一种固支梁多自由度系统的振动响应谱计算方法与流程

1.本发明涉及结构动力学领域，尤其涉及一种固支梁多自由度系统的振动响应谱计算方法。


背景技术：

2.对于力学环境来讲，有两项原则可以比较其严酷度，且分别对应于力学环境的两种破坏机理，大量值瞬态冲击或剧烈的振动可能产生过应力破坏，造成结构和器件的失效；多次的冲击或连续振动会造成产品的疲劳损伤累积，并产生疲劳失效。这两种原则这两种原则催生了两类曲线，即极限响应谱与疲劳损伤谱。二者的实际值并无实际的物理意义，但其可用于比较不同振动历程对产品造成的影响，定量描述被测产品承受的最大振动应力和由振动产生的疲劳损伤，对于试验规范及试验剖面的制定具有重大意义，例如，可以通过现有的试验谱及实测数据计算极限响应谱及疲劳损伤谱，用于判断已有的试验谱是否过于严苛或者存在考核不到位的问题。
3.综合极限响应谱与疲劳损伤谱的概念可以认为，二者可将对象或产品简化为单自由度系统，用以比较不同振动历程对该对象或产品的影响，但这种概念并没有结合具体的产品或试件进行针对性分析。而在实际的工程应用中，产品或试件往往是多自由系统，单自由度系不能满足要求工程实际，不能笼统的将多自由度系统简化为单自由度系统进行分析。若能基于多自由度系统动力学，对多自由度系统试件寻找其响应表征，以取代假设为单自由度系统中相对位移的响应，进而计算振动历程对该对象的极限响应谱与疲劳损伤谱，能够更加准确的分析振动信号在经夹具传递后对试件造成的极限响应与疲劳损伤累积效果，进一步评估试验水平。


技术实现要素：

4.鉴于上述的分析，本发明实施例旨在提供一种固支梁多自由度系统的振动响应谱计算方法，用以解决现有单自由度系响应谱计算不能满足要求工程实际的问题。
5.一方面，本发明实施例提供了一种固支梁多自由度系统的振动响应谱计算方法，包括如下步骤：
6.选取具有等截面的柔性梁试件，在试件两端输入不同的正弦振动，据此构建出固支梁物理模型；
7.获取试件在不同位置处的输入激励；
8.基于固支梁的动力学控制微分方程，获取试件在正弦振动激励下的稳态响应求解方程；
9.基于试件的输入激励和稳态响应求解方程，获取试件在不同位置处的振动响应并从中选取响应值最大的作为最大振动响应；
10.基于所述最大的振动响应和多自由度系统极限响应谱计算方程和疲劳损伤谱计算方程获取试件的极限响应谱和疲劳损伤谱。
11.进一步，所述试件两端输入的正弦振动频率相同，包括以下三种：
12.两端输入的正弦振动幅值相同，相位不同；
13.两端输入的正弦振动幅值不同，相位相同；
14.两端输入的正弦振动幅值不同，相位不同。
15.进一步，通过如下公式获取试件在不同位置处的输入激励：
[0016][0017]
式中，a
x
为试件在不同位置处的输入激励，l为试件的长度，x为距试件左端点的距离，a1、a2为试件左右两端输入的正弦振动的幅值，离，a1、a2为试件左右两端输入的正弦振动的幅值，为试件左右两端输入的正弦振动的相位，ω为试件左右两端输入的正弦振动的圆频率。
[0018]
进一步，所述固支梁的动力学控制微分方程为：
[0019][0020]
式中，e为试件弹性模量，i为试件截面惯性矩，l为试件的长度，ρ为试件的单位长度质量，y(x，t)为相对位移响应，w为输入激励。
[0021]
进一步，试件在正弦振动激励下的稳态响应求解方程为：
[0022][0023]
其中，其中，
[0024][0025]
式中，yn(x)为固支梁试件的的归一化振动模型，n为振动模型的阶数序号，m为振动模型的总阶数，βn为各阶模态振型计算系数，在同阶模态中为一常量，w(t)为固支梁试件的输入激励，ωn为固支梁的固有频率，ξ为固支梁试件的阻尼比。
[0026]
