一种用于绳网拖曳带帆板失效航天器的稳定控制方法与流程

1.本发明涉及一种绳网拖曳主动控制方法，尤其涉及一种用于绳网拖曳带帆板失效航天器的姿态稳定和振动抑制方法，适用于带帆板失效航天器等大型空间碎片的拖曳离轨清除过程，属于航空航天技术领域。


背景技术：

2.自从1957年sputnik 1号发射升空以来，人类航天活动已经将大量航天器送入了轨道，根据欧洲航天局(european space agency,esa)最新发布的2021年太空环境报告(esa space debris office.esa’s annual space environment report revision 5.0[r],2021,3-7.)来看，截至2020年末，地球轨道上能够被监测到的物体超过28000个，并且增长趋势稳定。这其中实际运行的航天器仅占6000个左右，其余均为空间碎片。空间碎片的数量已经增长得如此庞大，不仅意味着有限的轨道资源被不断占用，更加危险的是，碎片与航天器发生碰撞的风险也在随之提升。即使未来不再进行任何的天发射活动，当前规模的碎片也足以相互碰撞引发“kessler效应”，使得某些轨道彻底无法使用。因此，目前仅依靠大气阻力等自然的方式来清除碎片或是限制未来航天活动中碎片的产生已经不足以维持空间环境的稳定，只能对碎片进行人为的主动清除。再加上近年来低轨道小卫星星座的迅猛发展为轨道环境带来了更多不确定因素，开展空间碎片的主动清除工作可谓是形势紧迫，势在必行。
[0003]
主动清除空间碎片实际上就是人为地让碎片离开原本的轨道，即降低近地轨道(low earth orbit,leo)上碎片的轨道使之易于进入大气层销毁，或升高地球静止轨道(geostationary earth orbit,geo)上碎片的轨道使之进入坟墓轨道中。在众多主动清除技术中，绳网拖曳清除是公认的最有希望的清除技术之一。充当拖船的航天器首先向清除目标发射出一张轻质柔性绳网将其包裹住，绳网与拖船通过系绳连接，拖船通过系绳对被网包裹住的空间碎片施加拉力，最终达到捕获离轨的目的。相比于其他清除手段，绳网质量轻，成本低，捕获范围大，不需要确定合适的捕获点，能够抑制碎片的自旋，在面对形状结构不相同、质量尺寸差异大、运动方式不规则的各种空间碎片时，具有更加明显的优势。因此，绳网拖曳特别适用于大型空间碎片的清除任务。
[0004]
以失效卫星为代表的失效航天器作为大型空间碎片，碰撞风险最高，碰撞危害最大，相应的清除任务应当优先进行研究。对于这类碎片的清除，尽管绳网的柔性与灵活性能更好地适应失效卫星的不同外形和自旋情况，但同时也给拖曳系统带来了许多挑战。在轨道上失效的卫星一般都保留了完整的柔性帆板结构，并且往往具有一定角速度。绳网拖曳这类目标时，绳网结点与失效卫星及其柔性帆板将发生大规模碰撞，从而引发复杂的刚柔耦合动力学行为，一方面使得拖曳系统难以稳定，另一方面也容易将柔性帆板折断，产生新的碎片造成二次污染。因此，为保证拖曳过程的安全与任务的顺利进行，需要采取主动控制来抑制柔性帆板的振动。


技术实现要素：

[0005]
为了解决带柔性附件空间碎片的绳网拖曳稳定控制问题，针对失效卫星等具有柔性帆板的大型空间碎片，本发明目的是提供一种用于绳网拖曳带帆板失效航天器的稳定控制方法，基于考虑柔性绳网和柔性帆板连接的简化拖曳模型，采用波动控制(wave-based control)设计控制律，该控制律通过观测与拖船相连系绳的张力，计算出应当施加在拖船上的控制力，在拖船上施加所述控制力主动控制稳定碎片姿态，使拖船、失效航天器和帆板逼近相同速度与加速度，三者达到稳定状态后实现失效航天器拖曳姿态的稳定与帆板振动的抑制。本发明仅通过观测与拖船相连系绳的张力，即能够计算出应当施加在拖船上的控制力，具有控制方法简单，计算量小，可操作性强等特点。本发明能够保证拖曳系统的安全，避免二次碎片污染。
