使用改进的近等角紧框架(NETF)矩阵实现高数据速率的通信系统和方法与流程

使用改进的近等角紧框架(netf)矩阵实现高数据速率的通信系统和方法
1.关于联邦政府利益的声明
2.美国政府持有本发明的非排他性、不可撤销、免版税许可，有权为所有美国政府目的授予许可。
3.相关申请的交叉引用
4.本技术要求于2020年6月23日提交的标题为“communication system and method for achieving high data rates using modified nearly-equiangular tight frame(netf)matrices”的美国专利申请no.16/909,175的优先权并且是其延续，该专利申请是于2019年9月4日提交的标题为“communication system and method for achieving high data rates using modified nearly-equiangular tight frame(netf)matrices”的美国专利申请no.16/560,447的延续，并且本技术也要求于2019年9月4日提交的标题为“communication system and method for achieving high data rates using modified nearly-equiangular tight frame(netf)matrices”的美国专利申请no.16/560,447的优先权并且是其延续，这些专利申请中的每一个的全部内容通过引用整体并入本文用于所有目的。
5.本技术与于2018年7月10日发布的标题为“reliable orthogonal spreading codes in wireless communications”的美国专利no.10,020,839；于2019年7月1日提交的标题为“communication system and method using layered construction of arbitrary unitary matrices”的美国专利申请no.16/459,262；于2019年7月1日提交的标题为“systems,methods and apparatus for secure and efficient wireless communication of signals using a generalized approach within unitary braid division multiplexing”的美国专利申请16/459,245；以及于2019年7月1日提交的标题为“communication system and method using orthogonal frequency division multiplexing(ofdm)with non-linear transformation”的美国专利申请16/459,254相关；这些专利申请中的每一个的公开内容通过引用整体并入本文用于所有目的。
技术领域
6.本描述涉及用于传输用于电子通信的无线信号的系统和方法，并且特别地涉及增加无线通信的数据速率并降低无线通信的计算复杂度。


背景技术：

7.在多址通信中，多个用户设备通过给定的通信信道向接收器传输信号。这些信号叠加在一起，形成在该信道上传播的组合信号。接收器然后对组合信号执行分离操作以从组合信号中恢复一个或多个单独的信号。例如，每个用户设备可以是属于不同用户的蜂窝电话，并且接收器可以是蜂窝塔。通过分离由不同用户设备传输的信号，不同用户设备可以共享相同的通信信道而不受干扰。
8.发送器可以通过改变载波或子载波的状态来传输不同的符号，诸如通过改变载波的幅度、相位和/或频率。每个符号可以表示一个或多个位。这些符号每个都可以映射成复平面中的离散值，从而产生正交幅度调制，或者通过将每个符号分配给离散频率，产生频移键控。然后以奈奎斯特速率对符号进行采样，该速率至少是符号传输速率的两倍。所得信号通过数模转换器转换成模拟的，然后上变换成载波频率进行传输。当不同的用户设备在通信信道上同时发送符号时，这些符号所表示的正弦波会叠加在一起，形成在接收器处接收到的组合信号。


技术实现要素：

9.一种用于实现高数据速率的方法包括基于传入的数据向量生成符号集合。该符号集合包括k个符号，k是正整数。生成包括等角紧框架(etf)变换或近等角紧框架(netf)变换的第一变换矩阵，其维度为n
×
k，其中n是正整数并且具有小于k的值。基于第一变换矩阵生成维度为k
×
k的第二变换矩阵。通过对第二变换矩阵执行一系列酉变换来生成维度为k
×
k的第三变换矩阵。基于第三变换矩阵和符号集合，第一数据向量被变换成长度为n的第二数据向量。表示第二数据向量的信号被发送到发送器，用于将表示第二数据向量的信号传输到接收器。
10.在附图和以下描述中阐述一种或多种实施方式的细节。从描述和附图以及从权利要求中，其它特征将是清楚的。
附图说明
11.图1是例示根据实施例的示例电子通信系统的框图。
12.图2a是例示根据实施例的用于生成和传输变换符号的第一示例方法的流程图。
