基于水弹折纸衍生结构拟合广义圆柱体曲面的建模方法

1.本发明涉及计算机图形学中计算机折纸拟合广义圆柱曲面的领域，具体涉及基于未折叠水雷衍生折纸单元拟合广义圆柱曲面建模方法。


背景技术：

2.折纸是一种古老的东方折纸艺术，已被用来通过折叠嵌入设计的折痕图案的二维平板材料来构建三维结构，一种满足可展开约束所需的折纸结构可以在平面上制造而无需切割，这对制造业具有吸引力，这种结构甚至可以进行平坦折叠，这对于有效的储存和运输来说很有意义。受益于尺度无关的特征，折纸的一种初步原型可能适用于尺寸范围从纳米级、米级到宏观级的应用。
3.通过折纸构造给定的柱面是反折纸设计问题的一个简单情况，因为它的高斯曲率为零。这种圆柱形折纸结构也受到了研究人员和工程师的广泛关注，并具有潜在的应用前景，如生物医学可折叠支架、可调谐机械记忆结构、空间可展开臂。从大多数设计方法获得的折纸结构在展开时处于部分折叠状态。即使可以通过增加用于合成折痕图的单位的数量来生成一个与目标表面相对应的更精细的近似，这样的折纸近似显示出一个波纹表面，在一些特定工程场景中的外观设计中，非波纹即光滑表面起着至关重要的作用，例如飞机机翼等，光滑的表面可以让风雨轻松通过物体表面。


技术实现要素：

4.在本发明中，提出了一种拟合广义圆柱曲面的新方法，该圆柱面由可展开的矩形块组成，其中嵌入了受水弹镶嵌启发的折痕图案。矩形块是一个基本单元，通过优化宽w和高h统一化。生成的具有这种统一矩形块的折痕图案是可展开的，无需额外切割即可在一块平板材料上制造。为了从2d折痕图案逼近圆柱目标曲面，相邻行之间的共线折痕像一个铰链一样同时地并且适当地折叠，而每一行中的内部折痕保持未折叠的状态。这种近似可以解释为广义圆柱目标曲面的离散版本，并且仍然可以通过折叠所有嵌入的折痕来紧凑地存储。除了w＝h的块之外，本发明还研究了w和h之间的其他两个关系，即w《h和w》h，如何影响展开结构的可折叠性，并引入水雷衍生单元以拟合目标广义圆柱曲面，实现对完全折叠后形状的控制。
5.为了实现上述目的，本发明提供的技术方案如下：
6.一种基于未折叠水雷衍生折纸单元拟合广义圆柱曲面建模方法，包括以下步骤：
7.s1：引入利用未折叠水雷单元折纸拟合目标曲面，构建网格模型的相关概念；
8.s2：用户交互式输入配置信息，控制生成目标曲面；
9.s3：通过优化统一化水雷单元的大小；
10.s4：平铺水雷单元拟合目标曲面，构建目标网格模型。
11.进一步地，上述步骤s1具体为：
12.s11、目标网格单元构成。目标网格模型由nr×
nc个水雷单元构成，即nr行、nc列。其
中方形水雷单元宽度w等于高度h，首先设置平铺在奇数行的水雷的单元为模块bo，单元内部六条折痕相交于一个内部顶点，其折痕样式如图1(a)所示，其次设置平铺在偶数行的水雷单元模块为be，其在模块bo的基础上，交换水雷单元的左边和右边，折痕样式如图1(b)所示。折纸的单元在每一行交错排列，如图1(c)。
13.进一步地，上述步骤s2具体包括以下内容：
14.s21、生成轮廓曲线。用户指定曲线控制点，由该控制点生成nurbs曲线(non-uniform rational basis spline)，即为圆柱曲面的2d轮廓曲线γ(注意：其中坐标系为空间直角坐标系，分别由x,y和z轴组成。此时，该轮廓曲线位于x-z平面)；
15.s22、生成目标曲面。已知轮廓曲线γ，由用户输入曲面宽度w，将该曲线沿y轴扫描距离w，则其扫描路径形成的面即为目标曲面φ
t
，即为最终拟合的圆柱曲面；
16.进一步地，上述步骤s3具体包括以下内容：
17.s31、轮廓曲线取样。对于轮廓曲线γ，在其上取nr 1个采样点，分别设置顶点为si(i＝1,
