基于基准贝叶斯原理与稀疏正则化的结构损伤识别方法

1.本发明涉及一种利用计算机程序进行结构损伤识别的方法。


背景技术：

2.在环境侵蚀、材料老化、设计缺陷、荷载疲劳效应以及自然灾害等因素的共同作用下，结构系统将不可避免地产生损伤积累和抗力衰减，进而对结构安全性造成影响。若未能及时发现结构损伤并对结构进行维护，极有可能酿成工程事故，对人民的生命财产及社会稳定产生直接重大影响，极端情况下甚至可能导致灾难性的后果。为了保证工程结构的安全性，延长结构使用寿命，结构健康监测成为了土木工程领域的热点问题。其中结构损伤识别技术是结构健康监测的核心问题，其利用结构健康监测系统采集的信息对结构损伤进行定位与定量，为结构安全状况评估及维护提供决策依据。损伤识别大致分为以下四个层次：确定结构损伤是否存在；确定损伤发生的位置；量化结构损伤程度；预测结构剩余寿命。
3.结构损伤识别属于典型的反问题，其基于输出(结构响应)推断未知的结构参数(输入)，即寻找最优的反应结构状态的系统参数。识别过程中使用的数据通常是在不同位置记录的结构响应的时程数据(例如位移、加速度等)，并在可能的情况下输入激励的时程数据。要识别的参数可以是结构系统的任一物理量(例如结构质量、阻尼、刚度等)。已有的损伤识别方法大致可以分为确定性方法和概率性方法。到目前为止，确定性方法，如基于最小二乘法的方法、启发式算法、过滤技术等已经得到了很好的发展，这些方法已经被用于解决诸如模型更新和损伤识别等反问题。通过提供结构参数明确定义的值，当识别问题为适定问题时，可以有效地使用确定性方法来确定结构健康状态(损伤程度)。然而实际工程中往往存在测量误差和建模误差，同时测量数据往往不完整，这些都造成了反问题求解的不适定性，确定性方法往往不能给出令人满意的结果。相比之下，概率方法在处理不确定性方面具有更高的鲁棒性，因为它们能够考虑以测量数据和先验信息为条件的所有可能模型。目前最流行的概率方法之一称为贝叶斯方法。这种方法在给出适当的似然函数的同时，考虑测量数据内的完整信息以进行统计推断，可以得到对结构响应的稳健预测和对结构损伤的可靠评估，在一定程度上缓解了反问题求解的不适定性。然而贝叶斯反演过程一般需要高维多重积分，公式推导复杂，求解计算十分困难，一定程度上限制了它的应用。
4.正则化方法是一种用来处理反问题求解不适定性的方法，其基本思想是用与原问题相邻近的适定性问题的解去逼近原问题的解。由于在结构损伤识别这类不适定的反问题求解过程中，往往存在结构参数对测量误差、噪音的过度拟合，使得存在多组局部最优解甚至无解，因此引入正则化技术可以在保证数据拟合误差足够小的同时维持模型较为光滑，不出现过度拟合的情况。常见的正则化方法包括l1范数正则化(稀疏正则化)与l2范数正则化(tikhonov正则化)。相较于l2范数正则化的光滑解，l1范数正则化可以保留更多的突变信息，获得更为稀疏的解。由于实际结构的损伤往往只发生在局部位置，即损伤具有稀疏性，因此l1范数正则化更适合用于结构损伤识别。


技术实现要素：

5.本发明所要解决的技术问题是：为了降低测量误差、建模误差、不完整的测量采集信号等不确定因素对结构损伤识别效果的影响，提高损伤识别结果的精度和鲁棒性，减少错误损伤识别结果的出现，本发明提出了一种结合基准贝叶斯原理与稀疏正则化的损伤识别方法，并采用智能群体优化算法进行分析计算，实现了确定性方法与概率性方法的有机结合，能够以较低的计算量实现损伤结果的精准定位与量化。
6.本发明的第一种技术方案为：
