一种基于多元Copula函数的连续梁桥整体地震易损性计算方法与流程

一种基于多元copula函数的连续梁桥整体地震易损性计算方法
技术领域
1.本发明涉及一种基于多元copula函数的连续梁桥整体地震易损性计算方法，属于结构损伤评估技术领域。


背景技术：

2.桥梁的关键构件及整体在强震作用下易发生破坏，常见现象包括桥墩支座破坏，桥台支座破坏以及桥墩发生塑性铰破坏或者脆性破坏等。与传统桥梁抗震研究方法不同，桥梁地震易损性方法是基于性能的抗震设计理念和可靠度理论，通过分析桥梁在不同幅值地震下发生破坏的超越概率来表征桥梁损伤的部位、特征及程度，从而指导桥梁抗震设计和优化。地震易损性研究方法分为理论分析法以及经验分析法。由于我国并未收集足够的地震信息以及结构的损伤数据，因此多采用理论分析法对结构有限元模型进行增量动力分析(ida)从而获得地震易损性曲线。目前的桥梁地震易损性研究大多采用单个典型构件的地震易损性曲线来表征桥梁整体的易损性曲线，但桥梁系统实际是复杂的混联体系。此外，已有研究表明：作为一个系统整体，桥梁比任何一个典型构件都更容易发生破坏，因此传统易损性方法并不准确和全面。近年来，桥梁体系易损性分析的研究逐渐受到重视，choi及zhang假定各个构件之间具有完全相关性或完全不相关，在获得各个构件的易损性曲线之后确定了桥梁体系易损性曲线的上下界。yang也假定在桥墩、支座等各构件完全相关或不相关的情况下，得到了桥梁体系的易损性曲线。但随着桥梁关键构件数量以及失效模式的增加，各个构件之间完全相关或完全不相关得到的假设并不严谨，所得的体系易损性曲线与实际易损性曲线相差较大。有鉴于此，rammanathan等通过构件需求之间的相关系数矩阵，采用蒙特卡罗抽样法模拟构件之间的相关性，从而建立结构体系的易损性曲线。钟建等也利用均匀设计得到结构
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地震样本对，通过协方差矩阵建立体系联合概率密度函数模型，利用蒙特卡罗抽样法得到桥梁整体易损性曲线。李立峰、庞于涛等通过传统的一次界限法和二次界限法确定了结构体系易损性曲线的上下界。然而，采用蒙特卡罗抽样法的前提是构件地震需求满足对数正态分布要求，且该方法计算量过大，计算效率低。何浩祥等运用模糊数学中的综合评判方法，结合基于位移的支座损伤分析、基于能量的桥墩损伤分析和基于周期的整体损伤分析，建立了能够反映桥梁从细部到整体多层次损伤的多元模糊易损性分析方法，但相关的模糊隶属度及权重的确定具有主观性。
3.copula函数是一种处理变量之间相关性的函数，可作为联合概率密度函数与边缘函数的连接函数，且不限制其边缘分布函数的形式。刘月飞基于vine
‑
copula函数进行了失效非线性相关的桥梁截面可靠性分析。宋帅等基于离差平方和准则选择出最优copula函数，建立了桥墩
‑
支座的桥梁体系易损性曲线，与蒙特卡罗方法进行比较后认为基于copula函数的方法不仅可以考虑到不同构件之间的相关性，同时可避免大量抽样，提高了计算效率。
4.以上研究多为基于copula函数的考虑二元构件的结构体系易损性构建方法，但桥
梁体系并非单纯二元构件，本发明在考虑桥梁结构体系失效构件串、并联模式的前提下，提出以连续梁桥为代表的桥梁可以视为由桥墩、桥台支座、桥墩支座等多个构件组成的三元串联体系，并采用墩端曲率或基于弹塑性耗能差的损伤指数和支座位移来量化相应构件的损伤程度。对结构模型进行增量动力分析获得桥墩、桥台支座、桥墩支座等不同构件的易损性曲线，采用核光滑法建立不同构件的边缘分布函数，并通过平方欧式距离法来选择模拟效果最优的 copula函数类型并进行参数估计，来描述桥墩、桥台支座、桥墩支座等不同构件之间的相关性，从而建立了一种基于多元copula函数的考虑多元构件的桥梁体系易损性分析方法，具有较强的工程应用价值和意义。


