非常规油气藏压裂返排液中污染物浓度获得方法与流程

1.本发明涉及页岩气藏开发领域，具体涉及一种非常规油气藏压裂返排液中污染物浓度获得方法。


背景技术：

2.页岩气开发主要采用水平井钻井技术与水力压裂技术，水力压裂的大量压裂液在开井后逐渐返排出水平井。返排液成分来源有两个方面：一是压裂液本身所含有的化学物质，二是当压裂液注入地层后，与基质可能发生反应所产生的或被返排时从岩缝中带走的物质。
3.返排液中的各成分的浓度较高，达不到直接排放的要求，返排液处理不当会造成一定的水污染，对返排液污染物浓度进行有效预测可以提前制定相应的污染物处理方案，其对油田现场的污染物处理工作具有非常重要的意义，因此，需要建立合理的页岩水平井压裂液返排模型，对压裂返排液中的污染物浓度进行模拟和预测。目前，页岩气藏水平井液返排模拟主要是基于油藏数值模拟软件(cmg)实现的，相关的研究较少，李勇明等人的发明专利“一种页岩气藏压裂水平井压裂液返排模拟方法”(专利号 cn201910497349.3)建立了页岩气藏压裂水平井压裂液返排模型，基于有限差分方法对模型进行求解，虽然计算结果精确，但计算方式复杂，易用性不足；谭晓华等人的发明专利“一种页岩气井返排率预测方法”(专利号cn202010563970.8)建立了页岩气井压裂液返排模型，通过页岩气井生产数据总结出页岩气井返排特征函数，可以结合实际生产数据预测返排率，但对于数据需求量大，普适性不强，且未考虑返排液中不同污染物的对流、扩散和反应，无法有效模拟和预测压裂返排液中的污染物浓度。


技术实现要素：

4.本发明的目的是针对目前压裂返排液污染物浓度测定方式少且部分方法较为复杂的问题，提供了一种非常规油气藏压裂返排液中污染物浓度获得方法，计算简单，实用性强。
5.本发明通过下述技术方案实现：
6.一种非常规油气藏压裂返排液中污染物浓度获得方法，包括以下步骤：
7.建立压裂返排液中的污染物在裂缝系统中的对流
‑
反应
‑
扩散模型；
8.建立压裂返排液中的污染物在水平井筒中的对流
‑
扩散模型；
9.建立压裂返排液中的污染物在裂缝
‑
水平井筒中的对流
‑
反应
‑
扩散耦合模型；
10.对污染物在裂缝
‑
水平井筒中的对流
‑
反应
‑
扩散耦合模型求解，获得压裂返排液中污染物的浓度。
11.具体地，所述压裂返排液中的污染物在裂缝系统中的对流
‑
反应
‑
扩散模型的建立包括以下步骤：
12.建立流体对流方程：
13.j
c
＝vc
14.式中，v—流体通过介质断面的平均流速；
15.c—污染物浓度；
16.j
c
—污染物通量；
17.建立流体扩散方程：
[0018][0019]
式中，d—压裂返排液中污染物分子扩散系数；
[0020]
l—扩散方向的距离；
[0021]
建立流体对流
‑
扩散方程：
[0022][0023]
式中，v
x
、v
y
、v
z
分别为达西流速在x、y、z方向的分量；
[0024]
建立流体对流
‑
反应
‑
扩散方程：
[0025][0026]
式中，r(t)—对流
‑
扩散方程的源/汇项；
[0027]
确定定解条件，包括初始条件和边界条件；
[0028]
初始条件：c(x,y,z,t)
t＝0
＝c0(x,y,z)；
[0029]
式中，t＝0为任意给定的初始时刻；c0是已知函数；
[0030]
边界条件：dirichlet条件：c(x，y，z，t)|
γ
＝q1(x，y，z，t)(x，y，z)∈γ，t＞0；
[0031]
式中，边界上的浓度c是已知函数q1(x,y,z,t)；
[0032]
neumann条件：
[0033]
式中，边界上的扩散通量是已知函数q2(x,y,z,t)；
[0034]
cauchy条件：
[0035]
式中，边界上的污染物通量是已知函数q3(x,y,z,t)；
[0036]
建立压裂返排液中污染物在裂缝中的对流
‑
反应
‑
扩散模型。
[0037]
具体地，所述建立压裂返排液中污染物在裂缝中的对流
‑
反应
‑
扩散模型具体包括以下步骤：
[0038]
以水平井筒的方向为x轴，垂直方向为y轴，设定页岩气藏水平井水压裂形成了m条裂缝，第i条非等距任意倾角的人工裂缝为人工裂缝中任意一条，左翼长度为l
fkl
，与水平井筒正方向的夹角为α(k)，右翼长度为l
fkr
，与水平井筒正方向夹角为β(k)，人工裂缝与水平井筒的交点坐标为(x
fk
,0)；
[0039]
建立压裂返排液中污染物在第i条任意倾角的人工裂缝右翼中的对流
‑
反应
‑
扩散模型：
[0040]
dirichlet边界条件：
[0041][0042]
neumann边界条件：
[0043][0044]
cauchy边界条件：
[0045][0046]
式中，c
fir
(x,y,t)—第i条裂缝右翼内的任一点(x,y)，在时刻t处污染物的浓度；
[0047]
q
fir
(x,y,t)—第i条裂缝右翼边界条件已知函数，在求解区域内是有界函数；
[0048]
—第i条裂缝右翼内污染物浓度变化速率系数；
[0049]
v
firx
、v
firy
—第i条裂缝右翼内压裂返排速度在x、y方向上的分速度；
