一种基于贝塞尔牛顿的导弹多约束末制导律设计方法

1.本发明属于制导技术领域，具体涉及一种导弹多约束末制导律设计方法。


背景技术：

2.制导律是导弹实现拦截导引和精确打击的关键技术之一。随着现代战场环境的复杂多变及导弹防御系统的不断完善，对于末制导的要求也越来越高。在要求导弹的脱靶量尽可能小的基础上，还希望导弹能够以一定的角度攻击目标，从而取得最大的毁伤效果。同时，一些末制导场景中还有含有位置、角度、过载等多方面的过程约束。对于这种多约束末制导问题，主要基于最优控制方法、滑模控制方法、偏置比例导引法来设计末制导律。滑模变结构导引律鲁棒性较高，但制导过程中容易产生抖振现象；偏置比例导引律算法形式简单，但制导精度不高；最优控制求解变量多，计算效率较低。
3.近年来，各种基于模型预测静态规划算法(model predictive static programming,mpsp)的最优制导律被广泛应用于各类含落角约束的末制导问题中，但这种方法本质上仍是经典的牛顿类方法。基于这一本质，针对经典牛顿类方法对初始猜测敏感的缺陷，引入自适应阻尼牛顿法，通过调节阻尼参数来控制迭代步长的大小，基于此方法的制导律相较于传统牛顿型末制导律具有更强的收敛性。
4.当导弹的末段飞行含有位置、角度等终端约束以及速度、过载等过程约束时，基于牛顿类方法的最优末制导律存在求解变量较多，并且存在求解较为复杂，计算时间长等问题。因此，如何设计一种求解难度低，计算效率高的多约束末制导方法是导弹末段飞行亟待解决的问题。


技术实现要素：

5.为了克服现有技术的不足，本发明提供了一种基于贝塞尔牛顿的导弹多约束末制导律设计方法，首先在惯性坐标系下，建立导弹三维空间的运动学和动力学模型；然后设计多约束末制导问题的贝塞尔牛顿制导律；接下来推导多约束问题的贝塞尔牛顿制导律，得到的权因子和攻击时间的迭代更新量；最终引入阻尼参数，对权因子和终端时间进行迭代更新，最终形成制导指令，实现末制导。本发明实现了导弹的多约束末制导，减少了求解变量，提高了计算效率，具有在弹载计算机上应用的潜力。
6.本发明解决其技术问题所采用的技术方案包括如下步骤：
7.步骤1：在惯性坐标系下，建立导弹三维空间的运动学和动力学模型；
8.步骤1-1：考虑重力、气动力以及自动驾驶仪延迟的影响，导弹无动力非线性点质量动力学模型为：
[0009][0010]
[0011][0012][0013][0014][0015][0016][0017]
式中，vm为导弹速度大小，mm为导弹质量，g为重力加速度，γm为导弹弹道倾角，ψm为导弹弹道偏角，az为导弹法向指令加速度，ay为导弹横向指令加速度，[xm,ym,zm]
t
为导弹的位置向量，分别为考虑自动驾驶仪一阶延迟的实际法向和横向加速度，τ为自动驾驶仪时间延迟参数，t为时间；dm为气动阻力，具体表达式为：
[0018][0019][0020][0021]
式中，ρm为大气密度，sm为导弹的参考面积，c
d0m
为零升阻力系数，km为诱导阻力系数；
[0022]
步骤1-2：对状态变量vm,γm,ψm,xm,ym,zm和控制变量az,ay进行归一化处理：
[0023][0024]
式中，带有下标n的变量代表归一化后的变量，带有上标*的变量表示各个变量的标准值；
[0025]
步骤1-3：根据步骤1-1和步骤1-2的定义，得到归一化矢量形式的导弹三维点质量动力学模型：
[0026][0027]
式中，x为导弹状态变量，y为末端输出变量，u为导弹控制变量；其中：
[0028]
[0029][0030][0031]
更具体地，
[0032][0033]
步骤2：设计多约束末制导问题的贝塞尔牛顿制导律；
[0034]
设计目标为：
[0035]
(1)在末制导过程，导弹的指令加速度和在具有上下界的约束范围内连续变化，即：
[0036][0037][0038]
其中，和分别为法向加速度指令的最小值和最大值，和分别为横向加速度指令的最小值和最大值；
[0039]
(2)在终端时刻tf，导弹打击目标的位置、弹道倾角和弹道偏角为期望的位置和角度，即：
[0040][0041]
