一种碳纳米管增强复合材料板的振动响应分析方法

1.本发明涉及复合材料结构动力学技术领域，具体涉及碳纳米管增强复合材料板的振动响应分析方法。


背景技术：

2.功能梯度材料创造之初用于解决火箭推进系统的热应力缓和问题，是适应航空航天等高新技术领域对材料的特殊要求而发展起来的一种新材料，目前在工程中有着广阔的应用前景。基础功能梯度材料构建成分为高抗热能力的陶瓷基体和高强度性能的金属基体，两种基体互为功能梯度材料的表面，而逐渐呈梯度渐变状混合过渡至彼此。进而材料构建成分的平缓过渡特性实现了结构物理性质的梯度状变化，特别是热膨胀参数的平滑匹配有效改善增强了结构因为骤冷和剧烈温升造成的热应力集中问题。正是这种材料设计理念促进各类特定组分的新型功能梯度复合材料得以涌现并实现快速技术发展应用。
3.双曲板是一种常见的工程结构，借助曲率的调节可以演变为平板、圆柱壳、变曲率壳等多样化的工程结构。源于其结构的双向曲率要素，该结构在力学原理中表现出几何非线性，尤其在非线性动力学问题中考虑到结构的局部结构增强、非线性弹性基底补偿、材料参数非线性、载荷作用非线性等影响关，易于形成为复杂的非线性动力学问题。由于工程实际应用的需要，弹性基底对板壳结构的影响也引起了人们的注意。
4.三明治类型结构体具备差异化的各向异性力学表现，基于同等质量表现出更为出色的刚度与能量吸附特性等多项优越的力学性能，能够支持更为苛刻的横向与纵向综合负载要求，获得了大量研究人员的垂青并贡献出一系列具有代表性的研究成果。三明治结构体得益于独具的结构特征，搭配功能梯度材料(fgm)进一步混合衍生出多样化具高性能复合材料结构，其广泛应用于包装、土建、船舶、航空、建筑等工业领域，而功能梯度三明治类型结构体的性能评价与结构设计现为具有积极前景的研究热点，特别是获取在极端环境中功能梯度三明治类型结构体的力学性能表现描述与定量评价办法显得尤为迫切。
5.全面考察其动态力学性能显得尤为迫切和重要。夹芯板作为一种新型的轻质结构，有望部分取代当前舰船、卫星、飞船、汽车等结构外壳及大型构件，实现结构减重及多功能的目的。结构在抵抗冲击、吸收能量等方面的力学性能研究是十分必要的，实际结构物在服役中经常承受各种动载荷，如爆炸、冲击等载荷的作用。例如舰船、潜艇的外壳设计不仅要求能够承受风浪载荷的作用、且在发生撞击和水下爆炸、冲击等突发事件时，不至于发生毁灭性的灾难，这就要求结构具有良好的吸能和抗冲击性能；各种航天器在空间运行时，要求具备一定的抵御飞鸟，空间碎片等高速撞击的能力；汽车结构在发生撞击时，要求结构能承受较大的塑性变形以及具有良好的缓冲性能。
6.基于复合材料力学、弹性力学、传热传质学、非线性动力学及非线性板壳理论等，建立各类几何结构、复合材料增强的fgm三明治双曲板结构的多场响应力学模型，面向非线性动力学问题，考虑热环境、夹芯结构设计及增强材料的分布因素影响，明确环境因素、组分含量与分布形式、结构几何要素影响等对多场动力学行为的影响规律，充分发挥功能梯
度材料的优越性能，将促进具性能增强效应复合材料结构非线性力学相关研究的发展，也将为功能梯度层合双曲结构设计提供理论基础与支持，具有重要的科研意义和工程应用价值。


技术实现要素：

7.本发明要解决的技术问题就在于：本发明提供一种碳纳米管增强复合材料板的振动响应分析方法，能够发现温度、cnt分布与组份参数、点阵夹芯层结构参数、三明治双曲板几何参数对结构非线性振动行为的影响规律。
8.为解决上述技术问题，本发明提出的技术方案为：
9.一种碳纳米管增强复合材料板的振动响应分析方法，所述振动响应分析方法包括以下步骤：
10.步骤s1，构建cnt增强功能梯度点阵夹芯结构三明治双曲板的力学模型；
11.得到cnt增强功能梯度点阵夹芯结构三明治双曲板的本构关系和几何关系，提供了对应力学模型关系式；
12.步骤s2，构建非均质碳纳米管分布的数学表达式；
13.步骤s3，构建点阵夹芯结构的等效力学关系表达式；