技术实现要素：

5.针对实际震损结构在地震易损性曲线计算存在的上述不足，提出一种基于多元copula 函数的连续梁桥整体地震易损性计算方法。
6.为实现上述目的，本发明提出的一种基于多元copula函数的连续梁桥整体地震易损性分析方法包括以下步骤：
7.步骤1：采用增量动力分析法并选取典型地震波进行桥梁损伤分析，分别求出各构件的易损性曲线；
8.步骤2：建立多元串体系copula模型；
9.由sklar定理可知，n维随机变量x＝(x1,x2,
…
,x
n
)的边缘分布函数为 f1(x1),f2(x2),
…
f
n
(x
n
)，若f(x1,x2,
…
,x
n
)是连续的，则存在唯一copula函数c满足以下关系
10.f(x1,x2,
…
,x
n
)＝c(f1(x1),f2(x2),
…
f
n
(x
n
))
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(1)
11.式中，f(x1,x2,
…
,x
n
)为随机变量x的联合分布函数。
12.由上式可得随机向量x＝(x1,x2,
…
,x
n
)的联合概率密度函数为
[0013][0014]
式中，p
xi
(x
i
)为边缘概率密度函数，c(u)为copula函数的联合概率密度函数，且有
[0015][0016]
若为的广义逆函数，则式(3)可表示为
[0017][0018]
式中，u
i
＝f
xi
(i＝1,2,
…
n)，u＝(u1,u2,
…
,u
n
)。
[0019]
在求得边缘分布函数之后可以构造出相应的联合概率密度函数。通过概率积分变换可知随机变量u
i
＝f
xi
(x
i
)，i＝1,2,
…
,n,u＝(u1,u2,
…
,u
n
)。因此，式(4)可以进一步改写为
[0020][0021]
由式(3)～式(5)可知，copula函数是将多元随机变量的联合概率密度函数与各变量间的边缘概率密度函数联系起来，并考虑了各变量之间的相关性，使多元随机变量建模过程更加简化。
[0022]
对于三元串联体系，不同单元失效模式的功能函数为
[0023]
g
i
(x)＝g
i
(x1,x2,
…
,x
n
)
ꢀꢀꢀ
(6)
[0024]
将式(6)代入式(5)，可得在三元串联结构体系中，三种失效模式同时发生的概率为
[0025][0026]
式中，pfg1、pfg2、pfg3表示三种失效概率，c表示三元copula函数。目前对于二元copula 的求解较为简便，但对于三元甚至多元copula函数的求解并没有明确的方案，为了方便求解三元copula函数值，本发明通过条件概率函数并引入截断函数[18]的概念对三元函数进行构造求解。
[0027]
由上述多元copula定义可得，假如n维随机向量的边缘分布函数为连续的一元分布函数，那么c(u1,u2,
…
u
n
)的边缘分布是服从[0,1]均匀分布的多元分布函数。根据条件概率原理可得，一个n维的联合概率密度分布函数可以用n个条件概率的乘积来表示。可建立下式
[0028][0029]
其中，
[0030]
当变量个数n大于2时，可以用两个条件事件的乘积来表示条件概率
[0031][0032]
一般情况下，条件概率可用下式表示
[0033][0034]
对于三元copula函数，条件分布函数f(x1,x3|x2≤x2)的求解可由二元copula函数求解进行等效，从而简化了三元copula函数求解问题，也为三元copula函数的求解提供了一个解决方案。若截断区域为其相应的截断随机变量可表示为和
截断随机变量对应的边缘分布函数可表示为和因此，可用下式中的copula函数进一步表示条件分布函数