式中，y(tf)表示导弹实际末端输出变量，表示期望末端输出变量；
[0042]
步骤2-1：设计修正有理贝塞尔曲线函数；
[0043]
有理贝塞尔曲线具体表达式如下：
[0044][0045]
式中，ωj,j＝0,1,
…
,n为权因子，pj,j＝0,1,
…
,n为特征控制点，n表示n阶贝塞尔
有理函数，为有理伯恩斯坦基函数；为伯恩斯坦基函数，表达式为：
[0046][0047]
其中，为二项式系数，υ为独立变量；
[0048]
设计有理贝塞尔曲线的首末端点由线性有理贝塞尔函数定义，具体如下所示：
[0049][0050][0051]
其中，p0(.)为有理贝塞尔曲线的首端特征控制点，pn(.)为有理贝塞尔曲线的末端特征控制点，和为首端点相应线性有理贝塞尔函数的2个特征控制点，和分别为其对应的权因子，和为末端点相应线性有理贝塞尔函数的2个特征点，和分别为其对应的权因子，为常值；
[0052]
取得到修正有理贝塞尔曲线函数b(v)：
[0053][0054]
最终将式(24)中设计的修正有理贝塞尔函数重写如下：
[0055][0056]
式中，p0,
…
,p
n 2
为特征点；
[0057]
步骤2-2：用修正的有理贝塞尔曲线近似加速度随时间变化曲线；
[0058]
选取法向指令加速度和横向指令加速度能取得的最大值和最小值分别作为对应修正有理贝塞尔曲线的控制点，利用贝塞尔曲线的保凸性将加速度随时间变化曲线控制在约束范围内变化；
[0059]
首先用n阶修正有理贝塞尔曲线近似横向指令加速度和法向指令加速度随时间变化曲线，其具体贝塞尔函数表达式如式(26)和式(27)所示：
[0060]
[0061][0062]
式中，为法向指令加速度对应修正有理贝塞尔曲线的n 1个权因子；为横向指令加速度对应修正有理贝塞尔曲线的n 1个权因子；分别为法向指令加速度和横向指令加速度对应修正有理贝塞尔曲线的特征控制点，其选取原则为：第奇数个控制点选取对应加速度的最大值作为控制点的数值，第偶数个控制点选取对应加速度的最小值作为控制点的数值，即:
[0063][0064][0065]
υ的表达式为：
[0066][0067]
其中，t0表示初始时刻；
[0068]
的表达式分别为：
[0069][0070][0071]
再将修正有理贝塞尔曲线表达式(26)和(27)代入导弹三维点质量动力学模型的矢量形式即式(13)中替换原有的u，得到新的矢量方程表达式如下：
[0072][0073]
y＝h(x)
ꢀꢀꢀ
(34)
[0074]
式中，修正有理贝塞尔曲线的权因子替代指令加速度和成为新的待优化求解的控制向量；
[0075]
步骤3：推导多约束问题的贝塞尔牛顿制导律，得到的权因子和攻击时间的迭代更新量；
[0076]
步骤3-1：将非线性模型(33)、(34)以及终端约束(20)离散化：
[0077]
x
i 1
＝gi(xi,ω0,ω1,
…
,ωn)＝xi fi(xi,ω0,ω1,
…
,ωn)δt
ꢀꢀꢀ
(35)
[0078]
yi＝hi(xi)
ꢀꢀꢀ
(36)
[0079]
[0080]
式中i＝1,2,
…
n-1表示离散时间序列；x
i 1
表示第i 1个离散点的状态向量，gi(.)表示第i个离散点处的动力学模型，xi表示第i个离散点的状态向量，fi(.)表示第i个离散点处的动力学微分方程，δt表示时间步长，hi(.)表示状态向量与输出向量的转换矩阵，yi表示第i个离散点的输出向量，yn表示终端输出向量，表示期望终端输出向量；
[0081]
将终端约束(37)转化为关于权因子ω0,ω1,
…
,ωn的表达式f(.)，其具体表示形式如下：
[0082][0083]
步骤3-2：假设当前迭代次数为k，将下一次迭代的进行泰勒展开并忽略高阶项，得到如下方程：
[0084][0085]
式中，分别表示第k 1次迭代的n 1个权因子，分别表示第k次迭代的n 1个权因子，t
fk 1
、t
fk
分别表示第k 1次、第k次迭代的终端时间；
[0086]
令
[0087][0088][0089]
式中和dt
fk
分别为第k次迭代的权因子偏差和终端时间偏差，将式(40)、(41)代入式(39)，得到：