14.对夹芯架构的几何参数进行了数值优化，对夹芯结构分析点阵材料的弹性本构关系，夹芯结构由多个单个胞元拼接组合，将单个胞元为分析对象；
15.步骤s4，构建冲击动力学问题的动力学平衡方程；
16.基于汉密尔顿变分原理,建立三明治双曲板的动力学平衡方程；
17.步骤s5，运用galerkin方法、gauss-legendre积分技术和runge-kutta法获取双曲板的振动响应；分析几何参数、材料参数、cnt分布情况以及边界条件对复合材料板振动的频率和振幅的影响。
18.作为技术方案地进一步改进为：
19.优选地，所述碳纳米管增强复合材料板设有夹芯层及位于夹芯层两边的各向同性金属材质表层，所述步骤s1中，力学模型关系式为
20.(1)夹芯层的材料属性p可由下式来表示：
21.p(z)＝(p
fm-1-p
fm-2
)(0.5-z/h
p
)n p
fm-2
22.p
fm-1
和p
fm-2
分别表示fgm中间层的外表层和内表层的材质属性，h
p
为夹芯层厚度；
23.(2)各层材料的本构关系表示如下：
[0024][0025]
其中，刚度系数表示如下：
[0026][0027]
式中，(σ
xx
,σ
yy
,τ
xy
)为膜应力，(τ
xz
,τ
yz
)为横向剪应力，表示刚度系数；
[0028]
(3)三明治双曲板中任意点的位移可表示为：
[0029][0030][0031]
w(x,y,t)＝w0(x,y,t)
[0032]
上式中，u(x,y,t)、v(x,y,t)和w(x,y,t)为伴随时间t关联的功能梯度三明治双曲板中面沿x、y和z轴方向的位移，和分别为中面法线绕x和y轴的转动。
[0033]
优选地，所述步骤s2中，cnts质量比重关系如下：
[0034][0035]
式中，w
cnt
为cnts质量比重参数，ρ
cnt
与ρm分别为cnts与基体材质fgm的密度参数。
[0036]
优选地，所述步骤s3中，将含有大量周期性单胞的芯层等效为实体结构，构建至少3种类型的芯子点阵双曲板在理想冲击载荷作用下的分析模型，分别求解复合结构的动态响应，分析点阵材料的弹性本构关系。
[0037]
优选地，所述步骤s4中，复合结构的动力学平衡方程为：
[0038][0039]
其中，u代表结构的应变能，v代表热势能，w外力所做的功，k代表动能，δ表示一阶变分；
[0040]
所述应变能表示如下：
[0041][0042]
所述外力所做的功为：
[0043][0044]
其中，p为功能梯度三明治双曲板上表面的横向荷载；
[0045]
所述动能表述如下：
[0046][0047]
优选地，所述步骤s5中，结合边界条件，采用galerkin方法，得到的非线性微分控制方程组如下：
[0048][0049][0050][0051]
[0052][0053]
式中，为各项系数，u
mm
、v
mm
、w
mm
、x
mm
以及y
mm
为未知的无量纲幅值，m和n分别为x和y轴方向的半波数。
[0054]
优选地，所述步骤s5中，采用gauss-legendre积分技术，复合结构的无量纲非线性固有频率为：
[0055][0056]
功能梯度三明治双曲板的无量纲非线性固有频率与无量纲线性固有频率之比为：
[0057][0058]
非线性微分控制方程可根据以下初始条件采用runge-kutta法求解：
[0059][0060]
本发明提供的碳纳米管增强复合材料板的振动响应分析方法，与现有技术相比有以下优点：
[0061]
(1)本发明的碳纳米管增强复合材料板的振动响应分析方法，建立了含cnt增强fgm表层-点阵夹芯三明治双曲板的力学模型，构建了fgm三明治板的非线性振动控制方程，运用直接积分法和runge-kuta法对其非线性振动控制方程进行求解。用以对比研究，能够发现温度、cnt分布与组份参数、点阵夹芯层结构参数、三明治双曲板几何参数对结构非线性振动行为的影响规律。
[0062]
