一种基于分段线性函数的桥梁地震易损性计算方法与流程

1.本发明涉及桥梁结构抗震计算技术领域，具体涉及一种基于分段线性函 数的桥梁地震易损性计算方法。


背景技术：

2.桥梁是交通运输体系的重要组成部分，我国建成桥梁数量已达到世界第 一水平。然而在地震这种随机性强、破坏性巨大的突发自然灾害影响下，桥 梁存在损伤乃至倒塌风险。目前国内相关规范对于桥梁抗震性能的评价主要 采用确定性方法，并在较多时候局限于弹性分析。针对以上问题，美国太平 洋地震工程研究中心在20世纪90年代提出了“基于性能的地震工程 (performance-based earthquake engineering，简称pbee)”和“基于性能的 抗震设计(performance-based seismic design，简称pbsd)”。其中，结构的 地震易损性分析是pbee与pbsd研究的重点环节，从概率角度描述桥梁在 特定地震作用下的损伤可能性，能优化设计阶段桥梁的抗震设计方案和确定 已建成桥梁的最优加固方法。但目前结构地震易损性理论仍在深入研究中， 常用的地震易损性计算方法存在既有缺陷。
3.在土木工程领域，易损性于20世纪70年代被首次运用于地震作用下核 电站的安全评估，其后于20世纪90年代逐渐被运用于桥梁抗震领域。地震 易损性发展主要经历了专家意见法、震害调查法、理论分析法和混合分析法 四个阶段。专家意见法是根据不同专家的建议确定桥梁可能的损伤状态；然 而不同专家的经验不同，对损伤程度的判断也有区别，因此该方法主观性过 强，随着技术进步现在已经基本不再使用。震害调查法是根据实际统计数据， 采用回归方式建立易损性曲线；该方法缺点在于除了少数地区有足够的地震 破坏数据，大部分地区的地震数据都严重缺乏，统计结果难以应用于其它区 域桥梁的易损性分析，而且震害调查法在使用过程中要收集大量相似地质条 件下的震害信息，难度较高。理论分析法是通过计算获得结构在地震下的响 应，然后根据计算数据进行回归分析结构易损性的方法；该方法不受使用场 地的限制，且能考虑多种影响因素，是当前最通用的易损性分析方法之一。 混合分析法是将以上三种分析方法相互结合的一种易损性分析方法，然而该 方法计算过程非常复杂，难以推广到实际工程应用中。
4.现有的基于联合概率地震需求模型系统易损性计算方法的缺点在于计算 步骤中使用的协方差矩阵在计算系统失效概率时统计意义不匹配，这是由于 计算过程生成并同时使用了两个协方差矩阵所造成的。


技术实现要素：

5.针对现有技术中存在的技术问题，本发明的目的是提供一种基于分段线 性函数的桥梁地震易损性计算方法。保证了在每个im时刻只使用了一个协方 差矩阵，使得相关系数矩阵与对应边缘分布的参数存在统计意义。
6.为了达到上述目的，本发明采用如下技术方案：
7.一种基于分段线性函数的桥梁地震易损性计算方法，采用基于分段函数 的概率
地震需求模型建立构件易损性分析方法，采用基于分段函数的联合概 率地震需求模型建立系统易损性分析方法，包括以下步骤：
8.s1、实现相关系数矩阵的元素与边缘分布的参数意义相匹配，将边缘分 布的线性拟合替换为提出的分段线性拟合；将边缘分布的常数方差替换为提 出的分段线性拟合方差；在对数坐标系下，任意时刻构件的需求服从一个均 值线性变化且方差也线性变化正态分布；
9.s2、生成构件的概率地震需求模型，并在各地震动强度指标im时刻，生 成系统的联合概率地震需求模型；
10.s3、根据多元正态分布可加性，采用monte carlo方法计算系统失效概率。
11.优选的，构件概率地震需求模型的正态分布表达式为：n(ln(sd),σ2)、 和中任意一种，式中n(,)代表正态分布，σ2在是正态 分布的方差，n(,)中的第一项参数为需求的对数正态分布的均值，也即为结 构响应的均值，第二项参数为需求的对数正态分布的方差，也即为结构响应 的方差。
12.优选的，所述正态分布的均值表达为：
[0013][0014]
式中，ln(sd)是正态分布的均值，ln(sd)＝ln(a) b*ln(im)，ln(a)为常数项估 计参数，b为一次项估计参数，表明在每一个im区间,即im
i-1
≤im＜imi，结构 响应均值都是一次函数，且是该段的常数项估计参数，是该段的一次 项估计参数；正态分布的方差表达为：
[0015][0016]
式中，σ2为正态分布的方差，在改进公式中方差用分段一次线性函数表 示，表明在每一个im区间m即im
