一种基于局部有限寿命疲劳约束条件的结构拓扑优化方法

1.本发明涉及使用拓扑优化方法，为工程结构抗疲劳性能的改善提供了有效的设计策略。为了减少大规模局部疲劳约束引起的计算代价，往往采用p范数方法将其凝聚成全局约束，但是，满足这类弱约束的最优解与原问题的最优解存在间隙。为了精确满足局部疲劳约束和降低约束数量，采用增广拉格朗日方法将原问题处理为无约束问题，提出局部有限寿命疲劳约束条件下的结构拓扑优化方法可以获得原优化问题的最优解。


背景技术：

2.面向增材制造的结构拓扑优化技术极大地丰富了工程结构的设计空间，兼顾了复杂结构和高性能构件成形需求，在航空、航天、交通、核电等领域具有广阔的应用前景和发展空间。目前，多数的拓扑优化研究工作专注于解决体积约束下的结构刚度最大化问题，而工程结构往往服役于交变载荷作用的工作环境，刚度最优的设计一般不能完全满足抗疲劳要求，从而严重影响结构在全寿命周期内运行的可靠性。为此，在结构的轻量化设计中充分考虑疲劳性能约束，对丰富工程结构强度设计理论、提高服役性能有着重要的科学价值和工程意义。
3.为了抑制应力集中和高应力值引起的结构断裂，应力约束下的拓扑优化问题引起了高度的关注。应力约束拓扑优化设计的难点在于大量局部约束增加了敏度分析的计算代价。为了减少应力约束数量，一般采用p范数和k-s函数等凝聚方法将局部应力约束转化为一个全局约束。例如通过p范数方法凝聚疲劳约束，尽管p范数方法能够大幅减少疲劳约束及其敏度分析的计算成本，但是其近似属性并不能精确地控制疲劳约束。


