一种联合多维响应高斯过程和重要抽样的可靠性评估方法

1.本发明属于可靠性评估领域，特别涉及一种多失效模式相关和小失效概率下的可靠性评估技术。


背景技术：

2.基于概率论的随机可靠性评估方法已经被广泛应用于汽车、风力发电、机床、航空航天等领域，旨在保证结构具备在规定时间内、规定条件下完成规定功能的能力。在结构的随机可靠性理论中，用极限状态函数来表征失效状态与安全状态的分界面。然而在实际工程应用中，可靠性评估算法往往涉及大量关于结构极限状态方程的调用计算，而且面临多失效模式相关和小失效概率的问题。
3.联合克里金和蒙特卡洛模拟的主动学习可靠性方法(active learning reliability method combining kriging and monte carlo simulation，ak-mcs)作为一种经典方法，能够精确地进行可靠性评估并减少极限状态函数的调用次数，显著减少了计算量。但是，ak-mcs等经典方法在处理多失效模式相关的问题时难以对多输出的相关性建模，在处理小失效概率的问题时抽样效率很低，这些现象在解决实际工程问题中往往难以接受。


技术实现要素：

4.为解决现有技术存在的上述问题，本发明提出了一种联合多维响应高斯过程和重要抽样的可靠性评估方法。
5.本发明的具体技术方案为：一种联合多维响应高斯过程和重要抽样的可靠性评估方法，具体包括如下步骤：
6.s1：计算极限状态方程g
mrgp
(x)＝0的设计点p
*
，并以该设计点作为抽样重心构造重要抽样密度函数h
x
(x)；
7.s2：由重要抽样密度函数h
x
(x)抽取n
is
个随机样本点xi(i＝1,2,
…
,n
is
)，构成样本池s
is
；
8.s3：将求解设计点过程中的输入-输出样本构成重要抽样初始训练集t
is
；
9.s4：根据当前训练集t
is
中的信息构建mrgp模型g
mrgp
(x)；
10.s5：使用步骤s4中构建的mrgp模型g
mrgp
(x)计算样本池s
is
中每个样本点的预测值和标准差再计算学习函数值u(xi)：
[0011][0012]
然后选出用于模型更新的样本点xu：
[0013]
[0014]
s6：判断自学习过程是否收敛，若存在最小学习函数值时，则停止自适应学习过程，执行步骤s7，否则，计算样本点xu的真实响应值g(xu)，并将{xu,g(xu)}加入训练样本集t
is
，返回步骤s4；
[0015]
s7：使用当前mrgp模型g
mrgp
(x)计算样本点失效概率的估计值和失效概率估计值的变异系数根据变异系数判断可靠性评估的收敛性，若变异系数小于预设阈值，则输出当前失效概率的估计值和失效概率估计值的变异系数，否则，执行步骤s8；
[0016]
s8：由重要抽样密度函数h
x
(x)再次抽取一定量的随机样本点以用于扩充样本池s
is
并回到步骤s5。
[0017]
需要说明的是：步骤s1中的极限状态方程是可靠性评估领域的一个常用的技术特征，表示极限状态函数等于零的方程，而极限状态函数是用来描述结构系统状态的函数，一般被定义为性能响应量与其阈值的差。这里可以利用改进一次二阶矩方法计算极限状态方程g
mrgp
(x)＝0的设计点p
*
。改进一次二阶矩方法是一种一次二阶矩方法，可以认为是在均值一次二阶矩方法的基础上改进的(均值一次二阶矩方法是一种基础的一次二阶矩方法)，两者的不同是：改进一次二阶矩方法线性化极限状态函数的点是失效域中的最可能失效点，而均值一次二阶矩方法线性化的点是输入变量的均值点。
[0018]
进一步地，步骤s1包括以下子步骤：
[0019]
s11：假定设计点坐标p
*
(x
1*
,x
2*
,
…
,x
n*
)的初始值，取为输入变量的均值μ
x
；
[0020]
s12：利用设计点的初始值，计算参数λi(i＝1,2,
…
,n)：
[0021][0022]
其中，xi为极限状态函数g
mrgp
的输入变量，σ
xi
为输入变量的标准差。
[0023]
s13：将设计点x
i*
＝μ
xi
σ
xi
λiβ代入极限状态方程g
mrgp
(x
1*
,x
2*
,
…
,x
n*
)＝0，得到关于β的方程，解出β，其中，μ
xi
为输入变量的均值，β为可靠度指标；
[0024]
s14：将解出的β代入x
i*
＝μ
xi
σ
xi
λiβ，得到新设计点的坐标值；
[0025]
s15：判断前后两次的可靠度指标β的相对误差是否满足精度要求，若满足，则x
i*
即为所求抽样重心，若不满足，则将步骤s14所获得的新设计点x
i*
返回步骤s12。
[0026]
进一步地，记为第i个极限状态函数，步骤s4中所构建的mrgp模型将多维响应视为一个协方差矩阵可分离的m维高斯过程，其数学表达式为：
[0027]gmrgp
(x)～gp(μ(x),c(x,x
′
))
[0028]
其中，x、x
′
为多维响应g
mrgp
的输入变量；gp(
·
)为高斯过程算子；μ(x)＝h(x)
·
b，表示由回归模型近似的均值向量，h(x)为k维基函数向量，b为k
×
m阶的回归系数矩阵；c(x,x
′
)＝σ
·
r(x,x
′
)，表示变量x和x
′
的互协方差矩阵，σ为m
×
m阶的协方差矩阵，表示多维
输出变量的非空间相关性，r(x,x
′
)为相关函数，表示变量x和x
′
的空间相关性。
[0029]
更进一步地，r(x,x
′
)具体为高斯型相关函数：
[0030][0031]
其中，xk、x
