基于直流输电线路解耦矩阵的故障特性分析方法及系统

1.本发明涉及直流输电线路保护技术领域，具体来说是一种基于直流输电线路解耦矩阵的故障特性分析方法及系统。


背景技术：

2.由于雷击、山火、雾霾、覆冰、高热等因素影响，特高压交直流近区输电线路接地故障频发，易出现启动不灵敏、主保护拒动等事故，引发连续换相失败，严重危害交直流混联电网的安全。此外，特高压线路高阻故障常伴有弧光现象，弧光高阻故障的接地阻抗值随着外加电压的变化而变化，呈现较明显的非线性特征，故障电流存在明显的波形畸变，含有大量谐波，也会引起换相失败的发生，危害系统的稳定运行。
3.行波保护是特高压直流线路的主保护，完成对直流输电系统直流线路故障的快速识别及切除功能。
±
1100kv直流/1000kv交流特高压混联电网，其交流系统为不同电压等级的超特高压交流电网系统，
±
1100kv直流输电工程线路距离长达3300余公里，且输送容量更大，双极线路间电磁感应和耦合现象也更为严重。为保证双极线路间电磁感应和耦合现象下行波保护的选择性、速动性、灵敏性及可靠性，需要针对于直流输电系统直流线路侧可能发生的各种类型的故障，研究双极解耦的解矩阵，并研究推导解耦之后的直流线路波过程尺度的直流输电线路故障特性。
4.如申请号为201610996242.x公开的柔性直流输电线路故障行波的处理方法，该方法分别获取柔性直流输电线路的极模电流和极模电压故障暂态行波；获取极模反向电压故障暂态行波；获取极模反向电压故障暂态行波的模极大值,得到极模反向电压故障暂态行波的等效极模反向电压行波。本发明的技术方案,能够有效地展现出故障行波与高频暂态干扰的区别,使柔性直流输电线路故障的整体特征更加简洁和直观；还能够消除极模反向电压故障暂态行波中直流和低频信号的影响,凸显出行波波过程的高频特性,降低了对柔性直流系统下行波波过程的分析难度,使得超高速柔性直流输电线路保护成为可能。该方法利用小波变换来分析行波并构建了基于行波的保护，并未考虑换流器边界的行波非理想传变特性，特高压直流输电线路故障分析及计算精度无法满足当前需要。


技术实现要素：

5.本发明所要解决的技术问题在于提供一种在直流故障行波分析中考虑换流器办结的行波非理性传变特性的分析方法。
6.本发明通过以下技术手段实现解决上述技术问题的：
7.基于直流输电线路解耦矩阵的故障特性分析方法，包括以下步骤：
8.s1.基于开关函数理论，构建直流输电线路两端高压直流系统数学模型；
9.s2.利用叠加原理构建故障后直流等效电路网络，分为两个部分：故障前的正常分量网络和描述故障的故障分量网络；
10.s3.建立输电线路模型，求解输电线路的初始电压和电流行波通用解；
11.s4.通过极模变换解耦双极系统电气耦合，构建模域下的直流线路故障行波方程；
12.s5.判断是单极故障还是双极故障，如果是单极故障则进入步骤s6，否则进入步骤 s7；
13.s6.推导双极系统单极故障时故障初始行波解；
14.s7.推导双极系统双极故障时故障初始行波解；
15.s8.推导在输电线路边界反射后的行波传播特性；具体为：在输电线路边界，电流反射系数由以下公式确定：
[0016][0017]
其中，l
dc
是交流系统和换流器在直流侧的等效电感，lr为平波电抗器的电感，z
lb
为直流滤波器的阻抗，zc为输电线路的波阻抗。
[0018]
本发明首先将直流输电系统等值为拓扑结构不变的电路，利用叠加原理将故障网络等效故障前稳态电流和故障后故障分量网络，推导故障后电流行波解析表达，基于双极解耦矩阵的极模变换，在模域上推导解耦之后的直流线路波过程尺度的直流输电线路故障特性。本发明提出的适用于特高压直流输电线路的解耦矩阵与故障特性分析方法，与传统直流故障行波分析方法相比，考虑了换流器边界的行波非理想传变特性，拥有更高的分析及计算精度，具有步骤简单易行、清晰明了等优点，推广意义重大。
[0019]
进一步的，所述步骤s1具体为：将交流系统、换流变压器和换流器用一个等效电感来表示，以此拓扑结构不变的系统来刻画直流系统；等效阻抗由以下公式确定：
[0020]
六脉动换流站的等效阻抗为：