[0035][0036]
式中，为和的联合分布函数，为连接变量和之间的copula函数，且表示变量的边缘分布函数，且有
[0037][0038]
由上两式可知，条件分布函数f(x1,x3|x2≤x2)可由二元copula函数得出。因此，只需求出二元copula函数得出。因此，只需求出二元copula函数即可求出条件概率的值。
[0039]
联合分布函数的边缘分布函数可表示为
[0040][0041]
由式(8)和式(10)可得多元copula函数构造方法如下
[0042][0043]
根据式(11)、式(12)，式(10)中的条件分布函数可进一步分解，当n＝3时，可得三元copula函数的求解方程如下
[0044][0045]
这样，可得出三元copula函数的值。此外，三元串联体系整体失效概率也可代入式(7)进一步求出。
附图说明：
[0046]
图1是本发明的具体实施流程图；
[0047]
图2是某连续梁桥总体布置图；
[0048]
图3是不同损伤状态下各构件横纵向易损性曲线；
[0049]
图4是轻微损伤下损伤响应变量分布函数值；
[0050]
图5是三元体系易损性曲线。
具体实施方式
[0051]
为了进一步的说明本发明公开的技术方案，下面结合说明书附图和具体实施例作详细的阐述。本领域的技术人员应得知，在不违背本发明精神前提下所做出的优选和改进均落入本发明的保护范围，对于本领域的常规手段和惯用技术在本具体实施例中不做详细记载和说明。
[0052]
如图1所示为一种基于多元copula函数的连续梁桥整体地震易损性计算方法的具体实施流程图。
[0053]
本发明为一种基于多元copula函数的连续梁桥整体地震易损性计算方法，在考虑桥梁结构体系失效构件串、并联模式的前提下，对结构模型进行增量动力分析获得固定桥墩1、桥台滑动支座3、桥墩滑动支座5等不同构件的易损性曲线，采用核光滑法建立不同构件的边缘分布函数，并通过平方欧式距离法来选择模拟效果最优的copula函数类型并进行参数估计，来描述固定桥墩1、桥台滑动支座3、桥墩滑动支座5等不同构件之间的相关性，从而得到桥梁体系整体的易损性曲线，整个流程包括以下步骤：
[0054]
步骤1：采用增量动力分析法并选取典型地震波进行桥梁损伤分析，分别求出各构件的易损性曲线；
[0055]
步骤2：建立多元串体系copula模型；
[0056]
由sklar定理可知，n维随机变量x＝(x1,x2,
…
,x
n
)的边缘分布函数为 f1(x1),f2(x2),
…
f
n
(x
n
)，若f(x1,x2,
…
,x
n
)是连续的，则存在唯一copula函数c满足以下关系
[0057]
f(x1,x2,
…
,x
n
)＝c(f1(x1),f2(x2),
…
f
n
(x
n
))
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(1)
[0058]
式中，f(x1,x2,
…
,x
n
)为随机变量x的联合分布函数。
[0059]
由上式可得随机向量x＝(x1,x2,
…
,x
n
)的联合概率密度函数为
[0060][0061]
式中，为边缘概率密度函数，c(u)为copula函数的联合概率密度函数，且有
[0062][0063]
若为的广义逆函数，则式(3)可表示为
[0064][0065]
式中，u＝(u1,u2,
…
,u
n
)。
[0066]
在求得边缘分布函数之后可以构造出相应的联合概率密度函数。通过概率积分变换可知随机变量i＝1,2,
…
,n,u＝(u1,u2,
…
,u
n
)。因此，式(4)可以进一步改写为
[0067][0068]
由式(3)～式(5)可知，copula函数是将多元随机变量的联合概率密度函数与各变量间的边缘概率密度函数联系起来，并考虑了各变量之间的相关性，使多元随机变量建模
