一种基于多自由度车辆动态响应的接触点反演算法

1.本发明涉及铁道工程健康监测领域，具体涉及一种基于多自由度车辆动态响应的接触点反演算法。


背景技术：

2.随着桥梁跨度与列车运行速度的不断提高，为保证桥梁工作性能及列车运行的安全性与舒适性，研究者已经在桥梁与列车间的动力特性做了大量工作并运用于实际工程中，然而作为铁路重要组成部分的轨道系统往往被忽略，从现有文献来看，轨道系统对车桥耦合响应较大，因此近些年来将列车——轨道——桥梁作为整体系统来分析已经成为铁路系统特性的研究趋势。但是绝大多数的研究还停留在使用单自由度车辆模型，较少人研究车辆前后轴之间的连接和旋转作用，这和实际工程应用中列车存在很大差异。
3.因此，有必要研发一种能获取不同轮对与轨道之间的接触点响应的方法。


技术实现要素：

4.本发明的目的是提供一种基于多自由度车辆动态响应的接触点反演算法，以解决现有技术中存在的问题。
5.为实现本发明目的而采用的技术方案是这样的，一种基于多自由度车辆动态响应的接触点反演算法，包括以下步骤：
6.1)基于多自由度车辆-轨道-桥梁耦合系统的简化物理模型，建立多自由度车辆系统的运动方程；
7.2)对车辆系统中的转向架运动方程进行分析，计算出四个车轮与轨道接触点响应封闭解析解通用表达式；
8.3)根据步骤2)中连续时间状态下的接触点响应表达式，获得离散形式下接触点响应通用表达式；
9.4)基于多自由度车辆轨道桥梁耦合系统的简化物理模型以及车—轨道—桥梁耦合单元模型，建立车辆—轨道—桥梁耦合系统运动方程；
10.5)根据步骤4)获得的车辆—轨道—桥梁耦合单元运动方程，建立车辆—轨道—桥梁耦合系统有限元模型；
11.6)运用newmark-β法计算整个车辆—轨道—桥梁耦合系统的响应。
12.进一步，在步骤1)所述的多自由度车辆—轨道系统的简化物理模型中，车辆简化为由一个车体、两个转向架和四个车轮对组成的六自由度模型，各组成部分均为刚性构件；
13.其中，所述车体简化为一长度为2lc、质量为mc、质量惯性矩为jc的刚性梁；转向架简化为一长度为2l
t
、质量为m
t
、质量惯性矩为j
t
的刚性梁，t1和t2分别表示前转向架和后转向架；两个转向架与车体间由二系悬挂系统连接，二系悬挂系统由弹簧ⅰ和阻尼器ⅰ组成，弹簧ⅰ的刚度为ks，阻尼器ⅰ的阻尼为cs；四个轮对与转向架之间的弹性连接系统为一系悬挂系统，一系悬挂系统由弹簧ⅱ和阻尼器ⅱ组成，弹簧ⅱ的刚度为k
p
，阻尼器ⅱ的阻尼为c
p
，四个
轮对做刚性简化，四个轮对质量分别为m
w1
、m
w2
、m
w3
和m
w4
，质量为m
w1
和m
w2
的轮对与前转向架连接，质量为m
w3
和m
w4
的轮对与后转向架连接。
14.进一步，步骤2)包括以下分步骤：
15.2-1)对车辆的前、后转向架进行受力分析，利用d’alembert原理分别建立车体、前转向架和后转向架的竖向运动方程以及转动平衡方程：
16.车体竖向运动方程：
[0017][0018]
式中：yc表示车体竖向位移，表示车体竖向位移对时间求导，表示车体竖向位移对时间求二次导，θc表示车体面内转角，表示车体面内转角对时间求导，y
t1
表示前转向架竖向位移，表示前转向架竖向位移对时间求导，y
t2
表示后转向架竖向位移，表示后转向架竖向位移对时间求导；
[0019]
车体转动平衡方程：
[0020][0021]
式中：表示车体面内转角对时间求二次导；
[0022]
前转向架竖向运动方程：
[0023][0024]
式中：表示前转向架竖向位移对时间求二次导，θ
t1
表示前转向架面内转角，表示前转向架面内转角对时间求导，u
c1
表示第一轮对与轨道接触点的竖向位移，表示第一轮对与轨道接触点的竖向位移对时间求导，u
