随机载荷下齿轮弯曲疲劳时变可靠性分析方法与流程

1.本发明涉及齿轮疲劳可靠性分析领域，特别是随机载荷下齿轮弯曲疲劳时变可靠性分析方法。


背景技术：

2.目前在可靠性领域广泛被人认可的应力
‑
强度干涉模型，可用于齿轮弯曲疲劳可靠性建模与分析，但其所表示的可靠度只能表示某一时刻下应力和强度的相对大小关系的概率特征，而不能体现零部件于全寿命周期内随机载荷下的可靠度变化特性，因此其仅仅是“静态”的可靠度。
3.由于齿轮的运动过程中有较多的不确定性因素存在，即使在同一种工况下也会产生不同的效能，疲劳寿命相差较大。因此需要根据齿轮在运动过程中自身的损伤、强度、应力变化，基于裂纹萌生
‑
扩展阶段，虑及各项不确定性因素的影响，从而计算随机载荷下未来某一时刻的可靠度指标。


技术实现要素：

4.本发明旨在提供随机载荷下齿轮弯曲疲劳时变可靠性分析方法，以准确地预测齿轮弯曲疲劳可靠性在未来任意时刻的可靠度，从而有助于齿轮实现既定功能，提升机械系统安全性。
5.为达到上述发明目的，本发明采用的技术方案为：
6.随机载荷下齿轮弯曲疲劳时变可靠性分析方法，包括以下步骤：
7.步骤s1：基于齿轮随机载荷谱得到等效变幅载荷谱，执行步骤s2；
8.步骤s2：获取等效变幅载荷下疲劳状态损伤函数，其中，所述疲劳状态损伤函数用于表示齿轮的状态；
9.步骤s3：基于所述等效变幅载荷下疲劳损伤状态函数构建等效变幅载荷下萌生时变可靠性模型；
10.步骤s4：获取随机变量双参数微分方程，其中，所述随机变量受确定性参数和不确定性参数影响；
11.步骤s5：基于所述随机变量双参数微分方程构建等效变幅载荷下扩展时变可靠性模型；
12.步骤s6：整合所述等效变幅载荷下萌生时变可靠性模型和所述等效变幅载荷下扩展时变可靠性模型得到等效变幅载荷下可靠性分析模型；
13.步骤s7：将待测齿轮的加载次数输入所述等效变幅载荷下可靠性分析模型，输出可靠度，其中，若可靠度越大，则可靠性越好，若可靠性越小，则可靠度越低。
14.优选的，步骤s2中，获取所述等效变幅载荷下疲劳状态函数的方法包括以下步骤：
15.步骤s21：基于齿轮弯曲疲劳部位的局部应力状态分析以及齿轮材料特征参数，构建等效变幅载荷下萌生寿命预测模型，其中，通过应力状态分析可以得到应力集中因子、应
力幅值、残余应力，所述齿轮材料特征参数包括fga半径；
16.步骤s22：将所述等效变幅载荷下萌生寿命预测模型与等效变幅荷载下齿轮加载的循环次数相结合，构建等效变幅加载下萌生累积损伤模型；
17.步骤s23：通过对所述等效变幅加载下萌生累积损伤模型进行处理，得到等效变幅载荷下疲劳损伤状态函数。
18.优选的，所述等效变幅载荷下萌生寿命预测模型具体公式为：
[0019][0020]
式中，n
f
为疲劳寿命，r
fga
为fga半径，r为应力比，k
t
为集中应力因子，σ
r
为残余应力，σ
a
为应力幅，m、η、α为拟合参数。
[0021]
优选的，所述等效变幅载荷下萌生累积损伤模型具体为：
[0022][0023]
式中，n
i
为应力为σ
i
时的循环次数，n
fi
为应力为σ
i
时的疲劳寿命，d
e
(n
i
)为应力为σ
i
时施加n
i
次后的损伤量。
[0024]
优选的，所述等效变幅载荷下疲劳损伤状态函数具体为：
[0025][0026]
当g(n)＞0时，表示齿轮处于安全状态，当g(n)＜0时，表示齿轮处于失效状态，当g(n)＝0时，表示齿轮处于为极限值。
[0027]
优选的，获取所述随机变量双参数微分方程的方法为：基于等效变幅载荷下应力及强度变化曲线，考虑确定性因素及不确定性因素对随机变量的双重影响，得到双参数影响指标，建立随机变量双参数微分方程，其中，所述双参数影响指标包括随机率和稳定率，所述随机率反映不确定因素的影响，所述稳定率反映确定因素的影响。
[0028]
优选的，获取所述等效变幅载荷下应力及强度变化曲线的方法包括以下步骤：
[0029]
步骤s71：将微米级多晶结构与齿轮基本参数结合，构建多晶结构二维有限元模型，其中，所述齿轮基本参数包括模数、齿数、压力角；
