基于图拓扑结构的并行最优输运无网格处理方法与系统与流程

1.本发明涉及针对连续介质力学的动态响应分析技术领域，尤其是提出一种结合了图拓扑结构和分布式并行化的并行最优输运无网格处理方法，适用于诸如高效稳定求解包含极大变形、动态裂纹扩展、高速冲击及几何畸变、材料裂变、金属材料成型、多相变等材料动态响应的连续介质的力学参数动态响应分析。


背景技术：

2.基于拉格朗日网格和欧拉网格的传统分析方法，如有限单元法、有限体积法及有限差分法等，因其本身固有的网格特性限制了它们在极度大变形、动态裂纹扩展、高速冲击及几何畸变、材料裂变、金属材料成型及多相变等愈加复杂的实际工程问题方面的应用。对于基于拉格朗日网格的求解方法，由于网格的存在所引起的困难主要体现在：
①
网格大变形引起收敛缓慢、结果不准确，甚至过早的终止计算；
②
网格尺寸过小时，时间步趋于零，将导致计算过程崩溃；
③
网格重构的困难及进行新旧网格之间数据插值计算而引入的扩散误差和错误。对于基于欧拉网格的求解方法，由于网格的存在所引起的困难主要体现在：
①
网格固定材料在运动，分析中难以处理与加载历史相关的材料动态响应以及裂纹扩展问题；
②
欧拉方法仅对经过网格单元边界的质量、动量及能通量进行跟踪，使得自由表面的位置，可变形边界和移动材料界面难以确定；
③
复杂的网格生成程序，将问题域不规则的几何形状转换到规则的计算域中，有时会带来昂贵的数值映射开销。
3.基于网格方法所带来的困难和局限性皆源自于网格的存在，为了解决这个困难，下一代数值计算方法—无网格方法得到了广泛快速的发展，无网格方法的目标是通过以节点的方式对整个问题域进行离散，从而至少从部分上消除对网格的依赖性。其主要的优越性体现在：
①
计算过程中不涉及网格，不存在网格畸变，网格重构等困难，非常适合处理大变形问题；
②
h型和p型自适应实现变得相对简单；
③
可以很容易的构造任意阶次连续性的形函数；
④
收敛结果往往大大优于基于网格的方法；
⑤
体积自锁问题可以通过调整形函数扩张参数得到缓解。然而，无网格方法的发展也正面临着亟待解决的困难：
①
绝大部分无网格插值函数都不满足克罗内克属性，使得施加位移边界条件变得非常困难；
②
在缺少网格的条件下，在对无网格伽辽金法进行“弱”形式下的等效积分时会有较大困难，大量研究文献表明，几种可能的积分方案(节点积分方案、应力点积分方案、背景网格积分方案)都不同程度的面临着处理拉应力不稳定性、数值积分误差等困难；
③
缺乏严密的收敛性与误差理论的数学分析；
④
由于无网格方法中使用高阶插值函数，对高性能计算提出了很大的挑战。
4.新兴的最优输运无网格方法(optimal transportation meshfree method，otm方法)通过有机的结合物质点空间离散、局部最大熵插值函数和最优输运理论时间离散，有效克服了基于网格和无网格方法遇到的诸多困难，其优越性主要体现在：
①
采用物质点和节点对问题域进行离散，物质点充当数值积分点，避免了计算结果在拉应力不稳定性；
②
采用局部最大熵插值函数满足“弱”克罗内克属性，使得位移边界条件难施加的困难得以解决；
③
最优运输理论保证了其时间离散形式在理论上严格满足质量与动量守恒定律，具有严格
的收敛性数学证明；
④
动态调整物质点与节点的连接关系自动进行动态接触面的检测以及接触力的计算，没有额外的计算成本。otm方法的优异特性使其在求解包含超大变形、任意边界条件、复杂几何结构，与加载历史相关的材料动态响应的连续介质力学问题方面有巨大的潜力。
5.otm方法是一套显式增量更新的拉格朗日无网格方法，与显式有限单元求解法一样，在求解高非线性动力学问题时，otm方法同样面临着亟需解决的大计算量问题。
6.在otm方法中采用物质点与节点相结合的方式对问题域进行离散，其中计算邻域的运动学信息，包括位移、速度、加速度与温度等被存储在节点上，而材料的物理信息，比如变形、应力、材料内部参数等存储于物质点上。在求解过程中主要的计算负荷集中于预估物质点上的材料响应，即节点力的求解；同时在求解时间历程中随着物质点邻域的动态更新，物质点形函数及其导数重新计算是另一耗时的过程。因此如何提高otm方法在解决工程系统中极度大变形、动态裂纹扩展、高速冲击及几何畸变、材料裂变、金属材料成型及多相变等问题时的计算效率是otm方法需要重点解决的问题。


