一种威布尔分布三参数最小差异估计方法

1.本发明属于三参数威布尔分布的参数估计方法技术领域，涉及一种威布尔分布三参数最小差异估计方法。


背景技术：

2.威布尔分布因其适用性而被广泛应用于描述产品寿命。然而，最常用的是两参数威布尔分布。三参数威布尔分布具有更多的优点，特别是对于长寿命、高可靠性的产品。对金属试样疲劳寿命的研究表明，三参数威布尔分布能够很好地描述寿命分散性，而两参数威布尔分布则不能。
3.然而，概率分布函数中的参数越多，参数估计就越复杂。除非样本量足够大，否则常规参数估计方法(如最大似然法、图解法或中位秩回归曲线拟合法)的误差非常大且不稳定。
4.三参数威布尔分布的参数估计长期以来一直是方法论和实际应用的焦点。特别是，极大似然方法引起的广泛关注，极大似然主要是建立似然函数，分别使各个参数的偏导等于0，求解方程组。极大似然方法进行三参数威布尔分布参数估计计算较为复杂，在一些情况下会出现无解。当样本量较小时，经典的统计分析可能导致估计结果的局限性。因此，对于三参数威布尔分布，发明一种更精确、更稳健、更有效的参数估计方法具有重要意义。


技术实现要素：

5.针对样本量较小时，经典的统计分析可能导致三参数威布尔参数估计结果的局限性，提供一种更精确、更稳健、更有效的威布尔分布三参数最小差异估计方法。
6.本发明提供一种威布尔分布三参数最小差异估计方法，包括：
7.步骤1：确定尺度参数与累积分布函数、形状参数、位置参数的关系式；
8.步骤2：通过中位秩估计累积分布函数，代入步骤1的关系式中，获得三参数关系式；
9.步骤3：随机抽取n个样本，设置一系列形状参数和位置参数去检验，分别使用n个样本值，根据三参数关系式进行估计，使n个尺度参数值的标准差最小的一组形状参数和位置参数作为最终估计值；
10.步骤4：根据步骤3获得的形状参数和位置参数的最终估计值代入三参数关系式，获得n个尺度参数估计值，取平均值后作为尺度参数的最终估计值。
11.在本发明的威布尔分布三参数最小差异估计方法中，所述步骤1中尺度参数与累积分布函数、形状参数、位置参数的关系的推导过程为：
12.(1)三参数威布尔分布的累积分布函数为：
[0013][0014]
式中，γ,β,η分别是威布尔分布的位置参数、形状参数和尺度参数，满足γ＞0,β
＞0,η＞0,t≥γ；
[0015]
(2)根据公式(1)，推导尺度参数与累积分布概率、形状参数、位置参数关系为：
[0016][0017]
式中，t为样本。
[0018]
在本发明的威布尔分布三参数最小差异估计方法中，所述步骤2中通过中位秩估计累积分布函数具体为：
[0019]
步骤2.1：在n个样本值ti(i＝1,2,
…
,n)可用的情况下，设t
1,n
,t
2,n
,
…
,t
n,n
(t
1,n
≤t
2,n
≤,
…
,≤t
n,n
)表示有序样本值，累积分布函数通过中位秩进行估计：
[0020][0021]
步骤2.2：将公式(3)带入公式(2)中获得三参数关系式如下：
[0022][0023]
在本发明的威布尔分布三参数最小差异估计方法中，所述步骤3具体为：
[0024]
步骤3.1：用monte carlo随机抽取三参数威布尔分布weibull(2,1000,100)，即形状参数β＝2，尺度参数η＝1000，位置参数γ＝1000，获得n个样本ti,i＝1
…
n；
[0025]
步骤3.2：设置j个的形状参数β1,β2,...,βj；
[0026]
步骤3.3：对于步骤3.2设置每个形状参数值，逐个测试k个位置参数值γ1,γ2,...,γk；
[0027]
步骤3.4：使用公式(4)计算出对应每个样本ti的j
×
k个尺度参数(η
i,1
,η
i,2
,
…
,η
i,j
×k)，并计算这n个样本t1,t2,
…
,tn在取相同的(βj,γk)时获得的n个尺度参数(η
1,j
×k,η
2,j
×k,
…
,η
n,j
×k)的标准差，并从j
×
k个标准差中找到最小的标准差对应的一组作为形状参数和位置参数的最终预估值。
[0028]
在本发明的威布尔分布三参数最小差异估计方法中，所述步骤4中尺度参数的最终估计值根据下式计算：
[0029][0030]
其中，为形状参数最终估计值，为位置参数最终估计值。
[0031]
在本发明的威布尔分布三参数最小差异估计方法中，所述步骤3.1取的样本服从三参数威布尔分布，形状参数β＝2，尺度参数η＝1000，位置参数γ＝1000。
[0032]
在本发明的威布尔分布三参数最小差异估计方法中，为了粗略估计尺度参数，考虑了五个的形状参数β1,β2,...,β5分别为1.0、1.5、2.0、3.0和4.0；对于每个形状参数值，逐个测试一系列位置参数γ1,γ2,...,γ
41
分别为0、50、100、
…
、2000，δγ＝50。
[0033]
在本发明的威布尔分布三参数最小差异估计方法中，为了更加精确的估计，形状
参数的增量可设置得更小如δβ＝0.1，位置参数的增量可设置得更小如δγ＝1。
[0034]
本发明的一种威布尔分布三参数最小差异估计方法，至少具有以下有益效果：
