一种柔性梁系统的边界协同振动控制方法与流程

1.本发明涉及振动控制技术领域，具体涉及一种柔性梁系统的边界协同振动控制方法。


背景技术：

2.柔性结构具有重量轻和能耗低等优良特点，所以此结构广泛应用于机械臂、海洋立管等工程领域。在柔性结构研究中，柔性梁通常作为柔性结构的基础模型。由于存在外部的干扰，柔性梁会产生弹性形变，进而导致系统的长时间振动，从而影响系统的正常工作，甚至会导致系统瘫痪。因此，如何有效减小柔性梁的振动，是一个急需解决的问题。
3.协同跟踪控制指的是多个目标作为跟随者，跟踪指定目标(领导者)的状态信息，从而达到协同效果。在实际中一般有多个柔性梁同时工作，如何使多个柔性梁达到协同工作的效果且能抑制振动，是需要解决的问题。
4.在现有的研究下，通常都是对单个柔性梁采用pid，鲁棒控制等方法。关于多个柔性梁组成的柔性梁组基于协同跟踪的振动控制却很少研究，因而本研究将为协同跟踪和振动抑制提供一定的参考。


技术实现要素：

5.本发明的目的是为了解决现有技术中的上述缺陷，提供一种柔性梁系统的边界协同振动控制方法。
6.本发明的目的可以通过采取如下技术方案达到：
7.一种柔性梁系统的边界协同振动控制方法，所述柔性梁系统包括领导者和跟随者小组，跟随者小组包括多个跟随者，所述边界协同振动控制方法包括以下步骤：
8.根据柔性梁的动力学特征，构建一个柔性梁的动力学模型，作为领导者；构建一组柔性梁的动力学模型，作为跟随者小组，跟随者跟踪领导者；；
9.基于领导者和跟随者小组的动力学模型，构建柔性梁系统状态误差模型；
10.基于跟随者小组的动力学模型，构建跟随者的边界扰动观测器；
11.基于柔性梁系统，构建基于协同跟踪的边界控制器，所述边界控制器包括：领导者的边界控制器和跟随者的边界控制器，在跟随者的边界控制器中，能获得领导者的即时状态信息来更新边界控制输入，完成柔性梁系统协同控制；
12.进一步地，所述柔性梁的动力学特征包括柔性梁的动能、势能以及非保守力对柔性梁系统所做的虚功，将动能、势能、虚功代入哈密顿原理，提出跟随者小组的柔性梁的动力学模型为：
[0013][0014]
其中i＝1,2,...,n，n≥3，s∈(0,l)，t≥0，s是长度变量；yi(s,t)为第i个跟随者在坐标系xoy下的振动偏移量，表示yi(s,t)对t的二次导数；y
″i(s,t)、y
″″i(s,t)分
别表示yi(s,t)对s的二次导数、四次导数；ρ为柔性梁密度，t为柔性梁张力，ei为柔性梁弯曲刚度；
[0015]
跟随者小组的柔性梁边界条件为：
[0016][0017]
l为柔性梁长度，m为柔性梁末端负载质量，yi(0,t)为第i个跟随者在长度为0处的偏移量，y
′i(0,t)为y
′i(s,t)在x＝0的值，y
′i(l,t)表示y
′i(s,t)在x＝l的值，y
″i(l,t)表示y
″i(s,t)在x＝l的值，y
″′i(l,t)表示y
″′i(s,t)在x＝l的值，表示第i个跟随者在长度为l处振动偏移加速度，ui(t)为第i个跟随者的控制输入，di(t)为第i个跟随者受到的外干扰；
[0018]
作为领导者的柔性梁，动力学模型如下所示：
[0019][0020]
y0(s,t)为领导者的振动偏移量，表示y0(s,t)对t的二次导数；y
′0(s,t),y
″0(s,t),y
″′0(s,t),y
″″0(s,t)分别表示y0(s,t)对s的一次导数、二次导数、三次导数和四次导数；
[0021]
领导者的柔性梁的边界条件为：
[0022][0023]
y0(0,t)为领导者在长度为0处的偏移量，y
′0(0,t)为y
′0(s,t)在s＝0的值，y
′0(l,t)表示y
′0(s,t)在s＝l的值，y
″0(l,t)表示y
″0(s,t)在x＝l的值，y
″′0(l,t)表示y
″′0(s,t)在s＝l的值，表示领导者在长度为l处振动偏移的加速度，u0(t)为领导者的控制输入。
[0024]
