一种基于泰勒展开的表面阻抗边界条件方法

1.本发明属于计算电磁学领域。涉及不同媒质交界面上的边界条件算法，具体为一种基于泰勒展开的表面阻抗边界条件方法。


背景技术：

2.时域有限差分(finite difference time domain,fdtd)方法是计算电磁学中一种常用的方法，该方法基于差分原理直接对麦克斯韦方程组进行离散，简单直观，不需要借助其他数理工具。
3.边界条件是使用fdtd方法解决实际电磁问题的必要条件。在解决实际电磁问题时，由于计算区域不是无限大，所以需要对其进行截断，此时可以使用完美电导体(perfect electric conductor,简称pec)边界条件、完美磁导体(perfect magnetic conductor,简称pmc)边界条件或者各种吸收边界条件等，诸如mur吸收边界条件，廖氏吸收边界条件和完美匹配层(perfectly matched layer，简称pml)吸收边界条件。如果在实际问题中遇到两种不同媒质交界的情况，则可以采用表面阻抗边界条件(surface impedance boundary condition,简称sibc)。
4.表面阻抗边界条件是频域上的边界条件，它将两种不同媒质交界面上的切向电场和切向磁场通过表面阻抗联系起来，若要应用到fdtd中，需要把频域关系变换为时域关系。
5.表面阻抗边界条件基本理论如下：
6.两种不同媒质交界面如图1所示，其中μ为磁导率，σ为电导率，ε为介电常数，下标1表示是媒质1的电磁参数，下标2表示是媒质2的电磁参数。
7.媒质2的复折射率的幅值足够大时，所有入射平面波会朝分界面的法向弯曲，这样波在右侧媒质中的传输可以近似为tem波，交界面上的频域电磁场方程如下：
[0008][0009]
其中r为位置矢量，ω为角频率，为法向量，方向在图1中给出。e为电场，h为磁场，下标tan表示切向分量，zs(ω)为频域表面阻抗。
[0010]
频域表面阻抗zs(ω)可以近似为右侧媒质中的特性阻抗，即：
[0011][0012]
其中j为虚数单位，μ2为媒质2的磁导率，σ2为媒质2的电导率，ε2为媒质2的介电常数。
[0013]
以上是表面阻抗边界条件的基本理论，为了在fdtd中实现表面阻抗边界条件，需要把电磁场的频域关系变换为时域关系，一种常规的处理方式如下：
[0014]
步骤1、建立媒质交界面上的频域电磁场方程(1)并得到频域表面阻抗的表达式(2)。
[0015]
步骤2、将频域电磁场方程(1)以及频域表面阻抗的表达式(2)转化到拉普拉斯域，
得到切向电场的象函数方程以及表面阻抗的象函数表达式。
[0016]
将式子(1)变换到拉普拉斯域，得到切向电场的象函数方程：
[0017][0018]
其中，s＝jω为象函数的自变量，下同。
[0019]
将式子(2)变换到拉普拉斯域，得到表面阻抗的象函数：
[0020][0021]
其中，为媒质2的本征阻抗，无实际物理意义。
[0022]
步骤3、为了使表面阻抗的象函数(4)易于拉普拉斯反演，需要对表面阻抗的象函数作近似处理，得到表面阻抗象函数的近似值。
[0023]
一种普遍的做法是对表面阻抗的象函数进行有理展开，取前n项得：
[0024][0025]
其中ci与wi是与电磁参数无关的参数，由切比雪夫有理逼近法计算得出，n为展开项数。
[0026]
步骤4、将表面阻抗象函数的近似值(5)带入切向电场的象函数方程(3)，然后对切向电场的象函数方程作拉普拉斯反演，得到卷积形式的切向电场方程。
[0027]
步骤5、对卷积形式的切向电场方程进行离散化处理，得到切向电场分量的离散迭代式。
[0028]
至此在fdtd中实现了表面阻抗边界条件。该方法的优点是显而易见的，没有直接对频域的表面阻抗进行拉普拉斯反演，而是先对表面阻抗进行了近似处理，然后再进行拉普拉斯反演，易于计算机实现。但是在实现过程中计算参数ci与wi需要借助计算机程序，无法直观得出，带来了一定的计算机资源浪费，且展开项越多，参数计算越复杂。