[0090][0091]
步骤3-3：选取基于控制序列加权和形式的性能指标函数，表达式如式(43)所示：
[0092][0093]
式中，rj为正定的权重函数；cf为终端时间偏差权重因子，且cf为正数；
[0094]
最小化性能指标函数式(43)，使得制导过程中消耗的控制能量最小，同时使终端时间偏差最小，调整终端时间值，使导弹在优化的攻击时间内打到目标，并且满足终端约束条件，利用最优性原理得到：
[0095][0096][0097]
式中，
[0098][0099][0100]
步骤4，在步骤3的迭代更新量基础上，引入阻尼参数αk，对权因子和终端时间进行迭代更新，最终形成制导指令，实现末制导；
[0101]
引入的阻尼参数αk为：
[0102][0103]
得到更新后的权因子和终端时间分别为：
[0104][0105][0106]
进一步地，所述步骤4中迭代更新的具体过程为：
[0107]
步骤4-1：令迭代步数k＝0，给定状态量和控制量权因子的初始猜想x0、ω0和并令初始猜想xk＝x0,ωk＝ω0，
[0108]
步骤4-2：在第k 1步迭代过程中，基于初始xk、ωk和，得到状态量增量dx、控制量增量dω和终端时间增量dtf；
[0109]
步骤4-3：更新状态变量、控制变量和终端时间；
[0110]
步骤4-4：判断是否满足收敛条件：y
n-y
nd
≤ε，若满足该条件，则停止迭代，x
k 1
和ω
k 1
即为所求解；若不满足则返回步骤4-2迭代直至满足条件。
[0111]
本发明的有益效果如下：
[0112]
本发明将末制导过程的牛顿类方法与贝塞尔曲线相结合，利用修正的有理贝塞尔曲线的控制点代替牛顿类方法中数量较多的离散控制量。同时，利用贝塞尔曲线的凸包性，将控制量限制一定范围内变化。本发明实现了导弹的多约束末制导，减少了求解变量，提高了计算效率，具有在弹载计算机上应用的潜力。
附图说明
[0113]
图1为本发明方法流程。
[0114]
图2为本发明实施例进行导弹打击地面静止目标数值仿真示意图。
[0115]
图3为本发明实施例采用贝塞尔牛顿方法的三维弹道轨迹。
[0116]
图4为采用本发明方法在三种不同情况下导弹的弹道倾角随时间变化曲线。
[0117]
图5为采用本发明方法在三种不同情况下导弹的弹道偏角随时间变化曲线。
[0118]
图6为采用本发明方法在三种不同情况下导弹的法向指令加速度随时间变化曲线。
[0119]
图7为采用本发明方法在三种不同情况下导弹的横向指令加速度随时间变化曲线。
具体实施方式
[0120]
下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。
[0121]
本发明解决的技术问题是：针对现有方法制导精度低、计算效率不高的不足，设计出一种基于贝塞尔牛顿方法的导弹末制导律，减少了求解变量，提高了计算效率，具有在弹载计算机上应用的潜力。
[0122]
本发明提出了一种基于贝塞尔牛顿的导弹多约束末制导律设计方法。该方法将控制量的不等式约束转化为修正有理贝塞尔曲线的控制点，利用贝塞尔曲线的保凸性来满足变量的多个不等式约束，从而降低了求解难度，减小了计算量，提高了计算效率。
[0123]
一种基于贝塞尔牛顿的导弹多约束末制导律设计方法，包括如下步骤：
[0124]
步骤1：在惯性坐标系下，建立导弹三维空间的运动学和动力学模型；
[0125]
步骤1-1：考虑重力、气动力以及自动驾驶仪延迟的影响，导弹无动力非线性点质量动力学模型为：
[0126][0127][0128][0129][0130][0131][0132][0133]
[0134]
式中，vm为导弹速度大小，mm为导弹质量，g为重力加速度，γm为导弹弹道倾角，ψm为导弹弹道偏角，az为导弹法向指令加速度，ay为导弹横向指令加速度，[xm,ym,zm]
t
为导弹的位置向量，分别为考虑自动驾驶仪一阶延迟的实际法向和横向加速度，τ为自动驾驶仪时间延迟参数，t为时间；dm为气动阻力，具体表达式为：
[0135][0136][0137][0138]