13.图2b是例示用于生成和传输变换符号的第一示例方法的替代实施方式的流程图。
14.图3是例示根据实施例的用于生成和传输变换符号的第二示例方法的流程图。
15.图4是根据实施例在用于产生快速etf的示例方法期间生成的线图(wire diagram)。
16.图5a是例示根据实施例的使用任意矩阵的分层构造的通信方法的流程图。
17.图5b是例示使用任意矩阵的分层构造的通信方法的替代实施方式的流程图。
18.图6是例示向量的离散傅里叶变换(dft)的图。
19.图7是根据实施例的使用酉矩阵的分层构造进行通信的系统的示意图。
具体实施方式
20.无线信号通信的一些已知方法包括正交频分复用(ofdm)，它是一种在多个载波频率上编码数字数据的方法。ofdm方法已适于允许应对通信信道的状况(诸如衰减、干扰和频率选择性衰落)的信号通信。但是，随着通信系统(诸如ofdm系统)内发送器数量的增加，带宽可能变得过载，从而导致传输速度受到影响。因此，需要改进的系统、装置和方法，以针对(例如，ofdm系统内)通信信道的给定数量的子载波，促进信号的“快速”(即，高速)无线通信。
21.本文阐述的一些实施例通过生成等角紧框架(etf)或近等角紧框架(netf)并将
etf或netf转换/变换为酉等价且足够稀疏的矩阵，使得它能够以高速方式被应用(例如，作为用于变换输入向量和/或要传输的符号的代码)来解决前述挑战。如本文所使用的，etf是指单位向量的序列或集合，其成对内积在welch界限中达到相等，因此在投影空间中产生最佳封装。etf可以包括比投影空间的维数更多的单位向量，并且可以选择单位向量，使得它们尽可能接近相互正交(即，使得所有成对点积的幅值的最大值尽可能小)。netf是etf的近似值，对于给定的一对维度，可以在不存在etf或无法准确构建etf的情况下使用netf代替etf。本文阐述的系统和方法通过将etf/netf变换成具有稀疏分解的酉等价形式来促进快速etf和快速netf的应用，因此能够以高速方式被应用。
22.在一些实施例中，代替n x n酉矩阵，使用n x k(其中k》n)etf或netf，使得n个子载波容纳k个符号。使用n x k etf或netf会产生多用户干扰，但以一种可以有效缓解的非常可预测和可控的方式。由于将n x k矩阵应用于长度为k的向量可能涉及o(kn)次乘法(即，高计算复杂度)，因此本文阐述的实施例包括将etf或netf变换成能够以高速方式应用、计算复杂度为例如o(n)的足够稀疏的酉矩阵。
23.在一些实施例中，一旦已经定义了etf/netf，就“完成”了etf/netf，以形成酉矩阵。如本文所定义的，“完成”是指将(k-n)行添加到n x k etf/netf，使得所得k x k矩阵是酉矩阵。然后可以对完成的矩阵执行一系列酉变换以使其稀疏，但仍然是酉等价etf/netf。换句话说，结果是酉矩阵，其中k列中的n列形成稀疏etf/netf(在本文中也称为快速etf或快速netf)。因为这个etf/netf是稀疏的，因此它可以被分解成少量的运算。在一些这样的实施方式中，k个符号的块在系统处被接收或被引入到系统中，并使用快速etf/netf来作用，从而产生长度n的向量。然后可以将快速n x n酉变换(例如，如下面参考图5-图9所示和讨论的)应用于长度n的向量，例如以增强通信的安全性。如本文所使用的，“快速”或“高速”变换是指可以使用不差于o(n log n)或o(k log k)浮点运算量级的工作来执行的变换，和/或通过(1)完成起始矩阵和(2)通过一系列酉变换使完成的矩阵变得稀疏而生成的矩阵。在上文中，o(n log n)和o(k log k)表达式中的“o”为“大o”数学符号，指示相关函数/运算所逼近的近似值。
24.在一些实施例中，k个符号的块在系统处被接收或被引入到系统中，并且首先通过非线性变换来作用(例如，如于2019年7月1日提交的标题为“communication system and method using orthogonal frequency division multiplexing(ofdm)with non-linear transformation”的美国专利申请16/459,254中所示和描述的，其全部内容通过引用整体并入本文用于所有目的)，随后进行快速etf/netf以生成长度n的向量，随后对长度n的向量应用快速n x n酉变换(例如，如下面参考图5-图9所示和讨论的)，例如以增强通信的安全性。在其它实施例中，在将快速etf/netf应用于输入向量以生成长度n的向量之后，应用完整的“快速”或高速酉编织分路复用(ubdm)变换(包括非线性分量)。作为示例，示例ubdm实施方式可以在上面引用的美国专利申请16/459,254中找到。
25.本文中阐述的一些实施例使用一个或多个etf和/或netf来促进增加数字通信的数据速率，而不增加带宽、调制或使用的子载波的数量。示例方法包括接收或生成长度为k＞n的数据向量，使得传入的数据向量为(其中是k维复空间)。换句话说，是包含k个复数的向量。识别包括nxk矩阵的生成矩阵。然后可以按如下方式生成“压缩的”数据向量：
[0026][0027]
