一种针对柔性夹钳机构的区间场几何不确定性拓扑优化方法

1.本发明涉及稳健性拓扑优化方法领域，尤其涉及一种针对柔性夹钳机构的区间场几何不确定性拓扑优化方法。


背景技术：

2.拓扑优化技术在满足结构强度的同时，通过对材料的重新布局实现结构的创新性设计，常被应用于复杂结构的设计中。增材制造技术等现代加工方法和技术的发展为复杂结构的生产制造提供了可能，且随着拓扑优化技术的不断进步和完善，拓扑优化方法已经逐渐成为当前产品设计和开发的重要工具，被越来越多的应用于车辆、船舶、桥梁以及航空航天等复杂装备结构的优化设计当中。
3.当前大部分的结构优化问题是基于确定性假设的，然而实际的工程生产应用中存在大量的不确定性。与材料性能、服役环境、制造工艺相关的多种不确定性可能严重影响结构性能甚至造成结构失效，为此也出现了一系列考虑结构材料特性、几何特性、载荷大小和方向等参数不确定性的研究。相比于材料、载荷不确定性的研究，由于制造误差、测量误差和信息不全带来的结构几何边界的不确定性的研究较少。而设计生产中结构边界的微小扰动可能造成结构的失稳、失效，忽略几何不确定性的设计可能使得制造出的零件难以满足实际服役需求。因此，考虑几何不确定性对结构的拓扑优化设计有重大意义。
4.考虑不确定性的实际物理特性，制造误差引起的几何不确定通常在与公差相关的有关范围内，一般的研究中采用有界的随机场的形式对不确定进行度量，然而，随机场参数的精确概率分布需要大量的实验样本来构建。实际的工程中，由于成本和技术的限制，得到的样本是有限的，往往很难得到精确的概率分布，而只需要少量样本的区间不确定性分析方法为该困境提供了解决办法。一般的几何不确定性是有界的，因此可通过有界区间场来表征几何不确定性。有界区间模型在较少的样本情况下实现结构的不确定性研究，在满足计算精度的同时，提高了计算效率，节约了计算成本和实验成本。


技术实现要素：

5.本发明的目的是提供一种针对柔性夹钳机构的区间场几何不确定性拓扑优化方法，能够解决结构几何不确定性拓扑优化问题。本发明采用区间场模型度量结构的空间有界几何不确定性，结合区间kl(karhunen-lo
è
ve)展开和切比雪夫多项式展开提出一种基于变密度法的稳健性拓扑优化(rto)高效求解方法。首先，将heaviside密度过滤中投影阈值表示为区间场，并构造基于最坏情况的稳健性拓扑优化模型；随后，基于区间kl展开及切比雪夫多项式展开高效求解稳健性目标函数及约束；最后，推导稳健性目标函数及约束对设计变量的灵敏度，并采用基于梯度的优化算法求解，最终获取几何不确定性下的稳健性拓扑构型。本发明对于考虑几何不确定性的拓扑优化问题，在保证较高计算精度的同时，极大地提高了计算效率，在优化迭代计算过程当中具有较好的稳定性与收敛性，所获得的结构构型在不确定条件下具有较好的稳健性，更有利于生产制造。
6.为达到上述目的而采用了一种针对柔性夹钳机构的区间场几何不确定性拓扑优化方法，其特征在于:
7.步骤1、对柔性夹钳机构进行参数的初始化；
8.步骤2、针对变密度拓扑优化存在灰度单元的问题，构建基于投影策略的三场模型，即设计变量场ρe、过滤变量场以及投影变量场其中过滤变量场由设计变量场通过如下密度过滤得到：
[0009][0010]
式中ne是第e个单元过滤邻域内的单元个数，其中第i个单元的体积记为vi，密度记为ρi，权重函数表示为h
ei
：
[0011]hei
＝max(0,r
min-r
ei
)(2)
[0012]
其中r
min
表示过滤半径，r
ei
为第i个单元与第e个单元的中心距，物理密度场则由中间密度场经过heaviside过滤求得：
[0013][0014]
其中h表示投影阈值，β为将不可导heaviside函数进行连续光滑化近似的参数；
[0015]
步骤3、为描述夹钳机构结构边界的空间有界几何不确定性，heaviside投影阈值表示为一与空间位置相关的区间场h(z)；对于设计域空间中的任意位置z∈d，区间场对应的值属于如下区间：
[0016]
h(z)＝[h
l
(z),hu(z)](4)其中hu(z)和h
l
(z)表示对应于位置z的上下边界值，对于区间场，其上边界函数和下边界函数分别记为hu(z)和h
l
(z)，则该区间场的中值函数hc(z)和半径函数hr(z)表示为：