技术实现要素：

7.本发明的目的在于针对现有技术存在的缺陷与不足，提出了一种基于图拓扑结构的并行最优输运无网格处理方法，该方法结合了图拓扑结构和分布式多进程并行化，有效地利用异构超级计算集群对otm模拟进行线性甚至超线性加速。
8.同时，由于在otm方法中主要的计算都是在物质点上进行的，各个物质点之间没有直接的数据交换，非常适宜对其计算过程进行并行化处理，本发明通过结合了图拓扑结构和分布式多进程并行化，实现节点力、形函数及导数计算过程的并行化，节省计算开销，大幅提升其分析运算的效率。
9.为实现上述目的，本发明的第一方面提出基于图拓扑结构的并行最优输运无网格处理方法，所述方法包括：
10.对计算域进行初始网格划分，并基于初始网格建立连续介质材料的物质点的图拓扑连接关系，所述计算域为连续介质材料的问题域，包括连续介质材料的变形、应力、密度、位移、速度、加速度、温度参数；
11.基于图拓扑结构对原始的计算域进行分解，并建立各个分区之间的信息同步数据结构；以及
12.基于信息传递接口mpi进行分布式并行化处理，获得最终得到连续介质材料的动态响应数据，包括物质点以及节点从t0→
tn时间段内的物理信息和动力学数据。
13.其中，在可选的实施例中，设ω表示d维的连续介质问题域，对其进行初始网格划分并基于初始网格建立连续介质材料的物质点的图拓扑连接关系，包括：
14.步骤1.1、将连续介质问题域划分有限元网格，二维连续介质域划分为一阶三角形单元网格，三维连续介质域划分为一阶四面体单元网格；
15.步骤1.2、利用划分所得的有限元网格，将连续介质问题域离散为一组物质点集{x
p,k
,p＝1,2,
…
,m；k＝0,1,
…
,n}和一组节点集{x
a,k
,a＝1,2,
…
,n；k＝0,1,
…
,n}，其中节点集为有限元网格的节点集，物质点集为有限元网格各单元的中心点集；
16.步骤1.3、根据得到的物质点集，将原有限元网格中相邻单元所对应的物质点连结
起来，建立物质点之间的拓扑连结关系，形成一个图(graph)，该图结点为物质点，该图的边(edge)为物质点的拓扑连结关系。
17.其中，在可选的实施例中，所述基于图拓扑结构对原始的计算域进行分解，包括：
18.定义分布式处理器数量i＝1,
…
,p；p表示处理器的总数量；
19.在t
k＝0
时刻根据处理器数量p，利用所述步骤1.3获得的物质点间的拓扑连结关系将上述图(graph)分解为p个物质点集使得该图(graph)被断开的边最少，同时保证每个处理器上的物质点数目相差数量在预设的范围内，将分解后的各个物质点集分别发送到各个处理器中
20.其中，在可选的实施例中，所述建立各个分区之间的信息同步数据结构，包括：
21.获取处理器上各个物质点的邻域i＝1,
…
,p，得到各个物质点的邻域
22.根据分解后的各个物质点集，确定每个部分的边界物质点，所述边界物质点是指与其他物质点集上的物质点存在拓扑连结关系的物质点，即与其他物质点集有边相连的物质点；
23.确定所有边界物质点的邻域内的节点为共享节点(shared nodes)，根据图拓扑结构划分时被断开的边(edge)确定需要互相通讯的处理器，并将它们存储至共享数据交换表ck；在每个处理器完成单独的计算之后，通过信息传递接口mpi对共享数据交换表ck中共享节点数据进行分布式进程间的数据交互。
24.其中，在可选的实施例中，所述基于信息传递接口mpi进行分布式并行化处理，获得最终得到连续介质材料的动态响应数据，包括：
25.步骤3.1、各处理器上初始化tk时刻物质点形函数n
a,k
(x
p,k
)、物质点形函数导数物质点变形梯度f
p,k
；
26.步骤3.2、各处理器上根据分配得到的物质点子集进行计算，得到各处理器的局部质量矩阵局部节点力及局部加速度