7.一种基于基准贝叶斯原理的结构损伤识别方法，包括：对结构进行环境振动测试，采集加速度信号数据；对采集信号进行快速贝叶斯fft模态识别，获得结构实测模态信息；建立有限元模型，构件参数化刚度矩阵；基于基准贝叶斯原理构建损伤识别目标函数，分为两个阶段进行识别，在阶段一中，首先识别模态特性，即固有频率、阻尼比、振型等，然后利用它们的识别结果对第二阶段的结构参数进行识别；采用群体智能优化算法求解目标函数。
8.具体步骤为：
9.a.在待识别的结构上布置加速度传感器，进行环境激励条件下的振动测试，获得结构的振动信号
10.b.根据采集得到的结构加速度信号进行快速贝叶斯fft模态识别，获得结构的实测模态信息包括实测固有频率和阵型及相应的后验协方差矩阵其中i表示模态的阶数；
11.c.建立结构的有限元模型，根据有限元模型计算得到结构的计算模态信息包括计算固有频率和阵型其中i表示模态的阶数；d.基于基准贝叶斯原理，结合结构模态信息，建立实测模态参数与根据有限元模型计算的理论模态参数之间的拟合函数，即构建损伤识别目标函数；所述目标函数为：
[0012][0013]
e.采用智能群体优化算法求解目标函数，实现结构损伤的定位与量化。
[0014]
进一步的在步骤b：设结构振动测试采集的加速度信号为(其中n表示采集信号的通道数，n为每个通道采集信号的样本数量)。对进行快速傅里叶变换，表达式为：
[0015][0016]
假设为模态参数合集，其中f为模态频率，为阻尼比，s
ij
为模态激励的互功率谱密度，σ2为预测误差的功率谱密度，φ为阵型；α的后验分布可表示为
[0017][0018]
α的后验分布p(α|{zk})可改写为：
[0019]
[0020]
式中为后验协方差矩阵。
[0021]
进一步的在步骤e:采用的智能群体优化算法为jaya算法，通过不断逼近当前最优解并避免当前最差解达到全局寻优的目标，基本程序包括种群初始化、局部搜寻策略及贪心选择机制三部分。
[0022]
本发明的第二种技术方案是：
[0023]
一种基于基准贝叶斯原理与稀疏正则化的结构损伤识别方法，包括：对结构进行环境振动测试，采集加速度信号数据；对采集信号进行快速贝叶斯fft模态识别，获得结构实测模态信息；建立有限元模型，构件参数化刚度矩阵；基于基准贝叶斯原理与稀疏正则化构建损伤识别目标函数；设置正则化参数选取范围和迭代步长，对其中任一正则化参数采用群体智能优化算法求解目标函数；基于dp准则选取正则化参数，求解得到最优结构参数。具体步骤为：
[0024]
a.在待识别的结构上布置加速度传感器，进行环境激励条件下的振动测试，获得结构的振动信号
[0025]
b.根据采集得到的结构加速度信号进行快速贝叶斯fft模态识别，获得结构的实测模态信息包括实测固有频率和阵型及相应的后验协方差矩阵其中i表示模态的阶数；
[0026]
c.建立结构的有限元模型，根据有限元模型计算得到结构的计算模态信息包括计算固有频率和阵型其中i表示模态的阶数；d.基于基准贝叶斯原理与稀疏正则化技术，结合结构模态信息，建立实测模态参数与根据有限元模型计算的理论模态参数之间的拟合函数，即构建损伤识别目标函数；分为两个阶段进行识别，在阶段一中，首先识别模态特性，即固有频率、阻尼比、振型等，然后利用它们的识别结果对第二阶段的结构参数进行识别。
[0027]
所述目标函数为：
[0028][0029]
e.确定正则化参数选取范围，设置合理步长，对取值范围内每一个正则化参数采用智能群体优化算法求解目标函数；实现结构损伤的定位与量化。
[0030]
进一步的在步骤e：基于dp准则选取合适的正则化参数λ，得到最优的结构损伤参数，实现结构损伤的定位与量化。
[0031]
根据经验确定正则化参数选取范围[a，a nδ]，设置合理步长δ，对取值范围内每一个正则化参数λi＝a iδ(其中i＝0,1,
…
,n)采用智能群体优化算法求解目标函数。
[0032]
