一种板结构随机分析的非侵入式随机有限元方法与流程

1.本发明涉及一种针对板结构随机分析及可靠度评估的高效非侵入式随机有限元方法。


背景技术：

2.板结构在建筑、机械、航空航天和船舶等工程领域都有广泛应用。不可避免地，板结构在材料参数和几何尺寸等方面会存在一些不确定性。因此，发展随机板结构响应分析方法势在必行。随机有限元法将常规确定性有限元法拓展至随机领域，是目前广泛使用的一种随机结构不确定性量化方法。
3.随机有限元法的实现过程主要包括材料参数或几何尺寸随机场的模拟及随机有限元矩阵的构造。随机场可以用来描述随机材料参数或几何尺寸的结构空间变异性，其中，k-l展开为随机有限元领域热门的高斯随机场模拟方法。本发明采用k-l展开对随机场进行不确定量化。针对随机有限元矩阵的不同构造形式，随机有限元算法可以分为侵入式及非侵入式两大类型。侵入式随机有限元法需要修改原有的确定性有限元公式，主要包括摄动随机有限元及谱随机有限元法两类。摄动随机有限元法利用泰勒级数展开将随机性引入系统。但是由于久期项的限制，该方法仅适用于线性、弱非线性及小变异性的问题，高阶泰勒级数展开并不能显著提高对大变异性或强非线性动力学等复杂问题的计算精度。对基于多项式混沌展开提出的谱随机有限元法来说，多项式混沌展开对复杂问题的较差模拟性能限制了谱随机有限元法的适用性，且其计算成本会随着结构变异性的增大不成比例的增加。除随机响应变异性外，针对随机板结构的可靠性评估同样值得研究。因为侵入式随机有限元法最终只能得到结构随机响应的统计矩，因此若想基于此进行可靠度分析，必须与其他可靠度求解方法相结合。包括蒙特卡洛模拟在内的非侵入式随机有限元法可以直接调用已有成熟的确定性有限元程序。但是对于复杂结构系统，该通用算法需要大量样本以实现随机有限元中随机场的模拟工作，计算成本过高，通常只能将其作为简单情况下的基准解。
4.现有的各类随机有限元法在大变异性或强非线性结构的随机响应及可靠度分析中不同程度地存在计算效率、精度及适用性的限制。因此，发展高效获得响应概率密度函数的非侵入式随机有限元法对随机工程结构的响应分析及可靠度安全评估具有重要意义。直接概率积分法通过将结构控制方程与概率密度积分方程解耦计算，可以高效统一地获得线性及非线性随机结构响应的全概率信息及结构可靠度。