其中这将中的值降低到较低维度的空间。通过选择a作为netf，可以最小化向量之间的重叠。虽然上述压缩方法可能会导致包含由a的列之间的非正交重叠引入的错误，但可以使这种重叠最小化/尽可能小，以最大化恢复数据的机会。
[0028]
nx k netfa的应用将具有o(nk)的计算复杂度。但是，为了降低计算复杂度，可以识别一大类快速netf。例如，矩阵可以被识别使得以下为真：
[0029]
·
能够以“快速”或高速的方式应用a(使用不差于o(n logn)或o(k logk)的量级的工作)，
[0030]
·
使得产生以下结果(其中是a的共轭转置)：
[0031][0032]
示例矩阵(0.02)的对角元素正好为1，并且非对角元素的幅值为μ，其等于welch界限，
[0033][0034]
示例矩阵(0.02)的行可以被归一化，使得(其中iin是nxn单位矩阵)。换句话说，可以识别出既是netf又是可以“快速”运算的矩阵(即，计算复杂度不差于o(n logn)或o(k logk))的矩阵。
[0035]
完成netf
[0036]
在一些实施例中，给定netf，可以将行添加到netf以完成它，从而将其变换成酉矩阵。换句话说，给定netf期望找到使得完成的矩阵如下定义，其中nxk“a”矩阵堆叠在(k-n)xk“b”矩阵的顶部以形成更大的组合矩阵：
[0037][0038]
再次考虑矩阵(0.02，以上)。矩阵的特征值是具有重数n的和具有重数k-n的0。因此，考虑矩阵
[0039][0040]
如果是的特征向量，特征值为λ(其中λ为0或k/n)，那么因为
[0041][0042]
其中是这个新矩阵的特征向量，特征值为0(当＝k/n时)或k/n(当λ＝0时)，所以可以观察到这个新矩阵的秩为k-n。由此，存在使得：
[0043][0044]
为了找到这个矩阵，首先计算的特征分解：
[0045][0046]
然后，随后是：
[0047][0048]
其中被d截断为仅包含具有非零特征值的列。现在，(0.0.4)中的矩阵满足：
[0049][0050]
由此，重新定义
[0051][0052]
可以观察到是netfa的酉完成。
[0053]
使完成的netf快速
[0054]
在一些实施例中，可以识别netf的酉完成的快速版本，使得前n行中的列仍然形成netf。例如，取任何kxk酉矩阵，其前n行形成etf(以其列)(换句话说，每列的前n个分量形成netf)，可以执行形式的酉变换，其中w是u(k-n)的任何元素，结果具有前n行形成列netf的属性。
[0055]
例如，给定以下形式的完成的netf
[0056][0057]
其中a是netf，完成的netf可以用以下形式的酉来作用
[0058][0059]
其中u是nxn酉矩阵，并且w是(k-n)x(k-n)酉矩阵。
[0060]
所得矩阵
[0061][0062]
将仍然是酉的，并且将具有这样的性质，通过仅取前n行，获得nxk矩阵ua，然后因
为
[0063][0064]
(cf(0.0.2))，前n行的netf性质已被保留。
[0065]
由此，给定netfa并完成它以产生可以使用例如仅作用于前n行的酉矩阵来应用任何期望的变换，并且结果仍将在前n行中包括netf。
[0066]
接下来，观察到，给定任何向量
[0067][0068]
其中a，矩阵可以由以下形式构成：
[0069][0070]
这个矩阵将是酉的，并且如下作用于
[0071][0072]
使用(0.0.17)形式的矩阵，初始矩阵的分量可以一个接一个地归零，直到它具有以下形式：
[0073]
(0.0.19)
[0074]
矩阵(0.0.19)是其中在前n行中，第n行以(n-1)个前导零开始，并且允许其它所有内容保持非零的矩阵。生成矩阵(0.0.19)将包括次酉运算，例如对应于o(n2)的计算复杂度。由于矩阵(0.0.19)的生成可以是只执行一次的工作，因此它可以是多项式的。注意的是，由于仅酉矩阵被用于对前n行进行作用，因此前n行的列仍然形成netf。进而，该netf可以用作“快速”或高速netf。
[0075]
从这个新的(酉)完成的矩阵(具有如上所示的零三角形)开始，可以用((0.0.17)形式的)酉对完成的矩阵进行作用，该酉将最后的k-n行的非零分量之一清零。换句话说，可以将矩阵j1∈u(k)应用于完成的矩阵，如下：
[0076][0077]
然后可以用另一个酉矩阵j2对该新矩阵进行作用，该酉矩阵j2将最后的k-n行中的另一个非零分量清零，如下：
[0078][0079]
上述过程可以继续，直到的所有下部非对角线元素都为零。注意的是，因为是酉的，因此不需要单独将对角线上方的任何元素归零，因为将下部非对角线归零将自动把上部非对角线归零。将所有下部非对角线归零可能涉及
[0080][0081]
次酉操作。如果δ≡k-n，那么这为：
[0082][0083]
其计算复杂度为o(n)。
[0084]
作为前述过程的结果，已经使用j1，j2，...，j
δn 1δ(δ-1)
将变换成单位矩阵。换句话说，如果将表示为如(0.0.19)中具有零三角形的酉矩阵，那么得到以下：
[0085][0086]
因此，
[0087][0088]