采用的智能群体优化算法为jaya算法，包括种群初始化、局部搜寻策略及贪心选择机制三部分，算法开始时会在解空间内随机生成一个初始种群，初始种群生成后将通过局部搜寻策略更新每个个体，不断靠近当前最优解并远离当前最差解，在种群中的全部个体均更新生成子代后，采用贪心选择策略决定进入下一次迭代的个体。
[0033]
本发明的有益效果是：
[0034]
本发明根据基准贝叶斯原理及稀疏正则化技术建立了实测模态参数与根据有限
元模型计算的理论模态参数之间的拟合函数(即损伤识别目标函数)，并采用智能优化算法求解最优的结构参数(结构刚度)，实现了结构损伤的定位与量化。本方法结合了贝叶斯概率方法的理论推导和确定性优化方法的简便快速计算，从基准贝叶斯和稀疏正则化两个方面出发缓解了损伤识别问题求解的不适定性，降低了出现错误损伤的概率，提高了损伤识别结果的精度和鲁棒性。
附图说明：
[0035]
图1是本发明的逻辑流程图。
[0036]
图2是两阶段贝叶斯识别问题示意图。
[0037]
图3是iasc-asce benchmark钢框架结构的示意图。
[0038]
图4是benchmark钢框架结构的自由度分析模型。
[0039]
图5是benchmark结构楼板分布及传感器、激励位置。
[0040]
图6-图9是iasc-asce benchmark在不同损伤模式下结构损伤识别结果和参考值的对比图。
具体实施方式
[0041]
实施例1：
[0042]
(1)在实际结构上合理布置加速度传感器，进行环境激励条件下的振动测试，获得结构的振动信号
[0043]
(2)根据采集得到的结构加速度信号进行快速贝叶斯fft模态识别，获得结构的实测模态信息(包括实测固有频率和阵型)及相应的后验协方差矩阵其中i＝1，...n表示模态的阶数，n为测试的自由度数量；
[0044]
(3)建立结构的有限元模型，根据有限元模型计算得到结构的计算模态信息(包括计算固有频率和阵型其中i表示模态的阶数；
[0045]
(4)基于基准贝叶斯原理与稀疏正则化技术，结合结构模态信息，建立实测模态参数与根据有限元模型计算的理论模态参数之间的拟合函数，即构建损伤识别目标函数；
[0046]
所述目标函数为：
[0047][0048]
其中类似于实测模态参数与根据有限元模型计算的理论模态参数之间的拟合函数，用于衡量有限元模型与实际结构之间的差别；λ||θ||1为引入的l1范数正则化项，可以提高参数的稀疏性，缓解反问题求解的不适定性。
[0049]
(5)确定正则化参数选取范围，设置合理步长，对取值范围内每一个正则化参数采用智能群体优化算法求解目标函数。
[0050]
(6)基于dp准则选取合适的正则化参数λ，得到最优的结构损伤参数，实现结构损伤的定位与量化。
[0051]
实施例2：
[0052]
(1)在实际结构上合理布置加速度传感器，进行环境激励条件下的振动测试，获得
结构的振动信号
[0053]
(2)根据采集得到的结构加速度信号进行快速贝叶斯fft模态识别，获得结构的实测模态信息(包括实测固有频率和阵型)及相应的后验协方差矩阵其中i＝1，...n表示模态的阶数，n为测试的自由度数量；
[0054]
(3)建立结构的有限元模型，根据有限元模型计算得到结构的计算模态信息(包括计算固有频率和阵型)，其中i表示模态的阶数；
[0055]
(4)基于基准贝叶斯原理，结合结构模态信息，建立实测模态参数与根据有限元模型计算的理论模态参数之间的拟合函数，即构建损伤识别目标函数；
[0056]
所述目标函数为：
[0057][0058]
其中类似于实测模态参数与根据有限元模型计算的理论模态参数之间的拟合函数，用于衡量有限元模型与实际结构之间的差别。
[0059]