[0006]
本发明的目的是通过下述技术方案实现的：
[0007]
本发明公开的一种用于绳网拖曳带帆板失效航天器的稳定控制方法，包括如下步骤：
[0008]
步骤一：建立简化拖曳模型涉及的相关坐标系，将拖船和失效航天器中心平台简化为刚体，帆板简化为忽略厚度的柔性板，绳网简化为若干连接在失效航天器和帆板上的子绳，建立考虑柔性绳网和柔性帆板连接的简化拖曳模型。
[0009]
建立考虑柔性绳网和柔性帆板连接的简化拖曳模型涉及以下坐标系：
[0010]
地心赤道惯性坐标系fe(oexeyeze)原点oe位于地球中心；xe轴指向春分点；ze轴垂直于赤道平面指向北极；ye轴在赤道平面内满足右手定则。
[0011]
拖船质心轨道坐标系fo(o
b1
x
oyozo
)原点o
b1
取在拖船质心；zo轴指向地球中心；xo轴在轨道平面内垂直于zo轴，指向拖船前进方向；yo轴垂直于质心轨道平面与角动量矢量反向，且满足右手定则。
[0012]
临时坐标系fc(o
b1
xyz)，用于推导主动控制律，该坐标系由fo绕yo轴旋转180
°
得到。
[0013]
基于轨道系的方向，定义系统各部分的本体坐标系，即拖船本体坐标系f
b1
(o
b1
x
b1yb1zb1
)、失效航天器本体坐标系f
b2
(o
b2
x
b2yb2zb2
)、左侧帆板的本体坐标系f
a1
(o
a1
x
a1ya1za1
)以及右侧帆板的本体坐标系f
a2
(o
a2
x
a2ya2za2
)，原点均取在各自质心，三轴为各自惯性主轴。
[0014]
拖船和失效航天器中心平台简化为刚体，刚体满足如式(1)所示的姿态动力学方程
[0015][0016]
其中j是转动惯量矩阵，ω是速度分量列阵，ω
×
对应叉乘运算的矩阵。外力矩t根据外力f和力臂r求得
[0017]
t＝r
×fꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(2)
[0018]
帆板简化为忽略厚度的柔性板，采用有限元分析的方法，将帆板离散为若干质量点，利用帆板的前三阶模态频率(ν1,ν2,ν3)和阻尼比(λ1,λ2,λ3)来体现其柔性。通过模态坐标q得到帆板振动产生的弹性力为
[0019][0020]
其中k是帆板的模态刚度矩阵，c是模态阻尼矩阵，表达式分别为
[0021][0022][0023]
绳网简化为若干连接在失效航天器和帆板上的子绳，系绳采用弹簧阻尼模型，对于绳段矢量l
ab
，其张力表示为
[0024][0025]
其中，k是弹性系数，ζ为阻尼系数，为绳段原长，当系绳长度小于原长时，系绳松弛无张力。
[0026]
简化拖曳模型中外力f还包括发动机推力和重力。发动机推力保持常值推动拖船向前运动。地球重力系数为μ，则惯性系下位置矢量为r的质量点m的重力表示为
[0027][0028]
将式(2)(3)(6)(7)代入如式(1)所示姿态动力学方程，得到考虑柔性绳网和柔性帆板连接的简化拖曳模型。
[0029]
步骤二：采用波动控制方法设计y方向的横向控制律，该控制律通过观测系绳张力y方向分量计算出应当施加在拖船y方向上的控制力，在拖船y方向上施加所述控制力实现失效航天器在y方向的姿态稳定。
[0030]
将拖船在y方向和z方向移动而产生的控制统称为横向控制。控制律设计的推导过程作以下简化：1、忽略系绳张力中的阻尼力；2、从执行器发出入射波到接受返回波的时间段内，系绳张力大小视为常数；3、拖曳控制过程中，拖船自身姿态保持稳定，系绳的摆动幅度较小，所述较小幅度用于保证系绳上最靠近拖船的质量珠点满足坐标正切值与系绳摆角的近似关系。
[0031]
采用波动控制方法设计y方向的横向控制律，实现方法如下：
[0032]