由于是完成的netf(即，前n行的列形成netf)，并且可以由o(n)个酉矩阵的乘积形成，其中每个酉矩阵都是稀疏的，因此已识别快速netf。注意的是，在这个阶段，只执行了o(n)工作(即，o(n)的计算复杂度)。如果附加的计算资源可用(例如，如果减少工作或计算复杂性不是优先事项)，那么可以将中零三角形的附加值保留成非零，并将它们作为ji矩阵包含在内。在一些实施方式中，长度k的数据块进入系统，并且作为第一步骤，通过
o(n)工作来应用快速netf，将数据块减少到大小n《k，然后通过o(n log n)工作来应用快速酉，例如以添加安全特征，相关联的复杂度为o(n log n n]＝o(n log n)。
[0089]
系统概览
[0090]
图1是例示根据实施例的示例电子通信系统的框图。如图1中所示，系统100包括一个或多个信号发送器120和一个或多个信号接收器150。每个信号发送器120可以包括以下中的一个或多个：处理电路系统124、收发器电路系统140(即，用于传输信号的电路系统和用于接收信号的电路系统)和非暂态处理器可读存储器126。存储器126可以存储符号128、变换矩阵130、变换符号132、数据向量134、置换136或原始变换矩阵(primitive transformation matrix)138。数据(例如，符号128)可以例如从一个或多个远程计算设备和/或经由可操作地耦合到(一个或多个)信号发送器120的本地界面(例如，图形用户界面(gui))在(一个或多个)信号发送器120处接收。类似地，每个信号接收器150可以包括以下中的一个或多个：处理电路系统152、收发器电路系统168(即，用于传输信号的电路系统和用于接收信号的电路系统)，以及非暂态处理器可读存储器154。存储器154可以存储符号156、变换矩阵158、变换符号160、数据向量162、置换164或原始变换矩阵166。(一个或多个)信号发送器120可以经由传输介质的一个或多个通信信道(例如，自由空间、无线或有线局域网、无线或有线广域网等)将信号传输到(一个或多个)信号接收器150。
[0091]
一个或多个信号发送器120和一个或多个信号接收器150的存储器126和154中的每一个分别可以存储可由相关联的处理电路系统(分别为124和152)读取以执行方法步骤的指令。替代地或附加地，指令和/或数据(例如，符号156、变换矩阵158、变换符号160、数据向量162、置换164和/或原始变换矩阵166)可以存储在存储介质112和/或114(例如，远程计算设备的存储器)中并且可例如经由无线或有线通信分别被(一个或多个)信号发送器120和/或(一个或多个)信号接收器150访问。例如，一个或多个信号发送器120可以存储和/或访问指令以生成包括k个符号的符号集合，其中k是正整数，并生成第一变换矩阵。第一变换矩阵可以包括等角紧框架(etf)变换或近等角紧框架(netf)变换，具有n
×
k维度，其中n是正整数并且具有小于k的值。一个或多个信号发送器120还可以存储和/或访问指令以基于第一变换矩阵生成第二变换矩阵(例如，通过向第一变换矩阵添加k-n行)，第二变换矩阵具有维度k
×
k。一个或多个信号发送器120还可以存储和/或访问指令以通过对第二变换矩阵执行一系列酉变换来生成第三变换矩阵(例如，具有o(n log
2 n)个算术运算或o(n)个算术运算的计算复杂度或成本)，第三变换矩阵具有维度k x k，并且基于第三变换矩阵和符号集合产生变换符号集合(例如，通过至少基于层集合中的一层对符号集合中的每个符号进行编码)。第二变换矩阵和/或第三变换矩阵可以包括酉变换。产生变换符号集合可能具有o(n log
2 n)个算术运算的计算复杂度。一个或多个信号发送器120可以包括天线阵列集合(未示出)，其被配置为执行多输入多输出(mimo)操作。在一些实施例中，一个或多个信号发送器120还存储将第三变换矩阵分解成层集合的指令，该层集合中的每一层包括置换和具有维度m
×
m的原始变换矩阵，m是正整数，具有小于n的值。
[0092]
图2a是例示根据实施例的用于生成和传输变换符号的第一示例方法的流程图。如图2a中所示，方法200a包括在210处经由第一计算设备的处理器基于传入的数据向量生成符号集合。符号集合包括k个符号，其中k是正整数。然后在212处生成第一变换矩阵，该第一变换矩阵包括等角紧框架(etf)变换或近等角紧框架(netf)变换中的一个。第一变换矩阵
的维度为n
×
k，其中n是正整数，具有小于k的值。方法200还包括在214处基于第一变换矩阵来生成第二变换矩阵(例如，通过向第一变换矩阵添加k-n行)。第二变换矩阵的维度为k
×
k。在216处，通过对第二变换矩阵执行一系列酉变换(例如，具有o(n)个算术运算的相关联计算成本)，生成第三变换矩阵。第三变换矩阵的维度为k
×
k。第二变换矩阵和/或第三变换矩阵可以包括酉变换。在218处，基于第三变换矩阵和符号集合，将第一数据向量变换成具有长度n的第二数据向量。在220处，将表示第二数据向量的信号发送到发送器，用于将表示第二数据向量的信号从发送器传输到恢复传输消息的接收器。接收器可以包括天线阵列的集合。接收器和发送器可以被配置为执行多输入多输出(mimo)操作。
[0093]