技术实现要素：

4.本发明基于增广拉格朗日方法提出局部疲劳约束问题的拓扑优化框架。考虑变幅比例载荷作用条件，通过palmgren-miner疲劳准则评定结构的疲劳损伤，以材料用量为目标函数，以疲劳性能为约束条件，提出基于局部疲劳约束的结构轻量化设计方法。对比现有p范数方法的优化结果，验证所提出的非凝聚方法处理疲劳约束拓扑优化问题的有效性。
5.本发明要解决的技术问题是：拓扑优化方法为工程结构抗疲劳性能的改善提供了有效的设计策略，减少大规模局部疲劳约束引起的计算代价，精确满足局部疲劳约束和降低约束数量，本发明采用增广拉格朗日方法将原问题处理为无约束问题，提出局部有限寿命疲劳约束条件下的结构拓扑优化方法，与p范数方法的优化结果相比，局部疲劳约束条件下的优化结构需要有更优的抗疲劳性能和更少的材料用量。
6.本发明采用的技术方案：一种基于局部有限寿命疲劳约束条件的结构拓扑优化方法，其特征在于，实现步骤如下：步骤一：在本发明提出的拓扑优化框架内，以结构轻量化为目标，分别求解非凝聚的局部疲劳约束问题()和p范数凝聚的全局疲劳约束问题()，对比分析两个问题的优化解，验证提出方法的有效性。
[0007]7.式中：为单元面积矢量，为单位列向量，为单元个数，、分别为单元密度变量与设计变量，为体积插值函数，为单元j上的疲劳损伤变量，算子为矢量函数的p范数，为节点位移矢量。
[0008]
步骤二：为了能够求解具有复杂设计域结构的拓扑优化问题，利用非结构化多边形网格技术离散空间设计域，采用修正的qp松弛技术处理单元应力，采用雨流计数法从应力谱中提取峰值与谷值，确定不同循环特征的应力循环，由此获得应力幅缩放因子与平均应力缩放因子，根据公式估算任一应力循环的应力状态。分别求出单元e在第i个循环的应力幅和平均应力列阵，第i个循环的应力幅和平均应力缩放因子。
[0009]
步骤三：疲劳失效分析，为了估计变幅比例载荷作用下结构的高周疲劳损伤，采用sines准则评估疲劳等效应力，最后基于palmgren-miner线性累积损伤模型评估结构的疲劳失效，工程结构须满足如下疲劳约束，方能避免疲劳断裂发生：式中：表示单元e的累计损伤，表示缩放参数(一般大于1)，为一个载荷谱快中的交变载荷数量，表示载荷循环i的循环次数，为第i个交变载荷下单元e的寿命循环次数。
[0010]
步骤四：疲劳约束。对于优化问题，p范数疲劳约束可表示为：式中：p为p范数因子，高的p范数因子有利于估计函数的最大值，但是，也会增加优化问题的非线性，不利于问题求解和造成收敛困难。为了使p范数损伤靠近实际损伤的最大值，一般采用自适应约束缩放技术修正p范数损伤。
[0011]
参照giraldo-londono处理局部应力约束的方式，在有限单元上逐一构建多项式局部疲劳性能约束，避免任意材料评估点处的疲劳失效。根据局部疲劳性能约束式，当局部疲劳约束函数满足时，与同阶，因而驱动优化算法向低损伤方向迭代。同样，当时，与同阶，因而保留了传统线性约束的特征。
[0012]
步骤五：敏度分析，本发明采用全局收敛移动渐近线算(globally convergent method of moving asymptotes, gcmma)求解疲劳约束拓扑优化问题 。
[0013]
步骤六：增广朗格朗日方法作为典型的非凝聚方法，通过求解一系列无约束子问题可以获得原优化问题的最优解，将拉格朗日乘子和平方惩罚因子初始化代入基于梯度的优化算法gcmma求解拓扑优化问题的无约束规范化子问题，进行结构有限元模型单元设计变量的更新；步骤七：重复步骤二至步骤六，进行结构有限元模型单元设计变量的多次更新，直至得到的非凝聚化方法的目标值比p范数凝聚方法的目标值更精确，而且局部约束作用的优化拓扑在载荷施加区域附近具有更加合理的结构形式，也达到削弱疲劳损伤的传递效果，另外，从材料用量来看，p范数凝聚方法的目标值小于非凝聚化方法的目标值，后者重量减轻，验证了本发明的有效性。
附图说明
[0014]
如图1是本发明增广拉格朗日优化框架流程图。
具体实施方式
[0015]
下面结合附图以及具体实施方式进一步说明本发明。
[0016]
本发明方法，包括以下步骤：步骤一：在本发明提出的拓扑优化框架内，以结构轻量化为目标，分别求解非凝聚的局部疲劳约束问题()和p范数凝聚的全局疲劳约束问题()，对比分析两个问题的优化解，验证提出方法的有效性。
[0017][0017]
(1)式中：为单元面积矢量，为单位列向量，为单元个数，、分别为单元密度变量与设计变量，为体积插值函数，为单元j上的疲劳损伤变量，算子为矢量函数的p范数，为节点位移矢量。
[0018]
步骤二：为了能够求解具有复杂设计域结构的拓扑优化问题，利用非结构化多边
形网格技术离散空间设计域，采用修正的qp松弛技术处理单元应力，采用雨流计数法从应力谱中提取峰值与谷值，确定不同循环特征的应力循环，由此获得应力幅缩放因子与平均应力缩放因子，根据公式估算任一应力循环的应力状态。分别求出单元e在第i个循环的应力幅和平均应力列阵，第i个循环的应力幅和平均应力缩放因子。
