基于贪婪随机稀疏Kaczmarz的图像重建方法

基于贪婪随机稀疏kaczmarz的图像重建方法
技术领域
1.本发明涉及信号处理技术领域中的信号压缩采样和重建方法，具体讲的是一种基于贪婪随机稀疏kaczmarz的图像重建方法。


背景技术：

2.压缩感知(compressed sensing ,cs)是一种新兴的信息获取和传输处理的理论，cs指出可以充分利用信号中的稀疏性先验信息，在远低于nyquist采样频率的条件下，采用非相关测量矩阵将原始高维信号投影到低维空间，得到低维的观测值，并且可以无失真地重建原始信号。且在压缩感知中信号采样和压缩编码一步完成，这对于信号的采集和传输有着巨大的便利和优势。其中信号重构算法是压缩感知理论的核心，它是指由测量值重构稀疏信号的过程。
3.传统的压缩感知图像重建方法主要是基于优化迭代进行重建，不可避免地会带来较高的计算成本，且在测量率很低时的复原效果不理想。稀疏信号的恢复问题就可以看作一个线性系统ax=b的求解问题。基于迭代投影的kaczmarz方法由于其存储量不大和运算速度较快受到人们的关注。
4.kaczmarz算法是求解线性系统ax=b的一类重要方法，传统kaczmarz方法是一种求解线性相容系统的方法，按照行的顺序，把初始值依次投影到由矩阵每一个行向量和所对应观测值共同决定的超平面上。很明显，kaczmarz的收敛性质依赖于行顺序，如果系数矩阵的行顺序不好的时候，kaczmarz 的收敛结果非常慢，而且很难对于该方法做出收敛结果的分析。
5.kaczmarz算法求解的是最小二乘解，通常是稠密的。而求解线性系统的稀疏解在图像重构、信号处理和机器学习等领域中具有广泛的应用。通过引入l1范数，求解线性系统的稀疏解可以转化为正则化的最小二乘问题。后续出现的随机稀疏kaczmarz算法的特点是，当系数矩阵的行范数相差不大的时候，随机kaczmarz和随机稀疏kaczmarz将等概率选取系数矩阵的行，此时随机kaczmarz算法的收敛速率较慢，因此后来出现的贪婪随机kaczmarz提出采用一种新的概率准则来选取工作行。