[0030]
步骤s72：通过对所述多晶结构二维有限元模型进行有限元分析，得到等效变幅载荷下齿轮弯曲疲劳裂纹扩展路径；
[0031]
步骤s73：通过对所述裂纹扩展路径进行等效变幅载荷下应力分析和强度分析，得到应力及强度分析结果；
[0032]
步骤s74：通过对应力以及强度分析结果进行变化曲线数值模拟，得到等效变幅载荷下应力及强度变化曲线。优选的，所述双参数微分方程具体为：
[0033][0034]
式中，x为随机变量；t为齿轮运行的某一时刻；λ为稳定率；δ为随机率。
[0035]
优选的，所述等效变幅载荷下可靠性分析模型具体为：
[0036][0037]
式中，n为循环加载次数，g为第n次循环加载后的g(n)的值，p
g
(g,n)为g(n)的瞬时节点概率密度函数，和分别为强度和应力的对数。
[0038]
本发明的有益效果为：本发明以随机载荷下齿轮弯曲疲劳为研究对象，结合雨流计数法将随机载荷等效为变幅载荷；基于裂纹萌生和裂纹扩展两个阶段，一方面开创性地建立了虑及局部应力状态和齿轮材料特征参数的萌生寿命模型，在等效变幅载荷下进行萌生阶段疲劳累计损伤模型构建，并构建了萌生阶段等效变幅载荷下时变可靠性模型；另一方面，在等效变幅载荷作用下，将每级载荷与强度退化原则相结合，考虑不确定性因素的影响，构建了基于裂纹扩展路径的随机变量双参数微分方程，形成了扩展阶段等效变幅载荷下时变可靠性模型；最终建立了随机载荷下齿轮弯曲疲劳全寿命时变可靠性分析模型，实现了齿轮运行过程中任意时间可靠度预测，有利于齿轮实现既定功能，提升机械系统安全性，为工业生产提供建设性参考，减少意外及恶性事故的发生。
附图说明
[0039]
图1为本发明实施例的齿轮弯曲疲劳时变可靠性方法的流程图；
[0040]
图2为本发明实施例齿轮弯曲疲劳所施加的载荷谱；
[0041]
图3为本发明实施例齿轮弯曲疲劳裂纹萌生阶段基于rve方法的有限元建模；
[0042]
图4为本发明实施例齿轮弯曲疲劳裂纹萌生阶段夹杂周围应力分布；
[0043]
图5为本发明实施例齿轮弯曲疲劳裂纹萌生阶段应力集中系数与夹杂尺寸的关系；
[0044]
图6为本发明实施例齿轮弯曲疲劳裂纹萌生阶段恒幅疲劳损伤曲线；
[0045]
图7为本发明实施例齿轮弯曲疲劳裂纹萌生阶段三种应力水平下的相对疲劳损伤曲线；
[0046]
图8为本发明所述齿轮有限元模型加载方式、边界条件及微晶结构示意图；
[0047]
图9为本发明所述齿轮弯曲疲劳裂纹扩展示意图；
[0048]
图10为本发明所述试验所得齿轮弯曲疲劳宏观裂纹及断裂面图；
[0049]
图11为本发明所述齿轮弯曲疲劳应力、强度随时间变化示意图；
[0050]
图12为本发明所述齿轮弯曲疲劳应力于裂纹扩展阶段变化曲线；
[0051]
图13为本发明所述齿轮弯曲疲劳强度于裂纹扩展阶段变化曲线；
[0052]
图14为本发明所述齿轮弯曲疲劳全寿命周期内所预测的可靠度曲线。
具体实施方式
[0053]
下面结合本发明的附图1～14，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施。
[0054]
在本发明的描述中，需要理解的是，术语“逆时针”、“顺时针”“纵向”、“横向”、“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“顶”、“底”、“内”、“外”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。
[0055]
如图1所示，随机载荷下齿轮弯曲疲劳时变可靠性分析方法，包括以下步骤：
[0056]
步骤s1：基于齿轮随机载荷谱得到齿轮等效变幅载荷谱；
[0057]
步骤s2：获取等效变幅载荷下疲劳状态损伤函数，其中，所述疲劳状态损伤函数用于表示齿轮的状态；
[0058]
步骤s3：基于所述等效变幅载荷下疲劳损伤状态函数构建等效变幅载荷下萌生时变可靠性模型；
[0059]
步骤s4：获取随机变量双参数微分方程，其中，所述随机变量受确定性参数和不确定性参数影响；