拖曳开始时，拖船和失效卫星具有相同的轨道速度，然后发动机开机推动拖船加速向前。在fc下选取系绳ae1段上靠近连接点a的某一位置(x,y)，该位置所受到的张力t指向x正方向。将张力t在y方向的分量视为两列力波的叠加，即
[0033][0034]
其中，ty(x,y)是张力在y方向分量的函数，记为ty；波速ρ为系绳线密度；fy(x ct)表示从位置x处向珠点e1传递的y方向入射波，gy(x-ct)表示从位置x处向拖船传递的返回波。
[0035]
另外，系绳的横向摆动满足横波的一维波动方程，有
[0036][0037]
联立式(8)和式(9)得到该位置沿y方向的运动速度vy为
[0038][0039]
式中：z
τ
为横向波阻抗，有由于所选位置与拖船连接点非常接近，vy直接用拖船质心速度在fc下的y方向分量来近似。故将vy称为拖船在y方向的速度。
[0040]
联立式(8)和式(10)建立返回波关于速度和张力的表达式，即
[0041][0042]
将简化拖曳模型y方向的稳定期望速度记为则稳定状态返回波的表达式为
[0043][0044]
为了让返回波趋于稳定值，根据式(11)和式(12)得到y方向控制力的表达式为
[0045][0046]
式中：是可调节的控制参数，
[0047]
在拖船y方向上施加如公式(13)所述控制力以实现失效航天器在y方向的姿态稳定。
[0048]
步骤三：采用波动控制方法设计z方向的横向控制律，该控制律通过观测系绳张力z方向分量计算出应当施加在拖船z方向上的控制力，在拖船z方向上施加所述控制力实现失效航天器在z方向的姿态稳定。
[0049]
z方向的横向控制律与y方向类似，z方向控制力的表达式为
[0050][0051]
式中：是拖船z方向期望速度，tz和vz是z方向的张力分量和速度分量。
[0052]
在拖船z方向上施加如公式(14)所述控制力以实现失效航天器在z方向的姿态稳定。
[0053]
步骤四：采用波动控制方法设计x方向的纵向控制律，该控制律通过观测系绳张力x方向分量计算出应当施加在拖船x方向上的控制力，在拖船x方向上施加所述控制力实现对帆板的振动抑制。
[0054]
采用波动控制方法设计x方向的纵向控制律，实现方法如下：
[0055]
选择系绳上的靠近拖船的位置x，在某一较短时间内移动的距离为ξ，由于系绳摆动角度很小，所以系绳张力的纵向分量就是张力的大小t。于是，纵向张力表示为波的叠加，即
[0056][0057]
式中：e是系绳的杨氏模量，s是系绳截面积。
[0058]
与横向控制不同的是，稳定后系绳保持拉紧的状态，张力维持在非零稳定值t
∞
，即
[0059][0060]
其中，表示稳定后从位置x处向珠点e1传递的x方向入射波，表示向拖船传回的返回波。
[0061]
纵向运动对应的波动方程变为一维纵波方程，即
[0062][0063]
其中，表示单位长度系绳的弹性系数。联立式(15)和式(17)得拖船的纵向速度v
x
为
[0064][0065]
其中zn是纵向波阻抗，满足关系式
[0066]
纵向速度与横向速度具有一致的表达形式，于是类比横向控制力的推导，联立式(15)和式(18)，得到时刻返回波表达式为
[0067][0068]
同理得稳定后的返回波表达式为
[0069][0070]
得到纵向控制力为
[0071][0072]
式中：是可调节的控制参数，
[0073]
步骤五：当失效卫星的帆板产生振动，或是系绳逐渐趋于松弛，有偏离稳态值的返回波沿系绳传到拖船连接点。根据步骤二、三、四施加相应控制力调整拖船与失效卫星的相对位置，主动控制稳定碎片姿态，使拖船、失效航天器和帆板逼近相同速度与加速度，三者达到稳定状态后连接点处接收到的返回波会被控制到稳定值，实现失效航天器拖曳姿态的稳定与帆板振动的抑制。
[0074]
当拖船仅能观测系绳张力的大小，不能分辨张力具体方向。本发明公开的一种用于绳网拖曳带帆板失效航天器的稳定控制方法，包括上述步骤一至步骤五，还包括步骤六：根据失效航天器姿态以及失效航天器相对于拖船的位置，求出系绳张力方向替代矢量，根据替代矢量得到不含张力方向的控制力表达式，进而实现绳网拖曳带帆板失效航天器的稳定控制。