27.步骤3.3、各个处理器将所包含的共享节点的局部节点力局部质量矩阵局部加速度基于数据交换表ck发送给其他需要同步的处理器，并接收共享节点在其他各个处理器的计算结果，完成数据同步，进行数据组装得到全局质量矩阵全局节点力和全局加速度
28.步骤3.4、更新节点数据：利用步骤3.3的的结果进行数据更新，得到t
k 1
时刻的节点坐标节点速度
29.步骤3.5、在t
k 1
时刻，更新物质点坐标更新物质点变形梯度f
p,k 1
、更新物质点本构、更新物质点邻域更新物质点形函数n
a,k 1
(x
p,k 1
)、更新物质点形函数导数
30.步骤3.6、根据步骤3.5更新的物质点邻域在各边界物质点的邻域内重新搜索节点，更新共享节点集并更新共享数据交换表ck；
31.步骤3.7、判断时间t
k 1
：
32.若t
k 1
＝tn，tn表示预设的时间周期，表示已计算至最后一步，此时退出计算，最终得到物质点和节点从t0→
tn时间段内的物理信息和动力学数据；
33.若t
k 1
≠tn，则转入步骤3.2进行下一次迭代计算，直至时间步t
k 1
＝tn为止，输出最终得到的物质点和节点从t0→
tn时间段内的物理信息和动力学数据，完成连续介质材料的动态响应分析。
34.根据本发明目的的第二方面还提出一种计算机系统，包括：
35.一个或多个处理器；
36.存储器，存储可被操作的指令，所述指令在被所述一个或多个处理器执行时实现前述的基于图拓扑结构的并行最优输运无网格处理方法。
37.根据本发明公开的第三方面还提出一种服务器，包括：
38.一个或多个处理器；
39.存储器，存储可被操作的指令，所述指令在被所述一个或多个处理器执行时实现前述的基于图拓扑结构的并行最优输运无网格处理方法。
40.结合以上技术方案，本发明提出的并行最优输送无网格方法的显著优点在于：
41.1)本发明提出的基于图拓扑结构的最优输运无网格方法是otm方法的并行化方法，在该方法中将物质点和节点划分成子集分配到不同的计算服务器中，通过使用信息传递接口(message passing interface,mpi)进行不同服务器中的数据交流，实现了对otm计算方法的并行化，有效的利用异构超级计算集群对otm模拟进行加速；
42.2)在本发明提出的基于图拓扑结构的并行最优输运无网格方法中，提出基于图拓扑结构的计算数据划分方法，首先根据有限元网格将问题域离散为一组物质点集和节点集，并根据该物质点集建立物质点之间的拓扑连结关系，形成一个图。根据处理器数目p将图分解为p个物质点集，使得连结每两个物质点集的边数目最少，同时保证每个处理器上的物质点数目不会相差太多，并将各物质点集分别发送到各个处理器中。每个服务器对分配得到的物质点进行物质点邻域计算，并确定该服务器上的边界物质点。由上所有边界物质点邻域内的节点组成共享节点(shared node)，将它们存储至共享数据交换表ck。每个处理器完成单独的计算之后，通过mpi对ck中共享节点数据进行数据交互，最后得到原问题域的求解结果。通过引入物质点的拓扑关系图，可以在之前原本不存在连结关系的物质点之间建立连接关系。该连结关系用于物质点集的划分，使得连结每两个物质点集的边数目最少。同时，通过引入拓扑关系图，可以更容易地确定每个物质点集上的边界物质点，最小化mpi分区之间共享节点的数目，从而减少mpi消息传递的大小，节约分区间节点信息同步的计算成本，提高并行效率。在拉格朗日框架下，各物质点集中的边界物质点不变，只需要在每个时间步内确定各边界物质点邻域内的节点即可。因此，将otm方法结合图论进行并行计算，可以提高划分物质点集的运算效率，并在后续计算过程中减少确定共享节点的步骤，提高算法的整体计算效率。
附图说明
43.图1为本发明示例性的基于图拓扑结构的并行最优输运无网格方法的流程图。
44.图2为发明示例性方法中，通过物质点与节点相结合的方式进行空间离散的示意
图，其中先对问题域进行有限元网格划分，再将该有限元网格转化为节点集和物质点集，其中节点为原有限元网格的节点，物质点为原有限元网格各单元的中心点。