[0021][0022]
十二脉动换流站的等效阻抗为：
[0023][0024]
其中：μ为换流器换相过程的换相角，ls为交流系统等效电感，l
t
为换流变压器归算至换流器侧的等效电感。
[0025]
进一步的，所述步骤s3中输电线路的初始电压和电流行波通用解由下式确定：
[0026][0027][0028]
其中，uf和if表示故障初始电压和电流行波，t0表示故障发生时间点，zc为输电线路的波阻抗，uf为故障初始电压幅值。
[0029]
进一步的，所述步骤s4中双极系统线路耦合特性通过极模变换实现，模域下行波方程由以下公式确定：
[0030][0031]
其中，ls、cs分别为单位长度的自电感、自电容，lm、cm分别为单位长度的互电感、互电容。
[0032]
进一步的，所述步骤s6中双极系统单极接地故障时，模域的故障初始电压、电流行波由以下公式确定：
[0033][0034]
进一步的，所述步骤s7中双极系统双极极间故障时，模域的故障初始电压、电流行波由以下公式确定：
[0035][0036]
进一步的，所述步骤s8中，故障点的反射系数ρf、折射系数γf分别由以下公式确定：
[0037][0038][0039]
与上述方法对应的，本发明还提供一种基于直流输电线路解耦矩阵的故障特性分析系统，包括：
[0040]
模型构建模块，用以基于开关函数理论，构建直流输电线路两端高压直流系统数学模型；
[0041]
等效电路构建模块，用以利用叠加原理构建故障后直流等效电路网络，分为两个部分：故障前的正常分量网络和描述故障的故障分量网络；
[0042]
输电线路模型构建模块，用以建立输电线路模型，求解输电线路的初始电压和电流行波通用解；
[0043]
直流线路故障行波方程构建模块，用以通过极模变换解耦双极系统电气耦合，构建模域下的直流线路故障行波方程；
[0044]
判断模块，用以判断是单极故障还是双极故障，如果是单极故障则进入单级故障初始行波解推导模块，否则进入双极故障初始行波解推导模块；
[0045]
单级故障初始行波解推导模块，用以推导双极系统单极故障时故障初始行波解；
[0046]
双极故障初始行波解推导模块，用以推导双极系统双极故障时故障初始行波解；
[0047]
行波传播特性推导模块，用以推导在输电线路边界反射后的行波传播特性；具体为：在输电线路边界，电流反射系数由以下公式确定：
[0048][0049]
其中，l
dc
是交流系统和换流器在直流侧的等效电感，lr为平波电抗器的电感，z
lb
为直流滤波器的阻抗，zc为输电线路的波阻抗。
[0050]
进一步的，所述模型构建模块具体为：将交流系统、换流变压器和换流器用一个等效电感来表示，以此拓扑结构不变的系统来刻画直流系统；等效阻抗由以下公式确定：
[0051]
六脉动换流站的等效阻抗为：
[0052][0053]
十二脉动换流站的等效阻抗为：
[0054][0055]
其中：μ为换流器换相过程的换相角，ls为交流系统等效电感，l
t
为换流变压器归算至换流器侧的等效电感。
[0056]
进一步的，所述输电线路模型构建模块中输电线路的初始电压和电流行波通用解由下式确定：
[0057][0058][0059]
其中，uf和if表示故障初始电压和电流行波，i0表示故障发生时间点，zc为输电线路的波阻抗，uf为故障初始电压幅值。
[0060]
进一步的，所述直流线路故障行波方程构建模块中双极系统线路耦合特性通过极模变换实现，模域下行波方程由以下公式确定：
[0061][0062]
其中，ls、cs分别为单位长度的自电感、自电容，lm、cm分别为单位长度的互电感、互电容。
[0063]
进一步的，所述单级故障初始行波解推导模块中双极系统单极接地故障时，模域的故障初始电压、电流行波由以下公式确定：
[0064][0065]
进一步的，所述双极故障初始行波解推导模块中双极系统双极极间故障时，模域的故障初始电压、电流行波由以下公式确定：
[0066][0067]
进一步的，所述行波传播特性推导模块中，故障点的反射系数ρf、折射系数γf分别由以下公式确定：
[0068][0069][0070]
本发明的优点在于：