[0050]
c
fir0
(x,y)—第i条裂缝右翼初始时刻已知函数，在求解区域内是有界函数；
[0051]
(x
fir
,y
fir
)—第i条任意倾角的裂缝右翼尖端坐标：
[0052][0053]
建立压裂返排液中污染物在第i条任意倾角的人工裂缝左翼中的对流
‑
反应
‑
扩散模型：
[0054]
dirichlet边界条件：
[0055][0056]
neumann边界条件：
[0057][0058]
cauchy边界条件：
[0059][0060]
式中，c
fil
(x,y,t)—第i条裂缝左翼内的任一点(x,y)，在时刻t处污染物的浓度；
[0061]
q
fil
(x,y,t)—第i条裂缝左翼边界条件已知函数，在求解区域内是有界函数；
[0062]
—第i条裂缝左翼内污染物浓度变化速率系数；
[0063]
v
filx
、v
fily
—第i条裂缝左翼内压裂返排速度在x、y方向上的分速度；
[0064]
c
fil0
(x,y)—第i条裂缝左翼初始时刻已知函数，在求解区域内是有界函数；
[0065]
(x
fil
,y
fil
)—第i条任意倾角的裂缝右翼尖端坐标：
[0066][0067]
具体地，所述建立流体对流
‑
扩散方程具体包括以下步骤：
[0068]
建立由对流作用引起的污染物质量变化方程：
[0069][0070][0071][0072]
式中，m
1x
、m
1y
、m
1z
分别表示在δt时段内沿x、y、z方向由于对流作用而流入单元体内污染物质量增量；
[0073]
建立由扩散作用引起的污染物质量变化方程：
[0074][0075][0076][0077]
式中，m
2x
、m
2y
、m
2z
分别表示在δt时段内沿x、y、z方向由于扩散作用而产生的单元体内污染物质量增量；
[0078]
建立在δt时段内引起的污染物质量变化方程：
[0079][0080]
获得对流—扩散方程：
[0081][0082]
具体地，所述压裂返排液中的污染物在水平井筒中的对流
‑
扩散模型的建立包括以下步骤：
[0083]
设定页岩气藏水平井水压裂形成了m条裂缝，且1＜i<m；
[0084]
建立压裂返排液中污染物在第1条与第2条任意倾角的人工裂缝对应的水平井段之间的水平井段的对流
‑
扩散模型：
[0085][0086]
建立压裂返排液中污染物在第i条与第i条任意倾角的人工裂缝对应的水平井段之间的水平井段的对流
‑
扩散模型：
[0087][0088]
式中，v
i
—返排液在第i条与第i 1条任意倾角的人工裂缝对应的水平井段入口端之间的平均速度；
[0089]
c
i,i 1
(x,t)—第i条到第i 1条任意倾角的人工裂缝对应的水平井段入口端之间的水平井射孔段内污染物的浓度；
[0090]
建立压裂返排液中的污染物在第m条人工裂缝对应的水平井段入口端与水平井水平井跟端之间的对流
‑
扩散模型：
[0091][0092]
式中，v
m,b
—第m条人工裂缝对应的水平井段入口端与水平井水平井跟端之间的平均速度；
[0093]
c
m,b
(x,t)—第m条人工裂缝对应的水平井段入口端与水平井水平井跟端之间的污染物的浓度；
[0094]
建立压裂返排液中的污染物在水平井垂直段的对流
‑
扩散模型：
[0095][0096]
式中，h—水平井垂直段得高度；
[0097]
c
b,e
(x,t)—水平井跟端到井口的污染物的浓度；
[0098]
v
b,e
—水平井段跟端与井口之间的平均速度。
[0099]
具体地，所述对污染物在裂缝
‑
水平井筒中的对流
‑
反应
‑
扩散耦合模型求解具体包括：压裂返排液中的污染物在裂缝中的对流
‑
反应
‑
扩散模型求解和压裂返排液中的污染物在水平井筒中的对流
‑
扩散模型求解；
[0100]
所述压裂返排液中的污染物在裂缝中的对流
‑
反应
‑
扩散模型求解包括以下步骤：
[0101]
利用lapalce变换法获得压裂返排液中的污染物在带有任意倾角的第i条人工裂缝右翼中的laplace空间浓度：
[0102][0103]
式中：—三种边界条件下的返排液中的污染物在第i条带有任意倾角的人工裂缝右翼中的laplace空间浓度；
[0104]
利用lapalce变换法获得压裂返排液中的污染物在带有任意倾角的第i条人工裂缝左翼中的laplace空间浓度：
[0105][0106]
式中，—各种边界条件下的返排液中的污染物在带有任意倾角的第i 条人工裂缝左翼中的laplace空间浓度；
[0107]
所述压裂返排液中的污染物在水平井筒中的对流
‑
扩散模型求解包括以下步骤：
[0108]
获得压裂返排液中污染物在第i(1≤i≤m
‑
1)条人工裂缝对应水平段入口端与第i 1 条人工裂缝对应水平段入口端之间的浓度：
[0109][0110]
式中，γ
(i,i 1)1
、γ
(i,i 1)2
是任意常数；
[0111]
获得压裂返排液中的污染物在第m条人工裂缝对应水平段入口端与水平井跟端之间的浓度：
[0112][0113]
式中，γ
(m,b)1
、γ
(m,b)2
是任意常数；
[0114]
获得压裂返排液中的污染物在水平井垂直段的浓度：