(2)本发明的碳纳米管增强复合材料板的振动响应分析方法，建立了新型增强型fgm三明治双曲板的振动响应力学模型，借助分布、组份对于增强材料层的材料性能进行区别化表达，故将结构材料性能进行精准化细致化表征；构建新型增强材料参数、增强结构参数与材料性能间的定量关系。
[0063]
(3)本发明的碳纳米管增强复合材料板的振动响应分析方法，提供了考虑温度影响系数以及分布形式cnt混合功能梯度点阵夹芯三明治结构材料力学模型，构建了材料参数与点阵夹芯三明治双曲板结构多个物理量之间的精确量化关系，通过数值求解，揭示了温度参数/材料参数/几何参数等设计参数与cnt增强点阵夹芯结构功能梯度三明治双曲板振动位移响应和固有频率的影响关系，能够高效准确指导对应复合材料结构设计，提供繁杂技术参数的最优匹配组合解。
附图说明
[0064]
图1是本发明的夹芯复合结构受到爆炸冲击的示意图。
[0065]
图2(a)是夹芯层碳纳米管分布o-cntr类型特征的示意图。
[0066]
图2(b)是夹芯层碳纳米管分布v-cntr类型特征的示意图。
[0067]
图2(c)是夹芯层碳纳米管分布x-cntr类型特征的示意图。
[0068]
图3(a)是本发明实施方式中锥体型芯子单胞结构模型示意图。
[0069]
图3(b)是本发明实施方式中四面体型芯子单胞结构模型示意图。
[0070]
图3(c)是本发明实施方式中3d-kagome型芯子单胞结构模型示意图。
[0071]
图4(a)是本发明实施方式中3d-kagome芯子结构杆件结构半径对三明治双曲板无量纲非线性幅值的影响。
[0072]
图4(b)是本发明实施方式中五面体芯子结构杆件结构半径对三明治双曲板无量纲非线性幅值的影响。
[0073]
图4(c)是本发明实施方式中四面体芯子结构杆件结构半径对三明治双曲板无量纲非线性幅值的影响。
具体实施方式
[0074]
以下对本发明的具体实施方式进行详细说明。应当理解的是，此处所描述的具体实施方式仅用于说明和解释本发明，并不用于限制本发明。
[0075]
如图1至图4所示，本发明碳纳米管增强复合材料板的振动响应分析方法，先构建具碳纳米管增强功能梯度材料三明治双曲板的分析模型，三明治双曲板设有三层，包括含复合材料的夹芯层及位于夹芯层两边的各向同性金属材质表层。夹芯层以各项同性金属材质分别构造为点阵结构夹芯设计，并以夹芯层各项同性金属材质过渡，逐渐向顶层和底层表面梯度转化为各项同性陶瓷材质。
[0076]
本实施例的振动响应分析方法包括以下步骤：
[0077]
步骤s1，构建具碳纳米管(cnt)增强功能梯度点阵夹芯结构三明治双曲板的力学模型步骤s1-1、设立三明治双曲板的几何参数
[0078]
如图1所示，笛卡尔正交曲线坐标系(x,y,z)构建于双曲板的中间层面，z的正向指向双曲板外侧，坐标系中在x、y和z轴方向的位移分别用u、v和w来表示。三明治双曲板的主曲率半径为r1和r2，边长为a和b,厚度为h。
[0079]
夹芯层的通用材料属性p，质量密度为ρ，弹性模量为e，材料属性p跟随双曲板厚度方向变化，泊松比v为定值。本实施例中，设定双曲板外表层(z＝-h/2)富含材质类型-1，双曲板内表层(z＝h/2)富含材质类型-2。
[0080]
步骤s1-2、构建三明治双曲板的力学模型
[0081]
各组分材质由体积组分所表达的材料属性函数可以表达如下：
[0082]
p＝p
fm-1vfm-1
p
fm-2vfm-2
ꢀꢀ
(1)
[0083]
其中，p
fm-1
和p
fm-2
分别表示fgm中间层的外表层和内表层的材质属性。v
fm-1
和v
fm-2
分别指代材质类型-1和材质类型-2的体积成分，其关系可由下式界定：
[0084]vfm-1
v
fm-2
＝1
ꢀꢀ
(2)
[0085]
体积成分v
fm-1
以指数函数形式沿着板厚度的法线方向变化，具体函数关系可以描述为：
[0086][0087]
其中，n为体积变化指数且限定取值为正值(0≤n《∞)，用以表述夹芯层各向异性
材质的分布关系。当n＝0时夹芯层材料将会退化为金属材质，当n趋近于∞时，夹芯层材料将会成为非金属材料。