依据哈密顿原理，可以得到作为领导者的柔性梁和作为跟随者的柔性梁的动力学模型，它们都是一个高阶动力学模型，解决了柔性梁的高维耦合关联问题；其中动力学模型包括了边界条件，这为边界控制方法设计提供理论依据。
[0025]
进一步地，在得出领导者和跟随者小组的动力学模型后，建立柔性梁系统状态误差模型，具体如下：
[0026][0027]
其中i＝1,2,...,n，n≥3，xi(s,t)＝yi(s,t)-y0(s,t)，xi(s,t)为第i个跟随者与领导者的振动偏移之差，表示xi(s,t)对t的二次导数；x
′i(s,t),x
″i(s,t),x
″′i(s,t),x
″″i(s,t)分别表示xi(s,t)对s的一次导数、二次导数、三次导数和四次导数；xi(0,t)为
xi(s,t)在长度为0处的偏移量，x
′i(0,t)为x
′i(x,t)在x＝0的值，x
′i(l,t)表示x
′i(x,t)在x＝l的值，x
″i(l,t)表示x
″i(x,t)在x＝l的值，x
″′i(l,t)表示x
″′i(x,t)在x＝l的值，表示第i个跟随者振动偏移之差的加速度。
[0028]
每个跟随者的动力学模型与领导者的动力学模型之差，可以得到柔性梁系统状态误差模型，从而每个跟随者与领导者间的状态差别可以用该误差模型来表示；这为边界协同振动控制方法提供了动力学模型基础。
[0029]
进一步地，基于跟随者小组的动力学模型，提出每个跟随者对应的边界扰动观测器来处理干扰，具体如下：
[0030]
定义辅助系统：
[0031]
μi(l,t)是作为第i个跟随者的辅助变量，是关于μi(l,t)的时间变化率，相应的辅助变量误差为：
[0032][0033]
对应的关于时间的变化率为：
[0034][0035]
构造第i个跟随者的边界观测器为：
[0036][0037]
是第i个跟随者的辅助变量估计值，γ1＞0,为边界观测器的控制参数，表示xi(s,t)在长度为l处的变化率。
[0038]
此边界扰动观测器是基于柔性梁高阶动力学模型设计的，目的是为了处理跟随者外部干扰。跟随者外部干扰是未知且不断变化着，通过边界扰动观测器去跟踪外干扰，这是处理未知扰动的有效方法之一。
[0039]
进一步地，提出领导者的边界控制器，在领导者的边界控制器基础上，提出各个跟随者的边界控制器，具体如下：
[0040]
构造领导者对应的边界控制器为：
[0041][0042]
其中，k,k1,k2,k3分别为u0(t)的第一、第二、第三、第四控制参数，为领导者在l处的变化率，分别为y
′0(l,t),y
″′0(l,t)关于时间的变化率，ua(t)为辅助信号，ua(t)具体为：
[0043]
y0(l,t)为领导者在l处的振动偏移值；
[0044]
在领导者的边界控制器u0(t)的基础上，提出每个跟随者的边界控制器，跟随者小组的边界控制器为：
[0045][0046]
u(t)是一个n维向量，u(t)＝[u1(t),u2(t),...,ui(t),un(t)]
t
，分量ui(t)为第i个跟随者的输入，x
′
(l,t)是包括每个跟随者的xi
′
(l,t)状态信息的n维向量，x
″′
(l,t)是包括每个跟随者的x
″′i(l,t)状态信息的n维向量，是包括每个跟随者的状态信息的n维向量，是包括每个跟随者的状态信息的n维向量，是包括每个跟随者的状态信息的n维向量；
[0047]
是一个n维向量，表示n个跟随者的边界扰动观测器，ul(t)是一个关于辅助信号的n维向量，对应的分量为：表示第i个跟随者的辅助信号；分别为跟随者边界控制器中的第一、第二、第三、第四控制参数，c是一个耦合系数；
[0048]in
∈rn×n是一个单位矩阵，1n是分量全为1的n维向量；p∈rn×n表示一个矩阵，定义为p＝λ-w δ，w＝(w
ij
)∈rn×n是一个非负邻接矩阵，表示各个作为跟随者的柔性梁的之间的关系，如果第i个和第j个柔性梁存在信息交流，则w
ij
＞0，否则w
ij