进一步，所述基于试件的输入激励和稳态响应求解方程，获取试件在不同位置处的振动响应并从中选取最大的振动响应包括：
[0027]
将公式(1)获得的试件在不同位置处的输入激励a
x
作为稳态响应求解方程(3)中的输入激励w(t)，求解方程(3)，获取试件在不同位置处的稳态响应，并选取其中响应值最大的作为最大振动响应ym。
[0028]
进一步，所述多自由度系统极限响应谱计算方程为：
[0029]
er＝(2πf)2ymꢀꢀꢀ
(4)
[0030]
其中，f为正弦振动频率，ym为最大振动响应。
[0031]
进一步，所述多自由度系统疲劳损伤响应谱计算方程为：
[0032][0033]
式中，k、c、b为常数，取k＝1，c＝1，b根据固支梁试件材料属性决定，f为正弦振动频率，t为激励时间，ym为最大振动响应。
[0034]
本发明实施例还提供了一种可读存储介质，所述存储介质用于存储计算机程序，当处理器执行所述计算机程序时，实现所述固支梁多自由度系统的响应谱计算方法的步骤。
[0035]
本发明实施例还提供了一种计算设备，该设备包括：存储器，用于存储计算机程序；处理器，用于执行计算机程序时实现所述的固支梁多自由度系统的响应谱计算方法的步骤。
[0036]
与现有技术相比，本发明至少可实现如下有益效果之一：
[0037]
1、本发明通过计算固支梁在两端输入不同正弦振动激励时固支梁任意位置处的振动响应，并选取振动响应最大的作为最大振动响应，将该最大振动响应带入极限损伤谱和疲劳损伤谱计算公式，获得固支梁在正弦振动激励下的极限响应和疲劳损伤响应，从而将多自由度系统转换响应计算转换为单自由度中的响应计算，即本发明提供的一种将应用于单自由度系统的响应谱计算方法扩展到多自由度系统上的思路，更加符合工程实际。
[0038]
2、本发明最后计算了固支梁的极限损伤响应和疲劳损伤响应，从振动应力的损伤机理上，即过应力破坏和疲劳损伤两种机理上衡量不同振动历程对同一对象的影响程度，更加切合试验理论。
[0039]
3、本技术的方法可用于根据实际测试数据制定试验剖面，或比较试验条件相对于真实振动情况是否过于严酷。
[0040]
本发明中，上述各技术方案之间还可以相互组合，以实现更多的优选组合方案。本发明的其他特征和优点将在随后的说明书中阐述，并且，部分优点可从说明书中变得显而易见，或者通过实施本发明而了解。本发明的目的和其他优点可通过说明书以及附图中所特别指出的内容中来实现和获得。
附图说明
[0041]
附图仅用于示出具体实施例的目的，而并不认为是对本发明的限制，在整个附图中，相同的参考符号表示相同的部件。
[0042]
图1为本发明方法流程示意图；
[0043]
图2为本发明一个实施例中的固支梁物理模型；
[0044]
图3为本发明一个实施例中的受支撑系统激励的固支梁模型；
[0045]
图4为本发明一个实施例中的两侧振动激励保持相位相同，最大振动响应随两侧幅值差的变化关系示意图；
[0046]
图5为本发明一个实施例中的两侧振动激励保持幅值相同，最大振动响应随两侧相位差的变化关系示意图；
[0047]
图6为本发明一个实施例中两侧振动激励保持相位相同，极限响应随两侧幅值差的变化关系示意图；
[0048]
图7为本发明一个实施例中两侧激励保持相位相同，疲劳损伤随两侧幅值差的变
化关系示意图；
[0049]
图8为本发明一个实施例中两侧振动激励保持幅值相同，极限响应随两侧相位差的变化关系示意图；
[0050]
图9为本发明一个实施例中两侧激励保持幅值相同，疲劳损伤随两侧相位差的变化关系示意图；
具体实施方式
[0051]
下面结合附图来具体描述本发明的优选实施例，其中，附图构成本技术一部分，并与本发明的实施例一起用于阐释本发明的原理，并非用于限定本发明的范围。
