基于函数展开的连续能量确定论中子输运计算方法

1.本发明涉及中子输运过程模拟计算和反应堆物理分析领域，具体涉及连续能量确定论中子输运计算方法。


背景技术：

2.裂变核反应堆是进行可控链式裂变反应的装置，可以提供能量、放射性同位素、中子束流、辐照环境等，供工业生产和科学研究使用。在其堆芯活性区内，为了刻画中子在介质中的输运过程，需要求解中子输运方程。该数学物理方程是关于中子角通量密度在三维空间、一维中子能量及二维飞行方向等共六维相空间内的微分-积分方程，属于线性boltzmann输运方程。该方程的解析解仅在非常简化的情况下才可以获得，具有重要的理论分析价值，但不具备工程实用意义。因此，核反应堆堆芯物理工程计算一般都使用数值计算方法由计算机完成。现阶段中子输运方程的数值求解主要分为两大类方法，一类是基于网格划分与函数展开的确定论方法，用有限个相空间网格内的平均中子通量密度，逼近实际物理问题中连续分布的中子通量密度分布函数；另一类是基于随机抽样的概率论方法，又叫蒙特卡罗方法，把中子通量密度转化成随机过程统计期望的积分形式，通过大量随机抽样和统计估计，获得实际物理问题中子通量密度分布函数的估计值。
3.针对蒙特卡洛方法，当且仅当目标物理量的样本贡献数目足够多时，才可以给出可信的结果；尤其是对于分布式物理量，其计算代价将剧增；另外计算大规模问题的精细分布物理量时，该方法从理论上还面临可能出现的伪收敛甚至不收敛问题。因此在结构几何下，不适合进行海量的工程计算。在确定论方法中，对结构几何的计算效率较高，且针对中子输运方程的空间和角度的联合相空间，已经发展了非常成熟的数值离散和迭代求解技术，其中的近似已经越来越少。然而，与空间和角度相空间形成鲜明对比的是，针对中子能量相空间，目前仍在采用传统的多群方法近似处理。在多群近似处理中，整个中子能量范围可以划分为若干(g)个区间，称之为g个能群；在每个能群内认为所有中子与原子核发生相互作用的概率是一样，称之为该能群的平均微观截面；需要先依据近似能谱和评价核数据库获取非共振能群的平均微观截面，再在共振能群内进行共振自屏计算获得共振能群的平均微观截面，才可以进行真正的中子输运模拟计算。该方法通过多群近似方法把原来含有连续能量的方程离散成g个能群方程的求解问题，通过对能群方程的迭代求解即可得到每个能群内的群通量数据，而能群的数目则根据所研究问题的性质和精度要求来决定。
4.但是，基于多群近似技术的中子输运过程模拟面临一系列的问题。一方面，多群数据库制作需要预先给定典型中子能谱，无法与具体问题相关；另一方面，共振自屏计算需要考虑复杂的多种影响效应，又包含大量近似修正技术，使得该技术适用范围及修正效果都非常有限，严重限制了核能装置的设计分析工作。
5.为了能够彻底消除多群近似带来的问题，并且提高计算精度和计算效率，本发明直接从连续能量核数据库出发，提出了基于函数展开的连续能量确定论中子输运计算方法，可以直接从根本上祛除多群数据库制作和共振计算操作，为核能装置的设计分析提供
更加精确的数据支持。


技术实现要素：

6.为了克服上述现有技术存在的问题，本发明的目的在于提供一种基于函数展开的连续能量确定论中子输运计算方法，可以直接从根本上祛除多群数据库制作和共振计算操作，为核能装置的设计分析提供更加精确的数据支持。
7.为了达到上述目的，本发明采取了以下计算方案予以实施：
8.一种基于函数展开的连续能量确定论中子输运计算方法，步骤如下：
9.步骤1：按照核反应微观截面特点将能量区划分为：热中子能区、可辨共振能区、不可辨共振能区和快中子能区；其中每个能量区间又可划分为若干个能量段，能量段的划分越密计算精度越高；