i-1
≤im＜imi，结构响应的方差都按照一次 函数变化，且是该段的常数项估计参数，是该段的一次项估计参数。
[0017]
优选的，在s1中，构件的易损性表达为：
[0018][0019]
式中，pf为构件易损性，φ是标准正态累积分布函数，为需求的均值， 为能力的均值，为需求的方差拟合的函数，为能力的方差拟合的函 数。
[0020]
优选的，在s2中，联合概率地震需求模型的均值向量为：x＝(x1,x2)
t
，以 im1时刻为例，为例，为a构件结 构响应均值在
分段函数第一段的常数项估计参数，是a构件结构响应均值 在分段函数第一段的一次项估计参数；为b构件结构响应均值在分段函 数第一段的常数项估计参数，是b构件结构响应均值在分段函数第一段的 一次项估计参数。
[0021]
优选的，在s3中，将求系统失效概率转化为求多元正态分布的累积分布 函数值，在某强度指标下获得结构需求的多元对数正态分布函数a，获得结 构抗震能力的多元对数正态分布函数b；系统失效概率表示为： ps＝p[lna-lnb≥0]，其中lna服从均值向量为μa、协方差矩阵为∑a的多元正 态分布函数，lnb服从均值向量为μb、协方差矩阵为∑b的多元正态分布函数： lna～n(μa,∑a)lnb～n(μb,∑b)。
[0022]
优选的，结构的能力和需求相互独立，依据多元正态分布函数的可加性， 所述系统失效概率还表示：ps＝1-g(0|∑a ∑b,μ
a-μb)， 其中，g(0|∑a ∑b,μ
a-μb)＝p[n(μ
a-μb,∑a ∑b)≤0]。
[0023]
优选的，将求非标准正态分布g小于0的概率转化为求对应标准正态分 布累积分布函数：g(0|∑a ∑b,μ
a-μb)＝φ(d|∑d,μd)＝p[φ(μd,∑d)≤d]，
[0024]
其中，∑d为∑a ∑b的相关系数矩阵，μd为0向量，d的第i个元素是μ
a-μb的第i个元素除以对应的标准差。
[0025]
优选的，采用monte carlo方法计算，以∑d为协方差矩阵的标准正态分 布在(-∞,d]的累积分布函数值。
[0026]
本发明相对现有技术具有以下优点及有益效果：
[0027]
1、本发明基于分段线性函数的桥梁地震易损性计算方法，采用分段线性 函数能更好描述构件需求随地震动强度指标的变化趋势；基于分段线性函数 保证了在每个im时刻只使用了一个协方差矩阵，使得相关系数矩阵与对应边 缘分布的参数存在统计意义，使构件与系统模型形成整体，构件与系统模型 在计算过程中可以相互推到，在描述构件的变化更加细致。
[0028]
2、本发明基于分段线性函数的桥梁地震易损性计算方法，将分段线性函 数以及monte carlo方法结合到桥梁结构系统的地震易损性计算过程中，解决 了现有方法生成并同时运用了两个协方差矩阵造成的统计意义不匹配问题。
[0029]
3、本发明基于分段线性函数的桥梁地震易损性计算方法，基于分段线性 函数的构件概率地震需求模型的转化示意图，在对数坐标系下，任意时刻构 件的需求都服从一个均值线性变化且方差也线性变化的正态分布；使用分段 函数的方式来描述构件需求随强度指标的变化趋势，可知不同im之间的分段 线性拟合更准确。
附图说明
[0030]
图1是本发明的基于分段线性函数的构件概率地震需求模型的转化示意 图一。
[0031]
图2是本发明的基于分段线性函数的构件概率地震需求模型的转化示意 图二。
[0032]
其中，a为构件一，b为构件二。
具体实施方式
[0033]
下面结合附图和具体实施例对本发明的发明目的作进一步详细地描述， 实施例
不能在此一一赘述，但本发明的实施方式并不因此限定于以下实施例。
[0034]
一种基于分段线性函数的桥梁地震易损性计算方法，采用基于分段函数 的概率地震需求模型建立构件易损性分析方法，采用基于分段函数的联合概 率地震需求模型建立系统易损性分析方法，包括以下步骤：
[0035]
s1、实现相关系数矩阵的元素与边缘分布的参数意义相匹配，将边缘分 布的线性拟合替换为提出的分段线性拟合；将边缘分布的常数方差替换为提 出的分段线性拟合方差；在对数坐标系下，任意时刻构件的需求服从一个均 值线性变化且方差也线性变化正态分布；如使用分段函数的方式来描述构件 需求随强度指标的变化趋势，可知不同im之间的分段线性拟合更准确。构件 概率地震需求模型的正态分布表达式为：n(ln(sd),σ2)、和 中任意一种，此为式1，式中n(,)代表正态分布，σ2在是正态分 布的方差，n(,)中的第一项参数为需求的对数正态分布的均值，也即为结构 响应的均值，第二项参数为需求的对数正态分布的方差，也即为结构响应的 方差，正态分布的均值表达为：