[0075]
系绳张力方向替代矢量求取方法如下：
[0076]
失效卫星质心相对于拖船的位置可观测，失效卫星姿态大致可知，能够得到失效卫星本体系相对轨道系的转换矩阵l。在拖船尺寸不大的情况下，用单位矢量代替系绳方向，有
[0077][0078]
因此，式(13)、式(14)和式(21)中各张力分量替换为
[0079][0080]
通过如式(23)所示的近似替换，控制力的表达式中就只含有系绳张力大小，而这一参数对拖船而言是容易测量的。得到不含张力方向的控制力表达式
[0081][0082]
需要说明的是，类似的求解系绳张力的方法还有很多，并不影响本发明公开的一种用于绳网拖曳带帆板失效航天器的稳定控制方法的核心内容。增加“求解系绳张力”步骤意在说明该方法的适用性和有效性。
[0083]
有益效果：
[0084]
1、本发明公开的一种用于绳网拖曳带帆板失效航天器的稳定控制方法，基于考虑柔性绳网和柔性帆板连接的简化拖曳模型，采用波动控制(wave-based control)设计控制律，该控制律通过观测与拖船相连接系绳的张力，计算出应当施加在拖船上的控制力，在拖船上施加所述控制力主动控制稳定碎片姿态，使拖船、失效航天器和帆板逼近相同速度与加速度，三者达到稳定状态后实现失效航天器拖曳姿态的稳定与帆板振动的抑制。
[0085]
2、本发明公开的一种用于绳网拖曳带帆板失效航天器的稳定控制方法，仅通过观测与拖船相连接系绳的张力，即能够计算出应当施加在拖船上的控制力，具有控制方法简单，计算量小，可操作性强等特点。
[0086]
3、本发明公开的一种用于绳网拖曳带帆板失效航天器的稳定控制方法，在拖船仅能观测系绳张力的大小，不能分辨张力具体方向的情况下，根据失效航天器的大致姿态和相对于拖船的位置计算出系绳张力方向的替代矢量，然后计算出应当施加在拖船上的控制力，在拖船上施加所述控制力主动控制稳定碎片姿态，使拖船、失效航天器和帆板逼近相同速度与加速度，三者达到稳定状态后实现失效航天器拖曳姿态的稳定与帆板振动的抑制。
[0087]
4、本发明公开的一种用于绳网拖曳带帆板失效航天器的稳定控制方法，将拖船和失效航天器中心平台简化为刚体，帆板简化为忽略厚度的柔性板，绳网简化为若干连接在失效航天器和帆板上的子绳，建立考虑柔性绳网和柔性帆板连接的简化拖曳模型。相比于一般的绳网拖曳系统，考虑失效航天器上的柔性附件和绳网结点与柔性帆板连接的控制效
果，更准确有效地对拖曳系统实施主动控制。
[0088]
5、本发明公开的一种用于绳网拖曳带帆板失效航天器的稳定控制方法，能够保证拖曳系统的安全，避免二次碎片污染。
附图说明
[0089]
图1是本发明公开的一种用于绳网拖曳带帆板失效航天器的稳定控制方法的流程图；
[0090]
图2是本发明步骤一绳网拖曳系统示意图；
[0091]
图3是本发明步骤二波动控制律设计示意图；
[0092]
图4是本发明步骤二所设计控制力的物理含义示意图；
[0093]
图5是本发明实例中无控拖曳过程系统三维示意图，其中图5a)是系统初始时刻的情况，图5b)是拖曳1000s的情况，图5c)是拖曳2000s的情况；
[0094]
图6是本发明实例中有控拖曳过程系统三维示意图，其中图6a)是系统初始时刻的情况，图6b)是拖曳1000s的情况，图6c)是拖曳2000s的情况；
[0095]
图7是本发明实例中有无控制条件下失效航天器姿态变化对比图，其中图7a)是失效航天器俯仰角速度变化情况，图7b)是失效航天器偏航角速度变化情况；
[0096]
图8是本发明实例中有无控制条件下失效航天器帆板振动情况对比图，其中图8a)是无控拖曳下帆板振动情况，图8b)是有控拖曳下帆板振动情况；
[0097]