c2
表示第二轮对与轨道接触点的竖向位移，表示第二轮对与轨道接触点的竖向位移对时间求导；
[0025]
前转向架转动平衡方程：
[0026][0027]
式中：表示前转向架面内转角对时间求二次导；
[0028]
后转向架竖向运动方程：
[0029][0030]
式中：表示后转向架竖向位移对时间求二次导，θ
t2
表示后转向架面内转角，表示后转向架面内转角对时间求导，u
c3
表示第三轮对与轨道接触点的竖向位移，表示第三轮对与轨道接触点的竖向位移对时间求导，u
c4
表示第四轮对与轨道接触点的竖向位移，表示第四轮对与轨道接触点的竖向位移对时间求导；
[0031]
后转向架转动平衡方程：
[0032][0033]
式中：表示后转向架面内转角对时间求二次导；
[0034]
2-2)将公式(3)、(4)、(5)和(6)通过移项整理分别得到：
[0035][0036][0037][0038][0039]
通过l
t
×
(7) (8)，得到第一轮对与轨道接触点响应方程：
[0040][0041]
对式(11)求二阶导数，得到关于第一轮对与轨道接触点加速度响应的一阶线性微分方程：
[0042][0043]
式中的g
c1
通过现场测试获得，表达式为：
[0044][0045]
通过l
t
×
(7)-(8)，得到第二轮对与轨道接触点响应方程：
[0046][0047]
对式(14)求二阶导数，得到关于第二轮对与轨道接触点加速度响应的一阶线性微分方程：
[0048][0049]
式中的g
c2
为：
[0050][0051]
通过l
t
×
(9) (10)，得到第三轮对与轨道接触点响应方程：
[0052][0053]
对式(17)求二阶导数，得到关于第三轮对与轨道接触点加速度响应的一阶线性微
分方程：
[0054][0055]
式中的g
c3
为：
[0056][0057]
通过l
t
×
(9)-(10)，得到第四轮对与轨道接触点响应方程：
[0058][0059]
对式(20)求二阶导数，得到关于第四轮对与轨道接触点加速度响应的一阶线性微分方程：
[0060][0061]
式中的g
c4
为：
[0062][0063]
其中，公式(13)、(16)、(19)和(22)中的车辆的竖向加速度响应和转动加速度响应由安装在车辆各部位的传感器测量获得，并采用中心差分法推算其加速度响应的一阶导数和二阶导数为：
[0064][0065][0066][0067][0068]
式中，j为车辆响应的采样点数，δt表示采样时间间隔；
[0069]
求解每个接触点的微分方程(12)、(15)、(18)和(21)，假设各接触点响应从t＝0时开始振动，得到该模型中四个接触点响应的通用表达式为：
[0070][0071]
进一步，在步骤3)中，将公式(27)的接触点加速度响应采用离散形式表示为：
[0072][0073]
其中g
ci
|j为式(13)、(16)、(19)和(22)中g
ci
的第j个采样点的值。
[0074]
进一步，在步骤4)建立的车辆—轨道—桥梁耦合系统运动方程中，四个轮对为刚性模型。
[0075]
进一步，步骤6)之后还具有以下步骤：根据步骤3)获得的车轮—轨接触点响应与步骤6)由有限元方法获得的车轮—轨道接触点响应对比，验证获得的车轮—轨道接触点响应封闭解析解通用表达式的正确性和精确性。
[0076]
本发明的有益效果在于：
[0077]
1.本发明方法建立了多自由度车辆下轨道——桥梁相互作用理论，探明了轨道、桥梁结构与车体响应的解析相关性；
[0078]
2.本发明方法具有严格的理论基础，基于六自由度车辆轨道桥梁耦合系统，利用车体响应推导出了轮/轨多接触点的加速度响应封闭解析解通用表达式，为后续研究提供了数学依据；
