基于张量的半导体载流子有效质量各向异性的计算方法与流程

1.本发明属于计算材料学技术领域，具体涉及一种基于张量的半导体载流子有效质量各向异性的计算方法。


背景技术：

2.基于密度泛函理论的第一性原理计算已经成为了材料领域最流行的材料性质分析方法之一，基于第一性原理计算，科研人员可以对晶体材料的力学性质、电学性质、输运性质、光学性质、热力学性质进行综合研究。对于半导体材料，电学性质和输运性质是其最重要也最吸引人的关注点，而对有效质量的分析是电学性质分析和输运性质分析中的关键参数。有效质量直接影响了半导体的载流子迁移率，因此在半导体材料的计算分析中，载流子有效质量始终是一个重要组成部分。
3.目前，对于半导体载流子有效质量的分析主要有两种方式，一种是传统的直接采用有效质量定义的方式，另一种是采用有效质量张量的分析方法。
4.然而，传统的采用有效质量定义的计算过程繁琐，计算量庞大，从而导致其仅仅适用于计算轴向有效质量，对于全方向的有效质量计算则不适用。而现有的有效质量张量分析法并没有提及张量的适用情况，在某些情况下，例如带边关系不光滑、不可微，强行引入有效质量张量会导致不可预见且不易察觉的错误，从而影响半导体材料的分析结果。


技术实现要素：

5.为了解决现有技术中存在的上述问题，本发明提供了一种基于张量的半导体载流子有效质量各向异性的计算方法。本发明要解决的技术问题通过以下技术方案实现：
6.一种基于张量的半导体载流子有效质量各向异性的计算方法，包括：
7.根据半导体材料的能带结构确定能带极值位置；
8.构建所述能带极值位置的有效质量张量矩阵；
9.计算所述有效质量张量矩阵，并判断其正定性；
10.当判断所述有效质量张量矩阵正定时，根据所述能带极值位置处的可微性，判断有效质量张量的有效性；否则，更新所述能带极值位置，直至得到的有效质量张量矩阵正定；
11.根据所述有效质量张量的有效性选择相应的计算方式计算所述能带极值位置处各个方向上的有效质量，以对半导体有效质量各向异性进行分析。
12.在本发明的一个实施例中，根据半导体材料的能带结构确定能带极值位置，包括：
13.利用第一性原理软件计算半导体材料倒空间高对称点路径上的电子能带结构；
14.通过所述能带结构确定材料导带底及价带顶位置，得到能带极值位置。
15.在本发明的一个实施例中，构建所述能带极值位置的有效质量张量矩阵，包括：
16.以所述能带极值位置为中心，进行关系的二阶泰勒展开，得到有效质量张量
矩阵。
17.在本发明的一个实施例中，所述有效质量张量矩阵的表达式为：
[0018][0019]
其中，是的二阶偏微分，为普朗克常数，e为能带极值位置的能量，为倒空间波矢，k
x
、k
y
为倒空间波矢的x、y分量。
[0020]
在本发明的一个实施例中，计算所述有效质量张量矩阵，并判断其正定性，包括：
[0021]
在所述能带极值位置划分一个动量点阵网格；
[0022]
计算所述动量点阵网格的非自洽静态，得到点阵的能量值；
[0023]
拟合不同方向上点阵的能量值的二次曲线，并求解有效质量张量矩阵；
[0024]
若所述有效质量张量矩阵的特征值同号，则判定所述有效质量张量矩阵正定；否则，判定所述有效质量张量矩阵不定。
[0025]
在本发明的一个实施例中，根据所述能带极值位置处的可微性，判断所述有效质量张量的有效性，包括：
[0026]
计算所述能带极值位置的绝对平方百分比误差；
[0027]
若所述绝对平方百分比误差小于预设值，则关系在能带极值位置处可微，并判定有效质量张量成立；
[0028]
否则，关系在能带极值位置处不可微，判定有效质量张量失效。
[0029]
在本发明的一个实施例中，所述能带极值位置的绝对平方百分比误差的计算公式为：