[0060]
步骤s5：基于随机变量双参数微分方程构建等效变幅载荷下扩展时变可靠性模型；
[0061]
步骤s6：整合所述等效变幅载荷下萌生时变可靠性模型和所述等效变幅载荷下扩展时变可靠性模型得到等效变幅载荷下可靠性分析模型；
[0062]
步骤s7：将待测齿轮的加载次数输入所述等效变幅载荷下可靠性分析模型，输出可靠度，其中，若可靠度越大，则可靠性越好，若可靠性越小，则可靠度越低。
[0063]
值得说明的，步骤s1中，由于齿轮受随机载荷谱子的作用，应用雨流计数法，对随机载荷谱进行计数分析，并可以得到齿轮所施加的等效变幅多级加载载荷谱，如图2所示，仅显示了前三级等效变幅载荷加载，对于k级加载以此类推。
[0064]
值得说明的，步骤s2中，获取所述等效变幅载荷下疲劳状态函数的方法包括以下步骤：
[0065]
步骤s21：基于齿轮弯曲疲劳部位的局部应力状态分析以及齿轮材料特征参数，构建等效变幅载荷下萌生寿命预测模型，其中，通过应力状态分析可以得到应力集中因子、应力幅值、残余应力，所述齿轮材料特征参数包括fga半径；
[0066]
具体的，由于试样中夹杂物与基体之间的弹性模量不一致，夹杂物周围容易出现应力集中，应力的不均匀分布在一定程度上决定了材料的疲劳性能。
[0067]
基于代表性体积单元(rve)，可以模拟夹杂物周围的局部应力分布。rve可以看作是代表材料整体性能的最小单位体积。将引起疲劳破坏的夹杂物视为试样最小截面上的最大夹杂物，并将夹杂物近似为球形。因此，形成一个由最大夹杂物和相邻的矩阵组成的rve模型，如图3(a)所示。基于有限元分析，建立内部破坏的二维模型，采用4节点壳单(cps4r)形式进行简化计算，如图3所示。正方形的边长设为100μm，施加拉应力设为试验过程中施加的法向应力σ
∞
。实线区域定义为夹杂区域，其余区域为基体区域。含夹杂物的rve模型可以
近似看作是一种非均质材料。此外，将夹杂物与周围基体定义为不同的线弹性材料性质，它们之间没有特殊性质的接触。
[0068]
当σ
∞
设置为800mpa时，单调拉伸下的应力分布对应于内部破坏如图4所示。从中可以看出，夹杂物周围的应力集中非常明显。用应力集中因子k
t
表示夹杂周围最大应力幅值与外加应力的比值。因此，通过线性拟合可以得到内部破坏k
t
与夹杂尺寸的关系，用图5中的黑色直线表示。夹杂物尺寸变化范围为5～19μm，增量为2μm。因此，k
t
与夹杂尺寸之间的关系可以表示为：
[0069]
k
t
＝1.32
‑
6.29e
‑
3r
inc
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(1)
[0070]
众所周知，疲劳裂纹的萌生过程占据了长寿命体系下疲劳全寿命的绝大部分，故建立以下关系式：
[0071][0072]
式中，r
fga
为材料内部fga(fine granular area)半径，n
f
为疲劳寿命，r为应力比，k
t
为集中应力因子，σ
r
为残余应力，σ
a
为应力幅，m，η和α为拟合参数。基于最大继承法，可得到m，n和α的值分别为4.75，1.64和1.68。整理可得等效变幅载荷下萌生寿命预测模型为：
[0073][0074]
步骤s22：将等效变幅载荷下萌生寿命预测模型与等效变幅荷载下齿轮加载的循环次数相结合，构建等效变幅加载下萌生累积损伤模型；
[0075]
具体的：在工程实际中，零件承受的载荷大小较为复杂，但零件损伤是一个循序渐进的过程。本实施例采用刚度退化来计算疲劳损伤参数。疲劳损伤参数计算如下：
[0076][0077]
式中，d
n
为第n个循环加载下的疲劳损伤参数，e0为齿轮初始刚度，e
n
为第n个循环时齿轮的刚度，e
f
为破坏时齿轮的刚度，基于上式可以得到疲劳损伤曲线，如图6所示。
[0078]
疲劳损伤曲线有疲劳损伤参数增长率不同的3个阶段，如果将图6中疲劳损伤曲线的x轴和y对调，则该类型的函数可以用weibull累积密度函数表示。因此，用weibull累积密度函数来描述归一化循环，如下所示：