[0052]
本发明的一个具体实施例，公开了一种固支梁多自由度系统的振动响应谱计算方法，如图1所示，该方法包括如下步骤：
[0053]
s1、选取具有等截面的柔性梁试件，在试件两端输入不同的正弦振动，据此构建出固支梁物理模型；
[0054]
s2、获取试件在不同位置处的输入激励；
[0055]
s3、基于固支梁的动力学控制微分方程，获取试件在正弦振动激励下的稳态响应求解方程；
[0056]
s4、基于试件的输入激励和稳态响应求解方程，获取试件在不同位置处的振动响应并从中选取响应值最大的作为最大振动响应；
[0057]
s5、基于所述最大的振动响应和多自由度系统极限响应谱计算方程和疲劳损伤谱计算方程获取试件的极限响应谱和疲劳损伤谱。
[0058]
具体的，在步骤s1中，选择以一具有主平面的等截面的柔性梁试件为研究对象，忽略其剪切变形与转动惯量的影响；同时，根据正弦振动的要素特征，在柔性梁试件两端输入不同的正弦振动作为输入激励，最终构建出固支梁物理模型，如图2所示。
[0059]
柔性梁两端与夹具上两安装点固支，振动信号经夹具传递后会产生失真，因此夹具对于试件两个安装点的输入信号x1与x2频率相同，幅值与相位可能不同，进而分析激励x1与x2组合的三种情况下，柔性梁试件在不同正弦激励作用下的强迫振动响应。
[0060]
具体的，在试件两端输入不同的正弦振动包括以下三种，如图3所示：
[0061]
两端输入的正弦振动幅值相同，相位不同；
[0062]
两端输入的正弦振动幅值不同，相位相同；
[0063]
两端输入的正弦振动幅值不同，相位不同。
[0064]
具体的，在步骤s2中，而对于步骤s1中提出的如图2所示的两端激励不同的固支梁物理模型，假设设左右两端的激励分别为x1与x2，如式(1)所示：
[0065][0066]
则加速度分别表示为式(2)：
[0067][0068][0069]
这里首先假设柔性梁在传递加速度过程中为一个“刚体”，由刚体理论可求解出梁
各点处的加速度激励，如式(3)：
[0070][0071]
式中，x为距柔性梁试件左端点的距离。将式(2)代入式(3)，得到式(4)：
[0072][0073]
式中，a
x
为试件在不同位置处的输入激励，l为试件的长度，a1、a2为试件左右两端输入的正弦振动的幅值，为试件左右两端输入的正弦振动的相位，ω为试件左右两端输入的正弦振动的圆频率。
[0074]
具体的，在步骤s3中，首先假设柔性梁试件两端激励相同，并以此作为两端激励不同时求解的基础。为此，考虑图3所示模型，其基底承受正弦激励。
[0075]
该固支梁模型的动力学控制微分方程如下所示：
[0076][0077]
式中，e为试件弹性模量，i为试件截面惯性矩，l为试件的长度，ρ为试件的单位长度质量，y(x，t)为相对位移响应，w为输入激励，等式右侧为单位长度的惯性力。
[0078]
根据模态相加理论，假设梁的响应可以表示如下：
[0079][0080]
其中，yn(x)为两端固支梁的归一化振动模型，可由经典欧拉—伯努利梁(euler-bernoulli beam)理论根据其边界条件求解，其具体表达内容为：
[0081][0082]
其中，n为振动模型的阶数序号，m为振动模型的总阶数，βn为各阶模态振型计算系数，对于任何一阶的固定振型，βn为一常量；将式(6)、式(7)带入式(5)，得到式(8)：
[0083][0084]
将式(8)等式两边同时乘以y
p
(x)并沿轴向积分，得到式(9)：
[0085]
[0086]
根据模型主振型正交性，即同时增加阻尼项可得到承受支撑系统激励的固支梁的动力学方程，如下：
[0087][0088]