[0088]
夹芯层的材料属性p可由下式来表示：
[0089]
p(z)＝(p
fm-1-p
fm-2
)(0.5-z/h
p
)n p
fm-2
ꢀꢀ
(4)
[0090]
fgm材料属性根据体积参数n沿着双曲板厚度方向平缓地从p
fm-1
(z＝-h
p
/2)过渡到p
fm-2
(z＝h
p
/2)。
[0091]
各层材料的本构关系表示如下
[0092][0093]
其中，刚度系数表示如下：
[0094][0095]
式中，(σ
xx
,σ
yy
,τ
xy
)为膜应力，(τ
xz
,τ
yz
)为横向剪应力，表示刚度系数。
[0096]
以功能梯度材料为基体的cnt增强复合材料，cnt(碳纳米管)为多个独立离散的小颗粒，是分布在基体材质(fgm)之内。cnt为各向同性材质，结合cnt的分布类型，cnt增强复核材料为各向异性材质，为获取到功能梯度cnt材料层的等效力学性能参数,便于更为精确地描述双曲板的力学表现、揭示其中的力学原理，采用改进混合本构关系模型来表述cnt增强复合材料板的有效杨氏弹性模量及剪切模量，由下面公式所示：
[0097][0098][0099][0100]
其中，c指代cnt增强中心层相关参数，分别为cnt的弹性模量与剪切模量，em与gm为基体材质的弹性模量与剪切模量，ηi(i＝1,3)为双曲板各叠层包含cnt材料的效力参数，依照已有实验数据和公开成果，设定，
[0101]
cnt增强双曲板夹芯层的有效泊松比可表达如下：
[0102][0103]
其中，和νm分别表示cnt和基体材质的泊松比。
[0104]
cnt增强复合材料的热膨胀系数可由如下表达式来界定：
[0105][0106][0107]
式中和αm为分别为夹芯层cnt与基体材质的热膨胀系数，对于基体材
质，设定泊松比与密度为固定值，热膨胀系数与杨氏模量性能同温度相关联。
[0108]
温度表达式t＝t0 δt，其中δt代表工作环境的温度增量，初始温度t0＝300k。cnt有效系数ηi(i＝1,3)取决于cnt体积分数中的参数值，对应参数见表1。
[0109]
表1不同cnt体积比率与cnt有效系数的取值
[0110]
cnt的杨氏模量(tpa)、剪切模量(tpa)以及热膨胀系数(10-6
/k)设定同温度相关联，对应关系如下所示：
[0111][0112][0113][0114][0115][0116]
基于一阶剪切变形理论，三明治双曲板中任意点的位移可表示为：
[0117][0118][0119]
w(x,y,t)＝w0(x,y,t)
ꢀꢀ
(9c)
[0120]
上式中，u(x,y,t)、v(x,y,t)和w(x,y,t)为伴随时间t关联的功能梯度三明治双曲板中面沿x、y和z轴方向的位移，和分别为中面法线绕x和y轴的转动。
[0121]
正交曲线坐标系中具多向功能梯度三明治双曲板的正应变及剪切应变分量可表示为：
[0122][0123]
其中，(ε
xx
,ε
yy
,γ
xy
)表示膜应变，(γ
xz
,γ
yz
)表示横向应变。
[0124][0125][0126]
其中，
[0127][0128][0129][0130]
力和力矩分量的表达式如下：
[0131][0132][0133]
其中，ni和qi表示膜应力和横向剪切力，mi,pi和ri分别代表高阶弯矩和剪切力。
[0134]
基于薄壳假设，多向功能梯度性三明治双曲板的内力、内力矩和剪切力定义为：
[0135][0136]
其中,ks为功能梯度三明治双曲板的径向剪切修正系数。
[0137]
拉伸刚度系数a
ij
，抗弯耦合刚度系数b
ij
，抗弯刚度系数d
ij
定义如下：
[0138][0139][0140]
步骤s2，构建非均质碳纳米管分布的数学表达式
[0141]
本实施例中选择四种cnt增强功能梯度材料分布函数用于描述cnts于功能梯度层