[0115][0116]
式中，γ
(m,b)1
、γ
(m,b)2
是任意常数；
[0117]
获得压裂返排液中的污染物在井口处的laplace空间瞬时浓度：
[0118][0119]
进行gaver
‑
stehfest数值反演式，获得压裂返排液中的污染物在井口处的实空间瞬时浓度：
[0120][0121]
式中，n是偶数，且v
j
为：
[0122][0123]
本发明与现有技术相比，具有如下的优点和有益效果：
[0124]
本发明建立了压裂返排液中的污染物在裂缝系统中的对流
‑
反应
‑
扩散模型、在水平井筒中的对流
‑
扩散模型、在裂缝
‑
水平井筒中的对流
‑
反应
‑
扩散耦合模型，并利用lapalce变换法、gaver
‑
stehfest数值反演法、递推法和常数变易法对返排液污染物的对流
‑
反应
‑
扩散耦合模型进行求解，然后将每条人工裂缝的压裂返排液的返排速度和所对应的水平井段的入、出口端的压裂返排液的返排速度带入压裂返排液中污染物在裂缝
‑ꢀ
水平井筒中的对流
‑
反应
‑
扩散耦合模型的解，获得了压裂返排液中的污染物在井口处的瞬时浓度，能够根据需要实时的获得井口除污染物的瞬时浓度。
附图说明
[0125]
附图示出了本发明的示例性实施方式，并与其说明一起用于解释本发明的原理，其中包括了这些附图以提供对本发明的进一步理解，并且附图包括在本说明书中并构成本说明书的一部分，并不构成对本发明实施例的限定。
[0126]
图1是根据本发明所述的多段压裂水平井裂缝分布示意图。
[0127]
图2是根据本发明所述的返排液中污染物在任意倾角的裂缝中的对流
‑
反应
‑
扩散示意图。
[0128]
图3是根据本发明所述的返排液中污染物在水平井筒射孔段的对流
‑
扩散示意图。
具体实施方式
[0129]
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明白，下面结合附图和实施方式对本发明作进一步的详细说明。可以理解的是，此处所描述的具体实施方式仅用于解释相关内容，而非对本发明的限定。
[0130]
另外还需要说明的是，为了便于描述，附图中仅示出了与本发明相关的部分。
[0131]
在不冲突的情况下，本发明中的实施方式及实施方式中的特征可以相互组合。下面将参考附图并结合实施方式来详细说明本发明。
[0132]
页岩气开发水力压裂产生的裂缝形态各不相同，本文考虑了如图1所示的非等距任意倾角的裂缝。
[0133]
一种非常规油气藏压裂返排液中污染物浓度获得方法，包括以下步骤：
[0134]
建立压裂返排液中的污染物在裂缝系统中的对流
‑
反应
‑
扩散模型；
[0135]
建立压裂返排液中的污染物在水平井筒中的对流
‑
扩散模型；
[0136]
建立压裂返排液中的污染物在裂缝
‑
水平井筒中的对流
‑
反应
‑
扩散耦合模型；
[0137]
对污染物在裂缝
‑
水平井筒中的对流
‑
反应
‑
扩散耦合模型求解，获得压裂返排液中污染物的浓度。
[0138]
下面对方法进行具体的说明：
[0139]
(1)流体对流
‑
反应
‑
扩散模型
[0140]
1)对流作用
[0141]
压裂返排液返排的过程中会把自身含有的污染物从一个区域带到另一个区域，即空间位置的转移，这一过程称为对流。由对流作用引起的对流通量可表示为:j
c
＝vc；
[0142]
式中，v—流体通过介质断面的平均流速；c—污染物浓度；j
c
—污染物通量；
[0143]
2)扩散作用
[0144]
分子扩散是指由于污染物在流体中的不均匀分布，即使流体没有流动，污染物也会从浓度高的地方扩散到浓度低的地方，这种扩散现象存在于污染物的所有运动过程之中。分子扩散通量可以用fick第一定律来描述，即污染物的分子扩散通量与其浓度梯度成正比，扩散方向与浓度梯度方向相反，可表示为：
[0145]
式中，d—压裂返排液中污染物分子扩散系数(m2/s)；l—扩散方向的距离(m)。
[0146]
3)对流—扩散方程的建立
[0147]
为了导出宏观水平上的对流
‑
扩散方程，我们采用表征单元体概念，即所涉及的变量和参数在每个空间点处的值都是在表征单元体平均意义上的值。
[0148]
在所考虑的区域内任取一个单元体δxδyδz。设v
x
、v
y
、v
z
分别为达西流速在x、y、 z方向的分量。在δt时段内，引起单元体中污染物质量变化的主要因素有对流和扩散两种作用(暂忽略污染物的吸附和解吸附过程、化学反应和生物降解过程等作用)。
[0149]
①
由对流作用引起的污染物质量变化
[0150]
设m
1x
、m
1y
、m
1z
分别表示在δt时段内沿x、y、z方向由于对流作用而流入单元体内污染物质量增量，有：
[0151][0152][0153][0154]
②
由扩散作用引起的污染物质量变化
[0155]
设m
2x
、m
2y
、m
2z
分别表示在δt时段内沿x、y、z方向由于扩散作用而产生的单元体内污染物质量增量，有：
[0156]
[0157][0158][0159]
根据质量守恒定律，单元体在对流和扩散作用下δt时段内引起的污染物质量变化的代数和，应等于该单元体内污染物质量的变化量：则有