…
,nr 1)，则轮廓曲线被分为nr段，设置每一段的长度为hj(j＝1,
…
,nr)，此时hj可能会有所不同，这会造成制作难度，为了降低制作难度，此时引入迭代优化以减小高度误差，定义长度残差rj：
[0018][0019]
其中是高度平均值。
[0020]
由该误差值建立优化目标函数：
[0021][0022]
通过该迭代优化过程，可减少水雷单元高度误差，降低制作难度；
[0023]
进一步地，上述步骤s4具体包括以下内容：
[0024]
在拟合过程中，无法满足每次目标曲面的宽度正好满足：w＝ncw,所以需要对水雷单元的大小进行灵活的调整。首先设置水雷单元宽度为w＝w/nr，此时w和h有三种可能的比例关系，这三种比例关系造成不同的折叠问题，分别就这三种情况进行模型构建的构建研究：
[0025]
s41、当w＝h，则构成square(e)型水雷折纸结构：
[0026]
此时，对于每个未折叠的水雷单元，形状为一个正方形，且奇数行及偶数行的水雷单元样式分别见图2(a)和图2(b)。
[0027]
对于单个水雷单元平坦折叠状态下，其边框面积为：
[0028]
对于整个折纸结构平坦折叠状态下，见图2(c)。将该折纸结构放置x-z平面，其中gr表示与x轴平行且指向x轴正方向的一个方向向量，当增加水雷单元的列数时，会在gr方向增加水雷模块，且该折纸结构不会发生自相交，其边框面积为：
[0029][0030]
s42、当w《h,则构成tall(t)型水雷折纸结构：
[0031]
此时，水雷单元结构构建的目标网格结构见图3(c)，当折纸模型进行完全折叠时，其最终状态会发生自相交(见图3(d))，则不符合有效配置，需要对其折痕图进行调整。
[0032]
首先对于奇数行的水雷单元bo模块进行调整，将顶点c4(见图3(a))沿中间线分裂为两个顶点，且此时该折纸单元内边长满足(见图3(e))：
[0033][0034]
同样对于偶数行的水雷单元be模块进行调整，将顶点d4(见图3(b))分裂成顶点将顶点d5分裂成顶点且此时该折纸单元内边长满足(见图3(f)):
[0035][0036]
此时，运用调整后的水雷单元衍生结构构建目标网格结构(见图3(g))，其最终平坦折叠为规则的形状，且不会发生自相交(见图3(h))，此时将其放置在x-z平面，其中gr与x轴平行，表示增加水雷单元列数而增加面积的方向，其边框面积为：
[0037][0038]
s43、当w》h时，则构成short(s)型折纸结构：
[0039]
由s型水雷折纸构建目标网格结构见图4(c)。根据折纸模型的折叠特性，当网格模型进行平坦折叠时(见图4(d))，在bo模块中，顶点c2和c6会发生相交(其中c2、c6见图4(a))，在be模块中点对d1、d6和d3、d8会发生相交(其中d1、d6和d3、d8见图4(b))，此时需要对水雷单元进行调整：
[0040]
首先对于奇数行，即bo模块，将矩形块f1c1c5f3和c3f2f4c7分别添加在该水雷单元两侧，其大小为w1×
h，其中(见图4(e)):
[0041][0042]
其次对于偶数行，即be模块，将矩形d1d3d8d6的大小由w
×
h变为2w2×
h，其中并在其左右两侧分别增添宽为w1，高为的矩形块g1d1d4g3、g3d4d6g5、d3g2g4d5以及d5g4g6d8，(见图4(f))；
[0043]
运用调整后的水雷单元衍生结构构建目标网格结构(见图4(g))，尽管无法满足完全平坦折叠，但是该折纸的近似结构能够进行完全折叠并且能够避免自相交(见图4(h))；
[0044]
当该折纸结构进行平坦折叠时，该折纸结构的边界体积为：
[0045]vs
＝nc(w-h)as[0046]