[0079]
3.本发明方法所采用的车体简化物理模型是更贴近实际运营列车情况的六自由度系统，较以往的单自由度模型、双自由度模型考虑了更多细节影响，根据所采集的车体响应信号反算的轮/规多接触点响应，进而识别出的轨道模数精确度更高；
[0080]
4.本发明方法中获得的车辆与轨道多接触点响应仅根据车辆的各部分结构的力学平衡条件推导获得，因此不受铁路系统中各构件工作性能限制，该理论模型适用于各类型的铁路系统；
[0081]
5.在本发明方法中，列车各部分实测信号的数据处理已在matlab上编程，实现信号实时传输、数据分析、结果输出一体化，具有间接测量技术的高效性。
附图说明
[0082]
图1为多自由度车辆-轨道-桥梁耦合系统的简化物理模型；
[0083]
图2为车辆前转向架竖向受力分析示意图；
[0084]
图3为车辆前转向架转动受力分析示意图；
[0085]
图4为车辆某一轮对作用在轨道上时轨道-桥梁单元模型图；
[0086]
图5为多轮-轨接触点响应理论解与有限元解对比图。
具体实施方式
[0087]
下面结合实施例对本发明作进一步说明，但不应该理解为本发明上述主题范围仅限于下述实施例。在不脱离本发明上述技术思想的情况下，根据本领域普通技术知识和惯用手段，做出各种替换和变更，均应包括在本发明的保护范围内。
[0088]
实施例1：
[0089]
本实施例公开了一种基于多自由度车辆动态响应的接触点反演算法，包括以下步骤：
[0090]
1)基于多自由度车辆-轨道-桥梁耦合系统的简化物理模型，建立多自由度车辆系统的运动方程；具体的，在所述的多自由度车辆—轨道系统的简化物理模型中，车辆简化为由一个车体、两个转向架和四个车轮对组成的六自由度模型，各组成部分均为刚性构件；
[0091]
参见图1，所述车体简化为一长度为2lc、质量为mc、质量惯性矩为jc的刚性梁；转向架简化为一长度为2l
t
、质量为m
t
、质量惯性矩为j
t
的刚性梁，t1和t2分别表示前转向架和后转向架；两个转向架与车体间由二系悬挂系统连接，二系悬挂系统由弹簧ⅰ和阻尼器ⅰ组成，弹簧ⅰ的刚度为ks，阻尼器ⅰ的阻尼为cs；四个轮对与转向架之间的弹性连接系统为一系悬挂系统，一系悬挂系统由弹簧ⅱ和阻尼器ⅱ组成，弹簧ⅱ的刚度为k
p
，阻尼器ⅱ的阻尼为c
p
，四个轮对做刚性简化，四个轮对质量分别为m
w1
、m
w2
、m
w3
和m
w4
，质量为m
w1
和m
w2
的轮对与前转向架连接，质量为m
w3
和m
w4
的轮对与后转向架连接；
[0092]
2)对车辆系统中的转向架运动方程进行分析，计算出四个车轮与轨道接触点响应封闭解析解通用表达式；具体包括以下分步骤：
[0093]
2-1)对车辆的前、后转向架进行受力分析，参见图2和3，分别为车辆前转向架竖向受力分析示意图和车辆前转向架转动受力分析示意图，利用d’alembert原理分别建立车体、前转向架和后转向架的竖向运动方程以及转动平衡方程：
[0094]
车体竖向运动方程：
[0095][0096]
式中：yc表示车体竖向位移，表示车体竖向位移对时间求导，表示车体竖向位移对时间求二次导，θc表示车体面内转角，表示车体面内转角对时间求导，y
t1
表示前转向架竖向位移，表示前转向架竖向位移对时间求导，y
t2
表示后转向架竖向位移，表示后转向架竖向位移对时间求导；
[0097]
车体转动平衡方程：
[0098][0099]
式中：表示车体面内转角对时间求二次导；
[0100]
前转向架竖向运动方程：
[0101][0102]
式中：表示前转向架竖向位移对时间求二次导，θ
t1
表示前转向架面内转角，表示前转向架面内转角对时间求导，u
c1
表示第一轮对与轨道接触点的竖向位移，表示第一轮对与轨道接触点的竖向位移对时间求导，u