图9是本发明实例中有无控制条件下系绳张力变化对比图，其中图9a)是张力在xo方向分量的对比图，图9b)是张力在yo方向分量的对比图，图9c)是张力在zo方向分量的对比图；
[0098]
图10是本发明实例中求取系绳张力方向替代矢量示意图；
[0099]
图11是本发明实例2中简化波动控制后有无控制条件下失效航天器姿态变化对比图，其中图11a)是失效航天器俯仰角速度变化情况，图11b)是失效航天器偏航角速度变化情况；
[0100]
图12是本发明实例2中简化波动控制后有无控制条件下失效航天器帆板振动情况对比图，其中图12a)是无控拖曳下帆板振动情况，图12b)是有控拖曳下帆板振动情况。
具体实施方式
[0101]
为了更好的说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实例对发明内容做进一步说明。
[0102]
为了验证方法的可行性设质量为2500kg的拖船在在地球同步轨道上运行，轨道半长轴42164km，偏心率0.008，轨道倾角7
°
，升交点赤经50
°
，近地点幅角230
°
，真近点角170
°
。质量为1800kg的失效卫星与拖船相距80m，失效卫星带有柔性帆板并有自旋，中心刚体棱长4m，单块帆板长6.7m，宽2.4m。每块帆板的顶角处连接2根子绳，中心刚体上连接4根子绳，如附图2所示。设定初始时刻失效卫星在偏航和俯仰方向均有10
°
/s的旋转速度
[0103][0104]
如图1所示，本实施例公开的一种用于绳网拖曳带帆板失效航天器的稳定控制方法，具体实现步骤如下：
[0105]
步骤一：建立简化拖曳模型涉及的相关坐标系，将拖船和失效航天器中心平台简化为刚体，帆板简化为忽略厚度的柔性板，绳网简化为若干连接在失效航天器和帆板上的子绳，建立考虑柔性绳网和柔性帆板连接的简化拖曳模型。
[0106]
建立考虑柔性绳网和柔性帆板连接的简化拖曳模型涉及以下坐标系：
[0107]
地心赤道惯性坐标系fe(oexeyeze)原点oe位于地球中心；xe轴指向春分点；ze轴垂直于赤道平面指向北极；ye轴在赤道平面内满足右手定则。
[0108]
拖船质心轨道坐标系fo(o
b1
x
oyozo
)原点o
b1
取在拖船质心；zo轴指向地球中心；xo轴在轨道平面内垂直于zo轴，拖船拉动碎片加速，故xo轴指向拖船前进方向；yo轴垂直于质心轨道平面与角动量矢量反向，且满足右手定则。
[0109]
临时坐标系fc(o
b1
xyz)，用于推导主动控制律，该坐标系由fo绕yo轴旋转180
°
得到。
[0110]
基于轨道系的方向，定义系统各部分的本体坐标系，即拖船本体坐标系f
b1
(o
b1
x
b1yb1zb1
)、碎片本体坐标系f
b2
(o
b2
x
b2yb2zb2
)、左侧帆板的本体坐标系f
a1
(o
a1
x
a1ya1za1
)以及右侧帆板的本体坐标系f
a2
(o
a2
x
a2ya2za2
)，原点均取在各自质心，三轴为各自惯性主轴。
[0111]
拖船和失效航天器中心平台简化为刚体，刚体满足如式(1)所示的姿态动力学方程
[0112][0113]
其中j是转动惯量矩阵，拖船转动惯量为j1＝diag(500,500,500)，失效航天器的转动惯量为j2＝diag(3920,1720,3300)，ω是速度分量列阵，在失效航天器本体系下为[0,
10,10]
°
/s，ω
×
对应叉乘运算的矩阵。外力矩t根据外力f和力臂r求得
[0114]
t＝r
×fꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(2)
[0115]
帆板简化为忽略厚度的柔性板，采用有限元分析的方法，将帆板离散为若干质量点，利用帆板的前三阶模态频率(ν1,ν2,ν3)和前三阶阻尼比(λ1,λ2,λ3)来体现其柔性,具体为(0.1778,0.9172,0.9845)hz和(0.005,0.005,0.005)。通过模态坐标q得到帆板振动产生的弹性力为