10.步骤2：在不同的能量区间根据需要选取不同的基函数rn(u)，n＝0,1,2,
…
,n，并对不同的能量区间内的中子角通量密度进行函数展开，将中子角通量密度展开成未知系数与不同阶基函数的乘积之和的形式，如下所示：
[0011][0012]
φ(r,ω,u)
‑‑
在空间r处沿角度ω飞行且飞行能量的对数能量为u的中子角通量密度(cm-2
s-1
)；其中u＝lne，e为出射中子飞行能量，单位为：mev；
[0013]
ψn(r,ω)
‑‑
待求的中子角通量密度未知展开系数矩；
[0014]
不同能量区间内选取的基函数rn(u)，可精确刻画该能量区间内中子角通量密度随能量的波动变化；基函数展开阶数n越大，越能满足对不同能区的刻画精度；
[0015]
步骤3：对应到快中子能区，核反应微观截面随入射中子能量连续光滑变化，使相应的中子角通量密度也呈现连续光滑变化的趋势；针对该特点，选择光滑变化的基函数，仅考虑本能区自散射源项(无较高能区散射到该能区下散射源项)，通过对快中子能区的中子角通量密度进行基函数展开，将能量相空间内关于中子角通量密度的方程，转换成频域空间内关于中子角通量密度展开系数矩的方程，该能区函数展开后的中子输运方程格式为公式(1)，求解该方程即获得快中子能量区间各能量段的中子角通量密度系数矩及中子角通量密度函数；避免了多群方法中计算需要预设能谱的情况，使计算更精准；
[0016][0017]
式中：
[0018]
ω
‑‑
空间中出射中子角度；
[0019]
ω'
‑‑
空间中入射中子角度；
[0020]r‑‑
空间位置；
[0021]u–
出射中子能量的对数能量；
[0022]u’–
入射中子能量的对数能量；
[0023]
nk(r)
‑‑
空间r处第k种核素的原子核密度(cm-3
)；
[0024]
σ
t,k
(u)
‑‑
第k种核素与对数能量为u的中子发生核反应的微观总截面(cm2)；σ
s,k
(u'
→
u,ω'
→
ω)
‑‑
第k种核素与对数能量为u'、飞行方向为ω'的中子发生散射核反应并产生对数能量为u、飞行方向为ω中子的微观散射截面(cm2)；
[0025]qn
(r,ω)
‑‑
待求的中子源强未知展开系数矩；
[0026]r1n
(u)
‑‑
第i1区的基函数；
[0027]
i1‑‑
快中子能量区间；
[0028]
步骤4：利用步骤3中计算得到的快中子能量区间各能量段的中子角通量密度系数矩，可得到快中子能区到不可辨共振能区的下散射源项为，
[0029][0030]r1n
(u)
‑‑
第i1区的基函数；
[0031]
i1‑‑
快中子能量区间；
[0032]
i2‑‑
不可辨共振能量区间；
[0033]
然后需要考虑不可辨共振能量区间内的自散射源项，在不可辨共振能区，微观截面随入射中子能量变化的激发曲线上具有过度密集的共振峰，实验上无法测定指定入射中子能量微观截面的确定值，只能给出其在一定取值范围内的概率密度，称之为概率测度，概率测度以概率表的形式进行表示；使用能够在考虑能量分布的同时精确概率测度分布的基函数，然后对不可辨共振能区的中子角通量密度进行基函数展开，将能量相空间内关于中子角通量密度的方程，转换成频域空间内关于中子角通量密度展开系数矩的方程，该能区函数展开后的中子输运方程格式为公式(2)，求解该方程即获得不可辨共振能量区间各能量段的中子角通量密度系数矩和中子源强展开系数矩及中子角通量密度函数；
[0034][0035]
式中：
[0036]
ω
‑‑
空间中出射中子角度；
[0037]
ω'
‑‑
空间中入射中子角度；
[0038]r‑‑
空间位置；
[0039]u–
出射中子能量的对数能量；
[0040]u’–
入射中子能量的对数能量；