[0071]
本发明通过构建的两端高压直流系统数学模型，基于该数学模型构建直流等效电路网络，其中包括故障前正常分量网络和故障分量网络，推导故障后电流行波解析表达，基于双极解耦矩阵的极模变换，在模域上推导解耦之后的直流线路波过程尺度的直流输电线
路故障特性。本发明提出的适用于特高压直流输电线路的解耦矩阵与故障特性分析方法，与传统直流故障行波分析方法相比，考虑了换流器边界的行波非理想传变特性，拥有更高的分析及计算精度，具有步骤简单易行、清晰明了等优点，推广意义重大。
附图说明
[0072]
图1为本发明实施例中基于直流输电线路解耦矩阵的故障特性分析方法的流程图；
[0073]
图2是本发明实施例中所用的直流输电系统等效(单极)示意图；
[0074]
图3是本发明实施例中基于叠加原理的直流线路故障等效电路示意图；
[0075]
图4是本发明实施例中分析方法用的单极接地故障等效电路示意图；
[0076]
图5是本发明实施例中分析方法用的双极极间故障等效电路示意图；
[0077]
图6是本发明实施例中分析方法用的电流行波传播示意图。
具体实施方式
[0078]
为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
[0079]
一种基于直流输电线路解耦矩阵的故障特性分析方法，如图1所示，等值方法主要流程包括：
[0080]
步骤一：基于开关函数理论，构建两端高压直流系统数学模型。
[0081]
基于开关函数理论，将交流系统、换流变压器和换流器用一个等效电感来表示，以此拓扑结构不变的系统来刻画直流系统。
[0082]
六脉动换流站的等效阻抗为：
[0083][0084]
十二脉动换流站的等效阻抗为：
[0085][0086]
其中：μ为换流器换相过程的换相角，ls为交流系统等效电感，l
t
为换流变压器归算至换流器侧的等效电感。
[0087]
在利用开关函数推导换流站等效阻抗的过程中，忽略开关函数的高频分量，只考虑交流系统的基波频率，对非线性的电力电子器件线性化处理，根据戴维南定理，用直流换流器的空载电压和等效阻抗来表示直流电源部分。
[0088]
直流输电系统整流侧的空载电压为：
[0089]udcr
＝1.35nrurcosα
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(3)
[0090]
直流输电系统逆变侧的空载电压为：
[0091]udci
＝1.35niuicosβ
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(4)
[0092]
式中：nr和ni分别为整流站和逆变站中多桥换流器六脉动桥的数目，ur和ui分别为
整流侧和逆变侧交流系统线电压，α为整流站触发脉冲的触发延迟角，β为逆变站触发脉冲的触发超前角。
[0093]
根据以上分析，可以得到一个典型的直流输电系统的等效电路图如图2所示。
[0094]
步骤二：利用叠加原理构建故障后直流等效电路网络，分为两个部分：故障前的正常分量网络和描述故障的故障分量网络。
[0095]
在故障发生时，由于直流控制系统的时延，直流电源仍将在一段时间内保持故障前的输出值。故障支路可以等效为两个大小相等、方向相反的电压源的叠加，故障后的网络如附图3，电压源电压幅值为故障点故障前电压的幅值。根据叠加定理，故障点故障前的正常分量网络(如附图3(c))叠加描述故障的故障分量网络(如附图3(d))可以表示故障后的网络。故障附加电源-uf作用于故障分量网络产生了故障行波。
[0096]
步骤三：建立输电线路模型，求解输电线路的初始电压和电流行波通用解。
[0097]
故障附加电源在输电线路上交替建立起电场和磁场的过程可以用分布参数线路的传输方程来表达。在忽略线路电阻和电导的无损传输线上，传输线方程为：
[0098][0099]
式中，u、i为输电线路上任意一点的电压、电流，l0、c0为输电线路单位长度的电感、电容，传输线方程二阶偏微分形式就是波动方程：
[0100][0101]
波动方程的达朗贝尔解为
[0102][0103]