c2
表示第二轮对与轨道接触点的竖向位移，表示第二轮对与轨道接触点的竖向位移对时间求导；
[0103]
前转向架转动平衡方程：
[0104][0105]
式中：表示前转向架面内转角对时间求二次导；
[0106]
后转向架竖向运动方程：
[0107][0108]
式中：表示后转向架竖向位移对时间求二次导，θ
t2
表示后转向架面内转角，表示后转向架面内转角对时间求导，u
c3
表示第三轮对与轨道接触点的竖向位移，表示第三轮对与轨道接触点的竖向位移对时间求导，u
c4
表示第四轮对与轨道接触点的竖向位移，表示第四轮对与轨道接触点的竖向位移对时间求导；
[0109]
后转向架转动平衡方程：
[0110][0111]
式中：表示后转向架面内转角对时间求二次导；
[0112]
2-2)将公式(3)、(4)、(5)和(6)通过移项整理分别得到：
[0113][0114][0115][0116][0117]
通过l
t
×
(7) (8)，得到第一轮对与轨道接触点响应方程：
[0118][0119]
对式(11)求二阶导数，得到关于第一轮对与轨道接触点加速度响应的一阶线性微分方程：
[0120][0121]
式中的g
c1
通过现场测试获得，表达式为：
[0122][0123]
通过l
t
×
(7)-(8)，得到第二轮对与轨道接触点响应方程：
[0124][0125]
对式(14)求二阶导数，得到关于第二轮对与轨道接触点加速度响应的一阶线性微分方程：
[0126][0127]
式中的g
c2
为：
[0128][0129]
通过l
t
×
(9) (10)，得到第三轮对与轨道接触点响应方程：
[0130][0131]
对式(17)求二阶导数，得到关于第三轮对与轨道接触点加速度响应的一阶线性微分方程：
[0132][0133]
式中的g
c3
为：
[0134][0135]
通过l
t
×
(9)-(10)，得到第四轮对与轨道接触点响应方程：
[0136][0137]
对式(20)求二阶导数，得到关于第四轮对与轨道接触点加速度响应的一阶线性微分方程：
[0138][0139]
式中的g
c4
为：
[0140][0141]
其中，公式(13)、(16)、(19)和(22)中的车辆的竖向加速度响应和转动加速度响应由安装在车辆各部位的传感器测量获得，并采用中心差分法推算其加速度响应的一阶导数和二阶导数为：
[0142][0143][0144][0145][0146]
式中，j为车辆响应的采样点数，δt表示采样时间间隔；
[0147]
求解每个接触点的微分方程(12)、(15)、(18)和(21)，假设各接触点响应从t＝0时开始振动，得到该模型中四个接触点响应的通用表达式为：
[0148][0149]
3)由步骤2)得到多接触点响应表达式适用于连续时间状态的条件下，而在实际工程中，需要设定固定采样时间间隔，再通过安装在车辆各部位的六个传感器记录获得车辆各组成部分的振动数据，列车各部分实测信号的数据处理已在matlab上编程，而这些数据在本质上是离散，不适用连续时间条件下的多接触点响应表达式；故进行步骤3)获得多接触点响应离散形式的通用表达式，同时在此离散形式的表达式中只涉及到车辆各组成部分加速度的导数，没有积分相关项，因而不存在基线漂移的问题。具体的：
[0150]
由于通过安装在车辆各部位的六个传感器记录获得的振动数据本质上是离散的，将公式(27)的接触点加速度响应采用离散形式表示为：
[0151][0152]
其中g
ci
|j为式(13)、(16)、(19)和(22)中g
ci
的第j个采样点的值。
[0153]
从公式(13)、(16)、(19)和(22)中发现，g
ci