45.图3为发明示例性方法中，根据物质点集建立拓扑关系连结图的示意图。在原有限元网格的基础上，将相邻单元所对应的物质点连结起来，从而建立物质点之间的拓扑连结关系，形成物质点的拓扑连结图。
46.图4为本发明示例性方法中，根据物质点拓扑连结关系图对物质点集进行划分的示意图。图示中在mpi层将物质点划分成两份，使得连结这两份物质点集的边数目最少，并将这两份物质点集分别分配到两个处理器中进行处理。在各处理器上，将与另一个物质点集存在连结关系的物质点确定为边界物质点，并将边界物质点邻域内的节点确定为共享节点。
47.图5为本发明示例性方法中，在时刻tk→
t
k 1
，计算更新节点运动学信息之后mpi层数据交互过程示意图。
48.图6为根据本发明示例性的并行最优输运无网格方法的仿真算例示意图。
具体实施方式
49.为了更了解本发明的技术内容，特举具体实施例并配合所附图式说明如下。
50.在本公开中参照附图来描述本发明的各方面，附图中示出了许多说明的实施例。本公开的实施例不必定意在包括本发明的所有方面。应当理解，上面介绍的多种构思和实施例，以及下面更加详细地描述的那些构思和实施方式可以以很多方式中任意一种来实施，这是因为本发明所公开的构思和实施例并不限于任何实施方式。另外，本发明公开的一些方面可以单独使用，或者与本发明公开的其他方面的任何适当组合来使用
51.结合图1所示示例的基于图拓扑结构的并行最优输运无网格处理方法，其实现包括以下过程：对计算域进行初始网格划分，并基于初始网格建立连续介质材料的物质点的图拓扑连接关系，所述计算域为连续介质材料的问题域，包括连续介质材料的变形、应力、密度、位移、速度、加速度、温度参数；基于图拓扑结构对原始的计算域进行分解，并建立各个分区之间的信息同步数据结构；以及基于信息传递接口mpi进行分布式并行化处理，获得最终得到连续介质材料的动态响应数据，包括物质点以及节点从t0→
tn时间段内的物理信息和动力学数据。
52.在可选的实施例中，设ω表示d维的连续介质问题域，对其进行初始网格划分并基于初始网格建立连续介质材料的物质点的图拓扑连接关系，包括：
53.步骤1.1、将连续介质问题域划分有限元网格，二维连续介质域划分为一阶三角形单元网格，三维连续介质域划分为一阶四面体单元网格；
54.步骤1.2、利用划分所得的有限元网格，将连续介质问题域离散为一组物质点集{x
p,k
,p＝1,2,
…
,m；k＝0,1,
…
,n}和一组节点集{x
a,k
,a＝1,2,
…
,n；k＝0,1,
…
,n}，其中节点集为有限元网格的节点集，物质点集为有限元网格各单元的中心点集；
55.步骤1.3、根据得到的物质点集，将原有限元网格中相邻单元所对应的物质点连结起来，建立物质点之间的拓扑连结关系，形成一个图(graph)，该图结点为物质点，该图的边(edge)为物质点的拓扑连结关系。
56.其中，在可选的实施例中，所述基于图拓扑结构对原始的计算域进行分解，包括：
57.定义分布式处理器数量i＝1,
…
,p；p表示处理器的总数量；
58.在t
k＝0
时刻根据处理器数量p，利用所述步骤1.3获得的物质点间的拓扑连结关系将上述图(graph)分解为p个物质点集使得该图(graph)被断开的边最少，同时保证每个处理器上的物质点数目相差数量在预设的范围内，将分解后的各个物质点集分别发送到各个处理器中
59.其中，在可选的实施例中，所述建立各个分区之间的信息同步数据结构，包括：
60.获取处理器上各个物质点的邻域i＝1,
…
,p，得到各个物质点的邻域
61.根据分解后的各个物质点集，确定每个部分的边界物质点，所述边界物质点是指与其他物质点集上的物质点存在拓扑连结关系的物质点，即与其他物质点集有边相连的物质点；
62.确定所有边界物质点的邻域内的节点为共享节点(shared nodes)，根据图拓扑结构划分时被断开的边(edge)确定需要互相通讯的处理器，并将它们存储至共享数据交换表ck；在每个处理器完成单独的计算之后，通过信息传递接口mpi对共享数据交换表ck中共享节点数据进行分布式进程间的数据交互。
