一种基于线性矩阵不等式的倒立摆系统自平衡控制方法

本发明涉及二阶非线性系统技术领域，是一种基于线性矩阵不等式的倒立摆系统自平衡控制方法。


背景技术：

研究表明，小车倒立摆系统作为受控对象是一种响应快、多变量、非线性、强耦合的自然不稳定系统，是检验各种控制理论的理想模型。倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而达到平衡位置。在控制过程中小车倒立摆系统能有效反映如稳定性、鲁棒性以及跟踪性等许多控制中的问题。因此，以倒立摆作为研究对象,用各种智能控制技术解决非线性系统的稳定控制问题,成为许多学者不断用来研究、验证的手段。实现对倒立摆稳定控制的方法有很多，传统控制方法是建立在被控对象的精确数学模型上的，随着系统复杂程度的提高，将难以建立系统的精确数学模型和满足实时控制的要求。比如lqr控制方法、极点配置法、经典控制理论的 pid控制方法等方法，这些方法都能使系统稳定，但是在性能指标上各有千秋。极点配置法对于摆角小范围变化是比较有效的，准确性较好；但是其快速性较差。pid控制方法结构简单，鲁棒性和适应性较强；大多数控制对象使用常规 pid控制即可以满足实际的需要；调节整定很少依赖于系统的具体模型；但由于实际对象通常具有非线性、时变不确定性、强干扰等特性，利用常规pid控制器难以达到理想的控制效果；传统pid控制器的参数是：通常是不好的设置和性能很差，限制了pid控制在复杂系统和高性能系统中的应用。lqr最优控制可以对不稳定的系统进行整定使原系统达到较好的性能指标(鲁棒性和快速性)，而且方法简单便于实现，控制性能优于pid算法。lqr需要知道系统的状态空间的参数才能解riccati方程。在实际中精确的辨识系统的参数比较困难。另外lqr用的是状态反馈，需要能测量所有的状态，当然了可以通过构建观测器来估计不可测量的状态。pid只需要系统的输出即可。lqr算法鲁棒性和快速性比极点配置法更好，极点配置的准确性优于lqr算法，而pid与极点配置具有更好的鲁棒性。随着科学技术的飞速发展,现代工业控制系统变得越来越复杂,基于精确数学模型的传统控制已达不到理想的控制效果。智能控制是一种模拟人类智能的高级控制系统,它是基于知识的控制,是将控制者和专家的控制经验与知识作为被控对象的知识模型。包括bp神经网络、模糊控制理论和遗传算法三个重要领域。传统的bp算法是基于梯度下降的原理，在应用中存在收敛速度慢、容易收敛到局部最小点等缺陷,优点是神经网络自适应性和鲁棒性比较突出。模糊控制是一种基于规则的控制，本质上是一类特殊的非线性控制，作为一种常用的非线性控制方法，模糊控制具有如下一些特点： (1)无需知道被控对象的数学模型，设计简单，便于应用；(2)适合数学模型难以获取、动态特性不易掌握或变化显著的对象；(3)构造容易；(4)鲁棒性好，适合非线性、时变及纯滞后系统的控制。模糊模型的主要思想是将非线性系统在器状态空间的某些区域进行线性化，通过模糊隶属函数将这些线性时不变模型进行合成，用合成后的模型对非线性系统进行逼近。模糊控制具备处理模糊语言信息的能力,
可以模拟人类智慧进行判断和决策,但是它不具备学习功能。将智能控制与传统控制方法相结合渐渐成为发展趋势。目前的控制器设计方法可以在智能控制器基础上，增加传统控制方法，是系统在稳定性、时间响应等方面获得适应性更高的控制策略。


技术实现要素：

本发明为克服现有技术的不足，本发明提供了一种基于线性矩阵不等式的倒立摆系统自平衡控制方法，本发明提供了以下技术方案：一种基于线性矩阵不等式的倒立摆系统自平衡控制方法，所述方法包括：步骤1：建立小车倒立摆系统的动态模型，初始化系统状态；步骤2：建立t-s模糊控制器，将小车倒立摆非线性系统用局部线性的输入输出关系来表达；步骤3：基于lmi方法和lyapunov函数的t-s模糊系统，对控制器进行设定，控制系统全局稳定。优选地，所述步骤1具体为：步骤1.1：为建立倒立摆的状态方程，使用状态变量x＝[x,v,θ,ω]
t
将式(1)系统模型作如下变换：模型作如下变换：模型作如下变换：模型作如下变换：模型作如下变换：步骤1.2：忽略式(2)中的参数x和v，给出二维子系统(θ,ω)的方程：其中，x，分别为小车水平方向位移，速度，加速度；θ，分别为摆与垂线的夹角，摆的旋转角速度，旋转角加速度；系数α＝1/(m m)； f作用于小车上的力。优选地，所述步骤2具体为：步骤2.1：设状态变量x(t)＝[x1(t)，x2(t)]
t
＝[θ，ω]
t
控制输出变量u(t)＝f，则
逻辑关系通过下式表示：rule i:if x1(t)isand
…