其中，ωn为梁的固有频率，其表达式为ξ为阻尼比；γn为各阶模态振型的参与因子，其具体表达式如下所示：
[0089][0090]
对式(10)进行傅里叶变换，整理得到式(12)：
[0091][0092]
令同时，令则式(12)可表示为式(13)，并进一步求解得到式(14)：
[0093][0094][0095]
又因则相对位移响应的傅里叶变换如下：
[0096][0097]
由此，对式(15)开展傅里叶逆变换，即可得到步骤s3中提出的稳态响应求解方程，如下所示：
[0098][0099]
在步骤s4中，将公式(4)所得柔性梁在不同位置处的输入激励a
x
作为图4中激励w(t)，并将该激励带入稳态响应求解方程(16)中即可获取试件在不同位置处的振动响应y(x,t)，比较各个位置处得到的振动响应，选取其中响应值最大的振动响应，记为ym。
[0100]
在步骤s5中，所述多自由度系统极限响应谱计算方程为：
[0101]
er＝(2πf)2ymꢀꢀꢀ
(17)
[0102]
其中，er为极限响应值，f为正弦振动频率，ym为振动响应的最大值。
[0103]
根据线性疲劳损伤累积原则，损伤可以表示为下式：
[0104][0105]
式中n为应力水平为σ时发生疲劳损伤失效的循环次数，n＝ft，其含义为作用时间t内共施加的循环次数，则多自由度系统疲劳损伤响应谱计算方程为：
[0106][0107]
式中，d为疲劳损伤值，k、c、b为常数，取k＝1，c＝1，b根据固支梁试件材料属性决定，f为正弦振动频率，t为激励时间，ym为最大振动响应。
[0108]
在已有的极限响应谱与疲劳损伤谱相关解释与应用中，均将复杂系统简化为单自由度系统进行分析，但该假设具有一定的局限性，不能根据产品的特点，分析其动力学响应，得到具有针对性、更加符合工程实际、便于分析的极限响应谱与疲劳损伤谱。
[0109]
为此，考虑本示例连续固支梁，其为多自由度连续系统，动力学特性主要表现出现在一阶弯曲模态上，且根据固支梁模态，选取最大振动响应(相对位移响应)作为该多自由度系统的响应表征，并以此取代假设单自由度系统中的相对位移，进而计算固支梁极限响应谱与疲劳损伤谱，实现了固支梁多自由度系统在正弦振动激励下的响应谱计算。
[0110]
选取一矩形截面的柔性梁作为研究对象，宽50mm，厚10mm，有效长度为550mm，材料为铝合金，设其阻尼比为0.04，并在其两侧安装点施加频率均为150hz、幅值和相位不同的正弦激励。
[0111]
分别固定相位、幅值，计算在不同振动激励下的最大振动响应，得到最大振动响应与幅值、相位的关系，如图4和图5所示。可以看出，当固定左右侧输入激励相位相同、左侧输入激励幅值不变(1g)，最大振动响应随着右侧激励幅值增大而线性递增。当固定左右侧输入激励幅值相同、最大振动响应随着两侧输入激励相位差的增大而减小。
[0112]
设激励时间t＝300秒，分别计算上图两种情况下的极限响应谱值与疲劳损伤谱值(为无量纲值)，如图6-9所示。当固定左右侧输入激励相位相同、左侧输入激励幅值不变(1g)，极限响应值和疲劳损伤值均随着右侧激励幅值增大而增大，如图6和7所示。当固定左右侧输入激励幅值相同，极限响应值和疲劳损伤值均随着两侧输入激励相位差的增大而减小，如图8和9所示。
[0113]
本领域技术人员可以理解，实现上述实施例方法的全部或部分流程，可以通过计算机程序来指令相关的硬件来完成，所述的程序可存储于计算机可读存储介质中。其中，所述计算机可读存储介质为磁盘、光盘、只读存储记忆体或随机存储记忆体等。
[0114]
以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。