中的分布，分别为:均布分布(如图2(a))、底部密集的梯度分布(如图2(b))、顶部及底部密集的梯度分布(如图2(c))。其中，长宽分别为a与b，厚度为h包含各向同性材质构成的顶底表层，以及cnts梯度分布的夹芯层，表层和夹芯层厚度分别为h
core
和夹芯层为依据四面体\五面体\3d-kagome三类夹芯设计选择不同的材质，cnts沿着层厚方向呈梯度分布。
[0142]
增强cnt沿着双曲板的x轴长度方向分布，三明治双曲板包含的cnt总质量为m
cnt
,cnts体积分数为v
cnt
。对于采用底部密集的梯度分布、顶部及底部密集的梯度分布形式的双曲板,增强cnt沿着板的厚度遵从指数原则分布。
[0143]
设cnt与基体材质fgm的体积比重关系沿着板层厚度方向按照特定函数呈梯度规则分布，用o-cntr、λ-cntr、v-cntr、x-cntr及ud-cntr代表不同的体积比重关系函数，表达式如下：
[0144][0145]vm
(z)＝1-v
cnt
(z)
ꢀꢀ
(17)
[0146]
cnts质量比重关系如下：
[0147][0148]
式中，w
cnt
为cnts质量比重参数，ρ
cnt
与ρm分别为cnts与基体材质(fgm)的密度参数。
[0149]
步骤s3，构建点阵夹芯结构的等效力学关系表达式
[0150]
本实施例所涉及三明治双曲板夹芯层表层由点阵夹芯结构组成，而双曲板顶底表层均由fgm构成。三明治双曲板顶表层逐渐由陶瓷(或者金属)层梯度变化至金属(或者陶瓷)芯层，进一步通过fgm底层由金属(或者陶瓷)芯层逐渐过渡至陶瓷(或者金属)底表层。功能梯度三明治双曲板材料成分的演化趋势可由以下体积组份参数来表达：
[0151][0152]
其中，pz为
[0153]
本实施例是将含有大量周期性单胞的芯层等效为实体结构，如图3的碳纳米管分布特征所示，建立了锥体型(如图3(a))、四面体型(如图3(b))、3d-kagome型((如图3(c)))芯子点阵夹芯板在理想冲击载荷作用下的分析模型，分析求解了三种夹芯板结构的动态响应。对三种夹芯板的几何参数进行了数值优化，包括核和面板厚度、芯层相对密度等。对三
种夹芯板分析点阵材料的弹性本构关系，因为点阵夹芯结构是一种典型的周期性结构，视为该结构由许多单个胞元拼接组合，将单个胞元为分析对象。
[0154]
本实施例中，四面体点阵由三个长度相等的杆件组成，设结构参数：设各单胞之间的间距为b，杆的截面面积为a，杆件结构长度为l，杆件结构半径为r
sc
，杆件和x-y平面的夹角为γ，杆件材料的弹性模量为ec，泊松比为μc，芯子的相对密度ρc，g
c13
和g
c23
为点阵夹芯层的剪切刚度系数。进一步，具体对应表达式如下：
[0155]
锥体芯子：
[0156][0157][0158]
四面体芯子：
[0159][0160][0161]
3d-kagome芯子：
[0162][0163][0164]
步骤s4，构建冲击动力学问题的动力学平衡方程
[0165]
基于汉密尔顿变分原理,具缓冲补偿系统的三明治双曲板的动力学平衡方程为：
[0166][0167]
其中，u代表结构的应变能，v代表热势能，w外力所做的功,k代表动能，δ表示一阶变分。
[0168]
功能梯度三明治双曲板的应变能表示如下
[0169][0170]
冲击力所做的功为：
[0171][0172]
p为功能梯度三明治双曲板上表面的横向荷载。
[0173]
结构的动能表述如下：
[0174][0175]
对于三明治双曲板中的夹芯层，不同结构类型的对应的刚度系数需要区别对待，为夹芯层多向功能梯度特性三明治双曲板的材料刚度。
[0176]
具多向功能梯度特性材料三明治双曲板的非线性控制方程为：
[0177][0178][0179][0180][0181][0182]
式中，ii为质量惯量。
[0183][0184]
进一步，功能梯度三明治双曲板的中面内力及内力矩的表达式如下：
[0185][0186][0187][0188][0189][0190][0191]
得到功能梯度三明治双曲板位移函数形式的非线性控制方程为：