[0030][0031]
其中，m
*
表示有效质量定义计算的有效质量，表示张量法计算的有效质量，n表示绝对平方百分比误差计算中的取样数量。
[0032]
在本发明的一个实施例中，根据所述有效质量张量的有效性选择相应的计算方式计算所述能带极值位置处各个方向上的有效质量，包括：
[0033]
若有效质量张量成立，则利用张量法计算各个方向上的有效质量；
[0034]
若有效质量张量失效，则利用有效质量的定义遍历所述能带极值位置的所有方向，计算各个方向上的有效质量。
[0035]
在本发明的一个实施例中，所述张量法计算各个方向上的有效质量的公式为：
[0036]
[0037]
其中，cos(α)、cos(β)、cos(γ)是指定方向的方向余弦，为有效质量张量矩阵。
[0038]
在本发明的一个实施例中，更新所述能带极值位置，直至得到的有效质量张量矩阵正定，包括：
[0039]
将所述动量点阵网格中能量最大或者最小的点作为新的能带极值位置；
[0040]
对该新的能带极值位置重新构建有效质量张量矩阵，并判断其正定性；
[0041]
重复上述步骤，直至得到的有效质量张量矩阵正定。
[0042]
本发明的有益效果：
[0043]
1、本发明通过构建有效质量张量矩阵，将张量法引入有效质量的计算过程当中，并在有效质量张量矩阵正定时，根据能带极值位置处能量
‑
动量的可微性判断有效质量张量的有效性，从而选择不同的计算方法计算各个方向上的有效质量，不仅减小了仅采用定义法的计算量，还避免了现有张量法易出现的错误，提高了分析结果的准确性，使得该方法可适用于全方向的有效质量计算，且算法简单，易于实现；
[0044]
2、本发明根据能带极值位置处关系的可微情况，给出了可微性的判断方案，同时在判断可微时采用二阶方向导数公式，能够快速的计算全方向的载流子有效质量；在不可微时，提出了以有效质量定义为基础，遍历全方向的计算方案，避免了因二阶不可微导致的不可察觉的有效质量各向异性的计算错误，提升了半导体载流子有效质量各向异性分析结果的准确性；
[0045]
3、本发明通过在能带极值位置划分网格，以最小二乘法拟合有效质量张量矩阵，在不增加计算量的情况下，对能带极值点的准确性予以判断，避免了因极值点不在高对称点路径上而导致的计算错误，进一步提升了算法的准确性。
[0046]
以下将结合附图及实施例对本发明做进一步详细说明。
附图说明
[0047]
图1是本发明实施例提供的一种基于张量的半导体载流子有效质量各向异性的计算方法示意图；
[0048]
图2是本发明实施例提供的有效质量张量计算与验证的操作流程图；
[0049]
图3是本发明实施例提供的硅晶体带边位置的选择方案，以及在带边位置展开的9
×9×
9网格示意图；
[0050]
图4是本发明实施例提供的单晶硅电子有效质量各向异性三维示意图；
[0051]
图5是单晶硅重空穴有效质量张量失效的情况下依然使用张量求解其各向异性的三维示意图；
[0052]
图6是使用遍历法求解单晶硅重空穴有效质量各向异性的三维示意图。
具体实施方式
[0053]
下面结合具体实施例对本发明做进一步详细的描述，但本发明的实施方式不限于此。
[0054]
实施例一
[0055]
请参见图1和图2，图1是本发明实施例提供的一种基于张量的半导体载流子有效质量各向异性的计算方法流程示意图，图2是本发明实施例提供的有效质量张量计算与验证的操作流程图。本发明提供的方法具体包括以下步骤：
[0056]
步骤1：根据半导体材料的能带结构确定能带极值位置。
[0057]
具体地，本实施例利用第一性原理软件计算半导体材料倒空间高对称点路径上的电子能带结构，并通过该能带结构确定材料能带极值位置，也即导带底及价带顶位置。