[0036]
此为式2，
[0037]
式中，ln(sd)是正态分布的均值，ln(sd)＝ln(a) b*ln(im)，ln(a)为常数项估 计参数，b为一次项估计参数，表明在每一个im区间,即im
i-1
≤im＜imi，结构 响应均值都是一次函数，且是该段的常数项估计参数，是该段的一次 项估计参数；
[0038]
所述正态分布的方差表达为：
[0039]
此为式3，
[0040]
式中，σ2为正态分布的方差，在改进公式中方差用分段一次线性函数表 示，表明在每一个im区间,即im
i-1
≤im＜imi，结构响应的方差都按照一次函 数变化，且是该段的常数项估计参数，是该段的一次项估计参数。
[0041]
如图1所示，原有构件概率地震需求模型中，ln(d)＝ln(sd)＝ln(a) b*ln(im)， 此为式4，ln(d)和ln(sd)是该构件所有结构响应取对数后最小二乘回归得到的 函数，是结构响应的均值，ln(a)为该函数的常数项估计参数，b是该函数的一 次项估计参数。σ是正态分布的标准差，代表结构响应的标准差，该值不随 im的变化而变化，是一个定值，n(ln(sd),σ2)为正态分布，ln(sd)是正态分布的 均值，σ2在是正态分布的方差，此正态分布表明，结构响应ln(sd)是拟合直线 的函数，在每个im下，服从以该函数值为均值，σ为标准差的分布。
[0042]
提出的构件概率地震需求模型中，结构响应的均值不使用一次函数，而 是使用如下分段线性函数：
[0043]
此为式5，
[0044]
ln(sd)是该构件所有结构响应拟合的分段一次线性函数，同时也是结构响 应的均值，表明在每一个im区间，即im
i-1
≤im＜imi，结构响应均值都是一 次函数，且是该段的常数项估计参数，是该段的一次项估计参数，此 正态分布表明，结构响应ln(sd)并不是拟合直线的函数，而是在每个im下， 服从以该函数值为均值，σ为标准差的分布。
[0045]
此为式6，
[0046]
σ2为正态分布的方差，在改进公式中方差用分段一次线性函数表示，表 明在每一个im区间，即im
i-1
≤im＜imi，方差都按照一次函数变化，且是 该段的常数项估计参数，是该段的一次项估计参数。式中的c和d并无具 体意义，仅在函数回归中作为估计参数使用，例如现在需要回归一个一次函 数，是y＝ax b，用来描述变量x和y的关系，a和b没有任何意义，仅仅是 函数的估计参数。
[0047]
由此可知，n(ln(sd),σ2)或为正态分布，ln(sd)或ln(d)是正态分 布的均值，该正态分布表明，结构响应是在每个im下，以该函数值为均值。 与式1的正态分布相比，式2和式3表明，不仅函数均值会随im变化而变化， 函数方差也会随im变化而变化。转化的具体实施步骤如下：
[0048]
1、在对数空间中，直接计算每个im下结构需求的均值与样本方差；
[0049]
2、采用线性插值以分段函数描述构件需求的变化，另外，在获得每个im 下需求的均值及样本方差后，采用线性插值，而非以两两相邻的im为区间对 区间内数据进行线性回归。
[0050]
完成上述的操作后将获得的均值函数和方差函数带入公式7，即可获得基 于分段线性函数的构件易损性表达式：
[0051]
此为式7，
[0052]
式中，pf为构件易损性，φ是标准正态累积分布函数，为需求的均值， 为能力的均值，为需求的方差拟合的函数，为能力的方差拟合的函 数。是能力的均值拟合的函数，是能力的方差拟合的函数，和均 由先验知识获得。采用分段线性函数能更好描述构件需求随地震动强度指标 的变化趋势；基于分段线性函数还保证了在每个im时刻只使用了一个协方差 矩阵，使得相关系数矩阵与对应边缘分布的参数存在统计意义；使构件与系 统模型形成整体，构件与系统模型在计算过程中可以相互推到，在描述构件 的变化更加细致。
[0053]
s2、基于分段线性函数的系统易损性分析方法，其中构件概率地震需求 模型如图2所示，以构件一和构件二的系统为例，生成构件的概率地震需求 模型，在各im时刻，生成联合概率地震需求模型；将概率地震需求模型的分 段线性函数结合到桥梁结构的系统地震易损性计算过程中，解决了现有方法 生成并同时运用了两个协方差矩阵造成的统计意义不匹配问题。如图2所示，