[0079][0080]
实际工程齿轮在多级变幅载荷作用下运行，将上式中的函数进行修改以适应多级加载。
[0081]
多级变幅加载假设为三级变幅加载。这三种应力水平的相对疲劳损伤曲线如图7所示。σ
i
(i＝1、2、3)表示应力水平，n
i
为σ
i
对应的循环次数，n
fi
为应力σ
i
下的疲劳寿命。基于
公式(5)，应力幅σ1时施加n1次后的损伤模型为：
[0082][0083]
在施加n2′
次循环载荷后，材料疲劳损伤累积模型为
[0084][0085]
根据疲劳损伤等效原理，应力幅σ1对材料n1次循环载荷后造成的疲劳损伤d
e
(n1)可转化为σ2对n2′
次循环造成的疲劳损伤d
e
(n2′
)
[0086]
d
e
(n1)＝d
e
(n2′
)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(8)
[0087]
由此可得：n1/n
f1
＝n2′
/n
f2
，两级加载下(应力幅σ1下循环n1次，应力幅σ2下循环n2次)材料的总疲劳损伤相当于应力幅σ2下n2′
n2次的损伤，如图7所示，累积疲劳损伤模型可以表示为：
[0088][0089]
同样，疲劳损伤伤σ
2i＝1
d
e
(n
i
)可转化为应力幅σ3下的n3′
循环引起的等效疲劳损伤d
e
(n3′
)
[0090][0091]
由此可得n1/n
f1
＝n2′
/n
f2
，在应力幅σ1、σ2和σ3三种载荷作用下，材料在n1、n2和n3次循环作用下的总疲劳损伤等效于应力幅σ3下n3′
n3次循环作用下的疲劳损伤，累积疲劳损伤可表示为：
[0092][0093]
假定施加应力幅值顺序为{σ1,σ2,σ3,......,σ
k
}和相应的齿轮加载的循环次数为{n1,n2,n3,......n
k
},k级循环加载的累积疲劳损伤可以通过类似于上述方法逐步评估等效损伤，即萌生累积损伤模型为：
[0094][0095]
式中，n
i
为应力为σ
i
时的循环次数，n
fi
为应力为σ
i
时的疲劳寿命，d
e
(n
i
)为应力为σ
i
时施加n
i
次后的损伤量。
[0096]
步骤s23：通过对所述等效变幅加载下萌生累积损伤模型进行处理，得到等效变幅载荷下疲劳损伤状态函数。
[0097]
具体的，基于等效变幅载荷下疲劳损伤状态函数，求解概率密度演化方程，得到齿轮弯曲疲劳裂纹等效变幅载荷下萌生时变可靠性模型。
[0098]
进一步的，齿轮弯曲疲劳裂纹萌生阶段累积疲劳损伤曲线函数可以用weibull累积密度函数表示，基于概率保持原理和散度定理，可得到以下广义概率密度演化方程：
[0099][0100]
所述疲劳损伤状态函数具体为：
[0101][0102]
当g(n)＞0时，表示齿轮处于安全状态，当g(n)＜0时，表示齿轮处于失效状态，当g(n)＝0时，表示齿轮处于为极限值。
[0103]
在采用广义密度演化方程进行等效变幅载荷下齿轮弯曲疲劳可靠性分析时，可将累积疲劳损伤状态函数g(n)视为概率密度演化方程中的状态向量x(t)，g(n)中的循环次数n随着循环荷载的增加逐渐增加，在上述的概率密度演化方程中它是时间的函数，因此，可以将式广义密度演化方程改写为：
[0104][0105]
式中，g为第n次循环后的累积疲劳损伤状态函数g(n)的值，齿轮弯曲疲劳在一定应力幅载荷下的疲劳寿命n
f
为随机变量θ。
[0106]
g(n)的变化率g(θ,n)可以写成：
[0107][0108]
当n＝0时，可以将疲劳损伤的概率密度演化方程的初始条件改写为：
[0109]
p
gθ
(g,θ,n)|
n＝0
＝δ(g
‑
g0)p
θ
(θ)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(17)
[0110]
在求解概率密度演化方程的初值后，可得g(n)的概率密度函数为：
[0111]
p
g
(g,n)＝∫
ωθ
p
gθ
(g,θ,n)dθ
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(18)