[0160][0161]
将式代入，两边同时除以δxδyδzδt，得:
[0162][0163]
将式代入，可得对流—扩散方程为:
[0164][0165]
上式可简化为:
[0166]
即为污染物3 1维的对流
‑
扩散方程，该方程仅考虑了污染物迁移的物理过程，即对流和扩散作用过程。
[0167]
污染物的迁移还有化学反应、吸附和解吸附过程和生物降解过程等。这些过程都可作为对流
‑
扩散方程的源或汇项加入到方程中，对流
‑
反应
‑
扩散方程即：
[0168][0169]
式中，r(t)—对流
‑
扩散方程的源/汇项(mg/l
·
s)。
[0170]
4)定解条件的确定
[0171]
为了求得对流
‑
扩散偏微分方程的解c(x,y,z,t)，必须给出特定的初始条件和边界条件。
[0172]
①
初始条件
[0173]
在计算区域范围内给出污染物浓度的初始分布：c(x,y,z,t)
t＝0
＝c0(x,y,z)
[0174]
式中，t＝0为任意给定的初始时刻；c0是已知函数。
[0175]
②
边界条件
[0176]
边值问题中的边界条件的形式多种多样，常见的边界条件有以下三种:
[0177]
第一类边界(dirichlet条件)，边界上的浓度c是已知函数q1(x,y,z,t)，即 c(x，y，z，t)|
γ
＝q1(x，y，z，t)(x，y，z)∈γ，t＞0；
[0178]
第二类边界(neumann条件)，边界上的扩散通量是已知函数q2(x,y,z,t)，即
[0179]
第三类边界(cauchy条件)，边界上的污染物通量是已知函数q3(x,y,z,t)，即
[0180]
(2)压裂返排液中污染物在裂缝中的对流
‑
反应
‑
扩散模型
[0181]
基于流体的对流
‑
反应
‑
扩散模型的研究，本节研究压裂返排液中的污染物在非等距任意倾角的裂缝中的2 1维的对流
‑
反应
‑
扩散模型。取第i条任意倾角的人工裂缝作为研究对象，压裂返排液中污染物在第i条任意倾角的人工裂缝右翼中的对流
‑
反应
‑
扩散示意图如图2所示。
[0182]
压裂返排液中污染物在第i条任意倾角的人工裂缝右翼中的3种外边界条件下的 2 1维的对流
‑
反应
‑
扩散模型如下：
[0183]
①
dirichlet边界条件
[0184][0185]
②
neumann边界条件
[0186][0187]
③
cauchy边界条件
[0188][0189]
式中，c
fir
(x,y,t)—第i条裂缝右翼内的任一点(x,y)，在时刻t处污染物的浓度 (mg/l)；
[0190]
q
fir
(x,y,t)—第i条裂缝右翼边界条件已知函数，在求解区域内是有界函数；
[0191]
—第i条裂缝右翼内污染物浓度变化速率系数(s
‑1)；
[0192]
v
firx
、v
firy
—第i条裂缝右翼内压裂返排速度在x、y方向上的分速度(m/s)；
[0193]
c
fir0
(x,y)—第i条裂缝右翼初始时刻已知函数，在求解区域内是有界函数。
[0194]
第i条任意倾角的裂缝右翼尖端坐标为：
[0195][0196]
同理，压裂返排液中污染物在第i条任意倾角的人工裂缝左翼中的3种外边界条件下的2 1维的对流
‑
反应
‑
扩散模型如下:
[0197]
①
dirichlet边界条件
[0198][0199]
②
neumann边界条件
[0200][0201]
③
cauchy边界条件
[0202][0203]
式中，c
fil
(x,y,t)—第i条裂缝左翼内的任一点(x,y)，在时刻t处污染物的浓度 (mg/l)；
[0204]
q
fil
(x,y,t)—第i条裂缝左翼边界条件已知函数，在求解区域内是有界函数；
[0205]
—第i条裂缝左翼内污染物浓度变化速率系数(s
‑1)；
[0206]
v
filx
、v
fily
—第i条裂缝左翼内压裂返排速度在x、y方向上的分速度(m/s)；
[0207]
c
fil0
(x,y)—第i条裂缝左翼初始时刻已知函数，在求解区域内是有界函数。
[0208]
第i条任意倾角的裂缝左翼尖端坐标为：
[0209][0210]
压裂返排液中的污染物在水平井筒中几乎不发生化学反应，故对流
‑
反应
‑
扩散方程中反应项不存在。本节研究压裂返排液返排过程中，考虑多条裂缝入流的压裂返排液中的污染物在水平井筒内的对流
‑
扩散模型。
[0211]
本节将返排液污染物在井筒内的对流
‑
扩散模型分三部分研究。
[0212]
首先，研究压裂返排液中的污染物在第i条与第i 1(1≤i≤m
‑
1)条人工裂缝对应的水平井段入口端之间的水平井段的对流
‑
扩散模型；
[0213]
其次，研究压裂返排液中的污染物在第m条人工裂缝对应的水平井段入口端与水平井跟端之间的对流
‑
扩散模型；
[0214]
最后，研究压裂返排液中的污染物在水平井垂直段的对流
‑
扩散模型。
[0215]
由于压裂返排液中的污染物在水平井射孔段段内的对流
‑
扩散过程中，污染物由裂缝流入井筒，故建立返排液中的污染物在水平井射孔段段内的对流