技术实现要素：

6.本发明要解决的技术问题是提供一种基于贪婪随机稀疏kaczmarz的图像重建方法。本发明采用以下技术方案：基于贪婪随机稀疏kaczmarz的图像重建方法，该方法包括以下步骤：步骤1、对一张待压缩的图像，用随机高斯矩阵和稀疏基矩阵对进行采样获得对应的压缩观测值，其中，，为m维欧几里得空间，为b的行数，n为b的列数；
步骤2、对压缩观测值按列分块为压缩观测值块；步骤3、利用贪婪随机稀疏kaczmarz算法分别计算对应的稀疏解向量；步骤4、计算对应的最终解向量，计算方法为，对计算得到的稀疏解向量进行反稀疏变换得到最终解向量，p∈[1,2,
……
，n]，将按列合并成，即为重构后的图像信号。
[0007]
进一步的，所述步骤3中，计算对应的稀疏解向量的方法包括以下步骤：步骤3.1、利用计算用于确定贪婪随机kaczmarz方法中概率准则的量，表示上一次迭代所得到的稀疏解向量，首次迭代时为n维全0向量即，其中n为的行数即b的列数；步骤3.2、定义正整数索引集合：，其中表示求2范数，表示求2范数的平方,表示向量的第个值，表示系数矩阵的第行所构成的行向量，；步骤3.3、计算残差向量，的第个分量为，并且按照概率 选择的工作行，其中代表选取系数矩阵第行作为本次迭代工作行的概率；步骤3.4、利用软阈值收缩算子计算得到此次迭代的稀疏解向量；步骤3.5、判断是否满足迭代终止条件，若是则转到下一步，否则转到步骤3.1，迭代次数加1，并将更新为；步骤3,6、将此次迭代的稀疏解向量作为对应的稀疏解向量输出。
[0008]
进一步的，所述步骤3.1中， 的确定规则是：其中表示求frobenius范数，表示求frobenius范数的平方，表
示求2范数，表示求2范数的平方。
[0009]
进一步的，所述步骤3.2中，定义正整数索引集合的方法是将满足不等式的指标放入索引集合中。
[0010]
进一步的，所述步骤3.3中，计算的方法为： 。
[0011]
进一步的，所述步骤3.4的详细步骤如下：步骤3.41、按照步骤3.3选择出的工作行，计算解向量；步骤3.42、给定软阈值收缩算子中的超参数 ,将解向量传入软阈值收缩算子，得到此次迭代所得到的稀疏解向量。
[0012]
进一步的，所述步骤3.41中，解向量，其中表示将行向量转置为列向量。
[0013]
进一步的，所述步骤3.42中，软阈值收缩算子为：其中 表示取和0中的最大值， 表示符号函数，即当时，；当时，；当时，;因此软阈值收缩算子也可以表示为：其中表示的第个分量。
[0014]
进一步的，所述步骤3.42中：
ꢀꢀ
表示此次迭代所得到的稀疏解向量。
[0015]
进一步的，所述步骤3.5中，迭代终止条件为：前后两次迭代对应的稀疏解向量的改变量最小化或者达到最大迭代次数。
[0016]
本发明采用以上技术方案后，与现有技术相比，具有以下优点：本发明所建立的一种基于贪婪随机稀疏kaczmarz的图像重建方法，适用于任何已知测量矩阵和稀疏基矩阵的已压缩的测量信号的信号重建，本发明提出了使用kaczmarz迭代方法进行图像压缩感知重建，不需要先验已知信号被压缩的稀疏度，而且改善了图像压缩感知重建的效率，减少了迭代所需次数和计算量，解决了最小二乘解稠密性的问题。
[0017]
下面结合附图和实例对本发明进行详细说明。
附图说明
[0018]
图1是本发明的方法流程示意图；图2是贪婪随机稀疏kaczmarz算法流程示意图；图3是本发明所使用的的贪婪随机稀疏kaczmarz算法的收敛性示意图；其中系数矩阵为m=600，n=200，=1。横轴代表迭代次数，纵轴代表算法每一步迭代得到的解与真实解的重构误差；图4是本发明用于灰度图像的压缩感知图像重构的实验结果图；其中（a）图为分辨率为256*256的原始图像；（b）图为低秩调整后的图像，也是输入算法的图像；（c）图为经过传感矩阵采样后的图像；（d）图为用本发明提出算法恢复（c）图的图像矩阵的结果（psnr= 22.4503）；（e）图为用正交匹配追踪算法恢复（c）图的图像矩阵的结果（psnr=14.4409）；（f）图为用迭代收缩阈值算法恢复（c）图的图像矩阵的结果（psnr=20.5339）。
具体实施方式
[0019]
以下结合附图对本发明的原理和特征进行描述，所举实例只用于解释本发明，并非用于限定本发明的范围。
[0020]
如图1-2所示，图1是本发明所提出的一种基于贪婪随机稀疏kaczmarz的图像重建方法的流程图，具体包括以下步骤：步骤1， 对一张待压缩的图像，用随机高斯矩阵和稀疏基矩阵对进行采样获得对应的压缩观测值，其中，，为m维欧几里得空间，为b的行数，n为b的列数,且远小于；压缩感知是从压缩观测值中恢复原始信号的过程，因此首先需要获取压缩观测值，和对应的测量矩阵和稀疏基矩阵。