(t)只与车辆的振动响应、性能有关，而不受轨道及桥梁的振动响应和性能的影响。式(28)中车辆与轨道的多接触点响应仅根据车辆的各部分结构的力学平衡条件推导获得，因此不受铁路系统中各构件工作性能限制，该理论模型适用于各类型的铁路系统。
[0154]
4)基于多自由度车辆轨道桥梁耦合系统的简化物理模型以及车—轨道—桥梁耦合单元模型，建立车辆—轨道—桥梁耦合系统运动方程，四个轮对为刚性模型，不考虑其变形，在进行有限元建模时将轮对质量考虑进轨道质量中，因此随着车辆在双梁上移动，车辆行驶至的位置对应的轨道单元的质量矩阵会随之变化；图4为车辆某一轮对作用在轨道上时轨道-桥梁单元模型图；
[0155]
其中，在多自由度车辆轨道桥梁耦合系统的简化物理模型图1中，测量车以速度v在跨度为l的简支双梁上运动，行驶的车辆将作为荷载激励轨道——桥梁，使其产生振动，反之亦然，振动中的轨道/桥梁会引起移动车辆的竖向振动。轨道、桥梁模拟为单位长度质量分别为mr、mb，跨度为l的等截面bernoulli-euler梁，两简支梁之间用具有统一刚度系数
θ和阻尼系数c的弹簧缓冲器单元等效系统模拟轨道扣件、枕木、道砟的影响，称为中间弹性层；er为轨道的弹性模量，ir为轨道截面惯性矩，eb为桥梁的弹性模量，ib为桥梁截面惯性矩。
[0156]
为了更贴合实际工程，这里构建的模型为具有普遍性的、考虑车/轨/桥阻尼和路面粗糙度的车—轨—桥相互作用单元，如图3所示，轨道和桥梁单元均简化为一维两节点的平面梁单元，每个单元节点只考虑竖向位移(vi)和面内转角在局部单元坐标系xeoeye中，建立长度均为le的轨道和桥梁单元，桥、轨单元间由均匀分布的弹簧——阻尼单元相互连接。在本发明方法中主要通过车辆与轨道的接触点响应进行相关模数分析，因此在图3中仅以单个轮对与轨道面接触示意车辆与轨道/桥梁的耦合情况，轮对与轨道的相对位置用ξ
ih
表示，ri为描述轨道表粗糙度的相关函数。基于能量原理可以建立考虑轨道表面粗糙度的车—轨—桥耦合单元的运动方程如下：
[0157][0158]
其中，[m]、[c]和[k]分别为单元的质量、阻尼和刚度矩阵；下标v、r和b分别表示车辆、轨道和桥梁的相关参数；vr和rv表示车辆和轨道之间的耦合矩阵；br和rb分别表示轨道和桥梁之间的耦合矩阵；{q}表示单元节点位移；{f(t)}为单元负载。
[0159]
对于本发明中简化为六自由度的车辆模型，多自由度车辆的位移矩阵为：
[0160]qv
＝[y
c θ
c y
t1 θ
t1 y
t2 θ
t2
]
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(30)
[0161]
5)根据步骤4)获得的车辆—轨道—桥梁耦合单元运动方程，建立车辆—轨道—桥梁耦合系统有限元模型；通过组装所有的轨道单元(包括车体直接作用的轨道单元和其他普通轨道单元)和桥梁单元，可以建立起整个vrb系统的整体运动方程。
[0162]
6)运用newmark-β法(β＝0.25，γ＝0.5)，计算整个车辆—轨道—桥梁耦合系统的响应；
[0163]
7)根据步骤3)获得的车轮—轨接触点响应与步骤6)由有限元方法获得的车轮—轨道接触点响应对比，验证获得的车轮—轨道接触点响应封闭解析解通用表达式的正确性和精确性。
[0164]
具体的，为了验证上述本发明方法的正确性，本实施例基于上述理论推导，利用matlab进行有限元建模和计算，验证了轮/轨多接触点加速度响应封闭解析解表达式的正确性，在matlab进行有限元建模得到一跨度为32m的轨道—桥梁简支双梁，模拟了一个装有加速度、位移、速度传感器的六自由度列车模型经过此轨道桥梁的情况。在matlab计算中，列车以10m/s行驶速度经过轨道桥梁，所用车辆、轨道、桥梁的物理参数取值分别如下表1和表2，在进行有限元分析模拟的过程中，轨道被划分为32个单元，每个单元长度为1m。在验证车辆与轨道的多接触点响应封闭解时，采用前5阶本征模态表示振动响应，在本团队以往研究中已经证实取至该模态能表示出较为精确的振动响应。求解整体运动方程时，时间步长