过程更加简化。
[0069]
对于三元串联体系，不同单元失效模式的功能函数为
[0070]
g
i
(x)＝g
i
(x1,x2,
…
,x
n
)
ꢀꢀꢀ
(6)
[0071]
将式(6)代入式(5)，可得在三元串联结构体系中，三种失效模式同时发生的概率为
[0072][0073]
式中，pfg1、pfg2、pfg3表示三种失效概率，c表示三元copula函数。目前对于二元copula 的求解较为简便，但对于三元甚至多元copula函数的求解并没有明确的方案，为了方便求解三元copula函数值，本发明通过条件概率函数并引入截断函数的概念对三元函数进行构造求解。
[0074]
由上述多元copula定义可得，假如n维随机向量的边缘分布函数为连续的一元分布函数，那么c(u1,u2,
…
u
n
)的边缘分布是服从[0,1]均匀分布的多元分布函数。根据条件概率原理可得，一个n维的联合概率密度分布函数可以用n个条件概率的乘积来表示。可建立下式
[0075][0076]
其中，
[0077]
当变量个数n大于2时，可以用两个条件事件的乘积来表示条件概率
[0078][0079]
一般情况下，条件概率可用下式表示
[0080][0081]
对于三元copula函数，条件分布函数f(x1,x3|x2≤x2)的求解可由二元copula函数求解进行等效，从而简化了三元copula函数求解问题，也为三元copula函数的求解提供了一个解决方案。若截断区域为其相应的截断随机变量可表示为和
截断随机变量对应的边缘分布函数可表示为和因此，可用下式中的copula函数进一步表示条件分布函数
[0082][0083]
式中，为和的联合分布函数，为连接变量和之间的copula函数，且表示变量的边缘分布函数，且有
[0084][0085]
由上两式可知，条件分布函数f(x1,x3|x2≤x2)可由二元copula函数得出。因此，只需求出二元copula函数得出。因此，只需求出二元copula函数即可求出条件概率的值。
[0086]
联合分布函数的边缘分布函数可表示为
[0087][0088]
由式(8)和式(10)可得多元copula函数构造方法如下
[0089][0090]
根据式(11)、式(12)，式(10)中的条件分布函数可进一步分解，当n＝3时，可得三元copula函数的求解方程如下
[0091][0092]
这样，可得出三元copula函数的值。此外，三元串联体系整体失效概率也可代入式(7)进一步求出。
[0093]
[0094]
[0095]
[0096][0097]
下面结合实施例对本发明进行详细说明。
[0098]
实施例：基于多元copula函数的三跨连续梁桥易损性进行opensees有限元分析验证
[0099]
该桥梁桥跨组合为3
×
16m，如图2所示。考虑到在多数情况下主梁不会进入弹塑性状态，选用弹性单元模拟主梁，两个桥墩分别为固定桥墩1与铰接桥墩2，铰接桥墩2与主梁通过桥墩滑动支座5连接，主梁左侧与桥台也通过桥墩滑动支座5进行连接，在opensees 中，桥墩滑动支座5通过零长度单元进行模拟，其本构模型为板式双线性模型。桥墩采用圆形截面，直径为1.5m，桥墩1高度为8m，采用c40混凝土，保护层厚度为5cm，各桥墩纵筋均采用25根直径为32mm的hrb400钢筋，桥墩配筋率为1.138％。固定桥墩1可能会发生塑性破坏，因此采用非线性纤维单元concrete01来模拟固定桥墩1的保护层混凝土以及核心混凝土，钢筋采用steel02本构模型进行模拟，桥墩基础通过零长度单元模拟。固定桥墩1易发生较大的变形，因此，通过对具有固定支座4的固定桥墩1进行截面分析，得到其端部弯矩
‑