[0192][0193]
[0194][0195][0196][0197][0198]
通过引入以下无量纲的量，可将上述非线性控制方程转化为无量纲的控制方程：
[0199][0200][0201]
无量纲形式如下：
[0202][0203]
[0204][0205]
[0206][0207]
步骤s5，运用galerkin方法、gauss-legendre积分技术和runge-kutta法获取双曲板的振动响应。
[0208]
根据公式(29)无量纲化的边界条件，无量纲广义位移(包括5个变量)定义如下：
[0209][0210][0211][0212][0213][0214]
其中，以及为未知的无量纲幅值，β1＝mπ,β2＝nπ，m和n分别为x和y轴方向的半波数。
[0215]
结合边界条件，采用galerkin方法，得到的非线性微分控制方程组如下：
[0216][0217][0218][0219][0220][0221][0222]
式中，“·”和“··”分别表示为各位移幅值与时间的一阶导数和二阶导数，为各项系数。
[0223]
由于横向惯性项在壳类结构的非线性振动响应中占据着主导作用，本实施例在保证精度范围内，忽略面内惯性项和转动惯性项。将公式(31)中的u
mm
、v
mm
、x
mm
和y
mm
表示为w
mn
的函数，则
[0224][0225]
[0226]
其中，各项系数表示如下：
[0227][0228][0229][0230][0231][0232]
上式中，
“‑
1”表示矩阵求逆。
[0233]
则非线性微分控制方程组可写为
[0234][0235]
求解无量纲非线性固有频率，得到齐次非线性微分控制方程：
[0236][0237]
其中，ω
′s为功能梯度三明治双曲板的无量纲线性固有频率。
[0238]
采用直接积分法，得到功能梯度三明治双曲板的无量纲非线性固有频率。能量平衡方程如下：
[0239][0240]
式中，γ为常量，其值依据初始条件w
mn
＝w
max
、和求得，则有
[0241][0242]
能量平衡方程可改为：
[0243][0244]
采用gauss-legendre积分技术，功能梯度三明治双曲板的无量纲非线性固有频率为：
[0245][0246][0247]
功能梯度三明治双曲板的无量纲非线性固有频率与无量纲线性固有频率之比为：
[0248][0249]
考虑功能梯度三明治双曲板外部激振力的影响，非线性微分控制方程可根据以下
初始条件采用runge-kutta法求解：
[0250][0251]
本实施办法中，提供了考虑温度影响系数以及分布形式cnt混合功能梯度点阵夹芯三明治结构材料力学模型，构建了材料参数与点阵夹芯三明治双曲板结构多个物理量之间的精确量化关系，通过数值求解，揭示了温度参数/材料参数/几何参数等设计参数与cnt增强点阵夹芯结构功能梯度三明治双曲板振动位移响应和固有频率的影响关系，能够高效准确指导对应复合材料结构设计，提供繁杂技术参数的最优匹配组合解。
[0252]
本实施例中，图4示出了杆件结构半径对三明治双曲板振动响应表现的影响。变换半径r
sc
分别为(1mm,2mm,4mm),以调整结构刚度。由图4可知，根据振动响应频率的提高可以判断出刚度的提高，但是三明治双曲板无量纲非线性幅值伴随着r
sc
的增大而呈现有限的减小，且三明治双曲板无量纲非线性频率比基本没有影响，归因于点阵夹芯稳定的结构形式和芯子微小结构参数的调整产生了有限的动力响应改善效应。
[0253]
上述实施案例只是本发明的较佳实施例，并非对本发明作任何形式上的限制。虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然而并非用以限定本发明。因此，凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明技术实质对以上实施例所做的任何简单修改、等同变化及修饰，均应落在本发明技术方案保护的范围内。