式中，v为行波在输电线路上传播的波速度，zc为输电线路的波阻抗，u1为沿x轴正方向传播的正向行波，u2为沿x轴反方向传播的反向行波。
[0104]
波速度和波阻抗取决于输电线路的参数，表达式为：
[0105][0106][0107]
在故障分量网络中用uf和if表示故障初始电压和电流行波，以故障点作为 x轴的起点，x轴的方向为沿输电线路的方向，那么在折反射发生前，输电线路上只存在正向行波，初始电压和电流行波间的关系为：
[0108]
uf＝zcifꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(10)
[0109]
根据基尔霍夫定律可以得到故障点的边界条件为：
[0110][0111]
联立式(8)和式(9)，可以解得输电线路的初始电压和电流行波为：
[0112][0113]
故障附加电源的电压值为故障点故障前的电压，对直流系统而言，可以认为是恒定的直流电压，其幅值为uf。
[0114]
故障附加网络是在故障后叠加在正常网络上的，假设故障发生在t0时刻，那么在t0时刻前，输电线路上并不存在行波，所以，考虑故障前后的整个时间范围，初始电压和电流行波可以表示为：
[0115][0116][0117]
由上式可以看到，初始电压和电流行波都是负极性的阶跃波，波头的幅值与线路波阻抗、过渡电阻和故障点故障前的电压有关。
[0118]
步骤四：通过极模变换解耦双极系统电气耦合，构建模域下的直流线路故障行波方程。
[0119]
双极系统的正极电气量和负极电气量之间存在电磁耦合，抽象为数学模型时，体现为正负极线间存在互阻抗，双极系统的传输线方程为：
[0120][0121][0122]
其中，u
p
、un分别为正、负极电压，i
p
、in分别为正、负极电流，ls、cs分别为单位长度的自电感、自电容，lm、cm分别为单位长度的互电感、互电容。
[0123]
将极线电压和电流用矩阵形式表示：
[0124][0125][0126]
由于不同极线的电气量间存在耦合，为了解除耦合，需要对极线电气量进行坐标变换，将变换后的电气量称为模量，变换用到的矩阵称为极模变换矩阵
[0127][0128][0129]
将式(19)和(20)带入传输线方程并进行变换，可以得到模量表示的波动方程：
[0130][0131]
令波动方程的系数矩阵为对角阵，可以求得极模变换矩阵为
[0132][0133]
变换后的波动方程为
[0134][0135]
零模和线模分量只存在自阻抗，零模和线模的电感和电容可以表示为：
[0136][0137]
零模和线模的波阻抗为
[0138][0139]
判断是单极故障还是双极故障，如果是单极故障则进行步骤五，如果是双极故障则进行步骤六。
[0140]
步骤五：推导双极系统单极故障时故障初始行波解。
[0141]
以正极接地故障为例，推导双极系统单极接地故障时故障初始行波的表达式，以获取故障特征。附图4是正极接地故障的示意图。
[0142]
正极接地故障时，故障点的边界条件为：
[0143][0144]
对上式进行极模变换，得到
[0145][0146]
模量的故障初始电压、电流行波满足
[0147][0148]
联立式(27)和式(28)，解得模量的故障初始电压、电流行波为
[0149][0150]
考虑故障前后的整个时间范围，模量的故障初始电压、电流行波也可以写成阶跃波的形式，波头的幅值与线路线模和零模波阻抗、过渡电阻和故障点故障前的电压有关。
[0151]
负极接地故障时，模量的故障初始电压、电流行波的波头幅值和正极接地故障时相同，线模故障初始电压、电流行波的极性和正极接地故障时相同，零模故障初始电压、电流行波的极性和正极接地故障时相反。
[0152]
步骤六：推导双极系统双极故障时故障初始行波解。
[0153]
双极故障时，故障附加电源的电压值为故障前两极故障点间的电压差，如附图5所示，假设正负极故障点电压幅值相等，为uf，则故障附加电源的电源电压幅值为2uf。
[0154]
双极极间故障时，故障点的边界条件为：
[0155][0156]