式中，ρm为大气密度，sm为导弹的参考面积，c
d0m
为零升阻力系数，km为诱导阻力系数；
[0139]
步骤1-2：对状态变量和控制变量进行归一化处理：
[0140][0141]
式中，带有下标n的变量代表归一化后的变量，带有上标*的变量表示各个变量的标准值；
[0142]
步骤1-3：根据步骤1-1和步骤1-2的定义，得到归一化矢量形式的导弹三维点质量动力学模型：
[0143][0144]
式中，x为导弹状态变量，y为末端输出变量，u为导弹控制变量；其中：
[0145][0146][0147][0148]
更具体地，
[0149][0150]
步骤2：设计多约束末制导问题的贝塞尔牛顿制导律；
[0151]
设计目标为：
[0152]
(1)在末制导过程，导弹的指令加速度和在具有上下界的约束范围内连续变化，即：
[0153][0154][0155]
(2)在终端时刻tf，导弹打击目标的位置、弹道倾角和弹道偏角为期望的位置和角度，即：
[0156][0157]
式中，y(tf)表示导弹实际末端输出变量，表示期望末端输出变量；
[0158]
步骤2-1：设计修正有理贝塞尔曲线函数；
[0159]
有理贝塞尔曲线具体表达式如下：
[0160][0161]
式中，ωj,j＝0,1,
…
,n为权因子，pj,j＝0,1,
…
,n为特征控制点，为有理伯恩斯坦基函数；
[0162]
设计有理贝塞尔曲线的首末端点由线性有理贝塞尔函数定义，具体如下所示：
[0163]
[0164][0165]
取得到修正有理贝塞尔曲线函数b(v)：
[0166][0167]
最终将式(24)中设计的修正有理贝塞尔函数重写如下：
[0168][0169]
式中，p0,
…
,p
n 2
为特征点；
[0170]
步骤2-2：用修正的有理贝塞尔曲线近似加速度随时间变化曲线；
[0171]
选取法向指令加速度和横向指令加速度能取得的最大值和最小值分别作为对应修正有理贝塞尔曲线的控制点，利用贝塞尔曲线的保凸性将加速度随时间变化曲线控制在约束范围内变化；
[0172]
首先用n阶修正有理贝塞尔曲线近似横向指令加速度和法向指令加速度随时间变化曲线，其具体贝塞尔函数表达式如式(26)和式(27)所示：
[0173][0174][0175]
式中，分别为法向指令加速度和横向指令加速度对应修正有理贝塞尔曲线的特征控制点，其选取原则为：第奇数个控制点选取对应加速度的最大值作为控制点的数值，第偶数个控制点选取对应加速度的最小值作为控制点的数值，即：
[0176][0177][0178]
υ的表达式为：
[0179][0180]
的表达式分别为：
[0181][0182][0183]
再将修正有理贝塞尔曲线表达式代入导弹三维点质量动力学模型的矢量形式即式(13)中，得到新的矢量方程表达式如下：
[0184][0185]
y＝h(x)
ꢀꢀꢀ
(34)
[0186]
式中，修正有理贝塞尔曲线的权因子替代指令加速度和成为新的待优化求解的控制向量；
[0187]
步骤3：推导多约束问题的贝塞尔牛顿制导律，得到的权因子和攻击时间的迭代更新量；
[0188]
步骤3-1：将非线性模型(33)、(34)以及终端约束(20)离散化：
[0189]
x
i 1
＝gi(xi，ω0，ω1，
…
，ωn)＝xi fi(xi，ω0，ω1，
…
，ωn)δt
ꢀꢀꢀ
(35)
[0190]
yi＝hi(xi)
ꢀꢀꢀ
(36)
[0191][0192]
将离散化非线性模型(35)、(36)代入终端约束方程(37)中，得到联立方程组：
[0193][0194]
步骤3-2：假设当前迭代次数为k，将下一次迭代的进行泰勒展开并忽略高阶项，得到如下方程：
[0195][0196]
令
[0197][0198][0199]
式中和dt
fk
分别为第k次迭代的权因子偏差和终端时间偏差，将式(40)、(41)
代入式(39)，得到：
[0200][0201]
步骤3-3：选取基于控制序列加权和形式的性能指标函数，表达式如式(43)所示：
[0202][0203]
式中，rj为正定的权重函数；cf为终端时间偏差权重因子，且cf为正数；