＝0；λ∈rn×n是一个入度矩阵，λ＝diag(w1,w2,..,wi,wn)，每个分量wi表示第i个跟随者柔性梁与其他跟随者的有信息交流的数量，如果其他跟随者与第i个跟随者没信息交流，则wi＝0；δ∈rn×n是一个非负矩阵，δ＝diag(w
10
,w
20
,...,w
i0
,w
n0
)，定义为如果第i个跟随者与领导者之间存在信息交流，则w
i0
＝1，否则w
i0
＝0。
[0049]
从跟随者的边界控制器中，通过边界处的传感器或者执行器，各个跟随者可以获得领导者状态信息，所以跟随者的边界控制方法中具有领导者的状态信息，从而可以跟踪领导者的状态同时不断调整自身的状态，达到领导者和跟踪者协同控制效果。
[0050]
本发明相对于现有技术具有如下的优点及效果：
[0051]
本发明提出了一种柔性梁系统的边界协同振动控制方法，与传统的控制方法相比，此方法可以实现多个柔性梁的协同跟踪效果，并且能抑制柔性梁自身的振动。本发明设计的控制方法包含两种类型的边界控制器，一中类型边界控制器用于使得作为领导者的柔性梁稳定工作，另一种类型应用于作为跟随者的柔性梁，在跟随者的边界控制器中，边界干扰观测器主要处理柔性梁的外部干扰，通过状态变量和柔性梁自身状态信息的反馈，更新追踪柔性梁的外部干扰，起到抑制振动的作用。指定好领导者和跟随者，确定信息交流关系，对于跟随者小组，每个跟随者可以获得领导者的控制输入信息，即每个跟随者可以跟踪领导者的状态信息，及时调整自身的状态，达到柔性机械臂协同跟踪的效果。在大多数研究中，研究者只是针对单一对象设计控制器，而在本专利中，研究对象是一组控制对象，设计的方法能够使得一组控制对象达到协同工作的目的。
附图说明
[0052]
图1是本发明公开的一种柔性梁系统的边界协同振动控制方法的流程示意图；
[0053]
图2是本发明实施例中柔性梁的结构示意图；
[0054]
图3是本发明实施例中柔性梁系统的网络拓扑示例图；
[0055]
图4是本发明实施例中未对跟随者施加控制后，柔性梁的振动偏移yi(s,t)的仿真结果示意图；
[0056]
图5是本发明实施例中对跟随者施加控制后，柔性梁的振动偏移yi(s,t)的仿真结果示意图。
具体实施方式
[0057]
为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
[0058]
实施例1
[0059]
图1是本实施例公开的一种柔性梁系统的边界协同振动控制方法流程示图，包括以下步骤：
[0060]
s1、根据柔性梁的动力学特征，构建跟随者小组的动力学模型和领导者的柔性梁的动力学模型。
[0061]
图2所示为一种典型的柔性梁，梁的左侧边界固定于坐标原点，为固定端，右边末端搭载负载；控制输入u0(t)或ui(t)和外部周期扰动di(t)作用于柔性梁的右侧，振动偏移量为yi(s,t)。柔性梁的基本属性为：末端负载质量为m，密度为ρ，弯曲刚度为ei，长度变量为s，张力为t，长度为l。
[0062]
在本实施例中，请参阅图3，图3为整个柔性梁组网络拓扑示例图，展示的是各个柔性梁的信息交流。考虑一个由4个柔性梁组成的柔性梁系统，其中，编号为0的柔性梁作为领导者，其余编号的柔性梁为跟随者小组。编号为1与编号为0的领导者存在信息交流，同时与编号2的跟随者也存在信息交流，编号为2的跟随者与编号1、3的跟随者存在信息交流，编号为3的跟随者与编号2的跟随者存在信息交流。
[0063]
跟随者小组的动力学模型为：
[0064][0065]
其中i＝1,2,3,，s∈(0,l),yi(s,t)为第i个跟随者的振动偏移量，表示yi(s,t)对t的二次导数，y
″i(s,t),y
″″i(s,t)分别表示yi(s,t)对s的二次导数、和四次导数；
[0066]
跟随者小组的柔性梁边界条件为：
[0067][0068]
yi(0,t)为第i个跟随者在长度为0处的偏移量，y
′i(0,t)为y
′i(s,t)在x＝0的值，y
′i(l,t)表示y
′i(s,t)在x＝l的值，y
″i(l,t)表示y