技术实现要素：

5.本发明采用k-l展开对板结构中的随机场进行数值模拟，解耦计算概率密度积分方程及板结构控制方程，提出一种基于直接概率积分法的新型非侵入式随机有限元方法，可以高效获得随机板结构各类响应的概率密度函数及结构可靠度，并且可以扩展至其他复杂结构及复杂工况。
6.为了达到上述目的，本发明的技术方案为：
7.(1)针对随机板结构的相关随机场(例如，结构几何尺寸或材料参数等)，给出定义随机场所需的各独立参数：均值，变异系数及自协方差函数；
8.(2)采用k-l展开对随机场进行模拟，确定k-l展开的截断项数m；针对m项截断的k-l展开模拟得到的随机场，生成一个m维的输入概率空间；
9.(3)求解第二类齐次fredholm积分方程获得k-l展开表达式中前m阶特征值λj及特征函数j＝1,2,
…
,m；
10.(4)采用直接概率积分法中基于广义f偏差的两步选点技术，将m维输入概率空间剖分为一组不重叠的代表区域ω
θ,i
＝{x∈rn:||x-θi||≤||x-θk||for all k},i＝1,2,
…
,n，生成n个代表点，其中θi和θk分别为代表域ω
θ,i
和ω
θ,k
的代表点；计算与代表点θi对应的赋得概率i＝1,2,
…
,n；
11.(5)基于k-l展开，生成对应于第i个代表点θi(i＝1,2,
…
,n)的板结构材料参数或几何尺寸的随机场其中θ
j,i
为第j个随机变量的第i个样本；
12.(6)将步骤(5)模拟的第i个随机场代入随机板结构的第i个刚度矩阵k(θi)；基于常规确定性有限元分析获得第i个代表点挠度响应u(θi)＝k-1
(θi)f；
13.(7)基于直接概率积分法中的概率密度积分方程，对n个代表点挠度响应叠加求和，得到随机板结构挠度响应的概率密度函数：
14.(8)类似于步骤(6)，基于确定性有限元分析获得与n个代表点对应的应变、应力、内力、矩等代表点响应，进一步得到各类感兴趣的随机响应的概率密度函数；
15.(9)将随机板结构的功能函数与基于直接概率积分法的可靠度公式相结合，得到随机板结构的可靠度：
16.针对考虑随机材料参数或几何尺寸的板结构，侵入式随机有限元方法实现过程复杂，在处理大变异性或强非线性等复杂问题时普遍存在缺陷，且只能获得结构响应的统计矩而无法获得响应全部概率信息，因此无法独立进行可靠度评估。而可以直接调用确定性有限元通用公式的蒙特卡洛非侵入式随机有限元法对于复杂问题的计算成本过高。直接概率积分法基于概率守恒原理推导得到概率密度积分方程，通过概率空间剖分及狄拉克delta函数光滑化两个关键技术对概率密度积分方程进行数值求解，高效获得结构随机响应概率密度函数及结构可靠度。
附图说明
17.图1为本发明的流程图。
18.图2为本发明实施例的随机板结构四边简支边界条件的示意图。
19.图3为本发明实施例的弹性模量随机板的响应概率密度函数曲线。
20.图4为本发明实施例的结构可靠度与随机场相关长度的相关性的示意图。
21.图5为本发明实施例的随机板结构四边固支边界条件的示意图。
22.图6为本发明实施例的厚度随机板的响应概率密度函数曲线。
23.图7为本发明实施例的厚度变异系数与响应变异系数相关性的示意图。
24.图8为本发明实施例的结构可靠度与随机场变异系数的相关性的示意图。
具体实施方式
25.如附图所示，以下结合技术方案和附图详细本发明的具体实施例。
26.实施例1：
27.考虑弹性模量高斯随机场，其中随机场均值为2.184
×
10
11
pa，标准差σ为2.184
×
10
10
pa,自协方差函数为：cov(x1,y1；x2,y2)＝σ2exp(-|x
1-x2|/d
x
)exp(-|y
1-y2|/dy)，其中(x1,y1)及(x2,y2)为板任意两个空间点，d
x
和dy为板结构随机场的相关长度。考虑随机kirchhoff薄板，其中长度为2m，宽度为1m，厚度为0.01m，泊松比为0.3。如图2所示，板结构的边界条件为四边简支。加载情况为在板中心施加的100n的集中激励。
28.基于本发明得到的随机kirchhoff薄板的挠度及von mises应力响应的概率密度函数如图3所示，其中相关长度为1m。计算结果与蒙特卡洛随机有限元基准解吻合良好，体现计算板结构各类随机响应概率密度函数的准确性。此外，弹性模量随机的kirchhoff薄板响应分析所需的cpu运行时间如表1所示，说明在保证随机响应分析的准确性的同时，计算效率能提高至蒙特卡洛随机有限元法的十几倍。
29.表1弹性模量随机的kirchhoff薄板响应分析所需的cpu运行时间
[0030][0031]
弹性模量随机的kirchhoff薄板，挠度安全阈值为0.1mm。随着随机场相关长度的增加，图4给出了结构可靠度的变化曲线。结构可靠度随相关长度的增加呈下降趋势。这是因为随机场相关长度的增加提高了响应变异性，导致随机板结构的失效风险增大，可靠度降低。因此，为了提高结构的安全性，在结构制造过程中需要尽可能地减小随机场的相关长度。
[0032]
实施例2：
[0033]
考虑随机mindlin中厚板，其中长度为1m，宽度为1m，弹性模量为100gpa，泊松比为0.3。边界条件为四边简支及四边固支两种，其中四边固支边界条件如图5所示。加载情况为
104pa的均布激励。板厚为高斯随机场，其中随机场均值为1mm，自协方差函数为：
[0034]
cov(x1,y1；x2,y2)＝σ2exp{-[(x
1-x2)/d
x
]2}exp{-[(y
1-y2)/dy]2}。
[0035]
不同厚度变异系数情况下四边简支随机mindlin中厚板挠度响应的概率密度曲线如图6所示。对于高斯分布的输入厚度随机场，线弹性板结构的输出挠度响应为非高斯分布。随着厚度随机场变异系数的增加，输出概率密度函数的偏度增加。这是因为随机板结构的板厚与有限元刚度矩阵之间为非线性高阶关系，该现象在实际工程实践中需要引起重视。
[0036]
输入随机场的变异系数通过改变输出响应的概率密度分布，能够直接影响输出响应的变异性。随机mindlin中厚板的输出挠度响应变异系数与输入板厚变异系数的关系由图7给出。挠度响应的变异系数随厚度变异系数的增加而增加，且该相关性不受边界条件的影响。板厚随机的mindlin中厚板，挠度安全阈值为0.4mm。随着随机场变异系数的增加，结构可靠度变化曲线如图8所示。在考虑的范围内，结构失效概率随输入随机场变异性的增大显著增加。在工程实际中，控制材料参数和几何尺寸的变异性对提高结构的安全性具有重要意义。