and xn(t)istheny(t)＝cix(t)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
i＝1,2,
‥‥‥
,l,
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(4)其中，m
ji
是模糊集合，j＝1,2,
‥‥‥
,n，l是控制对象的全体模糊规则，x(t) ∈rn是状态向量，u(t)∈rm是输入向量，y(t)∈rq是输出向量，ai(ai∈rn×n) 和ci(ci∈rq×n)是第i条模糊规则线性化子系统的状态矩阵，bi(bi∈rn×m)和d
i (di∈rq×m)是第i条模糊规则线性化子系统的控制输入向量；是第i条模糊规则的隶属度，每个线性部分aix(t) biu(t)被定义为子系统：当mi(x)≥0，mi(x)表示x属于mi的隶属度函数，同时它也表示第i条模糊规则的适用度；用式(6)代替式(4)和式(5)有：用式(6)代替式(4)和式(5)有：其中，μi(x)(i＝1,2,
‥‥‥
,l)，0≤μi(x)≤1，μi(x)是第i条模糊规则归一化后的隶属度；用式(7)替代式(6)可表示成：y(t)＝cx(t)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(8)步骤2.2：设计状态反馈控制器来控制倒立摆的摆动及小车的运动，对于系统构造模糊控制器，模糊模型的第i条规则如下：rule i:if x1(t)isand
…
and xn(t)isthen(9)将式(9)代入式(6)
使h
ij
＝a
i-bilj，h
ji
＝a
j-bjli,h
ii
＝a
i-bili(i《j)当空间状态模型(8)倒立摆系统在状态反馈u＝-lx作用下，使得闭环系统全局渐近稳定。优选地，所述步骤3具体为：步骤3.1：小车倒立摆系统的稳定性设计，对于式(11)的连续模糊系统，如果存在一个公共的正定矩阵p和一个正的常数α，使得下面的不等式成立：一个公共的正定矩阵p和一个正的常数α，使得下面的不等式成立：步骤3.2：对于小车倒立摆非线性系统在lmi区域进行闭环极点配置设计；对复平面中区域d，当存在一个对称实数矩阵l∈rm×m和m∈rm×m并且l＝l
t
使得：其中，d是lmi区域并且是lmi区域内的特征函数；线性状态空间模型是d区域稳定，当存在且仅存在一个正定矩阵 x》0使所有极点都在lmi区域d内使得:在上述给定的lmi区域内应用式(13)得出lmi约束条件:[ax xa
t
2δx]＜0
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(16)(16)步骤3.3：设计带极点配置限制的模糊输出反馈控制器；模糊控制系统(11) 是d区域稳定，所有极点都落在线性矩阵不等式lmi区域d内，对于状态反馈增益矩阵li并存在一个正对称矩阵xd满足以下的lmi条件：应用线性分式变换lftyi＝lixd，式(19)可写成:yi＝lixd极点配置设计问题成为了lmi的可行性问题，给出解(xd，yi)，获得能够保
证闭环极点位置的模糊状态反馈增益矩阵li＝yixd-1
；考虑模糊状态反馈控制系统在保证稳定性和满足闭环极点位置限制的情况下，在lmi框架内，寻找一个lyapunov矩阵:x＝xs＝xd＝p-1
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(21)模糊控制系统(11)d区域稳定，当存在并仅存在一个正定矩阵x和yi满足一下的lmi条件：找到正定矩阵x和yi满足线性矩阵不等式，则系统的状态反馈增益可写成：li＝yix-1
＝yip (23)优选地，线性矩阵不等式区域lmi regions包括：(1)直线区域：(2)圆盘区域(圆心(-q，0)，半径r)：(3)扇形区域(顶点在原点，扇角2θ)：优选地，当考虑lyapunov函数v＝x
t
(t)px(t)当且仅当不等式有可行解p》 0，其中p＝p
t
若定理1中的条件成立，则满足则由式(11)描述的连续模糊控制系统的平衡点是全局渐近稳定的；定义一个新的变量xs＝p-1
，yi＝lixs，对于xs》0，有li＝yixs-1
，可以找到一个正定矩阵xs和yi满足线性矩阵不等式，则系统的状态反馈增益li和公共矩阵p为：li＝yixs-1
,p＝xs-1