‑
扩散模型应该考虑裂缝形态。
[0216]
(1)压裂返排液中的污染物在第i条与第i 1(1≤i≤m
‑
1)条人工裂缝对应的水平井段入口端之间的水平井段内的对流
‑
扩散模型。
[0217]
取第i条与第i 1(1≤i≤m
‑
1)条任意倾角的人工裂缝对应水平井段入口端之间的水平井段作为研究对象，研究压裂返排液中污染物在水平井筒中的对流
‑
扩散。
[0218]
第i条与第i 1条任意倾角的人工裂缝对应的水平井段入口端之间的水平井段的对流
‑
扩散示意图如图3所示：
[0219]
将水平井筒内视为一条直线，建立压裂返排液中污染物在第i条与第i 1条任意倾角的人工裂缝对应的水平井段入口端之间的的水平井段的1 1维的对流
‑
扩散模型。
[0220]
压裂返排液中污染物在第1条与第2条任意倾角的人工裂缝对应的水平井段之间的水平井段的1 1维的对流
‑
扩散模型如下：
[0221][0222]
压裂返排液中污染物在第i(i≥2)条与第i 1条任意倾角的人工裂缝对应的水平井段之间的水平井段的1 1维的对流
‑
扩散模型：
[0223][0224]
式中，v
i
—返排液在第i条与第i 1条任意倾角的人工裂缝对应的水平井段入口端之间的平均速度(m/s)；
[0225]
c
i,i 1
(x,t)—第i条到第i 1条任意倾角的人工裂缝对应的水平井段入口端之间的水平井射孔段内污染物的浓度(mg/l)。
[0226]
压裂返排液由第i条任意倾角的人工裂缝流入水平井筒时，速度进行瞬时混合，故平均速度v
i
取第i条和第i 1条任意倾角的人工裂缝对应的水平井段入口端速度的平均值，即:
[0227]
(2)压裂返排液中的污染物在第m条人工裂缝对应的水平井段入口端与水平井水平井跟端之间的对流
‑
扩散模型
[0228]
根据连续性定理，建立如下压裂返排液中的污染物在第m条人工裂缝对应的水平井段入口端与水平井水平井跟端之间的1 1维的对流
‑
扩散模型：
[0229][0230]
式中，c
m,b
(x,t)—第m条人工裂缝对应的水平井段入口端与水平井水平井跟端之间的污染物的浓度(mg/l)。
[0231]
第m条人工裂缝对应的水平井段入口端与水平井水平井跟端之间的平均速度v
m,b
取第m条人工裂缝对应的水平井段出口端和水平井跟端速度的平均值，即:
[0232]
(3)压裂返排液中的污染物在水平井垂直段的对流
‑
扩散模型
[0233]
根据连续性定理，建立如下压裂返排液中的污染物在水平井垂直段的1 1维的对流
ꢀ‑
扩散模型：
[0234][0235]
式中，h
‑
水平井垂直段得高度(m)；
[0236]
c
b，e
(x，t)
‑
水平井跟端到井口的污染物的浓度(mg/l)。
[0237]
v
b，e
‑
水平井段跟端与井口之间的平均速度(m/s)；
[0238]
水平井段跟端与井口之间的平均速度v
b，e
取水平井段跟端与井口速度的平均值，即:
[0239]
下面提供压裂返排液中的污染物在裂缝中的对流
‑
反应
‑
扩散模型求解过程。
[0240]
1)返排液中的污染物在非等距任意倾角裂缝右翼中对流
‑
反应
‑
扩散模型求解
[0241]
①
dirichlet边界条件下的返排液中的污染物在带有任意倾角的裂缝右翼中2 1维的对流
‑
反应
‑
扩散模型如下:
[0242][0243]
将偏微分方程定解问题进行如下坐标转换：
[0244]
(x
‑
x
fi
)2 y2＝r2，x
‑
x
fi
＝r cosβ(i)，y＝r sinβ(i)；
[0245]
则2 1维的偏微分方程定解问题转化为如下1 1维的偏微分方程定解问题：
[0246][0247]
式中，β(i)—第i条人工裂缝右翼与水平井筒正方向的夹角。
[0248]
对偏微分方程定解问题做如下关于时间t的laplace变换:
[0249]
[0250]
则偏微分方程定解问题转化为如下常微分方程定解问题：
[0251][0252]
常微分方程定解问题的非齐次定解方程所对应的齐次方程的特征方程为：
[0253][0254]
特征根为：
[0255]
令
[0256]
由常数变易法可知：
[0257][0258][0259]
联立方程和，求解得：
[0260]
积分得：
[0261][0262][0263]
其中，γ
i1
、γ
i2
是任意常数。
[0264]
将式代入，可得常微分方程定解问题的定解方程的通解为：
[0265][0266]
由定解问题的条件可知：γ
i1
＝0；
[0267]
将式代入式，则有：
[0268][0269]
将式代入定解问题的边界条件，可知：
[0270][0271]
将式代入，可得定解问题的laplace空间解为：
[0272][0273]
式中，
‑
dirichlet边界条件下的返排液中的污染物在第i条带有任意倾角的人工裂缝右翼中的laplace空间浓度(mg/l)。
[0274]
②
neumann边界条件下的返排液中的污染物在带有任意倾角的裂缝右翼中2 1维的对流
‑
反应
‑
扩散模型如下:
[0275][0276]
将偏微分方程定解问题进行如下坐标转换：
[0277]
(x