其中as是该折纸结构在完全折叠状态下向x-z平面的映射面积:
[0047][0048]
代入面积得体积为：
[0049][0050]
s44、由short型折纸结构，发现其在完全折叠状态下，其与下表面的接触仅由零面
积的点及边组成(见图4(h))，这样形成的尖锐端面可能会对下接触面造成损伤，为了解决这个问题，在short型的基础上进行折痕图的修改：
[0051]
引入变量：
[0052]w′2＝λw2,其中λ∈(0,1)是缩放因子。
[0053][0054]
由类型short的正方形c1c3c7c5(见图1(a))和d1d3d8d6(见图1(b))被转换为由缩放参数λ确定的“tall”型情况，然后通过参照类型“tall”来分割顶点，以此来修改矩形c1c3c7c5和d1d3d8d6中的折痕。
[0055]
对于奇数行单元模块bo，参照类型“tall”(见图3(e))，此时样式如见图5(a)。
[0056]
对于偶数行单元模块be，由于顶点d4和d5分别被拆分为两个顶点，因此附加了另外两个矩形和(见图5(b))。
[0057]
引入参数d∈(0,w
′1)，将中间部分的左侧移动到左侧，并镜像对称地将中间部分右侧移动到右侧，因此奇数行以及偶数行的水雷单元分别被分割为图5(c)、(d)，则水雷单元的宽度被分割为w
″1、w
′2、2d、w
′2和w
″15个部分，其中w
″1为：
[0058]w″1＝w
′
1-d
[0059]
此时称该模式为shortii(sii)，其构建的目标网格结构见图5(e)。当该结构处于完全折叠状态时，则属于可粘面的折纸镶嵌即完全折叠的结构存在于折纸近似面所接触的两个平行面之间(见图5(f))，其中gc和gr分别表示水雷折纸单元纵向及横向的生长方向(其中gr与x轴平行，gc与y轴平行)。此时，对于该类型的完全折叠结构，其体积为：
[0060][0061]
本发明的有益效果为：
[0062]
本发明主要利用未折叠水雷折纸衍生结构来拟合具有广义圆柱体特性的目标曲面。水雷是折纸纹样的一种，其纹样单元内部顶点有六个相邻顶点，构成六条边，其中分布情况为四个谷折和两个山折。本发明使用的折纸纹样是基于水雷衍生结构，该结构是基于对构建无波纹表面的考虑而发明的一种衍生折纸结构。利用矩形块构建广义圆柱曲面的单元模块，在矩形块中嵌入水雷单元，且满足平坦折叠约束，离散化构建目标网格模型。根据水雷衍生折纸单元的高度与宽度的比例不同，构建了四种不同类型的折纸结构。本发明开发了一种能够构造光滑表面的新形式，能够在特定应用场景中起至关重要的作用，例如利用该折纸模型构建飞机机翼表面时，光滑的表面能够大大减少空气阻力。
附图说明
[0063]
图1为水雷单元的不同样式及折痕图的分布情况；
[0064]
图2目标表面φ
t
以及square类型网格模型；
[0065]
图3tall类型衍生结构网格模型；
[0066]
图4short类型衍生结构网格模型；
[0067]
图5shortii类型衍生结构网格模型。
[0068]
图6本发明实施的流程示意图。
具体实施方式
[0069]
以下将结合附图所示的各实施方式对本发明进行详细描述。但这些实施方式并不限制本发明，本领域的普通技术人员根据这些实施方式所做出的结构、方法、或功能上的变换均包含在本发明的保护范围内。
[0070]
如图6所示，本发明是基于未折叠水雷衍生折纸单元拟合广义圆柱曲面建模方法，包括以下步骤：
[0071]
s1：引入利用未折叠水雷单元折纸拟合目标曲面，构建网格模型的相关概念；
[0072]
s2：用户交互式输入配置信息，控制生成目标曲面；
[0073]
s3：通过优化统一化水雷单元的大小；
[0074]