[0017][0018][0019]
步骤4、构造该柔性夹钳机构最坏情况下的稳健性拓扑优化模型：
[0020][0021]
其中：l表示输出点自由度处值为1而其他值为0的单位向量，u表示位移场，ρ表示由拓扑设计变量组成的拓扑设计向量，k表示结构整体刚度矩阵，f为给定外载荷，f(h(z))表示结构目标函数，g和v0分别表示设计结构的体积以及设计域体积，ζ表示体积分数；
[0022]
步骤5、对区间场h(z)进行区间karhunen-lo
è
ve(kl)展开，可近似离散为m＝6个区间变量ηi，i＝1，2，
…
，m；
[0023][0024]
式中，ηi＝[-1，1]是标准独立的区间变量且满足λi及分别是自相关函数r(z，z
′
)的特征值和特征向量，自相关函数r(z，z
′
)在二维空间表示为：
[0025][0026]
式中，z
′
表示空间中不同于z的另一位置，l
x
和ly分别为二维坐标轴两个方向的相关长度，x
′
与y
′
分别表示坐标轴上不同于x与y的另一位置；
[0027]
步骤6、求解稳健性目标函数，即maxf(η)；
[0028]
步骤7、求解夹钳机构稳健性目标函数和体积约束关于设计变量ρe的灵敏度信息；
[0029]
步骤8、基于设计变量的灵敏度信息，采用基于梯度的移动渐近线法对设计变量进行更新迭代；
[0030]
步骤9、判断收敛性，若不收敛，则回到步骤(6)，继续循环迭代，直至计算收敛后，得到夹钳机构几何不确定性下最优的稳健性拓扑构型。
[0031]
2、根据权利要求1所述的一种针对柔性夹钳机构的区间场几何不确定性拓扑优化方法，其特征在于：步骤6中，为求解区间函数f(η)的极大值，可将其近似表示为p阶切比雪夫展开式：
[0032][0033]
式中c
χ
表示切比雪夫系数，下标χ(χi＝0，1，
…
，p)表示自然数空间中的索引指标集合，p为展开阶次，是由单维区间变量对应的切比雪夫多项式得到的多维切比雪夫项，其中表示第i个区间变量对应的指标数，[θi]＝arccos(ηi)＝[0，π]。
[0034]
采用最小二乘法来计算切比雪夫系数，如下：
[0035]cχ
＝(a
t
a)-1at
f(η)(10)
[0036]
其中a表示样本矩阵，为样本矩阵中第r行第s列的元素，η
(r)
表示由切比雪夫多项式根组成的第r个样本点，f(η)表示在所有配点的输出响应矩阵。
[0037]
最后，根据三角函数的有界特性，可知因此结构性能响应f(η)的上下界可以近似表示为：
[0038][0039]
式中c0表示第一项切比雪夫系数，于是可获得柔性夹钳机构的稳健性目标函数：
[0040][0041]
本发明的有益效果是：
[0042]
1、本发明能够实现少量样本点下几何不确定性的拓扑优化设计。
[0043]
2、本发明基于区间kl展开及切比雪夫多项式展开求解几何不确定性问题，在保证精度同时，提高了计算效率。
[0044]
3、本发明得到的结构构型消除了优化中的细枝结构，改善了“铰接”现象。相较于传统的基于确定性假设的拓扑优化方法，使用本方法获得的结构构型具有更好的稳健性，且更便于生产制造。
附图说明
[0045]
图1为本发明的流程框图。
[0046]
图2为结构设计域及边界条件示意图。
[0047]
图3为确定性及稳健性拓扑优化结果示意图。
[0048]
图4为确定性及稳健性拓扑优化迭代曲线示意图。
具体实施方式
[0049]
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
[0050]
该实施例提供了一种基于柔性夹钳机构区间场的几何不确定性拓扑优化方法，该方法通过heaviside密度过滤中投影阈值的区间场描述表征结构的边界扰动，基于区间kl展开将区间场近似离散为有限个区间变量，并结合切比雪夫多项式展开方法求解稳健性目标函数及约束，求解目标函数灵敏度，运用梯度算法对模型进行优化，最终获得结构拓扑优化构型。
[0051]
下面将针对一柔性夹钳机构对本发明作进一步详细说明。该实施例中，柔性夹钳机构的边长为l＝2，如图1所示，优化目标为u
out1
和u
out2
的输出位移之和。
[0052]
具体实施步骤如下：
[0053]
步骤1、对柔性夹钳机构进行参数的初始化。
[0054]
实体和孔洞的弹性模量设置为e0＝1和e＝-9min