[0112]
进一步的，所示概率密度演化方程的初值具体求解过程如下：
[0113]
第一步：基于ntm在分布域ω
θ
中选取均匀代表点集θ
q
为：
[0114]
θ
q
＝(θ
q，1
，θ
q，2
，...，θ
q，s
)，q＝1，2，...，n
sel
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(19)
[0115]
式中，n
sel
为所选代表点的总数，s为随机变量的维数，代表点集θ
q
将给出非重叠子域ω
q
，满足和
[0116]
根据式g(n)的概率密度函数计算每个子域ω
q
的分配概率p
q
为：
[0117]
p
q
＝∫
ωq
p
θ
(θ)dθ，q＝1，2，...，n
sel
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(20)
[0118]
将式广义密度演化方程的改写式用代表点集θ
q
离散为一组方程，具体的为：
[0119][0120]
第二步：对于给定点集θq，通过求解式疲劳状态函数，得到累积疲劳损伤状态函数g(n)的值。
[0121]
第三步：将代入式用代表点集θ
q
离散为一组方程，用tvd格式求解偏微分方
程，得到离散联合概率密度函数p
gθ
(g
j
，θ
q
，n
l
)，其中g
j
＝jδg(j＝0，
±
1，
±
2，...)，δg为tvd格式在空间上的步长。nl＝lδn(l＝0，1，2，...)，δn是有限差分法中的时间步长。
[0122]
第四步：g(n)的概率密度函数中的数值积分得到g(n)的瞬时节点概率密度函数：
[0123][0124]
第五步：将p
g
(g，n)在区间[0，1]中积分，可得结构的时变疲劳可靠性r(n
i
)为：
[0125][0126]
值得说明的，获取所述随机变量双参数微分方程的方法为：基于等效变幅载荷下应力及强度变化曲线，考虑确定性因素及不确定性因素对随机变量的双重影响，得到双参数影响指标，建立随机变量双参数微分方程，其中，所述双参数影响指标包括随机率和稳定率，所述随机率反映不确定因素的影响，所述稳定率反映确定因素的影响。
[0127]
值得说明的，获取所述等效变幅载荷下应力及强度变化曲线的方法包括以下步骤：
[0128]
步骤s71：将微米级多晶结构与齿轮基本参数结合，构建多晶结构二维有限元模型，其中，所述齿轮基本参数包括模数、齿数、压力角；
[0129]
具体的，根据包含模数、齿数、压力角的齿轮基本参数绘制齿轮齿根二位几何模型，基于所述齿轮齿根二维几何模型，加入微米级多晶结构，划分网格，施加边界约束，确定初始裂纹及承载工况，建立多晶结构二维有限元模型，从图8可以看到，多晶结构涵盖了完整的裂纹增长区域。
[0130]
步骤s72：通过对所述多晶结构二维有限元模型进行有限元分析，得到等效变幅载荷下齿轮弯曲疲劳裂纹扩展路径；
[0131]
具体的，根据齿轮微晶结构、边界条件、加载方式及网格划分，基于最大剪应力破坏准则和损伤演化规律，利用abaqus
‑
xfem可得到齿轮在弯曲疲劳应力下的裂纹扩展路径，从图9可以看出随着增量步长或疲劳寿命的增加，齿轮弯曲疲劳裂纹尺寸增大，当裂纹尺寸增大到一定程度时，轮齿发生断裂。另外，在齿轮弯曲疲劳试验中所得齿根宏观裂纹及断裂面如图10所示，由图9和图10可以看出齿轮弯曲疲劳裂纹扩展的模拟路径与试验结果一致。
[0132]
步骤s73：通过对所述裂纹扩展路径进行等效变幅载荷下应力分析和强度分析，得到应力及强度分析结果；
[0133]
步骤s74：通过对应力以及强度分析结果进行变化曲线数值模拟，得到等效变幅载荷下应力及强度变化曲线。
[0134]
具体的：齿轮弯曲疲劳全寿命周期内等效变幅载荷下应力和强度的大致变化规律已知，如图11所示，应力和强度可以视为相互独立且服从某种分布的随机变量。基于裂纹扩展路径，利用abaqus软件，分别对渗碳齿轮初始裂纹和终止裂纹进行应力分析。
[0135]