[0041]
nk(r)
‑‑
空间r处第k种核素的原子核密度(cm-3
)；
[0042]
σ
t,k
(u)
‑‑
第k种核素与对数能量为u的中子发生核反应的微观总截面(cm2)；
[0043]
σ
s,k
(u'
→
u,ω'
→
ω)
‑‑
第k种核素与对数能量为u'、飞行方向为ω'的中子发生散射核反应并产生对数能量为u、飞行方向为ω中子的微观散射截面(cm2)；
[0044]qn
(r,ω)
‑‑
待求的中子源强未知展开系数矩；
[0045]r1n
(u)
‑‑
第i1区的基函数；
[0046]r2n
(u)
‑‑
第i2区的基函数；
[0047]
i1‑‑
快中子能量区间；
[0048]
i2‑‑
不可辨共振能量区间；
[0049]
步骤5：利用步骤3计算得到的快中子能量区间各能量段的中子角通量密度系数矩可得到快中子能区到可辨共振能区的下散射源项为，
[0050][0051]r1n
(u)
‑‑
第i1区的基函数；
[0052]
i1‑‑
快中子能量区间；
[0053]
i3‑‑
可辨共振能量区间；
[0054]
利用步骤4计算得到的不可辨共振能量区间各能量段的中子角通量密度系数矩可得到不可辨共振能区到可辨共振能区的下散射源项为，
[0055][0056]r2n
(u)
‑‑
第i2区的基函数；
[0057]
i2‑‑
不可辨共振能量区间；
[0058]
i3‑‑
可辨共振能量区间；
[0059]
此外还需热中子能区到可辨共振能区的上散射源项，该项在初始计算时需要提供一个初始值，然后与步骤6进行上散射迭代得到更新后的上散射源项，
[0060][0061]r4n
(u)
‑‑
第i4区的基函数；
[0062]
i4‑‑
热中子能量区间；
[0063]
i3‑‑
可辨共振能量区间；
[0064]
在可辨共振能区，核反应截面也具有大量的共振峰，越靠近不可辨共振能区，其密集程度越高，越靠近热中子能区，共振峰越宽，影响的能量范围越大；核反应截面在核数据库中是以连续函数的形式进行表示；针对该特点，使用能够精确表示中子通量密度陡变的基函数，然后对可辨共振能区的中子角通量密度进行基函数展开，将能量相空间内关于中子角通量密度的方程，转换成频域空间内关于中子角通量密度展开系数矩的方程；该能区各个能段基函数展开后的中子输运方程格式为公式(3)，求解该方程即获得可辨共振能量区间各能量段的中子角通量密度系数矩和中子源强展开系数矩及中子角通量密度函数；
[0065][0066]
式中：
[0067]
ω
‑‑
空间中出射中子角度；
[0068]
ω'
‑‑
空间中入射中子角度；
[0069]r‑‑
空间位置；
[0070]u–
出射中子能量的对数能量；
[0071]u’–
入射中子能量的对数能量；
[0072]
nk(r)
‑‑
空间r处第k种核素的原子核密度(cm-3
)；
[0073]
σ
t,k
(u)
‑‑
第k种核素与对数能量为u的中子发生核反应的微观总截面(cm2)；
[0074]
σ
s,k
(u'
→
u,ω'
→
ω)
‑‑
第k种核素与对数能量为u'、飞行方向为ω'的中子发生散射核反应并产生对数能量为u、飞行方向为ω中子的微观散射截面(cm2)；
[0075]qn
(r,ω)
‑‑
待求的中子源强未知展开系数矩；
[0076]r1n
(u)
‑‑
第i1区的基函数；
[0077]r2n
(u)
‑‑
第i2区的基函数；
[0078]r3n
(u)
‑‑
第i3区的基函数；
[0079]r4n
(u)
‑‑
第i4区的基函数；
[0080]
i1‑‑
快中子能量区间；
[0081]
i2‑‑
不可辨共振能量区间；
[0082]
i3‑‑
可辨共振能量区间；