s4：平铺水雷单元拟合目标曲面，构建目标网格模型。
[0075]
作为本发明的优选实施例，本发明步骤s1具体内容包括：
[0076]
s11、目标网格单元构成。目标网格模型由nr×
nc个水雷单元构成，即nr行、nc列。其中方形水雷单元宽度w等于高度h，首先设置平铺在奇数行的水雷的单元为模块bo，单元内部六条折痕相交于一个内部顶点，其折痕样式如图1(a)所示，其次设置平铺在偶数行的水雷单元模块为be，其在模块bo的基础上，交换水雷单元的左边和右边，折痕样式如图1(b)所示。折纸的单元在每一行交错排列，如图1(c)。
[0077]
作为本发明的优选实施例，上述步骤s2具体包括以下内容：
[0078]
s21、生成轮廓曲线。用户指定曲线控制点，由该控制点生成nurbs曲线(non-uniform rational basis spline)，即为圆柱曲面的2d轮廓曲线γ(注意：其中坐标系为空间直角坐标系，分别由x,y和z轴组成。此时，该轮廓曲线位于x-z平面)；
[0079]
s22、生成目标曲面。已知轮廓曲线γ，由用户输入曲面宽度w，将该曲线沿y轴扫描距离w，则其扫描路径形成的面即为目标曲面φ
t
，即为最终拟合的圆柱曲面；
[0080]
作为本发明的优选实施例，本发明步骤s3具体内容包括：
[0081]
s31、轮廓曲线取样。对于轮廓曲线γ，在其上取nr 1个采样点，分别设置顶点为si(i＝1,
…
,nr 1)，则轮廓曲线被分为nr段，设置每一段的长度为hj(j＝1,
…
,nr)，此时hj可能会有所不同，这会造成制作难度，为了降低制作难度，此时引入迭代优化以减小高度误差，定义长度残差rj：
[0082][0083]
其中是高度平均值。
[0084]
由该误差值建立优化目标函数：
[0085][0086]
通过该迭代优化过程，可减少水雷单元高度误差，降低制作难度；
[0087]
作为本发明的优选实施例，所述步骤s4具体包括以下内容：
[0088]
在拟合过程中，无法满足每次目标曲面的宽度正好满足：w＝ncw,所以需要对水雷单元的大小进行灵活的调整。首先设置水雷单元宽度为w＝w/nr，此时w和h有三种可能的比例关系，这三种比例关系造成不同的折叠问题，分别就这三种情况进行模型构建的构建研
究：
[0089]
s41、当w＝h，则构成square(e)型水雷折纸结构：
[0090]
此时，对于每个未折叠的水雷单元，其形状为一个正方形，且奇数行及偶数行的水雷单元样式分别见图2(a)和图2(b)。
[0091]
对于单个水雷单元平坦折叠状态下，其边框面积为：
[0092]
对于整个折纸结构平坦折叠状态下，见图2(c)。将该折纸结构放置x-z平面，其中gr表示与x轴平行且指向x轴正方向的一个方向向量，当增加水雷单元的列数时，会在gr方向增加水雷模块，且该折纸结构不会发生自相交，其边框面积为：
[0093][0094]
s42、当w《h,则构成tall(t)型水雷折纸结构：
[0095]
此时，水雷单元结构构建的目标网格结构见图3(c)，当折纸模型进行完全折叠时，其最终状态会发生自相交(见图3(d))，则不符合有效配置，需要对其折痕图进行调整。
[0096]
首先对于奇数行的水雷单元bo模块进行调整，将顶点c4(见图3(a))沿中间线分裂为两个顶点，且此时该折纸单元内边长满足(见图3(e))，c2、c6为图3(e)中的顶点：
[0097][0098]
同样对于偶数行的水雷单元be模块进行调整，将顶点d4(见图3(b))分裂成顶点将顶点d5分裂成顶点且此时该折纸单元内边长满足(见图3(f)):
[0099][0100]
d1、d3、d8为图3(f)中的顶点；
[0101]