虽然未在图2a中示出，但在一些实施例中，方法200还包括在将表示第二数据向量的信号从发送器传输到接收器之前，将表示第三变换矩阵的信号发送到第二计算设备，用于在接收器处恢复符号集合(即，恢复消息)。替代地或附加地，在一些实施例中，方法200还包括将第三变换矩阵分解成层集合，该层集合中的每一层包括置换和具有维度m
×
m的原始变换矩阵，m是正整数，具有小于n的值。第二数据向量可以基于该层集合中的至少一个层。
[0094]
图2b是例示根据实施例的用于生成和传输变换符号的第一示例方法的替代实施方式的流程图。如图2b中所示，方法200b包括在210处经由第一计算设备的处理器基于传入的数据向量生成符号集合。该符号集合包括k个符号，其中k是正整数。在211处，对符号集合应用非线性变换以产生变换符号集合。然后在212处生成第一变换矩阵，该第一变换矩阵包括等角紧框架(etf)变换或近等角紧框架(netf)变换中的一个。第一变换矩阵的维度为n
×
k，其中n是正整数，具有小于k的值。方法200还包括在214处基于第一变换矩阵生成第二变换矩阵(例如，通过向第一变换矩阵添加k-n行)。第二变换矩阵的维度为k
×
k。在216处，通过对第二变换矩阵执行一系列酉变换(例如，具有o(n)个算术运算的相关联计算成本)来生成第三变换矩阵。第三变换矩阵的维度为k
×
k。第二变换矩阵和/或第三变换矩阵可以包括酉变换。在218处，基于第三变换矩阵和符号集合，第一数据向量被变换成具有长度n的第二数据向量。在219处，对第二数据向量应用快速酉变换以产生第三数据向量。在220处，将表示第三数据向量的信号发送到发送器，用于将表示第三数据向量的信号从发送器传输到恢复传输消息的接收器。接收器可以包括天线阵列的集合。接收器和发送器可以被配置为执行多输入多输出(mimo)操作。
[0095]
图3是例示根据实施例的用于生成和传输变换符号的第二示例方法的流程图。如图3中所示，方法300包括在310处经由接收器接收符号集合。该符号集合包括k个符号，其中k是正整数。在312处，基于具有维度k
×
k的稀疏变换矩阵和符号集合产生第一变换符号集合(例如，如以上所讨论的，应用快速etf)。产生第一变换符号集合可能具有o(n log2n)个算术运算的相关联计算复杂度。在314处，基于第一变换符号集合产生第二变换符号集合。在314处产生第二变换符号集合可以包括迭代过程，该迭代过程的每次迭代包括：(a)置换，然后是(b)应用具有维度m
×
m的至少一个原始变换矩阵，m是正整数。产生第二变换符号集合可能具有o(n log2n)个算术运算的相关联计算复杂度。方法300还包括在316处从发送器(例如，以比使用已知的接收器技术可以实现的速率更快的速率向随后恢复原始符号集合的接收器)传输表示第二变换符号集合的信号。发送器可以包括天线阵列的集合，并且可以被配置为执行mimo操作。
[0096]
在一些实施例中，方法300的稀疏变换矩阵是第三变换矩阵，并且方法300还包括
经由可操作地耦合到发送器的计算设备的处理器生成第一变换矩阵。第一变换矩阵包括etf变换或netf变换，第一变换矩阵具有维度n
×
k，其中k是正整数并且k具有大于n的值。可以基于第一变换矩阵生成具有维度k
×
k的第二变换矩阵。可以通过对第二变换矩阵执行一系列酉变换来生成第三变换矩阵。
[0097]
快速etf构造的示例
[0098]
本节阐述了用于产生快速etf的示例算法。假设向量(n，k)＝(3，4)，其welch界限为
[0099][0100]
接下来，假设基于向量(n，k)生成如下netf(四舍五入到小数点后两位)：
[0101][0102]
取各项的绝对值，可以直接确认：
[0103][0104]
接下来，可以如下构造：
[0105][0106]
然后可以找到矩阵(0.0.29)的特征分解，其中
[0107][0108]
并且
[0109][0110]
将这些相乘以获得
[0111][0112]
然后可以被构造如下：
[0113][0114]
矩阵是酉的。接下来，可以将上n x n块中的下非对角三角形清零。例如，(1，1)分量可以用于将(2，1)分量归零。对此的单位酉矩阵是：
[0115][0116]
(2，1)分量可以通过作用于来消除，此矩阵扩展为适当的4
×
4。换句话说，
[0117][0118]
接下来，可以通过从(1，1)和(3，1)分量构造相同的矩阵来去除(3，1)分量。这个乘法是：
[0119][0120]
能够以类似的方式执行附加的矩阵运算，直到达到：
[0121][0122]
矩阵(0.0.37)是将作为预处理步骤的一部分获得的零模式(pattern of zeros)。的前三行将是要使用的3
×
4etf。
[0123]
接下来，可以构造的稀疏分解。注意的是，要消除三个项：(4，1)分量、(4，2)分量和(4，3)分量。为了实现这一点，(从(1，1)和(4，1)分量)构造酉：
[0124][0125]
这导致为：
[0126][0127]
继续这个过程，使用2，2分量来消除(4，2)分量，矩阵：
[0128][0129]
将与j2相乘得到：
[0130][0131]
接下来，可以使用(3，3)分量消除(4，3)分量，使用：
[0132][0133]
这给出：
[0134][0135]
然后，为了在最后一项上设置正确的相位，可以将矩阵(0.0.43)乘以最后一项j4：
[0136]