曲率曲线，并定义桥梁墩端曲率c1为3
×
10
‑3、c2为8
×
10
‑3、c3为0.02、c4为0.075。
[0100]
在地震作用下，桥梁固定桥墩1、桥墩滑动支座5易发生破坏，为了验证基于多元copula 函数桥梁整体易损性的结果，选取固定桥墩1、桥墩滑动支座5以及桥台滑动支座3三个构件组成串联结构模型，每次计算中选取最优copula函数进行数据拟合，从而得出考虑固定桥墩1墩底曲率、桥墩滑动支座5、桥台滑动支座3构件的桥梁整体易损性结果。
[0101]
考虑到桥梁结构在结构尺寸、质量、阻尼混凝土抗压强度和支座剪切模量等多种因素存在不确定性，且结构的地震需求受这些参数的影响较大，因此在结构易损性分析中应考虑结构不确定性对于体系、构件失效概率带来的影响。
[0102]
为了完整考虑结构参数的不确定性，根据其分布特征，将每个参数的取值等概率分为 150组，为了避免大量抽样从而造成计算效率低下，采取拉丁超立方抽样法来建立综合考虑结构不确定性参数的150组桥梁样本数据。采用增量动力分析法并选取atc
‑
63推荐
的15 条典型地震波进行桥梁损伤分析。考虑0.1g
‑
1.0g的pga范围及0.1g的增量水平，形成150 条地震波，将150条地震波与150组桥梁样本数据进行随机配对，可组成150组桥梁
‑
地震动样本进行分析，这样既考虑了地震动的随机性，同时也综合考虑了结构参数的不确定性。
[0103]
桥梁结构在地震作用下会发生横桥向以及顺桥向的两向破坏，为了选取损伤较为严重的破坏方向，首先分别求出各构件横桥向和顺桥向的易损性曲线，桥墩墩底曲率、桥墩滑动支座以及桥台滑动支座在不同损伤程度下的易损性结果如图3所示。经分析可知，桥梁结构各构件的横桥向损伤大于纵桥向损伤，因此选取各构件的横桥向损伤作为分析对象。
[0104]
在得到各构件易损性曲线之后，需要确定构件边缘分布函数并实现copula函数的拟合。构建单元边缘分布函数的方法有参数法以及非参数法两种，参数法对于数据要求程度较高，需提前确定数据分布类型，适应性较小。非参数法是基于样本数据经验分布函数及核密度估计法来实现的，核密度估计法不需提前对样本分布类型进行假定，依据观测样本数据本身分布类型来确定总体的分布类型，适用性广且较为简便。通过选择合适的核函数及窗宽，即可迅速得到样本数据的边缘分布函数，且拟合程度较好。限于篇幅，仅列出各构件在0.6g幅值地震下轻微损伤状态的边缘分布函数，如图4所示。
[0105]
选取分布估计法根据样本数据观测值对copula函数中未知参数进行估计。在确定样本数据边缘分布函数以及未知参数后，选取最小欧氏距离法来选择最优copula函数类型对数据进行拟合。
[0106]
对于由固定桥墩1、桥台滑动支座3、桥墩滑动支座5构成的三元串联体系，将桥墩端部曲率、桥墩滑动支座位移以及桥台滑动支座位移作为损伤响应指标进行易损性分析。选取桥墩滑动支座位移为中间变量，首先求出桥墩曲率、桥墩滑动支座位移之间的二元最优 copula函数值，然后通过式(12)求出桥墩曲率、桥台滑动支座位移两个变量与桥墩滑动支座之间截断函数的边缘分布函数，其次将所求的值代入式(15)中求出考虑三构件的三元最优 copula函数值，然后将三元最优copula函数值代入式(7)中，可得出三元串联体系的失效概率。不同损伤状态下，考虑三构件串联体系的整体易损性曲线结果如图5所示。根据结果可知，对于考虑三元构件的桥梁整体易损性结果均要大于单独构件下的易损性结果。
[0107]
上述实施例仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围不仅局限于上述实例。对于本技术领域的技术人员来说，在不脱离本发明技术构思前提下所得到的改进和变换也应视为本发明的保护范围。