[0054]
此为式8，
[0055]
为构件一所有结构响应拟合的分段一次线性函数，属于结构响应的 均值，表明在每一个im区间(即im
i-1
≤im＜imi，i＝2或3)，结构响应都是一 次函数，且是该段的常数项估计参数，是该段的一次项估计参数。
[0056]
此为式9，
[0057]
是构件一的正态分布的方差，与在每一个im区间(即im
i-1
≤im＜imi， i＝2或3)，方差都按照一次函数变化，且是该段的常数项估计参数，是 该段的一次项估计参数。
[0058]
此为式10，
[0059]
是构件二所有结构响应拟合的分段一次线性函数，是结构响应的均 值，表明在每一个im区间(即im
i-1
≤im＜imi，i＝2或3)，结构响应都是一次 函数，且是该段的常数项估计参数，是该段的一次项估计参数。
[0060]
此为式11，
[0061]
为构件二的正态分布的方差，在每一个im区间(即im
i-1
≤im＜imi，i＝2 或3)，方差都按照一次函数变化，且是该段的常数项估计参数，是该 段的一次项估计参数。
[0062]
然后在各im时刻，生成联合概率地震需求模型，联合概率地震需求模型 也可以成为系统模型；以im1时刻为例，此时联合概率地震需求模型的均值 向量为x＝(x1,x2)
t
，此为式12，其中，t是线性代数中的一种表达方式，代表 转置，表明将行向量(x1，x2)转变为列向量，和 [0063]
方差矩阵和相关系数矩阵所用的数据只有{a1、a2、a3、a4}和{b1、 b2、b3、b4}，即协方差矩阵的对角元素并未运用到线性回归的误差方差， 而就是边缘分布的样本方差，表达式为：
[0064]
此为式13，
[0065]
上述方法保证了在im1时刻只使用了一个协方差矩阵，相关系数矩阵和 对应边缘分布的参数存在统计意义。在im2、im3时刻，也能按照以上方法 生成对应的联合概率地震需求模型，即全程运用的都是某一im下的样本方 差，并未将其与线性回归误差方差结合。对于im1至im2之间的联合概率地 震需求模型，同样可通过线性插值计算均值向量，相关系数矩阵中的非对角 元素可通过对im1和im2时刻的与进行线性插值获得；同理 可计算im2至im3之间的联合概率地震需求模型。采用分段线性函数能更好 描述构件需求随地震动强度指标的变化趋势。
[0066]
在对数空间中，随地震动强度指标的连续变化，总能找到一组对应的均 值向量和协方差矩阵，即在任意地震动强度指标下，描述联合概率地震需求 模型的多元正态分布都能确定。得到的多元正态分布的均值向量的各元素就 是各需求的边缘分布在此强度指标下的均值，对应协方差矩阵的对角元素就 是各需求的边缘分布的样本方差。建议方法的计算全程并未运用回归误差方 差。
[0067]
s3、计算联合概率密度函数的失效域时，在im的定义域上存在无数个关 于需求的多元联合对数正态分布，根据多元正态分布函数的可加性，采用 monte carlo方法计算系统失效概率，蒙特卡洛法简称为monte carlo，montecarlo方法的计算保证了系统模型的计算精度。
[0068]
首先，将求系统失效概率的问题转化为求多元正态分布的累积分布函数 值的问题，方法如下：
[0069]
(1)在某强度指标下获得结构需求的多元对数正态分布函数a(即获得 联合概率地震需求模型a)；
[0070]
(2)获得结构抗震能力的多元对数正态分布函数b；结合(1)，系统的 失效概率可表示为公式：ps＝p[ln a-ln b≥0]，此为式14，
[0071]
其中lna服从均值向量为μa、协方差矩阵为∑a的多元正态分布函数，lnb 服从均值向量为μb、协方差矩阵为∑b的多元正态分布函数，即： lna～n(μa,∑a)lnb～n(μb,∑b)，此为式15，
[0072]
(3)假设结构的能力和需求相互独立，根据多元正态分布函数的可加性， 所求的系统失效概率表示，ps＝1-g(0|∑a ∑b,μ
a-μb)，此为式16，
[0073]
其中g(0|∑a ∑b,μ
a-μb)＝p[n(μ
a-μb,∑a ∑b)≤0]。
[0074]
上述具体实施方式为本发明的优选实施例，并不能对本发明进行限定， 其他的任何未背离本发明的技术方案而所做的改变或其它等效的置换方式， 都包含在本发明的保护范围之内。