′k为第k组的两个变量，θk为表示两变量间相关性程度的超参数，用极大似然估计求得。
[0032]
进一步地，步骤s7中失效概率的估计值和失效概率估计值的变异系数的计算过程如下：
[0033]
定义if(x
(j)
)为失效域指示函数，具体为：
[0034][0035]
其中，g
mrgp
(x
(j)
)为第j个样本点x
(j)
的极限状态函数值。
[0036]
则失效概率的估计值为：
[0037][0038]
其中，if(x
(j)
)为第j个失效域指数函数，f
x
(x
(j)
)为第j个联合概率密度函数，h
x
(x
(j)
)为第j个重要抽样密度函数。
[0039]
记为失效概率预测值的期望，记为失效概率预测值的方差，根据重要抽样方法，对样本与母体独立同分布的统计量进行近似，可以得到：
[0040][0041][0042]
则变异系数为：
[0043][0044]
本发明的有益效果：本发明的方法先构造重要抽样密度函数，寻找失效域中最可能失效的点作为抽样重心，抽取得到重要抽样样本池，在该样本池内结合自适应学习函数构建mrgp代理模型，提升了代理模型的构建效率；基于该代理模型计算失效概率的估计值和失效概率估计值的变异系数并通过学习函数增加样本点，以此更新代理模型，实现自适应学习，直至失效概率估计值的变异系数满足所设定的收敛性要求后
停止，从而有效地解决在多失效模式相关和小失效概率下开展可靠性评估的问题。
附图说明
[0045]
图1为本发明方法流程图。
[0046]
图2为本发明实施例平面四杆桁架示意图。
具体实施方式
[0047]
下面结合附图对本发明的实施例做进一步的说明。
[0048]
本发明的方法在多失效模式相关和小失效概率的情况下，使用多维响应高斯过程(multiple response gaussian process，mrgp)模型解决实际工程应用中多种失效模式之间可能存在相关性的问题，使用重要抽样(importance sampling，is)方法处理小失效概率下采用蒙特卡洛模拟等方法导致样本池过大、计算耗时过长的问题，联合形成mrgp-is方法。其优势在于：通过is方法产生更优的候选点样本，显著降低学习成本，提升求解效率；使用mrgp模型构建多维响应代理模型，有效地描述多输出变量间的相关性，具体流程如图1所示。
[0049]
下面以平面四杆桁架为实施例进行说明。
[0050]
桁架中各个杆的横截面积a＝100mm2，杨氏模量e＝29.5
×
104n/mm2，桁架节点的坐标记作(xi,yi)，i为节点序号，桁架同时受到分别作用于节点2和节点3的外载荷p和外载荷f，如图2所示。该平面四杆桁架实施例所对应的极限状态函数为：
[0051][0052]
式中，d
max
(
·
)和s
max
(
·
)分别为最大节点位移算子和最大应力算子，具体数值可由matlab有限元分析得到，随机变量的相关信息如表1所示。
[0053]
表1 平面四杆桁架实施例中所涉及的随机变量
[0054][0055]
对于该结构：当最大节点位移或最大应力中任意一个超过允许的阈值时，结构视为失效，属于串联系统的失效问题，且计算最大节点位移和最大应力的输入完全相同，可以考虑输出所反映的失效模式之间的相关性；mcs方法的解通常作为参考解来检验其他方法的精度，由mcs方法计算可得，该结构的失效概率估计值为3.6650
×
10-5
。综上所述，该平面四杆桁架实施例为一种多失效模式相关和小失效概率下的可靠性评估问题。
[0056]
采用mrgp-is方法(本发明的方法)对平面四杆桁架进行可靠性评估：执行步骤s1，使用is方法计算其抽样重心，结果为(558.290694456210，400.000000000000，300.000000000000，20079.14534724393，25000)，根据该重心获得其重要抽样密度函数。执
行步骤s2至步骤s3，构建样本池与训练集，样本池规模和初始训练集规模分别设定为3000和40。执行步骤s4至步骤s8，建立mrgp代理模型，要求在计算收敛时，u学习函数满足min(u(x))≥2且变异系数满足由于每次调用极限状态函数都涉及一次计算量较大的有限元分析，故此处选择可靠性评估的计算耗时作为方法效率的评价指标，为了验证mrgp-is方法的准确性和高效性，分别以mcs方法和ak-is方法作为对比，三种方法的结果如表2所示。
[0057]
表2 平面四杆桁架的可靠性评估结果
[0058][0059]
由表2可知：在本实施例中，mcs方法的计算效率非常低，在样本数为2
×
107时，其计算耗时超过11分钟(计算耗时在不同软硬件等客观条件下的结果可能不同，表2中的计算耗时是在相同条件下得到的)；在失效概率估计值的误差均为3.28％、变异系数均小于5％的结果下，mrgp-is方法的模拟次数比ak-is方法少，说明mrgp代理模型通过有效地处理相关性问题实现了使用更少的样本点完成可靠性评估的目标，体现了mrgp-is方法的高效性。此外，经过验证，在使用mrgp-mcs方法进行该实施例的计算时，小失效概率导致样本数n必须很大才能得到收敛的失效概率估计值，相比本发明的方法，其计算量在实际工程应用中难以接受，侧面反映了is方法在处理小失效概率问题时的有效性。
[0060]
本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。本领域的普通技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围之内。