双极极间故障时，模量初始电压和电流行波仍旧满足式(29)。对边界条件进行极模变换后，联立式(30)，可以得到：
[0157][0158]
双极极间故障后，线路上不存在零模分量，线模故障初始电压、电流行波波头的幅值与线模波阻抗、过渡电阻以及故障前两故障点间的电压差有关。
[0159]
步骤七：推导在输电线路边界反射后的行波传播特性。
[0160]
故障初始行波在线路上传播时将在波阻抗不连续点发生折反射，对直流故障行波而言，线路边界和故障点是其传播过程中遇到的波阻抗不连续点。由于电压互感器的传变特性不佳，现在行波检测装置都是采用电流行波进行检测，所以本发明给出电流行波在输电线路边界的反射特性，下文中的行波均指的是电流行波。附图6给出了行波的传播过程和各行波的表示符号。其中，r和i侧分别代表整流侧和逆变侧；ρr、ρi、ρf分别是整流侧边界、逆变侧边界和故障点的反射系数；γf是故障点的折射系数。
[0161]
为方便下文叙述，对附图6中的各行波命名如下：if是分析的故障初始行波；ρrif、ρiif称为整流侧、逆变侧故障初始行波在线路边界的反射波，那么互感器检测到的第一个波头为故障初始行波及其在线路边界的反射波；ρfρrif、ρfρiif称为整流侧、逆变侧故障点反射波，ρfρ
2r
if、ρfρ
2i
if称为整流侧、逆变侧故障点反射波在线路边界的二次反射波，γfρrif、γfρiif称为整流侧、逆变侧故障点折射波，γfρrρiif、γfρrρiif称为整流侧、逆变侧故障点折射波在线路边界的反射波，根据故障距离的远近，互感器检测到的第二个波头是故障点反射波及其在线路边界的二次反射波或者是故障点折射波及其在线路边界的反射波。
[0162]
故障初始行波在线路边界的反射波经过了一次线路边界的反射，故障点反射波在线路边界的二次反射波和故障点折射波在线路边界的反射波都经过了两次线路边界的反射，两次反射的反射系数相同或者相似，所以用第一次反射为例分析线路边界的反射特性。
[0163]
以单极系统为例进行分析，在输电线路边界，电流反射系数可以表示为
[0164][0165]
其中，l
dc
是交流系统和换流器在直流侧的等效电感，lr为平波电抗器的电感， z
lb
为直流滤波器的阻抗；
[0166]
在过渡电阻为固定阻值的电阻时，故障点的折、反射系数都是常数，所以经过故障点折反射后，行波的波形不会发生改变但是幅值会发生变化。故障点的折反射系数下式所示。
[0167][0168][0169]
实施例2
[0170]
与实施例1方法对应的，本实施例公开了一种基于直流输电线路解耦矩阵的故障特性分析系统，如图1所示，等值方法主要包括以下模块：
[0171]
模型构建模块，用以基于开关函数理论，构建两端高压直流系统数学模型。
[0172]
基于开关函数理论，将交流系统、换流变压器和换流器用一个等效电感来表示，以此拓扑结构不变的系统来刻画直流系统。
[0173]
六脉动换流站的等效阻抗为：
[0174][0175]
十二脉动换流站的等效阻抗为：
[0176][0177]
其中：μ为换流器换相过程的换相角，ls为交流系统等效电感，l
t
为换流变压器归算
至换流器侧的等效电感。
[0178]
在利用开关函数推导换流站等效阻抗的过程中，忽略开关函数的高频分量，只考虑交流系统的基波频率，对非线性的电力电子器件线性化处理，根据戴维南定理，用直流换流器的空载电压和等效阻抗来表示直流电源部分。
[0179]
直流输电系统整流侧的空载电压为：
[0180]udcr
＝1.35nrurcosα
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(3)
[0181]
直流输电系统逆变侧的空载电压为：
[0182]udci
＝1.35niuicosβ
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(4)
[0183]
式中：nr和ni分别为整流站和逆变站中多桥换流器六脉动桥的数目，ur和ui分别为整流侧和逆变侧交流系统线电压，α为整流站触发脉冲的触发延迟角，β为逆变站触发脉冲的触发超前角。
[0184]