，体积分数设置为0.3，优化参数f
in
＝1，k
in
＝1，k
out
＝0.005，惩罚因子p设为3，结构有限单元划分为200
×
200；
[0055]
步骤2、针对变密度拓扑优化存在灰度单元的问题，构建基于投影策略的三场模型，即设计变量场ρe、过滤变量场以及投影变量场其中过滤变量场由设计变量场通过如下密度过滤得到：
[0056][0057]
式中ne是第e个单元过滤邻域内的单元个数，其中第i个单元的体积记为vi，密度记为ρi，权重函数表示为h
ei
：
[0058]hei
＝max(0，r
min-r
ei
)(14)
[0059]
其中r
min
表示过滤半径，本例中r
min
取为6.5，r
ei
为第i个单元与第e个单元的中心距，物理密度场则由中间密度场经过heaviside过滤求得：
[0060][0061]
其中h表示投影阈值，β为将不可导heaviside函数进行连续光滑化近似的参数，在迭代求解中，β通过每25次迭代使其值加倍而从1增加到32；
[0062]
步骤3、为描述夹钳机构结构边界的空间有界几何不确定性，heaviside投影阈值表示为一与空间位置相关的区间场h(z)。对于设计域空间中的任意位置z∈d，区间场对应的值属于如下区间：
[0063]
h(z)＝[h
l
(z)，hu(z)](16)
[0064]
其中hu(z)和h
l
(z)表示对应于位置z的上下边界值，对于区间场，其上边界函数和下边界函数分别记为hu(z)和h
l
(z)，则该区间场的中值函数hc(z)和半径函数hr(z)表示为：
[0065][0066][0067]
在该实施例中，上界hu(z)＝0.6，下界h
l
(z)＝0.4，区间场的中值hc(z)取为0.5，半径hr(z)取为0.1；
[0068]
步骤4、构造该柔性夹钳机构最坏情况下的稳健性拓扑优化模型：
[0069][0070]
其中l表示输出点自由度处值为1而其他值为0的单位向量，u表示位移场，ρ表示由拓扑设计变量组成的拓扑设计向量，k表示结构整体刚度矩阵，f为给定外载荷，f(h(z))表示结构目标函数，g和v0分别表示设计结构的体积以及设计域体积，ζ表示体积分数；
[0071]
步骤5、对区间场h(z)进行区间karhunen-lo
è
ve(kl)展开，可近似离散为m＝6个区间变量ηi(i＝1，2，
…
，m)：
[0072][0073]
式中，ηi＝[-1，1]是标准独立的区间变量且满足λi及分别是自相关函数r(z，z
′
)的特征值和特征向量，自相关函数r(z，z
′
)在二维空间表示为：
[0074][0075]
式中，z
′
表示空间中不同于z的另一位置，l
x
和ly分别为二维坐标轴两个方向的相关长度，取l
x
＝ly＝4，x
′
与y
′
分别表示坐标轴上不同于x与y的另一位置；由于r(z，z
′
)是有界对称正定的，根据mercer
′
s定理，相关函数可以进行如下特征分解：
[0076][0077]
其中特征值和特征向量可通过求解如下弗雷德霍姆积分方程得到：
[0078][0079]
经计算求得特征值λ＝[2.9123，0.2839，0.2839，0.0818，0.0818，0.0375]，特征函数为：
[0080][0081]
于是，表征该柔性机构边界不确定性的区间场近似表示为6个区间变量，因此结构
性能响应可进一步表示为f(η)，其中η表示由6个区间变量组成的区间向量；
[0082]
步骤6、求解稳健性目标函数，也即maxf(η)。为求解区间函数f(η)的极大值，可将其近似表示为p阶切比雪夫展开式：
[0083][0084]
式中c
χ
表示切比雪夫系数，下标χ(χi＝0，1，
…
，p)表示自然数空间中的索引指标集合，p为展开阶次，是由单维区间变量对应的切比雪夫多项式得到的多维切比雪夫项，其中表示第i个区间变量对应的指标数，[θi]＝arccos(ηi)＝[0，π]；
[0085]
在该实施例中，展开阶次p取为2，区间变量个数为m＝6，可以得到索引指标集合中元素的个数按照χ∈nm确定索引指标集合χ为6
×
56的矩阵：
[0086][0087]
采用最小二乘法来计算切比雪夫系数，如下：
[0088]cχ
＝(a
t
a)-1at
f(η)(24)
[0089]
其中a表示样本矩阵，为样本矩阵中第r行第s列的元素，η