63.其中，在可选的实施例中，所述基于信息传递接口mpi进行分布式并行化处理，获得最终得到连续介质材料的动态响应数据，包括：
64.步骤3.1、各处理器上初始化tk时刻物质点形函数n
a,k
(x
p,k
)、物质点形函数导数物质点变形梯度f
p,k
；
65.步骤3.2、各处理器上根据分配得到的物质点子集进行计算，得到各处理器的局部质量矩阵局部节点力及局部加速度
66.步骤3.3、各个处理器将所包含的共享节点的局部节点力局部质量矩阵局部加速度基于数据交换表ck发送给其他需要同步的处理器，并接收共享节点在其他各个处理器的计算结果，完成数据同步，进行数据组装得到全局质量矩阵全局节点力和全局加速度
67.步骤3.4、更新节点数据：利用步骤3.3的的结果进行数据更新，得到t
k 1
时刻的节点坐标节点速度
68.步骤3.5、在t
k 1
时刻，更新物质点坐标更新物质点变形梯度f
p,k 1
、更新物质点本构、更新物质点邻域更新物质点形函数n
a,k 1
(x
p,k 1
)、更新物质点形函数导数
69.步骤3.6、根据步骤3.5更新的物质点邻域在各边界物质点的邻域内重新搜索节点，更新共享节点集并更新共享数据交换表ck；
70.步骤3.7、判断时间t
k 1
：
71.若t
k 1
＝tn，tn表示预设的时间周期，表示已计算至最后一步，此时退出计算，最终得到物质点和节点从t0→
tn时间段内的物理信息和动力学数据；
72.若t
k 1
≠tn，则转入步骤3.2进行下一次迭代计算，直至时间步t
k 1
＝tn为止，输出最终得到的物质点和节点从t0→
tn时间段内的物理信息和动力学数据，包括变形、应力、密度、位移、速度、加速度、温度数据，至此完成连续介质材料的动态响应分析过程。
73.下面结合附图2-5所示，更加具体的描述前述过程的示例性实施。
74.设ω表示d维的连续介质问题域，采用otm方法(optimal transportation meshfree,最优输运无网格方法)对该连续介质域内的材料动态响应问题进行求解处理，其总体上包括以下步骤：
75.第一步，将该问题域进行有限元网格划分，二维连续介质域划分为一阶三角形单元网格，三维连续介质域划分为一阶四面体单元网格。
76.第二步，利用划分所得的有限元网格，将该问题域离散为一组物质点集{x
p,k
,p＝1,2,
…
,m；k＝0,1,
…
,n}和一组节点集{x
a,k
,a＝1,2,
…
,n；k＝0,1,
…
,n}，其中节点集为有限元网格的节点集，物质点集为各有限元单元的中心点集，该单元的节点为该物质点的初始邻域。
77.在otm方法中采用物质点与节点相结合的方式对所求问题域进行离散，物质点和节点的生成方式及初始位置可由用户根据不同的算法来确定，计算邻域的运动学信息，其中包括位移、速度、加速度与温度等，将被存储在节点上。材料的物理信息，比如变形、应力、材料内部参数等，将存储在物质点上。在本发明的具体实现中，为了保证计算的精度，采用三角形单元(二维情况)或者四边形单元(三维情况)对节点进行网格划分，每个单元的形心取为物质点。如图2所示，空心点代表节点：x
a,k
(a为离散域中节点索引号，代表第几个节点，k代表第几个时间步，时间步长及步数由用户控制)，实心三角点代表物质点：x
p,k
，小写的p代表离散域中物质点索引号，代表第几个物质点，k代表第几个时间步。
78.第三步，根据第二步得到的物质点集，将原有限元网格中相邻单元对应的物质点连结起来，建立物质点之间的拓扑连结关系，形成一个图(graph)，如图3所示。该图结点为物质点，该图的边(edge)为物质点的拓扑连结关系。
79.第四步，定义分布式处理器数量i＝1,
…
,p。在t
k＝0
时刻根据处理器数量p，利用各物质点间的拓扑连结关系将图分解为p个物质点集给使得连结每两个物质点集的边数目最少，同时保证每个处理器上的物质点数目不会相差太多，并将分配后的各个物质点集分别发送到各个处理器中，如图4所示。