(5)采用智能群体优化算法求解目标函数，实现结构损伤的定位与量化。
[0060]
实施例3：
[0061]
(1)在实际结构上合理布置加速度传感器，进行环境激励条件下的振动测试，获得结构的振动信号
[0062]
(2)根据采集得到的结构加速度信号进行快速贝叶斯fft模态识别，获得结构的实测模态信息(包括实测固有频率和阵型)及相应的后验协方差矩阵其中i表示模态的阶数；
[0063]
快速贝叶斯fft模态识别流程如下：
[0064]
(2.1)设结构振动测试采集的加速度信号为(其中n表示采集信号的通道数，n为每个通道采集信号的样本数量)。对进行快速傅里叶变换(fft)，表达式为：
[0065][0066]
式中i为虚数，i2＝1；δt是采样时间间隔；k＝1，...，n；fk是的实部，gk为的虚部。
[0067]
(2.2)假设为模态参数合集，其中f为模态频率，为阻尼比，s
ij
为模态激励的互功率谱密度，σ2为预测误差的功率谱密度，φ为阵型。根据贝叶斯理论，假定模态参数α的先验分布为正态分布，α的后验分布可表示为
[0068][0069]
式中：为奈奎斯特频率；ck是矩阵zk的协方差矩阵。当α的后验分布p(α|{zk))取最大时的对应的即为在实测信号条件下出现概率最大的模态参数，也理所当然的作为最终的模态参数结果。
[0070]
为方便表达，将上式写成对数似然函数l(α)的形式，即：
[0071]
p(α|{zk})
∝
exp[-l(α)]
ꢀꢀ
(2-4)
[0072]
则有：
[0073][0074]
当结构加速度信号采集充分的情况下，后验概率密度函数表现为高斯概率密度的形式，因此l(α)可用其二阶泰勒展开式来近似表达，即：
[0075][0076]
式中，当是α的最佳估计时，为l(α)在处的hessian矩阵。
[0077]
将式(2-6)代入式(2-4)，α的后验分布可改写为：
[0078][0079]
式中为后验协方差矩阵。
[0080]
假设结构所受环境荷载相似于白噪音激励，将各个模态激励间的互功率谱密度s
ij
视为常数，经过数学上的推导计算，式(2-7)可改写为
[0081]
l(α)＝-nnfln2 (n-1)nflnσ2 ∑kln(sdk σ2) σ-2
(d-φ
t
aφ)
ꢀꢀ
(2-8)
[0082]
式中：
[0083]
a＝∑k[1 (σ2/sdk)]-1dk
ꢀꢀ
(2-9)
[0084][0085][0086]
由式(2-4)可知当后验p(α|{zk})取最大时l(α)应取最小值。由式(2-8)表达式可知，l(α)最小时φ
t
aφ应取最大值，则φ应取为矩阵a最大特征值所对应的特征向量(阵型被单位正则化)。模态参数α中的剩余4个参数可通过对式(2-8)进行无约束数值优化求得。后验协方差矩阵可由对式(2-8)的hessian矩阵求逆得到。
[0087]
(3)建立结构的有限元模型，根据有限元模型计算得到结构的计算模态信息(包括计算固有频率和阵型)，其中i表示模态的阶数；
[0088]
结构整体刚度矩阵k可由子结构刚度参数化如下：
[0089][0090]
其中k0为根据模型假设计算而得的不随子结构改变而变化的刚度矩阵，ki为第i个子结构的刚度矩阵，θi为引入的刚度变化参数，取值范围设置为[0，1]，用于损伤的定位与量化。当θi取值为0时代表第i个子结构刚度完全丧失，当θi取值为1时代表第i个子结构刚度没有改变。通常认为结构质量不随时间推移发生较大的改变或者当结构质量发生较大改变时很容易被肉眼察觉，因此结构质量通常被认为已知且不变，结构损伤识别也基本等同于结构刚度变化情况的识别。
[0091]
采用经典模态理论下的线性动力模型，结构的固有频率及阵型可由特征值方程求得：
[0092][0093]