[0137]
这样的乘法产生：
[0138][0139]
使得：
[0140][0141]
并且可以执行乘法(0.0.46)以确认它匹配(0.0.37)。
[0142]
在前述的示例实施方式中，给定四个数据符号的向量可以如图4中所示构造线图。图4的线和数字能够以类似于诸如下面参考图6所示和所描述的离散傅里叶变换(dft)图的线和数字的方式，或者以类似于快速傅里叶变换(fft)图的线和数字的方式进行理解，即将给定值乘以其传入线旁边的数字，然后在节点处将这些值相加。例如，标有x的节点应理解为在顶行输入的值乘以-.59 .39i，然后加上从底部输入的数字乘以0.58-.41i。一旦获得图4中所示操作的输出，就可以截断最后的k
–
n＝4-3＝1个值，只保留最前面的n＝3(即，向量“n”)。这个向量n是然后可以被传输的符号的“重载”列表。在一些实施例中，向量n可以通过任意快速通用酉进一步操作，例如以美国专利申请no.16/459,262中描述的形式，该专利申请通过引用并入本文，并且如下所讨论的。一旦在接收器处接收到，任何快速通用酉可以从向量n中移除，并且接收器可以将接收到的(长度n)向量“补零”(即，添加/附加零)至长度k，并应用的(快速)逆。
[0143]
示例快速酉变换-系统和方法
[0144]
图5a是例示根据实施例的使用任意矩阵的分层构造(例如，作用于由上述etf/netf变换产生的长度n的向量)的通信方法的流程图。方法500a包括在510处经由第一计算设备的第一处理器生成多个符号。方法500还包括在520处对多个符号中的每个符号应用大小为n
×
n的任意变换以产生多个变换符号，其中n是正整数。任意变换包括迭代过程(例如，包括多个层)，并且每次迭代包括：1)置换，随后是2)应用大小为m
×
m的至少一个原始变换矩阵，其中m是正整数，具有小于或等于n的值。
[0145]
在530处，表示多个变换符号的信号被发送到多个发送器，该多个发送器将表示多个变换符号的信号传输到多个接收器。方法500a还包括在540处将表示任意变换的信号发送到第二计算设备，用于在传输多个变换符号之前将任意变换传输到多个信号接收器，以在多个信号接收器处恢复多个符号。
[0146]
图5b是例示图5a的方法500a的替代实施方式的流程图。方法500b包括在510处经由第一计算设备的第一处理器生成多个符号。在515处，对多个符号应用非线性变换以产生第一多个变换信号。方法500b还包括在520处对第一多个变换符号中的每个变换符号应用大小为n
×
n的任意变换以产生第二多个变换符号，其中n是正整数。任意变换包括迭代过程(例如，包括多个层)，并且每次迭代包括：1)置换，随后是2)应用大小为m
×
m的至少一个原始变换矩阵，其中m是正整数，具有小于或等于n的值。
[0147]
在530处，表示第二多个变换符号的信号被发送到多个发送器，该多个发送器将表示第二多个变换符号的信号传输到多个接收器。方法500b还包括在540处将表示任意变换的信号发送到第二计算设备，用于在传输第二多个变换符号之前将任意变换传输到多个信
号接收器，以在多个信号接收器处恢复多个符号。
[0148]
在一些实施例中，多个信号接收器包括多个天线阵列，并且多个信号接收器和多个信号发送器被配置为执行多输入多输出(mimo)操作。在一些实施例中，任意变换包括酉变换。在一些实施例中，任意变换包括傅里叶变换、沃尔什(walsh)变换、哈尔(haar)变换、倾斜变换或托普利兹(toeplitz)变换之一。
[0149]
在一些实施例中，来自至少一个原始变换矩阵的每个原始变换矩阵具有幅值为2的维度(例如，长度)，并且迭代过程的迭代次数为log
2 n。在一些实施例中，任何其它适当的长度可以用于原始变换矩阵。例如，原始变换矩阵的长度可以大于2(例如，3、4、5等)。在一些实施例中，原始变换矩阵包括多个具有不同维度的较小矩阵。例如，原始变换矩阵可以包括块u(m)矩阵，其中m可以是单个层内或不同层之间的不同值。
[0150]
可以参考离散傅里叶变换(dft)更详细地检查方法500a和500b(例如，520)中的快速矩阵运算。不受任何特定理论或操作模式的约束，向量的dft，表示为具有分量bk，可由下式给出：
[0151][0152]
其中
[0153]
一般而言，当使用朴素矩阵乘法(naive matrix multiplication)来执行时，dft涉及n2次乘法，如等式(18)所示。但是，整体(unity)的根ωn具有一组对称性，其可以减少乘法的次数。为此，等式(18)中的总和可以被分为偶数项和奇数项，如下所示(现在假设n是2的倍数)：
[0154][0155]
此外：
[0156][0157]
因此bk可以写成：
[0158][0159]
现在k超过n的范围两倍。但考虑以下等式：
[0160][0161]
因此，可以容易地计算出n/2点傅里叶变换中k个值的“后半部分”。
[0162]
在dft中，获得bk的原始总和涉及n次乘法。上面的分析把原始总和分成两组总和，每组都涉及n/2次乘法。现在n上的总和是从0到n/2-1，而不是在偶数或奇数上。这允许以与上面所做完全相同的方式再次将它们分成偶数项和奇数项(假设n/2也是2的倍数)。这会产生四个总和，每个总和都有n/4项。如果n是2的幂，那么分解过程可以一直持续到2点dft乘法。