根据以上分析，可以得到一个典型的直流输电系统的等效电路图如图2所示。
[0185]
等效电路构建模块，用以利用叠加原理构建故障后直流等效电路网络，分为两个部分：故障前的正常分量网络和描述故障的故障分量网络。
[0186]
在故障发生时，由于直流控制系统的时延，直流电源仍将在一段时间内保持故障前的输出值。故障支路可以等效为两个大小相等、方向相反的电压源的叠加，故障后的网络如附图3，电压源电压幅值为故障点故障前电压的幅值。根据叠加定理，故障点故障前的正常分量网络(如附图3(c))叠加描述故障的故障分量网络(如附图3(d))可以表示故障后的网络。故障附加电源-uf作用于故障分量网络产生了故障行波。
[0187]
输电线路模型构建模块，用以建立输电线路模型，求解输电线路的初始电压和电流行波通用解。
[0188]
故障附加电源在输电线路上交替建立起电场和磁场的过程可以用分布参数线路的传输方程来表达。在忽略线路电阻和电导的无损传输线上，传输线方程为：
[0189][0190]
式中，u、i为输电线路上任意一点的电压、电流，l0、c0为输电线路单位长度的电感、电容，传输线方程二阶偏微分形式就是波动方程：
[0191][0192]
波动方程的达朗贝尔解为
[0193][0194]
式中，v为行波在输电线路上传播的波速度，zc为输电线路的波阻抗，u1为沿x轴正方向传播的正向行波，u2为沿x轴反方向传播的反向行波。
[0195]
波速度和波阻抗取决于输电线路的参数，表达式为：
[0196][0197][0198]
在故障分量网络中用uf和if表示故障初始电压和电流行波，以故障点作为 x轴的起点，x轴的方向为沿输电线路的方向，那么在折反射发生前，输电线路上只存在正向行波，初始电压和电流行波间的关系为：
[0199]
uf＝zcifꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(10)
[0200]
根据基尔霍夫定律可以得到故障点的边界条件为：
[0201][0202]
联立式(8)和式(9)，可以解得输电线路的初始电压和电流行波为：
[0203][0204]
故障附加电源的电压值为故障点故障前的电压，对直流系统而言，可以认为是恒定的直流电压，其幅值为uf。
[0205]
故障附加网络是在故障后叠加在正常网络上的，假设故障发生在t0时刻，那么在t0时刻前，输电线路上并不存在行波，所以，考虑故障前后的整个时间范围，初始电压和电流行波可以表示为：
[0206][0207][0208]
由上式可以看到，初始电压和电流行波都是负极性的阶跃波，波头的幅值与线路波阻抗、过渡电阻和故障点故障前的电压有关。
[0209]
直流线路故障行波方程构建模块，用以通过极模变换解耦双极系统电气耦合，构建模域下的直流线路故障行波方程。
[0210]
双极系统的正极电气量和负极电气量之间存在电磁耦合，抽象为数学模型时，体现为正负极线间存在互阻抗，双极系统的传输线方程为：
[0211][0212]
[0213]
其中，u
p
、un分别为正、负极电压，i
p
、in分别为正、负极电流，ls、cs分别为单位长度的自电感、自电容，lm、cm分别为单位长度的互电感、互电容。
[0214]
将极线电压和电流用矩阵形式表示：
[0215][0216][0217]
由于不同极线的电气量间存在耦合，为了解除耦合，需要对极线电气量进行坐标变换，将变换后的电气量称为模量，变换用到的矩阵称为极模变换矩阵
[0218][0219][0220]
将式(19)和(20)带入传输线方程并进行变换，可以得到模量表示的波动方程：
[0221][0222]
令波动方程的系数矩阵为对角阵，可以求得极模变换矩阵为
[0223][0224]
变换后的波动方程为
[0225][0226]
零模和线模分量只存在自阻抗，零模和线模的电感和电容可以表示为：
[0227][0228]
零模和线模的波阻抗为
[0229][0230]
判断模块，用以判断是单极故障还是双极故障，如果是单极故障则进行判断模块，如果是双极故障则进行单级故障初始行波解推导模块。
[0231]
