
描述连杆i-1本身的运动特性，d
i
、θ
i
描述连杆i-1和连杆i之间的联接关系。
[0085]
坐标系o
i-x
i
y
i
z
i
相对于坐标系o
i-1-x
i-1
y
i-1
z
i-1
的连杆变换通式为：
[0086][0087]
上式(1)中cθ
i
＝cosθ
i
，sθ
i
＝sinθ
i
，cα
i-1
＝cosα
i-1
，sα
i-1
＝sinα
i-1
。
[0088]
每两个相邻的连杆可用上述改进的dh参数描述(即式(1))，机器人末端的位姿可以通过连杆的齐次变换矩阵连乘获得，可推导七自由度机器人运动学方程为：
[0089][0090]
上式(2)中，分别表示姿态矩阵和位置矩阵。
[0091]
由上式(2)的机器人运动学方程可获得机器人关节位移矢量θ
i
表示第i个关节的位移角。
[0092]
步骤二：使用虚拟关节法(vjm)对机器人进行刚度建模，具体为：
[0093]
(2.1)通过刚度矩阵定义机器人在终点时的刚度性能，具体为：
[0094]
f＝k
x
δt
ꢀꢀ
(3)；
[0095]
上式(3)中，f是施加在机器人端点上的外力和力矩矢量，δt表示笛卡尔空间中机器人端点的弹性形变。
[0096]
(2.2)将冗余机器人的刚度模型k
x
表示为：
[0097]
k
x
＝(j)t(k
θ-k
c
)j
ꢀꢀ
(4)；
[0098][0099]
上式(4)和(5)中，j表示机器人的雅克比矩阵，k
c
是刚度模型的互补刚度矩阵，k
θ
表示关节刚度矩阵，是关节位移矢量，由步骤一的机器人运动学方程获得。
[0100]
对于冗余机械臂，雅可比矩阵j是不可逆的，因此使用moore-penrose逆(摩尔－彭若斯逆)，并假设机器人的雅可比矩阵j不随末端负载而变化，即互补刚度矩阵k
c
对刚度模型的影响可以忽略不计，可以将刚度模型简化为：
[0101]
k
x
＝(j)
t
k
θ
j
ꢀꢀ
(6)；
[0102]
步骤三：选择可观察指标，求解各关节对可观测指标的影响程度，并在关节空间中求解较好的辨识区域，具体为：
[0103]
(3.1)选择逆条件数作为最优方法的可观察性指标，具体为：
[0104]
(3.1.1)基于frobenius(罗贝尼乌斯)范数的jacobian(雅可比)矩阵的逆条件数定义如下：
[0105][0106]
上式(7)中，κ
f
表示基于frobenius(罗贝尼乌斯)范数的雅克比矩阵的条件数，tr(g)表示矩阵的迹，逆条件数越接近1，机器人配置的灵活性就越好，当时，机器人的配置称为各向同性，并且此配置的灵活性最高，而越小，机器人的配置就越接近奇点。
[0107]
由于逆条件数对刚度识别的结果高度敏感，因此将其用作选择最佳机器人配置的标准，并且应尽可能接近1。
[0108]
(3.1.2)通过特征长度l将机器人的雅可比矩阵j进行归一化处理，维度均匀的雅可比矩阵用j
n
表示，其与未规范化的雅可比矩阵j之间的关系可表示为：
[0109][0110]
上式(8)中，l表示获得的机器人的特征长度。
[0111]
l的推导如下：
[0112]
a
max
＝max{a
i
}，
[0113]
d
max
＝max{d
i
}(i＝1，2，
…
7)，
[0114]
m＝max{a
max
,d
max
}，
[0115][0116]
其中a
i
为机器人连杆长度，d
i
为连杆偏距。
[0117]
因此，可以通过使雅可比矩阵j
n
最小条件数最小的来寻找特征长度l，把所有设
计变量放到新的设计向量中，即：
[0118][0119]
向量值x的求解可转化为求解优化问题：
[0120][0121]
(3.2)通过ifsm获得每个关节的个体效应以及关节对逆条件数的显著影响，具体为：
[0122]
(3.2.1)采用基于正交设计实验(ode)的影响因子分离方法(ifsm)来分离关节对逆条件数的个体影响，并根据逆条件数找出每个关节的变化规律，通过实验结果的方差分析(anova)，可以找出对指标有显着影响的关节，从而获得关节空间内机器人的良好识别区域。
[0123]
将的数学模型表示为：
[0124][0125]
用关节影响因素x
i
的个体效应表示当x
i
不变，变化其他m-1个影响因素所得的条件数平均值，即：
[0126][0127]
显然，对于上式求重积分非常困难，在实际操作中几乎不可行。但在对机器人条件数模型进行分析时，通常只需要了解条件数κ
f
随机器人各关节位移角θ
i
的变化趋势，而不是精确的变化曲线。因此，可将求多重积分的复杂数学推导转变为级数求和问题，也即使各关节影响因素x
i
在其允许变化范围[a
i
,b
i
]内离散为s
i
个小区间，将等分点作为离散节点(s
i
1)。
[0128]
于是：
[0129][0130]
上式(13)中，p
j
为离散点编号，x
j
(p
j
)表示第j个影响因素在p
j
离散点处的数值。
[0131]
(3.2.2)使用一种影响因素分离方法，以较少的计算量来获得各个因素的影响，这种方法可以从上式(11)的逆条件数数学模型中快速分离出各个因素x