80.通过上述方式获得了问题域离散化的节点集与物质点集以及物质点之间的拓扑结构关系图，在本步骤中即是要对物质点集进行划分，划分成不同的子集，并将不同的子集分配到不同的处理器进行分布式计算。
81.在可选的实施例中，本发明采用metis算法对物质点集划分，后续计算在物质点上进行，不涉及网格。
82.第五步，根据第四步的分解结果，确定每个部分的边界物质点(与其他物质点集上的物质点存在拓扑连结关系的物质点，即与其他物质点集中的物质点有边相连)。确定所有边界物质点邻域内的节点为共享节点(shared nodes)，并将它们存储至共享数据交换表ck，如图4所示。
83.第六步，初始化tk时刻物质点形函数n
a,k
(x
p,k
)、物质点形函数导数物
质点变形梯度f
p,k
。
84.第七步，各处理器上根据分配得到的物质点子集进行求解计算，得到各处理器的局部质量矩阵局部节点力及局部加速度
85.第八步，各个处理器将所包含的共享节点的局部节点力局部质量矩阵局部加速度发送至数据交换表ck中，并接收该共享节点在其他各个处理器计算结果，完成数据同步，进行数据组装得到全局质量矩阵全局节点力和全局加速度其中q∈ck即为共享节点。如图5所示，在tk→
t
k 1
，计算更新节点运动学信息之后，将边界物质点邻域内的节点的数据信息发送到数据交换表ck，同时从ck接收来自其他处理器的计算结果，进行节点运动学数据的组装，ck也在每个时间步得到更新。
86.第九步，更新节点数据：利用第八步的结果进行数据更新，得到t
k 1
时刻的节点坐标节点速度
87.第十步，t
k 1
时刻，更新物质点坐标p＝1,
…
,m、更新物质点变形梯度p＝1,
…
,m、更新物质点本构关系、更新物质点邻域更新物质点形函数更新物质点形函数导数
88.第十一步，根据第十步更新的每个物质点的邻域搜集处理器上各个物质点邻域内的节点，将它们更新为处理器t
k 1
时刻的节点集，时刻的节点集，
89.第十二步，根据第十一步确定了t
k 1
时刻物质点的邻域，共享节点在每个时间步的迭代计算中将会动态更新，使得共享节点集ck中的共享节点随着计算的进行将会被动态更新。
90.第十三步，判断时间步t
k 1
：
91.若t
k 1
＝tn，代表已计算至最后一步，此时退出计算，最终得到物质点和节点从t0→
tn时间段内的物理信息和动力学数据，包括变形、应力、密度、位移、速度、加速度、温度，完成材料的动态响应分析；
92.若t
k 1
≠tn，则转入第七步进行下一次迭代计算，直至时间步t
k 1
＝tn为止，最终得到物质点和节点从t0→
tn时间段内的物理信息和动力学数据，包括变形、应力、密度、位移、速度、加速度、温度，完成材料的动态响应分析。
93.前述时间步，即对应的一个计算时刻。
94.图6为根据本发明示例性的并行最优输运无网格方法的仿真算例，其中，采用基于图拓扑结构的并行otm方法模拟铜合金杆以270m/s的速度撞击刚性平面，该仿真模拟包含
1,116,024个物质点，683,772个自由度，在分布式高性能计算服务器上进行计算，分别采用1，2，4，8，16，32，64个cpu进行计算，获得了近似于线性加速的效果。
95.根据本发明的公开的实施例，还提出一种计算机系统，包括：
96.一个或多个处理器；
97.存储器，存储可被操作的指令，所述指令在被所述一个或多个处理器执行时实现前述的基于图拓扑结构的并行最优输运无网格处理方法，尤其是图1所示流程对应的并行最优输运无网格处理方法。
98.根据本发明公开的第三方面还提出一种服务器，包括：
99.一个或多个处理器；
100.存储器，存储可被操作的指令，所述指令在被所述一个或多个处理器执行时实现前述的基于图拓扑结构的并行最优输运无网格处理方法，尤其是图1所示流程对应的并行最优输运无网格处理方法。
101.提供以上实施例仅仅是为了描述本发明的目的，而并非要限制本发明的范围。本发明的范围由所附权利要求限定。不脱离本发明的精神和原理而做出的各种等同替换和修改，均应涵盖在本发明的范围之内。