[0163]
图6是例示向量的离散傅里叶变换(dft)的图。ωn值乘以每个节点的较低传入线上的数字。在图6中的三列的每一列处，有n次乘法，列数在达到2之前可以除以2，即，log(n)。相应地，该dft的复杂度为o(n*logn)。
[0164]
上述分析可以扩展到dft的上下文之外，如下所示。首先，对向量中的传入值执行置换以生成置换向量。置换通常是o(1)操作。然后，对置换向量的元素对执行一系列u(2)矩阵乘法。上面dft示例的第一列中的u(2)值都是：
[0165][0166]
u(2)矩阵乘法也可以使用其它矩阵(除了(23)中所示的矩阵)来执行。例如，可以使用任何矩阵其中指定直接和，从而给这个矩阵块对角结构。
[0167]
如本文所述，一个置换和一系列u(2)矩阵乘法的组合可以被视为一层。利用附加层，该过程可以继续，每个附加层都包括一个置换和与中的又一个矩阵的乘法。在一些实施例中，分层计算可以重复大约log(n)次。在一些实施例中，层数可以是任何其它值(例如，在可用计算能力内)。
[0168]
上述分层计算的结果包括以下形式的矩阵：
[0169][0170]
其中ai表示第i个矩阵乘法系列，并且pi表示第i层中的第i个置换。
[0171]
因为置换和a矩阵都是酉的，因此也可以容易地计算逆。在上述分层计算中，置换在计算上是免费的，并且计算成本来自ai矩阵中的乘法。更具体而言，计算包括在每个ai中总共2n次乘法，并且有ai矩阵的log(n)。相应地，计算包括总共2n*log(n)或o(n*log(n))个操作，这与ofdm的复杂度相当。
[0172]
分层计算可以与任何其它块u(m)矩阵一起应用。例如，ai矩阵可以是或也可以使用m的任何其它数字。此外，置换和块u(m)矩阵的任何组合也可以用于这种可允许的分层计算。
[0173]
在一些实施例中，能够以非连续方式执行一层内的置换和块u(m)变换。例如，在置换之后，可以紧接在块u(m)变换之前执行任何其它操作。在一些实施例中，置换之后没有另一个置换，因为置换是酉群的闭合子群。在一些实施例中，块u(m)变换之后没有另一个块u
(m)变换，因为它们也形成酉群的闭合子群。换句话说，将bn表示为块u(n)，并且将p表示为置换，那么可以执行像和之类的操作。作为对照，像和之类的操作可以是多余的，因为这里两个置换或两个块u(m)变换是连续的。
[0174]
构造酉矩阵的分层方法还可以确保所得通信系统的安全性。与完整组u(n)相比，所得通信的安全性可以取决于快速酉矩阵的矩阵空间大小。
[0175]
图7是根据实施例的使用酉矩阵的分层构造进行通信的系统的示意图。系统700包括多个信号发送器710(1)到710(i)(统称为发送器710)和多个信号接收器720(1)到720(j)(统称为接收器720)，其中i和j都是正整数。在一些实施例中，i和j可以相等。在一些其它实施例中，i可以不同于j。在一些实施例中，发送器710和接收器720被配置为执行多输入多输出(mimo)操作。
[0176]
在一些实施例中，发送器710可以与图7中所示和上面描述的信号发送器720基本相同。在一些实施例中，接收器720可以与图7中所示和上面描述的信号接收器730基本相同。在一些实施例中，每个发送器710包括天线并且发送器710可以形成天线阵列。在一些实施例中，每个接收器包括天线并且接收器720也可以形成天线阵列。
[0177]
系统700还包括可操作地耦合到信号发送器710的处理器730。在一些实施例中，处理器730包括单个处理器。在一些实施例中，处理器730包括一组处理器。在一些实施例中，处理器730可以被包括在一个或多个发送器710中。在一些实施例中，处理器720可以与发送器710分离。例如，处理器730可以被包括在计算设备中，该计算设备被配置为处理传入数据701，然后指示发送器710传输表示传入数据701的信号。
[0178]
处理器730被配置为基于传入数据701生成多个符号，并将大小为n
×
n的酉变换矩阵分解成层集合，其中n是正整数。每一层包括置换和至少一个大小为m
×
m的原始变换矩阵，其中m是小于或等于n的正整数。
[0179]
处理器730还被配置为使用层集合中的至少一个层对多个符号中的每个符号进行编码以产生多个变换符号。然后将表示多个变换符号的信号发送到多个发送器710用于传输到多个信号接收器720。在一些实施例中，发送器710中的每个发送器可以与接收器720中的任何接收器通信。
[0180]
在一些实施例中，处理器730还被配置为在将表示变换符号的信号传输到信号接收器720之前，向接收器720发送表示以下之一的信号：(1)酉变换矩阵，或(2)酉变换矩阵的逆。信号接收器720可以使用该信号来恢复从输入数据701生成的符号。在一些实施例中，酉变换矩阵可以用于符号恢复。在一些实施例中，可以通过使用酉变换矩阵的逆来实现恢复。
[0181]
在一些实施例中，快速酉变换矩阵包括傅里叶矩阵、沃尔什矩阵、哈尔矩阵、倾斜矩阵或托普利兹矩阵之一。在一些实施例中，原始变换矩阵具有幅值为2的维度(例如，长度)，并且层集合包括log2n个层。在一些实施例中，可以如上所述使用任何其它长度。在一些实施例中，信号接收器720被配置为将表示多个变换符号的信号传输到目标设备。