单级故障初始行波解推导模块，用以推导双极系统单极故障时故障初始行波解。
[0232]
以正极接地故障为例，推导双极系统单极接地故障时故障初始行波的表达式，以获取故障特征。附图4是正极接地故障的示意图。
[0233]
正极接地故障时，故障点的边界条件为：
[0234][0235]
对上式进行极模变换，得到
[0236][0237]
模量的故障初始电压、电流行波满足
[0238][0239]
联立式(27)和式(28)，解得模量的故障初始电压、电流行波为
[0240][0241]
考虑故障前后的整个时间范围，模量的故障初始电压、电流行波也可以写成阶跃波的形式，波头的幅值与线路线模和零模波阻抗、过渡电阻和故障点故障前的电压有关。
[0242]
负极接地故障时，模量的故障初始电压、电流行波的波头幅值和正极接地故障时相同，线模故障初始电压、电流行波的极性和正极接地故障时相同，零模故障初始电压、电流行波的极性和正极接地故障时相反。
[0243]
双极故障初始行波解推导模块，用以推导双极系统双极故障时故障初始行波解。
[0244]
双极故障时，故障附加电源的电压值为故障前两极故障点间的电压差，如附图5所示，假设正负极故障点电压幅值相等，为uf，则故障附加电源的电源电压幅值为2uf。
[0245]
双极极间故障时，故障点的边界条件为：
[0246][0247]
双极极间故障时，模量初始电压和电流行波仍旧满足式(29)。对边界条件进行极模变换后，联立式(30)，可以得到：
[0248][0249]
双极极间故障后，线路上不存在零模分量，线模故障初始电压、电流行波波头的幅值与线模波阻抗、过渡电阻以及故障前两故障点间的电压差有关。
[0250]
行波传播特性推导模块，用以推导在输电线路边界反射后的行波传播特性。
[0251]
故障初始行波在线路上传播时将在波阻抗不连续点发生折反射，对直流故障行波而言，线路边界和故障点是其传播过程中遇到的波阻抗不连续点。由于电压互感器的传变特性不佳，现在行波检测装置都是采用电流行波进行检测，所以本发明给出电流行波在输
电线路边界的反射特性，下文中的行波均指的是电流行波。附图6给出了行波的传播过程和各行波的表示符号。其中，r和i侧分别代表整流侧和逆变侧；ρr、ρi、ρf分别是整流侧边界、逆变侧边界和故障点的反射系数；γf是故障点的折射系数。
[0252]
为方便下文叙述，对附图6中的各行波命名如下：if是分析的故障初始行波；ρrif、ρiif称为整流侧、逆变侧故障初始行波在线路边界的反射波，那么互感器检测到的第一个波头为故障初始行波及其在线路边界的反射波；ρfρrif、ρfρiif称为整流侧、逆变侧故障点反射波，ρfρ
2r
if、ρfρ
2i
if称为整流侧、逆变侧故障点反射波在线路边界的二次反射波，γfρrif、γfρiif称为整流侧、逆变侧故障点折射波，γfρrρiif、γfρrρiif称为整流侧、逆变侧故障点折射波在线路边界的反射波，根据故障距离的远近，互感器检测到的第二个波头是故障点反射波及其在线路边界的二次反射波或者是故障点折射波及其在线路边界的反射波。
[0253]
故障初始行波在线路边界的反射波经过了一次线路边界的反射，故障点反射波在线路边界的二次反射波和故障点折射波在线路边界的反射波都经过了两次线路边界的反射，两次反射的反射系数相同或者相似，所以用第一次反射为例分析线路边界的反射特性。
[0254]
以单极系统为例进行分析，在输电线路边界，电流反射系数可以表示为
[0255][0256]
其中，l
dc
是交流系统和换流器在直流侧的等效电感，lr为平波电抗器的电感， z
lb
为直流滤波器的阻抗；
[0257]
在过渡电阻为固定阻值的电阻时，故障点的折、反射系数都是常数，所以经过故障点折反射后，行波的波形不会发生改变但是幅值会发生变化。故障点的折反射系数下式所示。
[0258][0259][0260]
以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施
例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的精神和范围。