其中k和m分别代表结构刚度及质量矩阵；和分别代表第i阶的计算频率及阵型。
[0094]
(4)基于基准贝叶斯原理与稀疏正则化技术，结合结构模态信息，建立实测模态参数与根据有限元模型计算的理论模态参数之间的拟合函数，即构建损伤识别目标函数；
[0095]
假设θ是要识别的结构系统参数，用d简化表示测量得到的结构振动响应，则根据贝叶斯理论可得结构参数的后验概率密度函数：
[0096]
p(θ|d)＝c
·
p(d|θ)
·
p(θ)
ꢀꢀ
(2-14)
[0097]
式中：c＝1/p(d)——归一化常数；
[0098]
p(θ)——θ的先验分布；
[0099]
p(d|θ)——似然函数。
[0100]
由于结构系统参数θ与结构振动响应之间的关系非常复杂，很难用有利于分析的显式形式将似然函数p(d|θ)表达出来，因此我们将很难直接得到θ的后验分布。针对直接从数据d中识别θ的困难，提出了一种“两阶段”的方法，将原问题转化为两个更直观的子问题，如图2所示。在阶段一中，首先识别模态特性，即固有频率、阻尼比、振型等。然后利用它们的识别结果对第二阶段的结构参数进行识别。
[0101]
假设是结构模态参数，包含固有频率与振型，即则根据两阶段基准贝叶斯理论，后验分布p(θ|d)可重新表示为以下形式：
[0102][0103]
式中：的拟后验分布，计算时的先验概率可取为均匀分布；
[0104]
——条件概率。
[0105]
将建模为以最可能值为均值的多元高斯分布，见式2-16：
[0106][0107]
式中：的最可能值；
[0108]
n——的维度；
[0109]
的后验协方差矩阵；
[0110]
的行列式。
[0111]
假设模态参数可由结构系统参数θ完全确定，则建模为狄拉克函数，见式2-17：
[0112][0113]
式中：——由结构系统参数θ根据特征方程计算而得的理论模态参数。
[0114]
将θ的先验分布取为均匀分布，并将式2-16及式2-17代入式2-15中，可得
[0115][0116]
这样我们就得到了θ的后验分布，为方便计算，将式2-18进行数学上的改写，如式2-19所示：
[0117][0118]
式中：——第i阶模态对应的协方差矩阵的第j个非零特征值的倒数；
[0119]
——第i阶模态对应的协方差矩阵对应于的特征向量；
[0120]
——由结构系统参数θ根据特征方程计算而得的第i阶理论模态参数，其中
[0121]
——由振动响应得到的最可能值，即第i阶实测模态参数，其中
[0122]
后验分布p(θ|d)即式2-6取值最大时的θ被认为是最有可能的结构参数。
[0123]
最大化式2-6，采用确定性的方式并在其基础上加上稀疏正则化项，即可得最终的目标函数如下：
[0124][0125]
其中为实测模态参数与根据有限元模型计算的理论模态参数之间的拟合函数，用于衡量有限元模型与实际结构之间的差别；λ||θ||1为l1范数正则化项，可以缓解反问题求解的不适定性。
[0126]
(5)根据经验确定正则化参数选取范围[a，a nδ]，设置合理步长δ，对取值范围内每一个正则化参数λi＝a iδ(其中i＝0，1，...，n)采用智能群体优化算法求解目标函数。本发明采用jaya算法。jaya算法是2016年印度学者rao提出的一种新型智能群体优化算法，其在执行过程中不需要设置任何算法特定的参数，且不需要寻优参数的初试猜测值，无需梯度信息及敏感度分析，具有传统智能优化算法不可替代的优势。jaya算法的核心策略是通过不断逼近当前最优解并避免当前最差解达到全局寻优的目标，基本程序包括种群初始化、局部搜寻策略及贪心选择机制三部分。
[0127]
(5.1)种群初始化
[0128]