[0058]
步骤2：构建能带极值位置的有效质量张量矩阵。
[0059]
由于本实施例中所有计算基于数值方法，因此无法得到材料哈密顿量的解析式，所以在能带极值位置(本实施例中也称带边，其包括导带底和价带顶)，首先假设带边处的(能量
‑
动量)关系二阶可微，以带边位置为中心，进行关系的二阶泰勒展开，关系的二阶泰勒展开公式如下：
[0060][0061]
其中，是倒空间波矢，是载流子在点附近的能量本征值函数，是有效质量张量矩阵，其具体表达式为：
[0062][0063]
其中，是的二阶偏微分，为普朗克常数，e为能带极值位置的能量，k
x
、k
y
为倒空间波矢的x、y分量。
[0064]
由此可见，忽略普朗克常数项，有效质量张量的本质是载流子e
‑
k关系的hessian矩阵。
[0065]
步骤3：计算有效质量张量矩阵，并判断其正定性。
[0066]
首先，在能带极值位置划分一个动量点阵网格。
[0067]
具体地，本实施例选择在带边位置划分0一个9
×9×
9的动量点阵，形成网络。例如，请参见图3，图3是本发明实施例提供的硅晶体带边位置的选择方案，以及在带边位置展开的9
×9×
9网格示意图，其中，(a)图为单晶硅的电子结构能带图，(b)图为单晶硅倒空间中的第一布里渊区以及高对称点在第一布里渊区中的路径示意图，(c)图为在带边位置展开的，用于最小二乘法计算有效质量张量矩阵的9
×9×
9网格示意图。
[0068]
然后，计算所述动量点阵网格的非自洽静态，得到点阵的能量值。
[0069]
具体地，本实施例使用第一性原理软件进行点阵的非自洽静态计算，得到点阵的能量值。
[0070]
接着，拟合不同方向上点阵的能量值的二次曲线，并求解有效质量张量矩阵。
[0071]
在本实施例中，采用最小二乘曲线拟合法得到点阵能量的二次曲线，然后求解得到有效质量张量矩阵的每个元素值。
[0072]
最后，判断有效质量张量矩阵的正定性。若有效质量张量矩阵的特征值同号，则判定有效质量张量矩阵正定；否则，判定有效质量张量矩阵不定。
[0073]
具体地，当有效质量张量矩阵的特征值同为正数时，矩阵正定，则所取点是为能量极小值点，也即点为导带底；当有效质量张量矩阵的特征值同为负数时，矩阵负定，则所取点是为能量极大值点，也即点为价带顶。
[0074]
本实施例通过在能带极值位置划分网格，以最小二乘法拟合有效质量张量矩阵，在不增加计算量的情况下，对能带极值点的准确性予以判断，避免了因极值点不在高对称点路径上而导致的计算错误，进一步提升了算法的准确性。
[0075]
步骤4：当判断有效质量张量矩阵正定时，根据能带极值位置处的可微性，判断有效质量张量的有效性；否则，更新能带极值位置，直至得到的有效质量张量矩阵正定。
[0076]
具体地，当判断所述有效质量张量矩阵正定时：
[0077]
a)计算能带极值位置的绝对平方百分比误差。
[0078]
具体地，本实施例采用抽样法在空间中均匀稀疏撒点，引入绝对平方百分比误差，使用方向导数定义计算不同方向上的二阶方向导数，与张量法求解的二阶方向导数进行绝对平方百分比误差分析，绝对平方百分比误差mape的定义如下：
[0079][0080]
其中，m
*
表示有效质量定义计算的有效质量，表示张量法计算的有效质量，n表示绝对平方百分比误差计算中的取样数量。
[0081]
需要说明的是，在进行mape的计算时，m
*
和必须为同方向的有效质量。
[0082]
进一步地，采用定义法计算有效质量m
*
的表达式为：
[0083][0084]
采用张量法计算有效质量的表达式为：
[0085][0086]