‑
x
fi
)2 y2＝r2，x
‑
x
fi
＝r cosβ(i)，y＝r sinβ(i)
[0278]
则2 1维的偏微分方程定解问题转化为如下1 1维的偏微分方程定解问题：
[0279][0280]
式中，β(i)
‑
第i条人工裂缝右翼与水平井筒正方向的夹角。
[0281]
对偏微分方程定解问题做如下关于时间t的laplace变换:
[0282][0283]
则偏微分方程定解问题转化为如下常微分方程定解问题：
[0284][0285]
常微分方程定解问题的非齐次定解方程所对应的齐次方程的特征方程为：
[0286][0287]
特征根为：
[0288]
令由常数变易法可知：
[0289][0290][0291]
联立方程和，求解得：
[0292]
积分得：
[0293][0294][0295]
其中，γ
i1
、γ
i2
是任意常数。
[0296]
将式代入，可得常微分方程定解问题的定解方程的通解为：
[0297][0298]
由定解问题的条件可知：γ
i1
＝0；
[0299]
将式代入，则有：
[0300][0301]
将式代入定解问题的边界条件，可知：
[0302][0303]
将式代入式，可得定解问题的laplace空间解为：
[0304][0305]
式中，—neumann边界条件下的返排液中的污染物在第i条带有任意倾角的人工裂缝右翼中的laplace空间浓度(mg/l)。
[0306]
③
cauchy边界条件下的返排液中的污染物在带有任意倾角的裂缝右翼中2 1维的对流
‑
反应
‑
扩散模型如下:
[0307][0308]
将偏微分方程定解问题进行如下坐标转换：
[0309]
(x
‑
x
fi
)2 y2＝r2，x
‑
x
fi
＝r cosβ(i)，y＝r sinβ(i)
[0310]
则2 1维的偏微分方程定解问题转化为如下1 1维的偏微分方程定解问题：
[0311][0312]
式中，β(i)
‑
第i条人工裂缝右翼与水平井筒正方向的夹角。
[0313]
对偏微分方程定解问题做如下关于时间t的laplace变换:
[0314][0315]
则偏微分方程定解问题转化为如下常微分方程定解问题：
[0316][0317]
常微分方程定解问题的非齐次定解方程所对应的齐次方程的特征方程为：
[0318][0319]
特征根为：
[0320]
令由常数变易法可知：
[0321][0322][0323]
联立方程，求解得：
[0324]
积分得：
[0325][0326][0327]
其中，γ
i1
、γ
i2
是任意常数。
[0328]
将式代入，可得常微分方程定解问题的定解方程的通解为：
[0329][0330]
由定解问题的条件可知：γ
i1
＝0。
[0331]
将式代入式，则有
[0332][0333]
将式代入定解问题的边界条件，可知：
[0334][0335]
将式代入，可得定解问题的laplace空间解为：
[0336][0337]
式中，—cauchy边界条件下的返排液中的污染物在第i条带有任意倾角的人工裂缝右翼中的laplace空间浓度(mg/l)。
[0338]
压裂返排液中的污染物在带有任意倾角的第i条人工裂缝右翼中的laplace空间浓度为：
[0339][0340]
2)返排液中的污染物在非等距任意倾角裂缝左翼中对流
‑
反应
‑
扩散模型求解
[0341]
①
dirichlet边界条件下的返排液中的污染物在带有任意角的裂缝左翼中2 1维的对流
‑
反应
‑
扩散模型如下:
[0342][0343]
将偏微分方程定解问题进行如下坐标转换：
[0344]
(x
‑
x
fi
)2 y2＝r2，x
‑
x
fi
＝r cosα(i)，y＝r sinα(i)
[0345]
则2 1维的偏微分方程定解问题转化为如下1 1维的偏微分方程定解问题：
[0346][0347]
式中，α(i)
‑
第i条人工裂缝左翼与水平井筒正方向的夹角。
[0348]
对偏微分方程定解问题做如下关于时间t的laplace变换:
[0349][0350]
则偏微分方程定解问题转化为如下常微分方程定解问题：
[0351][0352]
常微分方程定解问题的非齐次定解方程所对应的齐次方程的特征方程为：
[0353][0354]
特征根为：
[0355]
其余求解过程类似于定解问题的求解过程，故定解问题的laplace空间解为：
[0356][0357]
式中，—dirichlet边界条件下的返排液中的污染物在带有任意倾角的第i 条人工裂缝左翼中的laplace空间浓度(mg/l)。
[0358]
②
nenumann边界条件下的返排液中的污染物在带有任意倾角的裂缝左翼中2 1维的对流
‑
反应
‑
扩散模型如下:
[0359][0360]
将偏微分方程定解问题进行如下坐标转换：
[0361]
(x
‑
x
fi
)2 y2＝r2，x
‑
x
fi
＝r cosα(i)，y＝r sinα(i)
[0362]
则2 1维的偏微分方程定解问题转化为如下1 1维的偏微分方程定解问题：
[0363][0364]
式中，α(i)
‑
第i条人工裂缝右翼与水平井筒正方向的夹角。