算法开始时会在解空间内随机生成一个初始种群，该种群包含cs个个体，每个个体记为xi。每个个体又包含n个变量，即xi＝[x1，x2，...，xn]。初始值生成公式见式2-20：
[0129][0130]
式中：——个体xi的第j个变量的初始值；
[0131]
——变量x
i，j
的上限值；
[0132]
——变量x
i，j
的下限值；
[0133]
r——闭区间[0，1]范围内的随机数。
[0134]
(5.2)局部搜寻策略
[0135]
初始种群生成后将通过局部搜寻策略更新每个个体，其基本思想为不断靠近当前最优解并远离当前最差解。子代生成公式如式2-21所示，式中第二项和第三项分别显示了子代靠近当前最优解及远离当代最差解的趋势。
[0136]
θ
′
g，i，j
＝θ
g，i，j
r1(θ
g，best，j-|θ
g，i，j
|)-r2(θ
g，worst，j-|θ
g，i，j
|)
ꢀꢀ
(2-21)
[0137]
式中：θ
g，i，j
——第g次迭代中第i个个体的第j个变量；
[0138]
θ
′
g，i，j
——第g次迭代中θ
g，i，j
更新生成的子代；
[0139]
θ
g，best，j
——第g次迭代中最好的个体的第j个变量；
[0140]
θ
g，worst，j
——第g次迭代中最差的个体的第j个变量；
[0141]
r1和r2——闭区间[0，1]范围内的随机数。
[0142]
子代生成后需进行边界条件判断，若更新后子代内变量取值超出上限或低于下限，该变量应当取其上限或下限值。边界判断条件见式2-22：
[0143][0144]
(5.3)贪心选择
[0145]
在种群中的全部个体均更新生成子代后，采用贪心选择策略决定进入下一次迭代的个体。具体来说，先计算θ
g，i，j
与θ
′
g，i，j
各自的适应度，即目标函数值f(θ
g，i
)与f(θ
′
g，i
)，适应度较小的个体被选择进入下一次迭代。贪心选择机制见式2-23：
[0146][0147]
在初始种群生成后，jaya算法将不断循环第二步和第三步直至满足收敛条件，例如达到最大迭代次数或者目标函数值精度达到一定水平等。
[0148]
值得一提的是该算法可替换为任意智能群体优化算法如人工蜂群算法、粒子群算法等，优化结果会随优化算法的性能而不尽相同。
[0149]
(6)基于dp准则选取合适的正则化参数λ，得到最优的结构损伤参数，实现结构损伤的定位与量化。
[0150]
实施例4：
[0151]
应用例：对benchmark钢框架结构进行损伤识别
[0152]
1999年，iasc-asce结构健康监测小组成立，提出建立benchmark结构，以便为不同的结构健康方法提供一个统一的分析比较平台。2000年，iasc-asce shm小组给出了benchmark结构的分析模型并对建于加拿大哥伦比亚大学地震工程研究实验室的实验模型进行了测试。如图3所示，iasc-asce benchmark结构是一个4层、2跨x 2跨的钢框架缩尺模型，长宽均为2.5米，高3.6米。钢框架的构件均采用热轧300w级钢材制作而成，梁和柱之间采用固结形式，支撑与结构之间采用铰接形式以方便拆卸。每层的每个开间有一个楼板：第一层有四个800公斤的楼板，第二层和第三层各有四个600公斤的楼板，第四层有四个400公斤的楼板(或三个400公斤的楼板加一个550公斤的楼板，以创造不对称的质量分布)。本例采用benchmark结构第一阶段案例4的12自由度剪切建筑模型(图4)进行数值模拟研究，案例4在顶层的一个楼板增加150kg的质量引入不对称的质量分布。考虑的5种工况见表5-1。
[0153]
表5-1 iasc-asce benchmark结构损伤模式
[0154][0155]