。本发明具有以下有益效果：本发明先对每个子系统设计出保证每个子系统渐近稳定的分布补偿控制律，然后检验所设计的控制器是否满足所给出的稳定性条件，如满足则所设计的控制器符合要求；若不满足，则需重新设计每个子系统的控制律，再检验是否满足稳定性条件。给出lmi形式的稳定性条件，求得满足lmi条件的控制器参数，是系统闭环渐近稳定。系统极点所在的位置与系统的性能(稳定性、暂态响应、鲁棒性等)息息相关，对于输出反馈极点配置，可利用lmi求解静态输出反馈控制器，使闭环系统的极点均落在预先选定的线性矩阵不等式区域 d内，以保证系统的稳定性和快速性，并具有较好的抗干扰能力和鲁棒性。在控制系统中，稳
定性要求是最重要的性能指标，但控制性能指标也是非常重要的。对每一个局部t-s模型而言，由于其后件为一线性系统，所以闭环极点的位置决定了该子系统的性能指标。把所以局部t-s模型的闭环极点都设置在指定的区域内，以获得满意的控制性能。本发明针对带有模型不确定的小车倒立摆系统，结合模糊控制理论，提出了基于线性矩阵不等式和分段lyapunov函数的模糊控制器设计方法，将闭环控制系统的稳定要求、性能指标约束条件统一到线性矩阵不等式的框架内，通过求解线性不等式族获得控制器参数，并导出了用线性矩阵不等式表示的系统二次稳定的条件。同时，设计状态反馈控制器保证系统快速稳定。本发明采用以上技术方案，其具有如下优点：用t-s模糊模型表示的非线性系统的模糊控制器与模糊观测器，在一定程度上解决了快速性和鲁棒性之间的矛盾，能够保证系统全局稳定，满足了小车倒立摆系统对快速性和鲁棒性的要求。可以实现小车倒立摆系统的快速稳定控制。
附图说明
图1是本发明的整体流程示意图；图2是极点位置的d区域图；图3是x(0)＝[1.05rad,0rad/s]
t
仿真图；图4是x(0)＝[1.30rad,0rad/s]
t
仿真图
具体实施方式
以下结合具体实施例，对本发明进行了详细说明。具体实施例一：根据图1至图4所示，本发明为解决上述技术问题采取的具体优化技术方案是：本发明涉及一种基于线性矩阵不等式的倒立摆系统自平衡控制方法。步骤1.建立小车倒立摆系统的动态模型，初始化系统状态；1.1为建立倒立摆的状态方程，使用状态变量x＝[x,v,θ,ω]
t
将方程(1)系统模型作如下变换：1.2忽略方程(2)中的参数x和v，给出二维子系统(θ,ω)的方程：
式中：x，分别为小车水平方向位移，速度，加速度；θ，分别为摆与垂线的夹角，摆的旋转角速度，旋转角加速度；系数α＝1/(m m)； f作用于小车上的力。步骤2.设计t-s模糊控制器；将小车倒立摆非线性系统用局部线性的输入输出关系来表达。2.1设状态变量x(t)＝[x1(t)，x2(t)]
t
＝[θ，ω]
t
控制输出变量u(t)＝f，则逻辑关系可表述如下：rule i:if x1(t)isand
…
and xn(t)istheny(t)＝cix(t)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
i＝1,2,
‥‥‥
,l,
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(4)假设：mi(x)≥0,mi(x)表示x属于mi的隶属度函数，同时它也表示第i条模糊规则的适用度。用方程(6)代替方程(4)和(5)有：其中μi(x)(i＝1,2,
‥‥‥
,l)，0≤μi(x)≤1，是第i条模糊规则归一化后的隶属度。其用方程(7)替代方程(6)可表示成：在(x1，x2)平面上进行模糊分割，网格划分为：3
×
3，在九个子区域中对倒立摆系统模型方程(3)进行局部线性化，得到五个线性化方程：if θ is zr and ω is zr,then
if θ is zr and ω is ng or po,thenif θ is ng or po and ω or zr,thenif θ is po and ω is po or θ is ng and ω is ng,thenif θ is po and ω is ng or θ is ng and ω is po,then(9)规则的状态矩阵和控制输入矩阵为：矩阵和控制输入矩阵为：矩阵和控制输入矩阵为：2.2设计状态反馈控制器来控制倒立摆的摆动及小车的运动，对于系统(3)构造模糊控制器，模糊模型的第i条规则如下：rule i:if x1(t)isand
…
and xn(t)is(t)is将方程(12)代入方程(6)使h
ij
＝a
i-bilj，h
ji
＝a
j-bjli,h
ii
＝a
i-bili(i《j)考虑空间状态模型(8)倒立摆系统在状态反馈u＝-lx作用下，使得闭环系统全局渐近稳定。步骤3.基于lmi方法和lyapunov函数的t-s模糊系统的控制器设计；3.1小车倒立摆系统的稳定性设计定理1：对于式(12)的连续模糊系统，如果存在一个公共的正定矩阵p和一个正的常数α，使得下面的不等式成立：
可证明：考虑lyapunov函数v＝x