(r)
表示由切比雪夫多项式根组成的第r个样本点，f(η)表示在所有配点的输出响应矩阵。在实施过程中，配点由高一维度切比雪夫多项式零点组合而成，表示为如下6
×
56的矩阵：
[0090][0091]
基于上述配点，样本矩阵a为56
×
28的矩阵：
[0092][0093]
随后可根据式(12)通过样本点矩阵值和配点对应的函数值求得切比雪夫系数；
[0094]
最后，根据三角函数的有界特性，可知因此结构性能响应f(η)的上下界可以近似表示为：
[0095][0096]
式中c0表示第一项切比雪夫系数，于是可获得柔性夹钳机构的稳健性目标函数：
[0097][0098]
步骤7、求解夹钳机构稳健性目标函数和体积约束关于设计变量ρe的灵敏度信息。将式(14)的稳健性目标函数改写为：
[0099][0100]
其中sign(
·
)表示符号函数，由于符号函数在x＝0处不可导，于是采用tanh函数近似表示：
[0101]
sign(x)＝tanh(lx)(28)
[0102]
式中l为较大正数，这里取为100；
[0103]
于是，式(27)对设计变量ρe的灵敏度如下：
[0104][0105]
将式(23)的左右两边关于变量ρe求导得：
[0106][0107]
当考虑区间不确定性时，式(30)中确定性目标函数关于设计变量的灵敏度可看做一个区间函数，采用切比雪夫展开可表示：
[0108][0109]
其中g
χ
为展开系数。对比式(30)和式(31)，可得：
[0110][0111]
于是柔性夹钳机构稳健性目标函数关于设计变量的灵敏度可表示为：
[0112][0113]
柔性夹钳机构体积约束的求解与稳健性目标函数的求解类似，同样首先近似表示为p阶切比雪夫展开式，在进行灵敏度分析。但对于体积约束而言，不仅需要求解最坏情况下的极大值，而且需要找到对应的投影阈值η
max
实现对结构的最终过滤。因此，这里我们选取一系列样本点对切比雪夫展开式进一步通过扫描法进行分析，得到体积的最大值并获得其对应的投影阈值η
max
，再其带入确定性体积灵敏度的函数方程中即可得到稳健性体积约束关于设计变量的灵敏度。
[0114]
步骤8、基于设计变量的灵敏度信息，采用基于梯度的移动渐近线法对设计变量进行更新迭代；
[0115]
步骤9、迭代收敛的条件为迭代步大于200步或目标函数在最终迭代中的相对变化
小于0.01，判断收敛性，若不收敛，则回到步骤(6)，继续循环迭代，直至计算收敛后，得到夹钳机构几何不确定性下最优的稳健性拓扑构型。
[0116]
图3中给出了图2所示柔性夹钳机构的确定性拓扑优化设计结果与稳健性拓扑优化设计结果，其中图3中(a)是确定性拓扑优化设计结构构型，(b)是考虑几何不确定性的稳健性拓扑优化设计结构构型。显然，考虑不确定性的设计不同于确定性假设下的设计，且图3中(b)没有铰接现象。图4中虚线和实线分别是确定性拓扑优化和稳健性拓扑优化的目标函数迭代曲线。从迭代历史可以看到，所提出的稳健性拓扑优化方法具有良好的稳定性和收敛性。
[0117]
为了验证所提出方法的有效性，计算了确定性设计和稳健性设计在几何不确定性条件下的稳健性目标函数。从表1中可以看出，稳健性设计结构对应的最大位移值为-1.656，而确定性结构对应的最大位移值为-1.212。也就是说考虑几何不确定性的稳健性设计结果在面临几何边界波动的情况下具有更好的鲁棒性。此外，为验证本方法的计算精度，表中还给出了105次采样的mcs(monte carlo scanning)结果。针对稳健性设计，采用所提方法得到的稳健性目标函数为-1.656，而mcs方法的对比结果为-1.700，误差为2.59％。与此同时，本发明提出的方法仅需调用功能函数56次，在保证良好精度的同时也具有较高的计算效率。
[0118]
表1结构拓扑优化设计的稳健性目标函数
[0119][0120]
本技术中的步骤可根据实际需求进行顺序调整、合并和删减。
[0121]
本技术装置中的单元可根据实际需求进行合并、划分和删减。
[0122]
尽管参考附图详地公开了本技术，但应理解的是，这些描述仅仅是示例性的，并非用来限制本技术的应用。本技术的保护范围由附加权利要求限定，并可包括在不脱离本技术保护范围和精神的情况下针对发明所作的各种变型、改型及等效方案。