[0365]
对偏微分方程定解问题做如下关于时间t的laplace变换:
[0366][0367]
则偏微分方程定解问题转化为如下常微分方程定解问题：
[0368][0369]
常微分方程定解问题的非齐次定解方程所对应的齐次方程的特征方程为：
[0370]
[0371]
特征根为：
[0372]
其余求解过程类似于定解问题的求解过程，故定解问题的laplace空间解为：
[0373][0374]
式中，
‑
neumann边界条件下的返排液中的污染物在带有任意倾角的第i条人工裂缝左翼中的laplace空间浓度(mg/l)。
[0375]
③
cauchy边界条件下的返排液中的污染物在带有任意倾角的裂缝左翼中2 1维的对流
‑
反应
‑
扩散模型如下:
[0376][0377]
将偏微分方程定解问题进行如下坐标转换：
[0378]
(x
‑
x
fi
)2 y2＝r2，x
‑
x
fi
＝r cosα(i)，y＝r sinα(i)
[0379]
则2 1维的偏微分方程定解问题转化为如下1 1维的偏微分方程定解问题：
[0380][0381]
式中，α(i)—第i条人工裂缝右翼与水平井筒正方向的夹角。
[0382]
对偏微分方程定解问题做如下关于时间t的laplace变换:
[0383][0384]
则偏微分方程定解问题转化为如下常微分方程定解问题：
[0385][0386]
常微分方程定解问题的非齐次定解方程所对应的齐次方程的特征方程为：
[0387][0388]
特征根为：
[0389]
其余求解过程类似于定解问题的求解过程，故定解问题的laplace空间解为：
[0390][0391]
式中，—cauchy边界条件下的返排液中的污染物在带有任意倾角的第i条人工裂缝左翼中的laplace空间浓度(mg/l)。
[0392]
压裂返排液中的污染物在带有任意倾角的第i条人工裂缝左翼中的laplace空间浓度为：
[0393][0394]
下面对返排液中的污染物在水平井筒中的对流
‑
扩散模型进行求解。
[0395]
(1)污染物在水平井筒射孔段的对流
‑
扩散模型求解
[0396]
污染物在第1条带有任意倾角的人工裂缝对应水平段入口端与第2条带有任意倾角的人工裂缝对应水平段入口端之间的水平井筒射孔段的对流
‑
扩散模型如下：
[0397][0398]
压裂返排液中污染物在第i(1≤i≤m
‑
1)条带有任意倾角的人工裂缝对应水平段入口端与第i 1条带有任意倾角的人工裂缝对应水平段入口端之间的水平井段的对流
‑
扩散模型如下：
[0399][0400]
首先，求解压裂返排液中污染物第1条带有任意倾角的人工裂缝对应水平段入口端与第2条带有任意倾角的人工裂缝对应水平段入口端之间的水平井筒射孔段的1 1维的对流
‑
扩散模型。
[0401]
为计算方便，将定解问题写为：
[0402][0403]
对偏微分方程定解问题做如下关于时间t的laplace变换:
[0404][0405][0406][0407]
则偏微分方程定解问题转化为如下常微分方程定解问题：
[0408][0409]
式中，不同边界条件下，的表达式不同。
[0410]
定解问题的非齐次定解方程对应的齐次方程的特征方程为:
[0411]
特征根为：令由常数变易法可知：
[0412][0413][0414]
联立方程和，求解得：
[0415][0416][0417]
积分得：
[0418][0419][0420]
其中，γ
(1，2)1
、γ
(1，2)2
是任意常数。
[0421]
将式代入，可得常微分方程定解问题的定解方程的通解为：
[0422][0423]
由定解问题的条件可知：γ
(1,2)1
＝0；
[0424]
将式代入式，则有
[0425][0426]
将式代入定解问题的边界条件，可知：
[0427][0428]
将式代入式，得：
[0429][0430]
然后，求解压裂返排液中污染物在第i(1≤i≤m
‑
1)条人工裂缝对应水平段入口端与第i 1条人工裂缝对应水平段入口端之间的水平井段的对流
‑
扩散模型。
[0431]
为计算方便，将定解问题写为：
[0432][0433]
对偏微分方程定解问题做如下关于时间t的laplace变换:
[0434][0435][0436][0437]
则偏微分方程定解问题转化为如下常微分方程定解问题：
[0438][0439]
式中，不同边界条件下，的表达式不同。
[0440]
定解问题的非齐次定解方程对应的齐次方程的特征方程为:
[0441]
特征根为：
[0442]
令由常数变易法可知：
[0443][0444][0445]
联立方程和，求解得：
[0446][0447][0448]
积分得：
[0449][0450][0451]
其中，γ
(i,i 1)1
、γ
(i,i 1)2
是任意常数。
[0452]
将式代入，可得常微分方程定解问题的定解方程的通解为：
[0453][0454]
由定解问题的条件可知：γ
(i,i 1)1
＝0；
[0455]
将式代入式，则有：
[0456][0457]
根据定解问题的边界条件可知，压裂返排液中污染物在射孔段中的对流