[0019]
步骤三：疲劳失效分析。为了估计变幅比例载荷作用下结构的高周疲劳损伤，本发明通过雨流计数法确定多轴应力状态下的平均应力和应力幅，采用sines准则评估疲劳等效应力，最后基于palmgren-miner线性累积损伤模型评估结构的疲劳失效。
[0020]
根据sines有限寿命疲劳准则，平面应力状态下有限寿命的等效单轴应力可由交变的八面体剪切应力和静水平均应力依据式获得：式中：、分别为单元e在第i个循环的应力幅和平均应力列阵,是单元e在应力循环i处的单轴等效应力，为材料参数(一般取为0.5)。
[0021]
basquin方程描述了单轴等效应力与疲劳寿命的关系，表示为：式中：是疲劳强度系数，是应力循环i下结构的疲劳寿命，b是疲劳强度指数。
[0022]
采用palmgren-miner线性累积损伤模型可以评定整个载荷谱作用下的任一单元的疲劳损伤，工程结构须满足如下疲劳约束，方能避免疲劳断裂发生。
[0023]
式中：表示单元e的累计损伤，表示缩放参数(一般大于1)，表示第i个交变载荷下单元e的累计损伤，为一个载荷谱块中的交变载荷数量，表示载荷循环i的循环次数。
[0024]
步骤四：疲劳约束。对于优化问题，p范数疲劳约束可表示为：式中：p为p范数因子，高的p范数因子有利于估计函数的最大值，但是，也会增加优化问题的非线性，不利于问题求解和造成收敛困难。为了使p范数损伤靠近实际损伤的最大值，一般采用自适应约束缩放技术修正p范数损伤。
[0025]
参照giraldo-londono处理局部应力约束的方式，在有限单元上逐一构建多项式局部疲劳性能约束，避免任意材料评估点处的疲劳失效。根据局部疲劳性能约束式，当局部疲劳约束函数满足时，与同阶，因而驱动优化算法向低损伤方向迭代。同样，当时，与同阶，因而保留了传统线性约束的特征。
[0026]
步骤五：敏度分析，本发明采用全局收敛移动渐近线算(globally convergent method of moving asymptotes, gcmma)求解疲劳约束拓扑优化问题 。
[0027]
步骤六：基于增广拉格朗日方法提出局部疲劳约束问题的拓扑优化框架，增广朗格朗日方法作为典型的非凝聚方法，通过求解一系列无约束子问题可以获得原优化问题的最优解，如果满足收敛条件：，其算法流程如图1所示其中，为单元个数，为设计变量, tol为绝对误差限，当单元的数量足够大时，惩罚项可能远大于目标函数 ，从而引起算法失效。由此，引入归一化的惩罚项避免优化问题的奇异性，则归一化的拉格朗日子问题表示为：化的拉格朗日子问题表示为：化的拉格朗日子问题表示为：式中：是拉格朗日乘子，是平方惩罚因子，将局部疲劳性能不等式约束转化为等式约束。
[0028]
式中：为惩罚因子更新参数，上确界用于抑制算法的数值失稳问题。拉格朗日乘子按照下式更新：采用基于梯度的优化算法gcmma求解拓扑优化问题的无约束规范化子问题。按照链式求导法则，归一化的拉格朗日目标函数的灵敏度为：归一化的拉格朗日目标函数的灵敏度为：与体积分数不直接相关，而通过局部疲劳性能约束与刚度参数相关，它对于上述参数的偏导数为：
对于变幅载荷作用的多工况问题，伴随方法可有效求解优化问题的灵敏度。将参考载荷作用下的平衡方程以残差形式引入，形成增广形式的惩罚项敏度分析方程，则有：则有：式中：、分别为应力幅和平均应力平衡方程的残差表达式，、为相应的伴随矢量。
[0029]
将下式对材料刚度参数求偏导数，则有：观察上式，随着应力循环数的增加，伴随矢量的计算将消耗大量的时间。因而，通过下式缩放参考载荷作用下的位移，表示任意循环载荷作用下的幅值位移与平均位移，可以有效缩减伴随矢量的解算规模。
[0030]
由此，伴随项表示为：另外，为了避免直接求解，通过合理选择伴随矢量使其在上式中消失，则有：有：由此，确定所有缩放的伴随矢量后，则可获得惩罚项对于刚度参数的偏导数。
[0031]
如果满足，则有，否则：
最后， 和可显式获得：步骤七：重复步骤二至步骤六，进行结构有限元模型单元设计变量的多次更新，直至得到的非凝聚化方法的目标值比p范数凝聚方法的目标值更精确，而且局部约束作用的优化拓扑在载荷施加区域附近具有更加合理的结构形式，也达到削弱疲劳损伤的传递效果，另外，从材料用量来看，p范数凝聚方法的目标值小于非凝聚化方法的目标值，后者重量减轻，验证了本发明的有效性。
[0032]
以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于疲劳应力约束下的金属结构拓扑优化方法设计领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。
[0033]
本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。