采用本方法的结构损伤识别步骤如下：
[0156]
(1)：在实际结构上合理布置加速度传感器，进行振动测试，获得结构的振动信号。
[0157]
在结构顶层施加斜向的未知激励，楼板分布、激励位置见图5。每层安装4个加速度
传感器，共16个通道的加速度数据被记录下来，每层传感器位置见图5。每种损伤模式下使用iasc-asce shm小组公开发布的datagen程序包生成一段100秒的采样频率为1000赫兹的加速度数据用于后续结构损伤识别。为使模拟数据更接近真实数据，在其中加入了加速度信号10％均方根大小的高斯白噪音。
[0158]
(2)根据采集得到的结构加速度信号进行快速贝叶斯模态识别，x和y方向的前三阶模态信息(包括实测固有频率和实测阵型及相应的后验协方差矩阵)被识别出来并用于后续损伤识别，见表5-2及5-3。
[0159]
表5-2案例4不同损伤模式下识别的模态频率
[0160][0161]
注：频率的单位为hz，相对误差的单位为％。
[0162]
表5-3案例4不同损伤模式下mac值
[0163][0164][0165]
(3)建立结构的有限元模型，根据有限元模型计算得到结构的计算模态信息。
[0166]
为了定位出楼层各个方向上的损伤，将每一层每个侧向定义为一个子单元，总体刚度矩阵参数化如下：
[0167]
k(θ)＝k0 ∑s∑d(1-θ
sd
)k
sd
[0168]
其中s＝1，...，4表示楼层数；d＝x，y代表方向；k
sd
代表结构未损伤状态下子单元刚度矩阵；k0代表由模型假设计算而来的旋转方向刚度矩阵；θ
sd
即为待识别的刚度降低参数。则共有8个刚度降低参数参与识别，分别对应于{k
1x
，k
1y
，k
2x
，k
2y
，k
3x
，k
3y
，k
4x
，k
4y
}。
[0169]
采用经典模态理论下的线性动力模型，结构的固有频率及阵型可由特征值方程求得：
[0170][0171]
其中k和m分别代表结构刚度及质量矩阵；和分别代表第i阶的计算频率及阵型。
[0172]
(4)基于基准贝叶斯原理与稀疏正则化技术，结合结构模态信息，建立实测模态参数与根据有限元模型计算的理论模态参数之间的拟合函数，即构建损伤识别目标函数；
[0173][0174]
式中：——第i阶模态对应的协方差矩阵的第j个非零特征值的倒数；
[0175]
——第i阶模态对应的协方差矩阵对应于的特征向量；
[0176]
——由结构系统参数θ根据特征方程计算而得的第i阶理论模态参数，其中
[0177]
——由振动响应得到的最可能值，即第i阶实测模态参数。其中
[0178]
λ——正则化参数。
[0179]
(5)根据经验确定正则化参数选取范围[0，1e-5]，设置步长1e-7，对取值范围内每一个正则化参数λi＝i
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1e-7(其中i＝0，1，...，n)采用jaya算法求解目标函数。jaya算法参数设置如下：初始种群个体数量100，最大迭代次数500。为防止算法的偶然误差，每种情况独立运行30次后取平均值作为最终统计结果。
[0180]
(6)基于dp准则选取合适的正则化参数λ，采用jaya算法优化求解得到最优的结构损伤参数，实现结构损伤的定位与量化。不同损伤情况选取的正则化参数见表5-4，最优损伤识别结果见图6-图9。
[0181]
根据损伤识别结果可知，基于基准贝叶斯原理与稀疏正则化建立的目标函数取得了良好的效果，结构损伤被精准定位且量化出来，几乎不存在错误结果，证明了基准贝叶斯原理与稀疏正则化在处理损伤识别反问题不适定方面的强大能力。
[0182]
表5-4不同损伤模式下的正则化参数取值
[0183][0184]