[0116][0117]
其中k是帆板的模态刚度矩阵，c是模态阻尼矩阵，具体为
[0118][0119][0120]
绳网简化为若干连接在失效航天器和帆板上的子绳，系绳采用弹簧阻尼模型，对于绳段矢量l
ab
，其张力表示为
[0121][0122]
其中，k是弹性系数，ζ为阻尼系数，为绳段原长，当系绳长度小于原长时，系绳松弛无张力。在该实例条件下张力大小时刻变化，需要编写程序实时计算。
[0123]
简化拖曳模型中外力f还包括发动机推力和重力。发动机推力保持常值推动拖船向前运动。地球重力系数为μ＝3.986
×
105km3/s2，则惯性系下位置矢量为r的质量点m的重力表示为
[0124][0125]
将式(2)(3)(6)(7)代入如式(1)所示姿态动力学方程，得到考虑柔性绳网和柔性帆板连接的简化拖曳模型。
[0126]
步骤二：采用波动控制方法设计y方向的横向控制律，该控制律通过观测系绳张力y方向分量计算出应当施加在拖船y方向上的控制力，在拖船y方向上施加所述控制力实现失效航天器在y方向的姿态稳定。
[0127]
将拖船在y方向和z方向移动而产生的控制统称为横向控制。控制律设计的推导过程作以下简化：1、忽略系绳张力中的阻尼力；2、从执行器发出入射波到接受返回波的时间段内，系绳张力大小视为常数；3、拖曳控制过程中，拖船自身姿态保持稳定，系绳的摆动幅度较小，所述较小幅度用于保证系绳上最靠近拖船的质量珠点满足坐标正切值与系绳摆角的近似关系。
[0128]
采用波动控制方法设计y方向的横向控制律，实现方法如下：
[0129]
拖曳开始时，拖船和失效卫星具有相同的轨道速度，然后发动机开机推动拖船加速向前。在fc下选取系绳ae1段上靠近连接点a的某一位置(x,y)，该位置所受到的张力t指向x正方向。将张力t在y方向的分量视为两列力波的叠加，即
[0130][0131]
其中，ty(x,y)是张力在y方向分量的函数，记为ty；波速ρ为系绳线密度；fy(x ct)表示从位置x处向珠点e1传递的y方向入射波，gy(x-ct)表示从位置x处向拖船传递的返回波。
[0132]
另外，系绳的横向摆动满足横波的一维波动方程，有
[0133][0134]
联立式(8)和式(9)得到该位置沿y方向的运动速度vy为
[0135][0136]
式中：z
τ
为横向波阻抗，有由于所选位置与拖船连接点非常接近，vy直接用拖船质心速度在fc下的y方向分量来近似。故将vy称为拖船在y方向的速度。
[0137]
联立式(8)和式(10)建立返回波关于速度和张力的表达式，即
[0138][0139]
简化拖曳模型y方向的稳定期望速度由轨道参数求出，将其记为则稳定状态返回波的表达式为
[0140][0141]
为了让返回波趋于稳定值，根据式(11)和式(12)得到y方向控制力的表达式为
[0142][0143]
式中：是可调节的控制参数，实例中该参数值取为300。
[0144]
在拖船y方向上施加如公式(13)所述控制力以实现失效航天器在y方向的姿态稳定。
[0145]
步骤三：采用波动控制方法设计z方向的横向控制律，该控制律通过观测系绳张力z方向分量计算出应当施加在拖船z方向上的控制力，在拖船z方向上施加所述控制力实现失效航天器在z方向的姿态稳定。
[0146]
z方向的横向控制律与y方向类似，z方向控制力的表达式为
[0147]
[0148]
式中：是拖船z方向期望速度，tz和vz是z方向的张力分量和速度分量。
[0149]
在拖船z方向上施加如公式(14)所述控制力以实现失效航天器在z方向的姿态稳定。
[0150]
步骤四：采用波动控制方法设计x方向的纵向控制律，该控制律通过观测系绳张力x方向分量计算出应当施加在拖船x方向上的控制力，在拖船x方向上施加所述控制力实现对帆板的振动抑制。