取0.0001s。
[0165]
表1车辆物理参数取值
[0166][0167]
表2轨道-桥梁物理参数取值
[0168][0169][0170]
最终将车辆与轨道各接触点加速度响应的有限元解和由式(28)反算结果对比示于图5中，其中图5(a)、5(b)、5(c)和5(d)分别为车辆第一、二、三、四个轮对与轨道接触点的加速度响应，各接触点的有限元解和基于车辆响应反算结果吻合良好，说明了本实施例中理论推导的正确性，车辆/轨道的多接触点响应封闭解析解能被充分验证。
[0171]
实施例2：
[0172]
本实施例公开了一种基于多自由度车辆动态响应的接触点反演算法，包括以下步
骤：
[0173]
1)基于多自由度车辆-轨道-桥梁耦合系统的简化物理模型，建立多自由度车辆系统的运动方程；
[0174]
2)对车辆系统中的转向架运动方程进行分析，计算出四个车轮与轨道接触点响应封闭解析解通用表达式；
[0175]
3)根据步骤2)中连续时间状态下的接触点响应表达式，获得离散形式下接触点响应通用表达式；
[0176]
4)基于多自由度车辆轨道桥梁耦合系统的简化物理模型以及车—轨道—桥梁耦合单元模型，建立车辆—轨道—桥梁耦合系统运动方程；
[0177]
5)根据步骤4)获得的车辆—轨道—桥梁耦合单元运动方程，建立车辆—轨道—桥梁耦合系统有限元模型；
[0178]
6)运用newmark-β法计算整个车辆—轨道—桥梁耦合系统的响应。
[0179]
实施例3：
[0180]
本实施例主要步骤同实施例2，进一步，在步骤1)所述的多自由度车辆—轨道系统的简化物理模型中，车辆简化为由一个车体、两个转向架和四个车轮对组成的六自由度模型，各组成部分均为刚性构件；
[0181]
其中，所述车体简化为一长度为2lc、质量为mc、质量惯性矩为jc的刚性梁；转向架简化为一长度为2l
t
、质量为m
t
、质量惯性矩为j
t
的刚性梁，t1和t2分别表示前转向架和后转向架；两个转向架与车体间由二系悬挂系统连接，二系悬挂系统由弹簧ⅰ和阻尼器ⅰ组成，弹簧ⅰ的刚度为ks，阻尼器ⅰ的阻尼为cs；四个轮对与转向架之间的弹性连接系统为一系悬挂系统，一系悬挂系统由弹簧ⅱ和阻尼器ⅱ组成，弹簧ⅱ的刚度为k
p
，阻尼器ⅱ的阻尼为c
p
，四个轮对做刚性简化，四个轮对质量分别为m
w1
、m
w2
、m
w3
和m
w4
，质量为m
w1
和m
w2
的轮对与前转向架连接，质量为m
w3
和m
w4
的轮对与后转向架连接。
[0182]
实施例4：
[0183]
本实施例主要步骤同实施例3，进一步，步骤2)包括以下分步骤：
[0184]
2-1)对车辆的前、后转向架进行受力分析，利用d’alembert原理分别建立车体、前转向架和后转向架的竖向运动方程以及转动平衡方程：
[0185]
车体竖向运动方程：
[0186][0187]
式中：yc表示车体竖向位移，表示车体竖向位移对时间求导，表示车体竖向位移对时间求二次导，θc表示车体面内转角，表示车体面内转角对时间求导，y
t1
表示前转向架竖向位移，表示前转向架竖向位移对时间求导，y
t2
表示后转向架竖向位移，表示后转向架竖向位移对时间求导；
[0188]
车体转动平衡方程：
[0189][0190]
式中：表示车体面内转角对时间求二次导；
[0191]
前转向架竖向运动方程：
[0192][0193]
式中：表示前转向架竖向位移对时间求二次导，θ