此时，运用调整后的水雷单元衍生结构构建目标网格结构(见图3(g))，其最终平坦折叠为规则的形状，且不会发生自相交(见图3(h))，此时将其放置在x-z平面，其中gr与x轴平行，表示增加水雷单元列数而增加面积的方向，其边框面积为：
[0102][0103]
s43、当w》h时，则构成short(s)型折纸结构：
[0104]
由s型水雷折纸构建目标网格结构见图4(c)。根据折纸模型的折叠特性，当网格模型进行平坦折叠时(见图4(d))，在bo模块中，顶点c2和c6会发生相交(其中c2、c6见图4(a))，在be模块中点对d1、d6和d3、d8会发生相交(其中d1、d6和d3、d8见图4(b))，此时需要对水雷单元进行调整：
[0105]
首先对于奇数行，即bo模块，将矩形块f1c1c5f3和c3f2f4c7分别添加在该水雷单元两侧，其大小为w1×
h，其中(见图4(e))，w1为宽度数值：
[0106][0107]
其次对于偶数行，即be模块，将矩形d1d3d8d6的大小由w
×
h变为2w2×
h，其中长度数值并在其左右两侧分别增添宽为w1，高为的矩形块g1d1d4g3、g3d4d6g5、d3g2g4d5以
及d5g4g6d8，(见图4(f))；
[0108]
运用调整后的水雷单元衍生结构构建目标网格结构(见图4(g))，尽管无法满足完全平坦折叠，但是该折纸的近似结构能够进行完全折叠并且能够避免自相交(见图4(h))；
[0109]
当该折纸结构进行平坦折叠时，该折纸结构的边界体积为：
[0110]vs
＝nc(w-h)as[0111]
其中as是该折纸结构在完全折叠状态下向x-z平面的映射面积:
[0112][0113]
代入面积得体积为：
[0114][0115]
s44、针对上述short型折纸结构，发现其在完全折叠状态下，其与下表面的接触仅由零面积的点及边组成(见图4(h))，这样形成的尖锐端面可能会对下接触面造成损伤，为了解决这个问题，本发明在short型的基础上进行折痕图的修改：
[0116]
引入变量：
[0117]w′2＝λw2,其中λ∈(0,1)是缩放因子。
[0118][0119]
由类型short的正方形c1c3c7c5(见图1(a))和d1d3d8d6(见图1(b))被转换为由缩放参数λ确定的“tall”型情况，然后通过参照类型“tall”来分割顶点，以此来修改矩形c1c3c7c5和d1d3d8d6中的折痕。
[0120]
对于奇数行单元模块bo，参照类型“tall”(见图3(e))，此时样式如见图5(a)。
[0121]
对于偶数行单元模块be，由于顶点d4和d5分别被拆分为两个顶点，因此附加了另外两个矩形和(见图5(b))。
[0122]
引入参数d∈(0,w1′
)，将中间部分的左侧移动到左侧，并镜像对称地将中间部分右侧移动到右侧，因此奇数行以及偶数行的水雷单元分别被分割为图5(c)、(d)，则水雷单元的宽度被分割为w
″1、w
′2、2d、w
′2和w
″15个部分，其中w
″1为：
[0123]w″1＝w
′
1-d
[0124]
此时称该模式为shortii(sii)，其构建的目标网格结构见图5(e)。当该结构处于完全折叠状态时，则该结构属于可粘面的折纸镶嵌即完全折叠的结构存在于折纸近似面所接触的两个平行面之间(见图5(f))，其中gc和gr分别表示水雷折纸单元纵向及横向的生长方向(其中gr与x轴平行，gc与y轴平行)。此时，对于该类型的完全折叠结构，其体积为：
[0125][0126]
上文所列出的一系列的详细说明仅仅是针对本发明的可行性实施方式的具体说明，它们并非用以限制本发明的保护范围，凡未脱离本发明技术所创的等效方式或变更均应包含在本发明的保护范围之内。