[0021]
步骤2，对压缩观测值按列分块为；本发明的重构方法是基于一维信号的图像重构方法，因此对于图像信号需要按列分块恢复以后再按列合并。
[0022]
步骤3，输入到贪婪随机稀疏kaczmarz算法中，其中，是按列分块的压缩观测值。
[0023]
贪婪随机kaczmarz方法中确定概率准则的量的规则是：
其中表示求frobenius范数，表示求frobenius范数的平方，表示求2范数，表示求2范数的平方。
[0024]
按照上述规则确定的量有以下性质：且对于=0的情况：上述性质，可以使得在所述步骤3中所定义的正整数索引集合是非空的，使得迭代可以进行，同时使迭代的效率相对于随机选择工作行的方法有所提升。
[0025]
步骤4，定义正整数索引集合，并且找出所有符合索引集合的元素；，其中表示求2范数，表示求2范数的平方,表示右端向量的第个值，表示系数矩阵的第行所构成的行向量，表示迭代进行到第次所得到的解向量。
[0026]
定义一个正整数索引集合，是将满足不等式的指标放入索引集合中。这样做的好处是，表示当前解到系数矩阵第行所形成的超平面的距离，这样可以使得集合中包含了当前解到各个超平面具有较大距离的指标。
[0027]
步骤5，计算残差向量；计算残差向量的第个分量，即若在索引集合中，则直接计算残差向量，若不在则计为0。
[0028]
步骤6，按照概率选取工作行；按照概率 选择工作行，即选取指标
ꢀꢀ
的概率定义为正比于各残差分量的平方，指标集 中对应较大残差向量的指标可以以较大概率被取到。
[0029]
步骤7，更新解向量；更新解向量通过得到，其中表示将行向量转置为列向量，表示将正交投影到所构成的超平面所得到的解向量。
[0030]
步骤8，定义软阈值收缩算子，并给定软阈值收缩算子中的超参数；软阈值收缩算子为其中 表示取和0中的最大值， 表示符号函数，即当时，；当时，；当时，。因此软阈值收缩算子也可以表示为：其中表示的第个分量。
[0031]
步骤9，更新稀疏解向量；
表示此次迭代所得到的稀疏的解向量。
[0032]
步骤10，迭代运行步骤2-8，直至满足终止条件；输出稀疏解。
[0033]
终止条件为：当前后两次迭代对应的稀疏解向量的改变量充分小或者达到最大迭代次数，算法终止。此时，可输出稀疏解向量。
[0034]
步骤11，对计算得到的稀疏解向量即进行反稀疏变换得到最终解向量，p∈[1,2,
……
，n]，将按列合并成，即为重构后的图像信号。
[0035]
贪婪随机稀疏kaczmarz算法求解得到的解向量是稀疏的，通过反稀疏变换后则是真实解向量，按列合并以后则是重构的信号。
[0036]
效果验证为了验证本发明的有效性，我们在随机生成的600*200的高斯矩阵和分辨率为256*256的lena图片矩阵上进行了实验验证。
[0037]
实验1中，我们首先随机生成600*200的高斯矩阵作为系数矩阵，再生成稀疏的200*1的随机向量作为线性系统的真实解，用得到线性系统右端的向量。比较本发明所提出的基于贪婪随机稀疏kaczmarz算法（greedy randomized sparse kaczmarz, 记作grsk），与基于随机稀疏kaczmarz算法（randomized sparse kaczmarz, 记作rsk），近端梯度下降算法（proximal gradient descent, 记作pgd），交叉方向乘子算法（alternating direction method of multipliers, 记作admm）的收敛速度的曲线。图3记录了以上四种算法的收敛曲线，其中rsk算法为虚线，grsk算法为实线，pgd和admm算法分别为虚点线和点线，在本实验中，因为两者都是一阶迭代算法，收敛曲线重合部分较多。可以看出本发明提出的算法结果较好。
[0038]
实验2中，比较了本发明提出的基于贪婪随机稀疏kaczmarz算法（对应图4中d图）、基于近端梯度下降的迭代算法（对应图4中f图）和正交匹配追踪算法（对应图4中e图）对亚采样以后的lena图像矩阵进行重构的结果，判断标准使用峰值信噪比（peak signal to noise ratio，记作psnr），是一个表示信号最大可能功率和影响它的表示精度的破坏性噪声功率的比值的工程术语，在本实验中用以表示重构精度。峰值信噪比分别为：psnr(grsk)=22.45、psnr(ista)=20.53、 psnr(omp)=14.44。可以看出本发明提出的算法在图像重构上也较好。
[0039]
以上所述为本发明最佳实施方式的举例，其中未详细述及的部分均为本领域普通技术人员的公知常识。本发明的保护范围以权利要求的内容为准，任何基于本发明的技术启示而进行的等效变换，也在本发明的保护范围之内。