其中，为张量法计算的有效质量，cos(α)、cos(β)、cos(γ)是指定方向的方向余弦，为有效质量张量矩阵。
[0087]
b)若绝对平方百分比误差小于预设值，则关系在能带极值位置处可微，并判定有效质量张量成立；否则，关系在能带极值位置处不可微，判定有效质量张量失效。
[0088]
进一步地，本实施例设置mape值低于1％时，认为处可微，有效质量张量成立，否则认为有效质量张量失效。
[0089]
当判断所述有效质量张量矩阵不定时：
[0090]
将动量点阵网格中能量最大或者最小的点作为新的能带极值位置；
[0091]
对该新的能带极值位置重新构建有效质量张量矩阵，并判断其正定性；
[0092]
重复上述步骤，直至得到的有效质量张量矩阵正定。
[0093]
步骤5：根据有效质量张量的有效性选择相应的计算方式计算能带极值位置处各个方向上的有效质量，以对半导体有效质量各向异性进行分析。
[0094]
具体地，若有效质量张量成立，则利用张量法计算各个方向上的有效质量；若有效质量张量失效，则利用有效质量的定义遍历所述能带极值位置的所有方向，计算各个方向上的有效质量。
[0095]
详细的计算公式参见步骤4中b)子步骤提供的计算公式。
[0096]
本实施例根据能带极值位置处关系的可微情况，给出了可微性的判断方案，同时在判断可微时采用二阶方向导数公式，能够快速的计算全方向的载流子有效质量；在不可微时，提出了以有效质量定义为基础，遍历全方向的计算方案，避免了因二阶不可微导致的不可察觉的有效质量各向异性的计算错误，提升了半导体载流子有效质量各向异性分析结果的准确性。
[0097]
本发明通过构建有效质量张量矩阵，将张量法引入有效质量的计算过程当中，并在有效质量张量矩阵正定时，根据能带极值位置处能量
‑
动量的可微性选择不同的计算方法计算各个方向上的有效质量，不仅减小了仅采用定义法的计算量，还避免了现有张量法易出现的错误，提高了分析结果的准确性，使得该方法可适用于全方向的有效质量计算，且算法简单，易于实现。
[0098]
实施例二
[0099]
为下面以单晶硅为例，对上述实施例一提供的方法进行试验验证，以进一步说明本发明的有益效果。
[0100]
请参见图4，图4是本发明实施例提供的单晶硅电子有效质量各向异性三维示意图。在单晶硅的电子有效质量计算中的绝对平方百分比误差pame小于1％，有效质量张量成立。图4可以看出，单晶硅纵向电子有效质量为0.96m0，横向电子有效质量为0.17m0。
[0101]
参考文献《刘恩科，朱秉生，罗晋生.半导体物理学.北京：国防工业出版社，2003》中公开的单晶硅的有效质量各向异性试验值可知，图4所示的单晶硅有效质量与实验值相吻合。
[0102]
请参见图5，图5是单晶硅重空穴有效质量张量失效的情况下依然使用张量求解其各向异性的三维示意图，在单晶硅重空穴计算中绝对平方百分比误差mape大于1％，有效质量张量失效，在此情况下继续使用张量法求解各向异性显示单晶硅重空穴有效质量为各向同性，显然与上述实验值相去甚远。
[0103]
请参见图6，图6是使用遍历法求解单晶硅重空穴有效质量各向异性的三维示意图。在有效质量张量失效的情况下使用遍历法求解单晶硅重空穴有效质量，显示[100]方向重空穴有效质量为0.26m0，[111]方向重空穴有效质量为0.66m0，与上述实验值相吻合。
[0104]
以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施只局限于这些说明。对于本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单推演或替换，都应当视为属于本发明的
保护范围。