t1
表示前转向架面内转角，表示前转向架面内转角对时间求导，u
c1
表示第一轮对与轨道接触点的竖向位移，表示第一轮对与轨道接触点的竖向位移对时间求导，u
c2
表示第二轮对与轨道接触点的竖向位移，表示第二轮对与轨道接触点的竖向位移对时间求导；
[0194]
前转向架转动平衡方程：
[0195][0196]
式中：表示前转向架面内转角对时间求二次导；
[0197]
后转向架竖向运动方程：
[0198][0199]
式中：表示后转向架竖向位移对时间求二次导，θ
t2
表示后转向架面内转角，表示后转向架面内转角对时间求导，u
c3
表示第三轮对与轨道接触点的竖向位移，表示第三轮对与轨道接触点的竖向位移对时间求导，u
c4
表示第四轮对与轨道接触点的竖向位移，表示第四轮对与轨道接触点的竖向位移对时间求导；
[0200]
后转向架转动平衡方程：
[0201][0202]
式中：表示后转向架面内转角对时间求二次导；
[0203]
2-2)将公式(3)、(4)、(5)和(6)通过移项整理分别得到：
[0204][0205][0206][0207][0208]
通过l
t
×
(7) (8)，得到第一轮对与轨道接触点响应方程：
[0209][0210]
对式(11)求二阶导数，得到关于第一轮对与轨道接触点加速度响应的一阶线性微分方程：
[0211][0212]
式中的g
c1
通过现场测试获得，表达式为：
[0213][0214]
通过l
t
×
(7)-(8)，得到第二轮对与轨道接触点响应方程：
[0215][0216]
对式(14)求二阶导数，得到关于第二轮对与轨道接触点加速度响应的一阶线性微分方程：
[0217][0218]
式中的g
c2
为：
[0219][0220]
通过l
t
×
(9) (10)，得到第三轮对与轨道接触点响应方程：
[0221][0222]
对式(17)求二阶导数，得到关于第三轮对与轨道接触点加速度响应的一阶线性微分方程：
[0223][0224]
式中的g
c3
为：
[0225][0226]
通过l
t
×
(9)-(10)，得到第四轮对与轨道接触点响应方程：
[0227][0228]
对式(20)求二阶导数，得到关于第四轮对与轨道接触点加速度响应的一阶线性微分方程：
[0229]
[0230]
式中的g
c4
为：
[0231][0232]
其中，公式(13)、(16)、(19)和(22)中的车辆的竖向加速度响应和转动加速度响应由安装在车辆各部位的传感器测量获得，并采用中心差分法推算其加速度响应的一阶导数和二阶导数为：
[0233][0234][0235][0236][0237]
式中，j为车辆响应的采样点数，δt表示采样时间间隔；
[0238]
求解每个接触点的微分方程(12)、(15)、(18)和(21)，假设各接触点响应从t＝0时开始振动，得到该模型中四个接触点响应的通用表达式为：
[0239][0240]
实施例5：
[0241]
本实施例主要步骤同实施例4，进一步，在步骤3)中，将公式(27)的接触点加速度响应采用离散形式表示为：
[0242][0243]
其中g
ci
|j为式(13)、(16)、(19)和(22)中g
ci
的第j个采样点的值。
[0244]
实施例6：
[0245]
本实施例主要步骤同实施例2，进一步，在步骤4)建立的车辆—轨道—桥梁耦合系统运动方程中，四个轮对为刚性模型。
[0246]
实施例7：
[0247]
本实施例主要步骤同实施例2，进一步，步骤6)之后还具有以下步骤：根据步骤3)获得的车轮—轨道接触点响应与步骤6)由有限元方法获得的车轮—轨接触点响应对比，验证获得的车轮—轨道接触点响应封闭解析解通用表达式的正确性和精确性。