[0035]
1)各个样本估计的尺度参数ηi(i＝1,2,
…
,n)之间的差异取决于样本不确定性、位置参数γ的误差和形状参数β的误差。通过对各个样本估计的尺度参数的差异进行最小化，可以很容易地找到正确的形状参数和位置参数。然后，使用正确的形状参数和位置参数，通过每个样本值估计的尺度参数的平均值来最终估计尺度参数。
[0036]
2)本发明与极大似然方法、中位秩回归曲线拟合法相比，更稳定、更保守、更准确、更简单得进行三参数威布尔分布的参数估计。
附图说明
[0037]
图1是本发明的一种威布尔分布三参数最小差异估计方法的流程图；
[0038]
图2是本发明中关于不同形状参数和位置参数估计的尺度参数的标准差。
具体实施方式
[0039]
如图1所示本发明的一种威布尔分布三参数最小差异估计方法，包括如下步骤：
[0040]
步骤1：确定尺度参数与累积分布函数、形状参数、位置参数的关系式；
[0041]
具体实施时，尺度参数与累积分布函数、形状参数、位置参数的关系的推导过程为：
[0042]
(1)三参数威布尔分布的累积分布函数为：
[0043][0044]
式中，γ,β,η分别是威布尔分布的位置参数、形状参数和尺度参数，满足γ＞0,β＞0,η＞0,t≥γ；
[0045]
(2)根据公式(1)，推导尺度参数与累积分布概率、形状参数、位置参数关系为：
[0046][0047]
式中，t为样本。
[0048]
步骤2：通过中位秩估计累积分布函数，代入步骤1的关系式中，获得三参数关系式，具体为：
[0049]
步骤2.1：在n个样本值ti(i＝1,2,
…
,n)可用的情况下，设t
1,n
,t
2,n
,
…
,t
n,n
(t
1,n
≤t
2,n
≤,
…
,≤t
n,n
)表示有序样本值，累积分布函数通过中位秩进行估计：
[0050][0051]
步骤2.2：将公式(3)带入公式(2)中获得三参数关系式如下：
[0052]
[0053]
步骤3：随机抽取n个样本，设置一系列形状参数和位置参数去检验，分别使用n个样本值，根据三参数关系式进行估计，使n个尺度参数值的标准差最小的一组形状参数和位置参数作为最终估计值，所述步骤3具体为：
[0054]
步骤3.1：用monte carlo随机抽取三参数威布尔分布weibull(2,1000,1000)，即形状参数β＝2，尺度参数η＝1000，位置参数γ＝1000，获得n个样本ti,i＝1
…
n；
[0055]
具体实施时，样本服从三参数威布尔分布，形状参数β＝2，尺度参数η＝1000，位置参数γ＝1000。抽取15个样本t1,t2,
…
,t
15
，分别为1372.9，1464.2，1573.9，1615.6，1657.6，1687.8，1716.2，1899.9，1980.6，2097.6，2105.0，2170.8，2274.7，2446.1，2639.3。
[0056]
步骤3.2：设置j个的形状参数β1,β2,...,βj；
[0057]
步骤3.3：对于步骤3.2设置每个形状参数值，逐个测试k个位置参数值γ1,γ2,...,γk；
[0058]
步骤3.4：使用公式(4)计算出对应每个样本ti的j
×
k个尺度参数(η
i,1
,η
i,2
,
…
,η
i,j
×k)，并计算这n个样本t1,t2,
…
,tn在取相同的(βj,γk)时获得的n个尺度参数(η
1,j
×k,η
2,j
×k,
…
,η
n,j
×k)的标准差，并从j
×
k个标准差中找到最小的标准差对应的一组作为形状参数和位置参数的最终预估值。图2为关于不同形状参数和位置参数的估计尺度参数值的标准差，图中所示在β＝2.0，γ＝1200时估计的尺度参数的标准差最小；
[0059]
具体实施时，为了粗略估计尺度参数，考虑了五个的形状参数β1,β2,
…
,β5分别为1.0、1.5、2.0、3.0和4.0；对于每个形状参数值，逐个测试一系列位置参数γ1,γ2,
…
,γ
41
分别为0、50、100、
…
、2000，δγ＝50。针对每个样本根据公式(4)可计算出5
×
41个尺度参数，计算这15个样本t1,t2,
…
,t
15
取相同的一组(βj,γk)时获得的15个尺度参数(η
1,j
×k,η
2,j
×k,
…
,η
15,j
×k)的标准差，并从j
×
k个标准差中找到最小的标准差对应的一组作为形状参数和位置参数的最终预估值。
[0060]
具体实施时，为了获得更高的精度，需要更多的形状参数，可以设置较小的增量；为了获得更高的精度，需要更多的位置参数，可以设置较小的增量。形状参数的增量例如δβ＝0.1；位置参数的增量δγ＝1。
[0061]
步骤4：根据步骤3获得的形状参数和位置参数的最终估计值代入三参数关系式，获得n个尺度参数估计值，取平均值后作为尺度参数的最终估计值。
[0062]
尺度参数的最终估计值根据下式计算：
[0063][0064]
其中，为形状参数最终估计值，为位置参数最终估计值。
[0065]
具体实施时，根据15个样本值分别估计的15个尺度参数的平均值等于806.0，因此最终将尺度参数估计为806.0。