i
的影响。
[0132]
假设每个影响因素x
i
的离散点数相同，即s
i
＝s,根据影响因素x
i
及其离散点的数量，用影响因素x
i
和每个影响因素x
i
的离散点构造下面方程(14)中所示的正交阵列(oa)l
c
(s
m
)。所述正交阵列(oa)的每一列代表一个影响因素x
i
，而每一行代表在因子的不同离散点组合下的一个实验单位，实验总数为c＝s2。
[0133][0134][0135]
上式(15)中，λ
j,i
是第j个实验单元中第i个影响因子的离散点的序列号。
[0136]
通过以下公式(16)解决个体效用f(x
i
)的影响：
[0137][0138]
其中x
m
(λ
j,m
)代表在第λ
j,m
离散点的影响因子x
m
的值。
[0139]
(3.2.3)通过执行方差分析来确定关节影响因素x
i
是否对逆条件数产生重大影响，并且可以将此问题归因于以下假设检验：
[0140][0141]
影响因素x
i
的总平均值μ(x
i
)可以推导为：
[0142][0143]
影响因素x
i
误差的平方和s
e
(x
i
)可以得出：
[0144][0145]
影响因素x
i
的平方和s
a
(x
i
)可以得出：
[0146][0147]
因此，测试统计t
i
的f分布检验统计量为：
[0148][0149]
设λ为显著性水平，通常取0.01，如果是检验统计t
i
≤f
λ
(s-1,s
2-s)，则表示有99％的确定性可以接受h0，即影响因子x
i
对逆条件数没有显着影响，相反当t
i
>f
λ
(s-1,s
2-s)，表示要拒绝h0的确定性为99％时，即影响因素x
i
对逆条件数有重大影响。因此，通过方差分
析(anova)可以忽略对逆条件数没有重大影响的因素，并简化逆条件数数学模型，同时通过比较t
i
，可以得出各因素x
i
对逆条件数从初级到次级的影响顺序，t
i
越大，第i个因素对逆条件数的影响越大。
[0150]
对于如图2～3所示的七自由度协作机器人，第一个关节和最后一个关节的位移不影响机器人的逆向条件数可以在分析过程中将其设置为任何值，本实施例中将关节1位移设为θ1＝0
°
，将最后一个关节7位移设为θ7＝0
°
，其他五个关节是影响因素x
i
。
[0151]
在本实施例中，每个机器人关节的工作范围平均分为60个间隔，因此上式(14)的正交阵列(oa)由5个因素构成，每个因素包含61个等级。
[0152]
图4显示了上述五个关节在逆条件数上的效果曲线，从图4可以看出，每个关节对逆条件数的影响程度是不相等的，与关节2和关节3相比，关节4、关节5和关节6对逆条件数的影响更大。
[0153]
根据上述步骤(3.2.3)计算每个影响因子x
i
的测试统计量t
i
，在五个关节中，关节4测试统计量t
i
最大，表明对逆条件数的影响最大，其次是关节6，而关节3对逆条件数的影响最小，并且根据上述步骤(3.2.3)方差分析，有99％的把握可以判断关节3对逆条件数没有明显影响。
[0154]
(3.3)获取关节空间中的几个良好的识别区域(机器人灵活性较高的区域)，并选择一组在这些区域中具有较大逆条件数的测量位姿，以实现刚度识别的良好收敛。
[0155]
对关节4、5、6进行优化，并将关节5的工作空间划分为10个相等的间隔，绘制关节5的间隔点处的关节轮廓图，如图5所示，通过蒙特卡罗方法分别计算了全局区域、良好识别区域和其他区域的逆条件数由于关节空间是对称的，因此仅将关节空间的一半用于分析和计算，每次计算使用两百万个采样点。经过计算验证，良好识别区域的平均逆条件数、最大逆条件数和最小逆条件数均大于全局区域和其他区域的逆条件数，证明基于正交设计实验(ode)的影响因子分离方法(ifsm)的有效性。所述蒙特卡罗方法为本领域公知技术。
[0156]
在获取的关节空间中的几个良好的识别区域中，选择一组在这些区域中具有较大逆条件数的测量位姿实现刚度识别的良好收敛。
[0157]
步骤四：根据步骤二中的刚度模型和步骤三中选择的刚度识别的良好识别区域，通过最小二乘法计算关节刚度值，具体为：
[0158]
根据步骤三中选择的刚度识别的良好识别区域(机器人灵活性较高的区域)，在该区域内选取多组测量位姿用于刚度辨识代入步骤二中的刚度模型，并使用最小二乘法最小化残差平方和，如下式所示：
[0159][0160]
[0161]
上式(22)和(23)中，f
i
是施加到机器人端点的力矢量f的第i分量，c是关节刚度向量。
[0162][0163]
每个实验都获得了6
×
1力矢量、6
×
1弹性位移矢量和6
×
6a矩阵。因此，矩阵的大小从6
×
7变为6nq
×
7，基于a的广义逆，c的值c
min
使近似误差的欧几里得范数δ最小。
[0164]
c
min
＝(a
t
a)-1
a
t
δt
ꢀꢀ
(24)；
[0165]
上述最小二乘法计算为本领域公知技术。
[0166]
本实施例中，各步骤运算及绘图可通过matlab等商业软件实现。