[0083]
i4‑‑
热中子能量区间；
[0084]
步骤6：利用步骤3计算得到的快中子能量区间各能量段的中子角通量密度系数矩可得到快中子能区到热中子能区的下散射源项为，
[0085][0086]r1n
(u)
‑‑
第i1区的基函数；
[0087]
i1‑‑
快中子能量区间；
[0088]
i4‑‑
热中子能量区间；
[0089]
利用步骤4计算得到的不可辨共振能量区间各能量段的中子角通量密度系数矩可
得到不可辨共振能区到热中子能区的下散射源项为，
[0090][0091]r2n
(u)
‑‑
第i2区的基函数；
[0092]
i2‑‑
不可辨共振能量区间；
[0093]
i4‑‑
热中子能量区间；
[0094]
利用步骤5中计算得到的可辨共振能量区间各能量段的中子角通量密度系数矩可得到可辨共振能区到热中子能区的下散射源项，
[0095][0096]r3n
(u)
‑‑
第i3区的基函数；
[0097]
i3‑‑
可辨共振能量区间；
[0098]
i4‑‑
热中子能量区间；
[0099]
在热中子能区，核反应微观截面随入射中子能量连续光滑变化，使相应的中子通量密度也呈现连续光滑变化的趋势；针对该特点，选择光滑的基函数，然后对热能区的中子角通量密度进行基函数展开，将能量相空间内关于中子角通量密度的方程，转换成频域空间内关于中子角通量密度展开系数矩的方程。该能区各个能段基函数展开后的中子输运方程格式为公式(4)，求解该方程即获得可辨共振能量区间各能量段的中子角通量密度系数矩和中子源强展开系数矩及中子角通量密度函数，
[0100][0101]
式中：
[0102]
ω
‑‑
空间中出射中子角度；
[0103]
ω'
‑‑
空间中入射中子角度；
[0104]r‑‑
空间位置；
[0105]u–
出射中子能量的对数能量；
[0106]u’–
入射中子能量的对数能量；
[0107]
nk(r)
‑‑
空间r处第k种核素的原子核密度(cm-3
)；
[0108]
σ
t,k
(u)
‑‑
第k种核素与对数能量为u的中子发生核反应的微观总截面(cm2)；
[0109]
σ
s,k
(u'
→
u,ω'
→
ω)
‑‑
第k种核素与对数能量为u'、飞行方向为ω'的中子发生散射核反应并产生对数能量为u、飞行方向为ω中子的微观散射截面(cm2)；
[0110]qn
(r,ω)
‑‑
待求的中子源强未知展开系数矩；
[0111]r1n
(u)
‑‑
第i1区的基函数；
[0112]r2n
(u)
‑‑
第i2区的基函数；
[0113]r3n
(u)
‑‑
第i3区的基函数；
[0114]r4n
(u)
‑‑
第i4区的基函数；
[0115]
i1‑‑
快中子能量区间；
[0116]
i2‑‑
不可辨共振能量区间；
[0117]
i3‑‑
可辨共振能量区间；
[0118]
i4‑‑
热中子能量区间；
[0119]
步骤7：返回步骤5，形成上散射迭代，然后检查求解得到的各能量区间的中子角通量密度系数矩在每次迭代前后的相对误差，根据具体问题设定误差限，若相对误差未超过误差限，则判断计算收敛，输出各能区中子角通量展开系数矩；若相对误差超过误差限，则判断不收敛，继续步骤5到步骤6的过程，直到达到设定的计算迭代次数；
[0120]
步骤8：利用获得的中子角通量展开系数矩和不同能量区间内选区的基函数，即可获得所有能量区间连续能量的中子角通量密度分布，进而实现对各种核素的各种核反应率的刻画，定量描述裂变能的释放、核素的消耗与生产、中子束流强度和辐照环境参数。
[0121]