技术实现要素：

[0029]
针对上述存在的问题和不足，为了解决在fdtd中实现表面阻抗边界条件的过程中，对表面阻抗进行有理近似时，参数计算较为复杂的问题，本发明提供一种新的展开方式，即一种基于泰勒展开的表面阻抗边界条件方法，泰勒展开的系数无需借助计算机程序，可直接由展开公式计算得到。
[0030]
一种基于泰勒展开的表面阻抗边界条件方法(如图2所示)，具体步骤如下：
[0031]
步骤1、建立媒质交界面上的频域电磁场方程(1)并得到频域表面阻抗的表达式(2)。
[0032]
步骤2、将频域电磁场方程(1)以及频域表面阻抗(2)转化到拉普拉斯域，得到切向电场的象函数方程以及表面阻抗的象函数。
[0033]
步骤3、为了使表面阻抗的象函数(4)易于拉普拉斯反演，需要对表面阻抗的象函数进行泰勒展开作近似处理，得到表面阻抗象函数的近似值。泰勒展开的目的：避免直接用公式(4)进行拉普拉斯反演带来修正贝塞尔函数，从而使处理过程变得简单。
[0034]
即按以下方式对表面阻抗的象函数进行泰勒展开，取前l阶的和作为其近似值，具体为：将看成整体，对表面阻抗的象函数(4)进行泰勒展开，得到：
[0035][0036]
其中，l为泰勒展开的阶数，π为连乘符号。
[0037]
对式子(6)作拉普拉斯反演，得到时域表面阻抗表达式：
[0038][0039]
其中，t为时间，δ(t)为单位冲激函数，u(t)为单位阶跃函数，！为阶乘符号。
[0040]
步骤4、将表面阻抗象函数的近似值(6)带入切向电场的象函数方程(3)，然后对切向电场的象函数方程作拉普拉斯反演，得到卷积形式的切向电场方程。
[0041]
步骤5、对卷积形式的切向电场方程进行离散化处理，得到切向电场分量的离散迭代式。至此在fdtd中实现了表面阻抗边界条件。
[0042]
本发明与现有技术相比，其显著优点是：
[0043]
(1)避免了直接进行时域变换的maloney-smith法中出现的修正贝塞尔函数，降低了算法的难度；
[0044]
(2)避免了有理近似法中参数的复杂计算，降低了计算机的实现成本，有理近似法随着展开项数的提高，参数的计算会越来越复杂，而泰勒展开的参数可以直接由公式计算得出；
[0045]
(3)本发明的一个巧妙之处是将看成整体进行泰勒展开，而不是直接按s展开。如果按s展开，展开后的子项将无法进行拉普拉斯反演得到时域表达式，展开后没有实质性用处，而按展开得到的子项全都可以直接进行拉普拉斯反演得到时域表达式。
附图说明
[0046]
图1为不同媒质交界面示意图；
[0047]
图2为本发明在fdtd中实现表面阻抗边界条件的流程图；
[0048]
图3为实施例中使用本发明计算得到的反射系数与理论值的对比图。
具体实施方式
[0049]
下面结合实施例和附图对本发明作进一步详细说明。
[0050]
以有耗媒质半空间为例，媒质1为真空，媒质2为有耗媒质，参数分别为：ε1＝ε2＝8.854187817
×
10-12
f/m，μ1＝μ2＝4π
×
10-7
n/a2，σ1＝0s/m，σ2＝100s/m。将分界面处设为阻抗边界条件，使用本发明进行迭代计算。
[0051]
步骤1、建立媒质交界面上的频域电磁场方程(1)并得到频域表面阻抗的表达式
(2)。
[0052]
步骤2、将频域电磁场方程(1)以及频域表面阻抗(2)转化到拉普拉斯域，得到切向电场的象函数方程以及表面阻抗的象函数。
[0053]
步骤3、为了使表面阻抗的象函数(4)易于拉普拉斯反演，需要对表面阻抗的象函数作近似处理，得到表面阻抗象函数的近似值。
[0054]
即按一定的方式对表面阻抗的象函数进行泰勒展开，取前7阶的和作为其近似值。具体为：将看成整体，对实值表面阻抗表达式(4)进行泰勒展开，得到：
[0055][0056]
其中，
[0057]
对式子(8)作拉普拉斯反演，得到时域表面阻抗表达式：
[0058][0059]
步骤4、将表面阻抗象函数的近似值(8)带入切向电场的象函数方程(3)，然后对切向电场的象函数方程作拉普拉斯反演，得到卷积形式的切向电场方程。
[0060]
步骤5、对卷积形式的切向电场方程进行离散化处理，得到切向电场分量的离散迭代式，至此在fdtd中实现了表面阻抗边界条件。
[0061]
图3为实施例采用本发明计算而得的反射系数与理论值的对比，包括反射系数的相位和幅值，从图中可以看出本发明具有可行性，尤其是在高频段与理论值有很好的符合度。
[0062]
通过以上实施例可见，本发明提供了一种巧妙的泰勒展开方式，展开式中的子项可以轻松作拉普拉斯反演，说明这种展开方式可以用于对表面阻抗的近似。本发明的实现过程简单，参数计算简单，避免了直接进行时域变换的maloney-smith法中出现的修正贝塞尔函数，降低了算法的难度，同时也避免了有理近似法中参数的复杂计算，降低了计算机的实现成本。