考虑加工安装、环境及载荷波动等不确定性因素的影响，根据初始裂纹及终止裂纹应力分析图，利用matlab软件，对等效变幅载荷下应力变化过程进行模拟，应力变化曲线前三级变幅加载如图12所示，对于k级加载以此类推。
[0136]
对于齿轮的弯曲疲劳失效模式，其强度的退化规律通常与载荷幅值、载荷作用顺序以及载荷作用次数等因素有关，由于本实施例中加载载荷为变幅加载，因此可以将每级
加载过程视为恒幅载荷，因此齿轮运行过程可视为由k级加载共同组成。针对齿轮在某级加载时，幅值恒定不变或者波动幅度较小，因此可以近似地认为此级加载下的齿轮剩余强度仅与载荷均值的大小和载荷作用次数有关。设零部件的初始强度为s0，采用下式剩余强度模型，即在某级加载下，载荷作用w次后的剩余强度s(w)，可以表示为：
[0137][0138]
式中，为载荷均值，n
f
载荷为f时的疲劳寿命，c为齿轮材料常数。
[0139]
当载荷均值一定或波动较小时，可以用及其所对应的疲劳寿命近似地代替，即s(w)可表示为：
[0140][0141]
由上式可知，齿轮弯曲疲劳某级加载内，均值载荷一定或波动较小时，齿轮弯曲疲劳强度的变化会随着载荷次数w和寿命的增加而减小，基于载荷与应力的关系和k级加载方式，根据上述的应力变化曲线可得出强度的变化曲线，利用matlab软件模拟强度退化曲线过程，根据齿轮载荷循环周次与时间的对应关系，进行变幅载荷下的强度退化模拟，强度变化曲线前三级变幅加载如图13所示，对于k级加载以此类推。
[0142]
值得说明的，所述双参数微分方程具体为：
[0143][0144]
式中，x为随机变量；t为齿轮运行的某一时刻；λ为稳定率；δ为随机率。
[0145]
值得说明的，基于所述双数微分方程构建扩展时变可靠性分析模型的具体方法为：
[0146]
由于齿轮运行过程中一般以载荷加载次数为指标，因此可以将双参数微分方程改写为：
[0147][0148]
式中，n为齿轮运行某一循环次数。
[0149]
某一应力幅值下，齿轮弯曲疲劳过程中应力和强度分别服从双参数指标微分方程，因此应力和强度的对数随时间的变化函数，即和的期望和标准差分别为：
[0150][0151][0152]
齿轮的可靠度可以用以下概率表示：
[0153]
r(t)＝p(lns(t)＞lnσ(t))＝p(lns(t)
‑
lnσ(t)＞0)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(30)
[0154]
通过建立概率功能函数，令于是上式可写为：
[0155]
r(n)＝p(z＞0)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(31)
[0156]
由于强度和应力的对数和是相互独立的且分别服从正态分布的随机变量，故z的均值和标准差均为：
[0157][0158]
概率密度函数为：
[0159][0160]
令则z的概率分布函数为：
[0161][0162]
由于
[0163][0164]
因此，通过建立齿轮弯曲疲劳可靠度概率功能函数，并带入所述的随机变量双参数微方程中，可得到等效变幅载荷下扩展时变可靠性模型：
[0165]
r(n)＝φ(
‑
z
r(n)
)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(35)
[0166]
由此可得：
[0167][0168]
最后整合萌生阶段的萌生时变可靠性模型与扩展阶段的扩展时变可靠性模型，得到全周期的等效变幅载荷下可靠性分析模型：
[0169][0170]
该等效变幅载荷下可靠性分析模型预测的可靠度曲线如图14所示，当需要对齿轮进行可靠性预测时，将循环次数或者时间输入可靠性分析模型，输出随机载荷下可靠度，完成可靠性分析。
[0171]
综上所述，本发明基于齿轮弯曲疲劳裂纹萌生和裂纹扩展两阶段，考虑确定性因素和不确定性因素，分别构建了等效变幅载荷下萌生时变可靠性模型和扩展时变可靠性模
型，基于两个阶段的模型，实现了随机载荷下可靠度的预测，通过可靠度直观反应齿轮弯曲疲劳时的可靠性。