″i(s,t)在x＝l的值，y
″′i(l,t)表示y
″′i(s,t)在x＝l的值，表示第i个跟随者在长度为l处振动偏移加速度；
[0069]
作为领导者的柔性梁，动力学模型如下所示：
[0070][0071]
y0(s,t)为领导者的振动偏移量，表示y0(s,t)对t的二次导数，y
′0(s,t),y
″0(s,t),y
″′0(s,t),y
″″0(s,t)分别表示y0(s,t)对s的一次导数、二次导数、三次导数和四次导数；
[0072]
领导者的柔性梁的边界条件为：
[0073][0074]
y0(0,t)为领导者在长度为0处的偏移量，y
′0(0,t)为y
′0(s,t)在s＝0的值，y
′0(l,t)表示y
′0(s,t)在s＝l的值，y
″0(l,t)表示y
″0(s,t)在s＝l的值，y
″′0(l,t)表示y
″′0(s,t)在s＝l的值，表示领导者在长度为l处振动偏移加速度。
[0075]
s2、在领导者和跟随者小组的动力学模型基础上，建立柔性梁系统状态误差模型。
[0076][0077]
其中i＝1,2,3,，xi(s,t)＝yi(s,t)-y0(s,t)，xi(s,t)为第i个跟随者的振动偏移与领导者的振动偏移之差，表示xi(s,t)对t的二次导数；x
′i(s,t),x
″i(s,t),x
″′i(s,t),x
″″i(s,t)分别表示xi(s,t)对s的一次导数、二次导数、三次导数和四次导数，xi(0,t)为xi(s,t)在长度为0处的偏移量，x
′i(0,t)为x
′i(x,t)在x＝0的值，x
′i(l,t)表示x
′i(x,t)在x＝l的值，x
″i(l,t)表示x
″i(x,t)在x＝l的值，x
″′i(l,t)表示x
″′i(x,t)在x＝l的值，表示在长度为l处偏移之差加速度。
[0078]
s3、提出各个跟随者对应的边界扰动观测器来处理干扰。
[0079]
定义辅助系统：μi(l,t)是第i个跟随者的辅助变量，辅助变量误差为：
[0080][0081]
其关于时间的变化率为
[0082][0083]
第i个跟随者的边界观测器为
[0084]
[0085]
是第i个跟随者的辅助变量估计值，γ1＞0,为边界观测器的控制参数，为xi(s,t)在长度为l处的变化率，为φi(t)关于时间的变化率。
[0086]
s4、提出领导者的边界控制器，并且在领导者的边界控制器基础上，提出跟随者的边界控制器。
[0087]
构造领导者对应的边界控制器为：
[0088][0089]
k,k1,k2,k3分别为u0(t)的第一、第二、第三、第四控制参数，ua(t)为辅助信号，ua(t)具体为y0(l,t)为领导者在l处振动偏移值；
[0090]
跟随者的的边界控制器为：
[0091][0092]
u(t)是一个3维向量，u(t)＝[u1(t),u2(t),u3(t)]
t
，分量ui(t),i＝1,2,3,代表的是作为第i个跟随者的输入，x
′
(l,t)是包括每个跟随者的x
′i(l,t)状态信息的3维向量，x
″′
(l,t)是包括每个跟随者的x
″′i(l,t)状态信息的3维向量，是包括每个跟随者的状态信息的3维向量，是包括每个跟随者的状态信息的3维向量，是包括每个跟随者的状态信息的3维向量。
[0093]
是一个3维向量，表示的是3个跟随者的边界扰动观测器，u
l
(t)是一个关于辅助信号的3维向量，为u
l
(t)＝[u
l1
(t),u
l2
(t),u
l3
(t)]
t
，对应的分量为：
[0094]
表示的是作为第i个跟随者的辅助信号，分别为跟随者边界控制器中的第一、第二、第三、第四控制参数，c是耦合系数，13是分量全为1的3维向量。
[0095]
s5、基于柔性梁组和边界控制器，构建柔性梁系统的lyapunov函数，具体为：
[0096]
v(t)＝v1(t) v2(t) v3(t)
ꢀꢀꢀ
(a)
[0097]
[0098]