本发明针对核反应微观截面在非共振能区、不可辨共振能区和可辨共振能区的特点，提出针对性的函数展开技术，恰当刻画中子在能量空间内的网状耦合特性，对连续能量的中子输运方程进行数值离散，将中子通量密度分布的求解转化成对相应展开系数矩的求解，给出中子通量密度和核反应率等物理量随中子能量的连续分布。进而实现对各种核素的各种核反应率的刻画，为进一步定量描述裂变能的释放、核素的消耗与生产、中子束流强度、辐照环境参数等提供数据支持。该方法的突出优点包括：1)消除了多群数据库制作环节，避免了预先使用典型中子能谱带来的问题，2)消除了共振自屏计算环节，避免了在空间、能量及核素构成上的自屏和互屏效应修正问题。3)能既保证计算效率又保证计算精度。
附图说明
[0122]
图1为基于函数展开的连续能量确定论中子输运计算原理图。
[0123]
图2为基于函数展开的连续能量确定论中子输运计算方法流程图。
具体实施方式
[0124]
下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步详细说明：
[0125]
如图1所示，在坐标轴下方曲线表示在任意能量区间内，位置r处，飞行角度为ω的中子角通量密度随能量的变化，其中实线表示需要求解的真实的中子角通量密度虚线表示实际计算求解的中子角通量密度
[0126]
本发明的方法原理为：
[0127]
按照核反应微观截面特点将能量区划分为：热中子能区，可辨共振能区，不可辨共振能区，快中子能区；其中每个能量区间又可划分为若干个能量段。中子角通量密度与核反
应截面具有强相关性，因此在在不同的能量区间根据需要选取不同的基函数rn(u)，n＝0,1,2,
…
,n，并对不同的能量区间内的中子角通量密度进行函数展开，将中子角通量密度展开成未知系数与不同阶基函数的乘积之和的形式，将能量相空间内关于中子角通量密度的方程，转换成频域空间内关于中子角通量密度展开系数矩的方程。在不同的能量区间内求解该方程可获得可辨共振能量区间各能量段的中子角通量密度系数矩和中子源强展开系数矩及中子角通量密度函数，进而实现对各种核素的各种核反应率的刻画，定量描述裂变能的释放、核素的消耗与生产、中子束流强度、辐照环境参数等。
[0128]
如图2所示，本发明的具体实施步骤如下：
[0129]
一种基于函数展开的连续能量确定论中子输运计算方法，步骤如下：
[0130]
步骤1：按照核反应微观截面特点将能量区划分为：热中子能区、可辨共振能区、不可辨共振能区和快中子能区；其中每个能量区间又可划分为若干个能量段，能量段的划分越密计算精度越高；
[0131]
步骤2：在不同的能量区间根据需要选取不同的基函数rn(u)，n＝0,1,2,
…
,n，并对不同的能量区间内的中子角通量密度进行函数展开，将中子角通量密度展开成未知系数与不同阶基函数的乘积之和的形式，如下所示：
[0132]
‑‑
在空间r处沿角度ω飞行且飞行能量的对数能量为u的中子角通量密度(cm-2
s-1
)；其中u＝lne，e为出射中子飞行能量，单位为：mev；
[0133]
ψn(r,ω)
‑‑
待求的中子角通量密度未知展开系数矩；
[0134]
不同能量区间内选取的基函数rn(u)，可精确刻画该能量区间内中子角通量密度随能量的波动变化；基函数展开阶数n越大，越能满足对不同能区的刻画精度；
[0135]
步骤3：对应到快中子能区，核反应微观截面随入射中子能量连续光滑变化，使相应的中子角通量密度也呈现连续光滑变化的趋势；针对该特点，选择光滑变化的基函数，仅考虑本能区自散射源项(无较高能区散射到该能区下散射源项)，通过对快中子能区的中子角通量密度进行基函数展开，将能量相空间内关于中子角通量密度的方程，转换成频域空间内关于中子角通量密度展开系数矩的方程，该能区函数展开后的中子输运方程格式为公式(1)，求解该方程即获得快中子能量区间各能量段的中子角通量密度系数矩及中子角通量密度函数；避免了多群方法中计算需要预设能谱的情况，使计算更精准；