‑
反应
‑
扩散模型的解存在递推关系，即欲求必先求故根据定解问题的边界条件和式，再结合压裂返排液中污染物在第1条人工裂缝对应水平段入口端与第2条人工裂缝对应水平段入口端之间的水平井筒射孔段的对流—反应—扩散模型的解式,可先获得γ
(2,3)2
和如下：
[0458]
[0459][0460]
根据上述步骤，依次递推获得γ
(i,i 1)2
和如下：
[0461][0462]
将式代入，得：
[0463][0464]
(2)污染物在水平井筒未射孔段的对流
‑
扩散模型求解
[0465]
对返排液中的污染物在第m条人工裂缝对应水平段入口端与水平井跟端之间的对流
‑
扩散模型进行求解。
[0466]
压裂返排液中的污染物在第m条人工裂缝对应水平段入口端与水平井跟端之间的 1 1维的对流
‑
扩散模型如下：
[0467][0468]
为了使得计算方便，将定解问题写为：
[0469][0470]
对定解问题做如下关于时间t的laplace变换:
[0471][0472][0473][0474][0475]
则偏微分方程定解问题转化为如下常微分方程定解问题：
[0476][0477]
式中，分别由式和给出，不同边界条件下，的表达式不同。
[0478]
定解问题的非齐次定解方程对应的齐次方程的特征方程为:
[0479]
特征根为：
[0480]
令由常数变易法可知：
[0481][0482][0483]
联立方程，求解得：
[0484][0485]
[0486]
积分得：
[0487][0488][0489]
其中，γ
(m,b)1
、γ
(m,b)2
是任意常数。
[0490]
将式代入，可得常微分方程定解问题的定解方程的通解为：
[0491][0492]
由定解问题的条件可知：γ
(m,b)1
＝0；
[0493]
将式代入式，则有：
[0494][0495]
将式代入定解问题的边界条件，得：
[0496][0497]
将式代入，得：
[0498][0499]
(3)污染物在水平井垂直段的对流
‑
扩散模型求解
[0500]
1 1维的压裂返排液中的污染物在水平井垂直段的对流
‑
扩散模型如下：
[0501][0502]
对定解问题做如下关于时间t的laplace变换:
[0503][0504]
则偏微分方程定解问题转化为如下常微分方程定解问题：
[0505][0506]
定解问题的非齐次定解方程对应的齐次方程的特征方程为:
[0507]
特征根为：
[0508]
令由常数变易法可知：
[0509][0510][0511]
联立方程和，求解得：
[0512]
[0513][0514]
积分得：
[0515][0516][0517]
其中，γ
(b,e)1
、γ
(b,e)2
是任意常数。
[0518]
将式代入，可得常微分方程定解问题的定解方程的通解为：
[0519][0520]
由定解问题的条件可知：γ
(b,e)1
＝0；
[0521]
将式代入，则有
[0522][0523]
将式代入定解问题的边界条件，得：
[0524][0525]
将式代入，得：
[0526][0527]
根据式可以获得压裂返排液中的污染物在井口处的laplace空间瞬时浓度：
[0528][0529]
对式进行gaver
‑
stehfest数值反演式，可获得压裂返排液中的污染物在井口处的实空间瞬时浓度：
[0530][0531]
其中：n是偶数，且v
j
为：
[0532][0533]
由于压裂返排液中的污染物在第i条人工裂缝右、左翼中的laplace空间浓度在三种不同外边界条件下表达式不同，所以式代表了三种不同边界条件下的返排液中的污染物在第m条人工裂缝对应水平段入口端与水平井水平井跟端之间的浓度，从而式代表了三种不同边界条件下的井口处压裂返排液中得污染物的浓度。
[0534]
在本说明书的描述中，参考术语“一个实施例/方式”、“一些实施例/方式”、“示例”、“具体示例”、或“一些示例”等的描述意指结合该实施例/方式或示例描述的具体特征、结构、材料或者特点包含于本技术的至少一个实施例/方式或示例中。在本说明书中，对上述术语的示意性表述不必须针对的是相同的实施例/方式或示例。而且，描述的具体特征、结构、材料或者特点可以在任一个或多个实施例/方式或示例中以合适的方式结合。此外，在不相互矛盾的情况下，本领域的技术人员可以将本说明书中描述的不同实施例/方式或示例以及不同实施例/方式或示例的特征进行结合和组合。
[0535]
此外，术语“第一”、“第二”仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性或者隐含指明所指示的技术特征的数量。由此，限定有“第一”、“第二”的特征可以明示或者隐含地包括至少一个该特征。在本技术的描述中，“多个”的含义是至少两个，例如两个，三
个等，除非另有明确具体的限定。
[0536]
本领域的技术人员应当理解，上述实施方式仅仅是为了清楚地说明本发明，而并非是对本发明的范围进行限定。对于所属领域的技术人员而言，在上述发明的基础上还可以做出其它变化或变型，并且这些变化或变型仍处于本发明的范围内。