[0182]
如以上所讨论的，在一些实施例中，在传输之前使用etf(比正交矩阵更一般的变换类别)进行符号变换。etf是n《k个向量中的k个单位向量的集合，其中每个点积的绝对值等于“welch界限”。welch界限对向量的成对点积的最大绝对值施加上限。换句话说，给定n
个维度，如果使用n个以上的单位向量，那么它们不可能都相互正交。etf(或netf)是在n维中选择n》k个单位向量，它们尽可能接近所有都相互正交。对于任意数量的向量，netf存在于所有维度。
[0183]
使用etf或netf执行直接序列扩频(dsss)和/或码分多址(cdma)会破坏完美的正交性，这会继而引入多用户或码间干扰。但是，基于netf或etf的dsss/cdma确实提供了工程师可以用来设计系统的参数。例如，在其中用户只在一定比例的时间内进行传输的多用户系统中，可以显著降低多用户干扰。在这种情况下，系统设计人员可以添加用户而没有相关的性能妥协。系统设计人员还可以设计其它形式的冗余(例如，前向纠错(fec))，以使传输更能容忍干扰，或减少干扰对信号完整性的影响。
[0184]
在一些实施例中，本文阐述的码图有助于在复空间cn内构造可行的扩频码。基于伪噪声(pn)码(例如，在已知的dsss/cdma系统中使用的pn码)创建etf或netf可能具有挑战性，但是通过在cn中创建码，如本文所述，复线性代数中的大量数值方法可供使用。在一些实施方式中，使用已知算法在cn中构造etf和netf，然后应用码映射，使得虽然结果可能仍然是etf或netf，但它也构成了一组有效的扩频码。
[0185]
本文描述的各种技术的实施方式可以在数字电子电路系统中实现，或者在计算机硬件、固件、软件中或者在它们的组合中实现。实施方式可以被实现为计算机程序产品，即在信息载体中(例如，在机器可读存储设备(计算机可读介质、非暂态计算机可读存储介质、有形计算机可读存储介质，参见例如图1中的存储介质112和114)中)，或在传播信号中有形地实施以由数据处理装置(例如可编程处理器、计算机或多个计算机)进行处理或控制数据处理装置的操作的计算机程序。诸如上述(一个或多个)计算机程序之类的计算机程序能够以任何形式的编程语言编写，包括编译语言或解释语言，并且能够以任何形式部署，包括作为独立程序或作为模块、组件、子程序或其它适合在计算环境中使用的单元。可以部署计算机程序以在一个计算机上或在一个站点处的多个计算机上进行处理，或者分布在多个站点并通过通信网络互连。
[0186]
方法步骤可以由一个或多个可编程处理器执行，该处理器执行计算机程序以通过对输入数据进行操作并生成输出来执行功能。方法步骤也可以由专用逻辑电路系统执行，并且装置可以被实现为专用逻辑电路系统，例如，fpga(现场可编程门阵列)或asic(专用集成电路)。
[0187]
适合于处理计算机程序的处理器包括例如通用和专用微处理器，以及任何类型的数字计算机的任何一个或多个处理器。一般而言，处理器将从只读存储器或随机存取存储器或两者接收指令和数据。计算机的元件可以包括至少一个用于执行指令的处理器和一个或多个用于存储指令和数据的存储器设备。一般而言，计算机还可以包括或可操作地耦合以从一个或多个用于存储数据的大容量存储设备(例如，磁、磁光盘或光盘)接收数据或向其传送数据或两者。适合于实施计算机程序指令和数据的信息载体包括所有形式的非易失性存储器，包括例如半导体存储器设备，例如eprom、eeprom和闪存设备；磁盘，例如内部硬盘或可移动盘；磁光盘；以及cd rom和dvd-rom盘。处理器和存储器可以由专用逻辑电路系统补充或结合在专用逻辑电路系统中。
[0188]
为了提供与用户的交互，实施方式可以在具有用于向用户显示信息的显示设备(例如液晶显示器(lcd或led)监视器、触摸屏显示器)以及用户可以通过它们向计算机提供
输入的键盘和指向设备(例如鼠标或轨迹球)的计算机上实现。也可以使用其它类型的设备来提供与用户的交互；例如，提供给用户的反馈可以是任何形式的感官反馈，例如视觉反馈、听觉反馈或触觉反馈；并且能够以任何形式接收来自用户的输入，包括声音、语音或触觉输入。
[0189]
实施方式可以实现在包括后端组件的计算系统(例如，作为数据服务器)中，或包括中间件组件的计算系统(例如，应用服务器)中，或包括前端组件的计算系统(例如，具有图形用户界面或web浏览器的客户端计算机)中，用户可以通过其与实施方式或此类后端、中间件或前端组件的任何组合进行交互。组件可以通过任何形式或数字数据通信的介质(例如通信网络)互连。通信网络的示例包括局域网(lan)和广域网(wan)，例如，互联网。
[0190]
虽然如本文所述已经例示了所描述的实施方式的某些特征，但是本领域技术人员现在将想到许多修改、替换、改变和等效形式。因此，应该理解的是，所附权利要求旨在覆盖落入实施方式的范围内的所有此类修改和改变。应该理解的是，它们仅作为示例而不是限制的方式呈现，并且可以对形式和细节进行各种改变。本文所述的装置和/或方法的任何部分能够以除相互排斥的组合以外的任何组合进行组合。本文描述的实施方式可以包括所描述的不同实施方式的功能、组件和/或特征的各种组合和/或子组合。