[0136][0137]
式中：
[0138]
ω
‑‑
空间中出射中子角度；
[0139]
ω'
‑‑
空间中入射中子角度；
[0140]r‑‑
空间位置；
[0141]u–
出射中子能量的对数能量；
[0142]u’–
入射中子能量的对数能量；
[0143]
nk(r)
‑‑
空间r处第k种核素的原子核密度(cm-3
)；
[0144]
σ
t,k
(u)
‑‑
第k种核素与对数能量为u的中子发生核反应的微观总截面(cm2)；
[0145]
σ
s,k
(u'
→
u,ω'
→
ω)
‑‑
第k种核素与对数能量为u'、飞行方向为ω'的中子发生散射核反应并产生对数能量为u、飞行方向为ω中子的微观散射截面(cm2)；
[0146]qn
(r,ω)
‑‑
待求的中子源强未知展开系数矩；
[0147]r1n
(u)
‑‑
第i1区的基函数；
[0148]
i1‑‑
快中子能量区间；
[0149]
步骤4：利用步骤3中计算得到的快中子能量区间各能量段的中子角通量密度系数矩，可得到快中子能区到不可辨共振能区的下散射源项为，
[0150][0151]r1n
(u)
‑‑
第i1区的基函数；
[0152]
i1‑‑
快中子能量区间；
[0153]
i2‑‑
不可辨共振能量区间；
[0154]
然后需要考虑不可辨共振能量区间内的自散射源项，在不可辨共振能区，微观截面随入射中子能量变化的激发曲线上具有过度密集的共振峰，实验上无法测定指定入射中子能量微观截面的确定值，只能给出其在一定取值范围内的概率密度，称之为概率测度，概率测度以概率表的形式进行表示；使用能够在考虑能量分布的同时精确概率测度分布的基函数，然后对不可辨共振能区的中子角通量密度进行基函数展开，将能量相空间内关于中子角通量密度的方程，转换成频域空间内关于中子角通量密度展开系数矩的方程，该能区函数展开后的中子输运方程格式为公式(2)，求解该方程即获得不可辨共振能量区间各能量段的中子角通量密度系数矩和中子源强展开系数矩及中子角通量密度函数；
[0155][0156]
式中：
[0157]
ω
‑‑
空间中出射中子角度；
[0158]
ω'
‑‑
空间中入射中子角度；
[0159]r‑‑
空间位置；
[0160]u–
出射中子能量的对数能量；
[0161]u’–
入射中子能量的对数能量；
[0162]
nk(r)
‑‑
空间r处第k种核素的原子核密度(cm-3
)；
[0163]
σ
t,k
(u)
‑‑
第k种核素与对数能量为u的中子发生核反应的微观总截面(cm2)；
[0164]
σ
s,k
(u'
→
u,ω'
→
ω)
‑‑
第k种核素与对数能量为u'、飞行方向为ω'的中子发生散射核反应并产生对数能量为u、飞行方向为ω中子的微观散射截面(cm2)；
[0165]qn
(r,ω)
‑‑
待求的中子源强未知展开系数矩；
[0166]r1n
(u)
‑‑
第i1区的基函数；
[0167]r2n
(u)
‑‑
第i2区的基函数；
[0168]
i1‑‑
快中子能量区间；
[0169]
i2‑‑
不可辨共振能量区间；
[0170]
步骤5：利用步骤3计算得到的快中子能量区间各能量段的中子角通量密度系数矩可得到快中子能区到可辨共振能区的下散射源项为，
[0171][0172]r1n
(u)
‑‑
第i1区的基函数；
[0173]
i1‑‑
快中子能量区间；
[0174]
i3‑‑
可辨共振能量区间；
[0175]
利用步骤4计算得到的不可辨共振能量区间各能量段的中子角通量密度系数矩可得到不可辨共振能区到可辨共振能区的下散射源项为，