[0204]
最小化性能指标函数式(43)，使得制导过程中消耗的控制能量最小，同时使终端时间偏差最小，可灵活调整终端时间值，使导弹在优化的攻击时间内打到目标，并且满足终端约束条件，利用最优性原理得到：
[0205][0206]
式中，
[0207][0208][0209]
步骤4，在步骤3的迭代更新量基础上，引入阻尼参数αk，对权因子和终端时间进行迭代更新，最终形成制导指令，实现末制导；
[0210]
引入的阻尼参数αk为：
[0211][0212]
得到更新后的权因子和终端时间分别为：
[0213][0214][0215]
迭代更新的具体过程为：
[0216]
步骤4-1：令迭代步数k＝0，给定状态量和控制量权因子的初始猜想x0、ω0和并令初始猜想xk＝x0,ωk＝ω0，
[0217]
步骤4-2：在第k 1步迭代过程中，基于初始xk、ωk和，得到状态量增量dx、控制量增量dω和终端时间增量dtf；
[0218]
步骤4-3：更新状态变量、控制变量和终端时间；
[0219]
步骤4-4：判断是否满足收敛条件：y
n-y
nd
≤ε，若满足该条件，则停止迭代，x
k 1
和ω
k 1
即为所求解；若不满足则返回步骤4-2迭代直至满足条件。
[0220]
具体实施例：
[0221]
本实施例进行导弹打击地面静止目标数值仿真，仿真示意图如图1所示。整个末制导过程中，推力t＝0n，质量m＝150kg，参考面积sm＝0.0324m2，零升阻力系数c
d0m
＝0.0169，诱导阻力系数km＝0.015，最大法向指令加速度|a
zmax
|＝3g，最大横向指令加速度|a
ymax
|＝4g。导弹初始状态：初始位置x0＝y0＝z0＝5000m，初始速度v0＝300m/s，初始弹道倾角γ0＝0deg，初始弹道偏角ψ0＝250deg。导弹终端状态：目标位置x
t
＝y
t
＝z
t
＝0m。参数归一化标准值：位置归一值速度归一值角度归一值加速度归一值
[0222]
选取权重矩阵rk＝i2×2，cf＝100。制导周期设置为0.05s，选择30个制导离散点,脱靶量和落角的收敛阈值分别设置为3m和0.5deg。仿真过程中，仿真步长设置为0.001s，自动驾驶时间延迟系数τ＝0.3。横向指令加速度贝塞尔曲线和法向指令加速度加速度贝塞尔曲线的权因子初始猜想均设置为1，修正贝塞尔曲线的阶数设置为8。
[0223]
为了验证该制导方法的有效性，设置3种不同的终端落角和时间要求。3种情况下，导弹的终端弹道倾角分别设置为-42deg，-60deg和-80deg，导弹的终端弹道偏角分别设置为190deg，170deg和150deg。同时，三种情况对应的初始猜想攻击时间分别设置为26s，27s和29s。
[0224]
根据上述步骤及参数(具体流程如图2所示)，本发明所设计的基于贝塞尔牛顿的导弹多约束末制导律完成了导弹的多约束末制导仿真，对应的攻击时间分别为26.485s，27.491s和29.235s。图3给出了采用贝塞尔牛顿方法的三维弹道轨迹。在上述三种情况下，脱靶量分别为0.447m，0.212m和0.317m，均小于3m，满足终端脱靶量要求。图4和图5分别给出了采用本发明的三种情况下导弹的弹道倾角和弹道偏角随时间变化曲线，当导弹击中目标时误差均小于0.4deg，满足终端落角约束。图6和图7分别给出了采用本发明的三种情况下导弹的法向指令加速度和横向指令加速度随时间变化曲线，可以看到控制量光滑变化，在终点附近变化幅度较大，满足过程约束条件。
[0225]
同时，在上述三种情况下，单次制导的平均制导时间分别为27.3ms，25.6ms和27.4ms，可以看出本发明方法的平均制导计算时间很短，小于制导周期，制导律的计算效率较高，具有在但在计算机应用的潜力。
[0226]
综上所述，本发明设计的一种基于贝塞尔牛顿的导弹多约束末制导律设计方法，将牛顿法与贝塞尔曲线相结合，利用贝塞尔曲线代替控制量曲线，将求解变量减少为少量的修正有理贝塞尔曲线权因子，提高了计算效率。同时，将终端时间作为一个变量，当导弹在预估的时间内无法满足打击精度和落角约束时，调整终端时间从而满足制导的终端约束。