t
(t)px(t)当且仅当不等式有可行解p》0，其中p ＝p
t
若定理1中的条件成立，则满足则由式(11)描述的连续模糊控制系统的平衡点是全局渐近稳定的。定义一个新的变量xs＝p-1
，yi＝lixs，对于xs》0，可以找到一个正定矩阵xs和yi满足线性矩阵不等式，则系统的状态反馈增益和公共矩阵p为：li＝yixs-1
,p＝xs-1
。3.2对于小车倒立摆非线性系统在lmi区域进行闭环极点配置设计；定义1：对复平面中区域d，如果存在一个对称实数矩阵l∈rm×m和m∈rm×m并且l＝l
t
使得：其中d是lmi区域并且是它的lmi区域内的特征函数。线性矩阵不等式区域(lmi regions)(如图2)包括：(1)直线区域：(2)圆盘区域(圆心(-q，0)，半径r)：(3)扇形区域(顶点在原点，扇角2θ)：定理2：线性状态空间模型是d区域稳定，即若存在且仅存在一个正定矩阵x》0使它的所有极点都在lmi区域d内使得:在上述给定的lmi区域内应用方程(13)得出lmi限制条件：[ax xa
t
2δx]＜0
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(22)(22)3.3设计带极点配置限制的模糊控制器；定理3:模糊控制系统(11)是d区域稳定(所有极点都落在线性矩阵不等式 (lmi)区域d内)，对于状态反馈增益矩阵li并存在一个正对称矩阵xd满足以下的lmi条件：应用线性分式变换(lft)yi＝lixd，式(25)可写成:
yi＝lixd极点配置设计问题成为了lmi的可行性问题，给出解(xd，yi)，获得能够保证闭环极点位置的模糊状态反馈增益矩阵li＝yixd-1
。考虑模糊状态反馈控制系统在定理1保证稳定性和定理3满足闭环极点位置限制的情况下，在lmi框架内，寻找一个lyapunov矩阵:x＝xs＝xd＝p-1
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(27)定理4：模糊控制系统(13)d区域稳定，如果存在并仅存在一个正定矩阵x和 yi满足一下的lmi条件：足一下的lmi条件：找到正定矩阵x和yi满足线性矩阵不等式，则系统的状态反馈增益可写成：li＝yix-1
＝yip
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(29)保证全局稳定并获得期望的性能指标的模糊模型的控制规则如下：if θ is zr and ω is zr,then u＝-l1xif θ is zr and ω is ng or po,then u＝-l2xif θ is ng or po and ω or zr,then u＝-l3xif θ is po and ω is po or θ is ng and ω is ng,then u＝-l4xif θ is po and ω is ng or θ is ng and ω is po,then u＝-l5x (30)为验证所提方法的有效性，进行了如下实验：小车倒立摆模型为:其中m＝8.0kg，m＝2.0kg，l＝0.5m，g＝9.8m/s2，倒立摆的最高点为与垂直正方向重合θ＝0；最低点为与垂直负方向重合的位置。t-s模糊控制器的规则状态矩阵和控制输入矩阵为：s模糊控制器的规则状态矩阵和控制输入矩阵为：
稳定性设计，控制器的相关参数为：选择α＝
–
1，δ＝
–
0.5，r＝0.5，q＝1，则在lmi区域有下面的特征函数:由定理4解决了lmi的可行性问题，可通过lmi工具箱获得正定矩阵x和p为：p的正特征值为(0.013,0.9048)。
[0154]
状态反馈增益矩阵li(i＝1,2,3,4,5)为：图3为系统在初始条件x(0)＝[1.05rad,0rad/s]
t
时θ，ω，f的稳定效果；图4为系统在初始条件x(0)＝[1.3rad,0rad/s]
t
时θ，ω，f的稳定效果。输出反馈控制器使闭环系统的极点均落在预先选定的线性矩阵不等式区域d内，以保证系统的稳定性和快速性。以上所述仅是一种基于线性矩阵不等式的倒立摆系统自平衡控制方法的优选实施方式，一种基于线性矩阵不等式的倒立摆系统自平衡控制方法的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于该思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本领域的技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和变化，这些改进和变化也应视为本发明的保护范围。