[0176][0177]r2n
(u)
‑‑
第i2区的基函数；
[0178]
i2‑‑
不可辨共振能量区间；
[0179]
i3‑‑
可辨共振能量区间；
[0180]
此外还需热中子能区到可辨共振能区的上散射源项，该项在初始计算时需要提供一个初始值，然后与步骤6进行上散射迭代得到更新后的上散射源项，
[0181][0182]r4n
(u)
‑‑
第i4区的基函数；
[0183]
i4‑‑
热中子能量区间；
[0184]
i3‑‑
可辨共振能量区间；
[0185]
在可辨共振能区，核反应截面也具有大量的共振峰，越靠近不可辨共振能区，其密集程度越高，越靠近热中子能区，共振峰越宽，影响的能量范围越大；核反应截面在核数据库中是以连续函数的形式进行表示；针对该特点，使用能够精确表示中子通量密度陡变的基函数，然后对可辨共振能区的中子角通量密度进行基函数展开，将能量相空间内关于中子角通量密度的方程，转换成频域空间内关于中子角通量密度展开系数矩的方程；该能区各个能段基函数展开后的中子输运方程格式为公式(3)，求解该方程即获得可辨共振能量区间各能量段的中子角通量密度系数矩和中子源强展开系数矩及中子角通量密度函数；
[0186]
在此步骤中一方面消除了计算量较大的共振计算，大大降低了工程计算中对计算
资源的要求，另一方面从理论上消除了能量自屏效应、空间自屏和互屏效应，使计算更加精准。
[0187][0188]
式中：
[0189]
ω
‑‑
空间中出射中子角度；
[0190]
ω'
‑‑
空间中入射中子角度；
[0191]r‑‑
空间位置；
[0192]u–
出射中子能量的对数能量；
[0193]u’–
入射中子能量的对数能量；
[0194]
nk(r)
‑‑
空间r处第k种核素的原子核密度(cm-3
)；
[0195]
σ
t,k
(u)
‑‑
第k种核素与对数能量为u的中子发生核反应的微观总截面(cm2)；
[0196]
σ
s,k
(u'
→
u,ω'
→
ω)
‑‑
第k种核素与对数能量为u'、飞行方向为ω'的中子发生散射核反应并产生对数能量为u、飞行方向为ω中子的微观散射截面(cm2)；
[0197]qn
(r,ω)
‑‑
待求的中子源强未知展开系数矩；
[0198]r1n
(u)
‑‑
第i1区的基函数；
[0199]r2n
(u)
‑‑
第i2区的基函数；
[0200]r3n
(u)
‑‑
第i3区的基函数；
[0201]r4n
(u)
‑‑
第i4区的基函数；
[0202]
i1‑‑
快中子能量区间；
[0203]
i2‑‑
不可辨共振能量区间；
[0204]
i3‑‑
可辨共振能量区间；
[0205]
i4‑‑
热中子能量区间；
[0206]
步骤6：利用步骤3计算得到的快中子能量区间各能量段的中子角通量密度系数矩可得到快中子能区到热中子能区的下散射源项为，
[0207][0208]r1n
(u)
‑‑
第i1区的基函数；
[0209]
i1‑‑
快中子能量区间；
[0210]
i4‑‑
热中子能量区间；
[0211]
利用步骤4计算得到的不可辨共振能量区间各能量段的中子角通量密度系数矩可得到不可辨共振能区到热中子能区的下散射源项为，
[0212][0213]r2n
(u)
‑‑
第i2区的基函数；
[0214]
i2‑‑
不可辨共振能量区间；
[0215]
i4‑‑
热中子能量区间；
[0216]
利用步骤5中计算得到的可辨共振能量区间各能量段的中子角通量密度系数矩可得到可辨共振能区到热中子能区的下散射源项，
[0217][0218]r3n
(u)
‑‑
第i3区的基函数；
[0219]
i3‑‑
可辨共振能量区间；