分别为v(t)第一、第二的控制参数，v1(t)是能量项，v2(t)是辅助项，v3(t)是与辅助信号有关的函数项，v1(t)是能量项，v2(t)是辅助项，v3(t)是与辅助信号有关的函数项，是关于跟随者振动偏移之差的变化速度的3维向量，x
′
(s,t)是与跟随者振动偏移之差对s的一次导数有关的3维向量，x
′
(s,t)＝[x
′1(s,t),x
′2(s,t),x
′3(s,t)]，x
″
(s,t)是与跟随者振动偏移之差对s的二次导数有关的3维向量，x
″
(s,t)＝[x
″1(s,t),x
″2(s,t),x
″3(s,t)]。
[0099]
s6、根据lyapunov函数，验证整个柔性梁组的稳定性；该步骤利用李雅普诺夫直接法验证整个柔性梁组的稳定性。
[0100]
本实施例中，柔性梁满足预设要求，即通过验证lyapunov函数的正定性，得出整个柔性梁系统符合lyapunov意义下的稳定；通过验证lyapunov函数一阶导数的负定性，得出整个柔性梁系统符合渐进稳定。
[0101]
在本实施例中，验证v(t)的正定性，方法如下：
[0102]
记
[0103]
根据不等式和其中，δ＞0，可以得到：其中σ满足0＜σ＜1,
[0104]
由(a)式，可知(1-σ)(v1(t) v3(t))≤v(t)≤(1 σ)(v1(t) v3(t))，所以可知v(t)≥0，v(t)的正定性得到证明。
[0105]
验证v(t)的一阶导数的负定性方法如下：
[0106]
(a)式子对时间的导数为：
[0107][0108]
分别对式(b)中的v1(t),v2(t),v3(t)求时间的导数，可得最终相加可得为：
[0109][0110]
其中的式子为：
[0111][0112][0113]
矩阵的最小特征值。所以进一步有：
[0114][0115]
以上证明了的负定性，系统在设计的控制方法下是渐近稳定的。记住分析系统状态的有界性：将式(d)乘以e-ζt
并且积分可得：
[0116][0117]
结合v1(t)和上式可得：
[0118][0119]
[0120]
这表明全部跟随者能够指数级跟踪领导者的状态信息。
[0121]
s7、当判断整个柔性梁组(包含领导者和跟随者小组)满足预设的稳定性要求时，利用matlab仿真软件对柔性梁系统进行数字仿真，得到仿真结果来验证所设计的边界控制方法的有效性。
[0122]
参阅图3，根据对矩阵p的定义，可知在实施例中矩阵p为：
[0123]
实施例2
[0124]
基于实施例1公开的一种柔性梁系统的边界协同振动控制方法，本实施例进一步细化柔性梁系统的参数，如表1和表2。
[0125]
表1是柔性梁系统参数，表2是领导者边界控制器u0(t)和跟随者小组边界控制器u(t)的仿真参数。
[0126]
表1.柔性梁系统参数
[0127] eiρtml数值5nm21kg/m6n5kg1m
[0128]
表2.领导者边界控制器u0(t)和跟随者小组边界控制器u(t)的仿真参数
[0129][0130]
在图4中，对柔性梁系统未施加控制时，即控制方法的参数都为0时，三个跟随者都存在较大的振动，不能正常工作，更加不能实现协同控制效果。图5为对柔性梁系统施加控制作用后，即控制方法中的参数值如表2所示的数值，随着时间的增加，3个跟随者和1个领导者的振动偏移值都趋近于0，有效地处理了外在干扰，且3个跟随者的振动偏移值随着时间可以较好地与领导者的振动偏移值保持同步，有效地实现了协同控制功能。本实例提供了基于协同跟踪的柔性梁的振动控制方法，构建了柔性梁组(包括领导者和跟随者)的动力学模型，指定其中的领导者和跟随者，确定信息交流关系，跟随者能够追踪领导者的状态信息；构造的边界控制器作用于柔性梁的尖端位置，实现了柔性梁的振动抑制，并且能实现柔性梁的协同跟踪的效果，相比较与大多数研究只专注为一个控制对象设计控制器，本实施例考虑的是一组控制对象，设计控制器能够达到协同控制效果。
[0131]
上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。