[0151]
采用波动控制方法设计x方向的纵向控制律，实现方法如下：
[0152]
选择系绳上的靠近拖船的位置x，在某一较短时间内移动的距离为ξ，由于系绳摆动角度很小，所以系绳张力的纵向分量就是张力的大小t。于是，纵向张力表示为波的叠加，即
[0153][0154]
式中：e是系绳的杨氏模量，s是系绳截面积。
[0155]
与横向控制不同的是，稳定后系绳保持拉紧的状态，张力维持在非零稳定值t
∞
，即
[0156][0157]
其中，表示稳定后从位置x处向珠点e1传递的x方向入射波，表示向拖船传回的返回波。
[0158]
纵向运动对应的波动方程变为一维纵波方程，即
[0159][0160]
其中，表示单位长度系绳的弹性系数。联立式(15)和式(17)得拖船的纵向速度v
x
为
[0161][0162]
其中zn是纵向波阻抗，满足关系式
[0163]
纵向速度与横向速度具有一致的表达形式，于是类比横向控制力的推导，联立式(15)和式(18)，得到时刻返回波表达式为
[0164][0165]
得稳定后的返回波表达式为
[0166][0167]
得到纵向控制力为
[0168][0169]
式中：是可调节的控制参数，实例中该参数值取为200。
[0170]
步骤五：当失效卫星的帆板产生振动，或是系绳逐渐趋于松弛，总有偏离稳态值的返回波沿系绳传到拖船连接点。根据步骤二、三、四施加相应控制力调整拖船与失效卫星的相对位置，主动控制稳定碎片姿态，使拖船、失效航天器和帆板逼近相同速度与加速度，三者达到稳定状态后连接点处接收到的返回波会被控制到稳定值，实现失效航天器拖曳姿态的稳定与帆板振动的抑制。通过数值仿真计算，对比图5和图6可以明显看到，施加主动控制时失效卫星的姿态是稳定的，不会出现绳网缠绕的情况影响拖曳过程的顺利进行。图7得到的仿真结果也证明了这一点，失效卫星各方向的角速度都在控制加入后快速趋于0。图8给出了帆板振动情况，加入控制后的拖曳过程中，帆板停止了振动。图9展示了控制拖曳过程系绳张力变化情况，说明拖曳过程中系绳没有松弛，拖船和失效卫星没有相互碰撞的可能。
[0171]
如果拖船仅能观测系绳张力的大小，不能分辨张力具体方向，本实施例公开的一种用于绳网拖曳带帆板失效航天器的稳定控制方法，包括上述步骤一至步骤五，还包括步骤六：根据失效航天器姿态以及失效航天器相对于拖船的位置，求出系绳张力方向替代矢量，根据替代矢量得到不含张力方向的控制力表达式。替代矢量求取方法如下：
[0172]
失效卫星质心相对于拖船的位置可观测，具体为[-80,0,0]m，失效卫星初始姿态可知，能够得到失效卫星本体系相对轨道系的转换矩阵l，该矩阵是时变的。用单位矢量代替系绳方向，有
[0173][0174]
因此，式(13)、式(14)和式(21)中各张力分量替换为
[0175][0176]
通过如式(23)所示的近似替换，控制力的表达式中就只含有系绳张力大小，而这一参数对拖船而言是容易测量的。得到不含张力方向的控制力表达式
[0177][0178]
从图11中可以看到替换后失效航天器的姿态同样得到了快速稳定。图12给出帆板振动情况对比，显然在该控制方法作用下，拖曳过程中帆板不再进行振动，确保拖曳任务顺利进行。
[0179]
实例的计算结果证明本发明公开的一种用于绳网拖曳带帆板失效航天器的稳定控制方法，能够在较短时间内稳定绳网拖曳系统的姿态，同时抑制帆板在拖曳中的振动，实现对带帆板失效航天器的有效稳定控制，保证拖曳过程的安全。
[0180]
以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实例而已，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明
的保护范围之内。