[0220]
i4‑‑
热中子能量区间；
[0221]
在热中子能区，核反应微观截面随入射中子能量连续光滑变化，使相应的中子通量密度也呈现连续光滑变化的趋势；针对该特点，选择光滑的基函数，然后对热能区的中子角通量密度进行基函数展开，将能量相空间内关于中子角通量密度的方程，转换成频域空间内关于中子角通量密度展开系数矩的方程。该能区各个能段基函数展开后的中子输运方程格式为公式(4)，求解该方程即获得可辨共振能量区间各能量段的中子角通量密度系数矩和中子源强展开系数矩及中子角通量密度函数，
[0222][0223]
式中：
[0224]
ω
‑‑
空间中出射中子角度；
[0225]
ω'
‑‑
空间中入射中子角度；
[0226]r‑‑
空间位置；
[0227]u–
出射中子能量的对数能量；
[0228]u’–
入射中子能量的对数能量；
[0229]
nk(r)
‑‑
空间r处第k种核素的原子核密度(cm-3
)；
[0230]
σ
t,k
(u)
‑‑
第k种核素与对数能量为u的中子发生核反应的微观总截面(cm2)；
[0231]
σ
s,k
(u'
→
u,ω'
→
ω)
‑‑
第k种核素与对数能量为u'、飞行方向为ω'的中子发生散射核反应并产生对数能量为u、飞行方向为ω中子的微观散射截面(cm2)；
[0232]qn
(r,ω)
‑‑
待求的中子源强未知展开系数矩；
[0233]r1n
(u)
‑‑
第i1区的基函数；
[0234]r2n
(u)
‑‑
第i2区的基函数；
[0235]r3n
(u)
‑‑
第i3区的基函数；
[0236]r4n
(u)
‑‑
第i4区的基函数；
[0237]
i1‑‑
快中子能量区间；
[0238]
i2‑‑
不可辨共振能量区间；
[0239]
i3‑‑
可辨共振能量区间；
[0240]
i4‑‑
热中子能量区间；
[0241]
步骤7：返回步骤5，形成上散射迭代，然后检查求解得到的各能量区间的中子角通量密度系数矩在每次迭代前后的相对误差，根据具体问题设定误差限，若相对误差未超过误差限，则判断计算收敛，输出各能区中子角通量展开系数矩；若相对误差超过误差限，则判断不收敛，继续步骤5到步骤6的过程，直到达到设定的计算迭代次数；
[0242]
步骤8：利用获得的中子角通量展开系数矩和不同能量区间内选区的基函数，即可获得所有能量区间连续能量的中子角通量密度分布，进而实现对各种核素的各种核反应率的刻画，定量描述裂变能的释放、核素的消耗与生产、中子束流强度和辐照环境参数。
[0243]
针对核反应微观截面在非共振能区、不可辨共振能区和可辨共振能区的特点，提出针对性的函数展开技术，恰当刻画中子在能量空间内的网状耦合特性，对连续能量的中子输运方程进行数值离散，将中子通量密度分布的求解转化成对相应展开系数矩的求解，给出中子通量密度和核反应率等物理量随中子能量的连续分布。进而实现对各种核素的各种核反应率的刻画，为进一步定量描述裂变能的释放、核素的消耗与生产、中子束流强度、辐照环境参数等提供数据支持。该方法的突出优点包括：1)消除了多群数据库制作环节，避免了预先使用典型中子能谱带来的问题，2)消除了共振自屏计算环节，避免了在空间、能量及核素构成上的自屏和互屏效应修正问题。3)能既保证计算效率又保证计算精度。
[0244]
一方面是该方法主要是通过计算机来完成，因此可根据设计方案在典型工况下同时进行多次模拟，大大减少了时间成本；另一方面是核能装置实验分析耗费巨大且有可能会对实验人员造成危害，因此使用该方法在保证一定的计算精度的前提下，能减少实验分析的次数，降低了耗费巨大的实验成本。还可以为相关核能装置的设计提供设计思路，为进一步提高核能装置性能提供定量数据。