一种基于分数阶等效电容耦合的混沌同步系统和设计方法

1.本发明涉及通信技术领域，特别涉及一种基于分数阶等效电容耦合的混沌同步系统和设计方法。


背景技术：

2.对于国家安全而言，通信是很重要的一环。目前，大数据时代背景的数据信息交互非常频繁和迅速，传统保密通信已经不能完全满足当前网络通讯的安全要求。混沌信号具有初始条件和系统参数的极端敏感性、连续宽带谱、遍历性、有界性、内随机性、分维性、普适性等特点，与密码学、保密通信要求相一致。
3.混沌是对一类复杂、无序运动的概括,表现出对于微小变化的极端敏感。将混沌的阶延伸到分数的范围,便得到分数阶混沌模型。阶次的变化使得分数阶混沌模型表现出更为复杂的演化轨迹,演变出许多分数阶混沌特有的性质：如分数阶导数或积分综合考虑了过去历史以及非局部分布式的影响，在表示系统自身特性以及实际物理特性上更加准确。因此，分数阶混沌系统和整数阶混沌系统相比较，更符合实际情况，更能准确反映实际系统的动态特性；且更复杂的动力学特性和伪随机性提高了系统的保密安全性。另外，分数阶混沌系统对于噪声干扰级参数扰动具有较强的抑制能力，分数阶等效电容耦合控制使混沌同步具有更好的鲁棒性。
4.目前混沌系统的同步控制方法，中国专利(cn113141250a)公开了发送端与接收端混沌系统保密通信同步控制方法及装置，通过设定发送端的混沌系统的系统初始值；根据发送端的混沌系统的数学模型，构建接收端的混沌系统的数学模型；设定接收端的混沌系统的系统初始值；根据发送端的混沌系统的数学模型和接收端的混沌系统的数学模型，定义发送端的混沌系统与接收端的混沌系统的同步误差，得到误差系统；构建控制器；基于控制器对误差系统进行控制，实现发送端的混沌系统与接收端的混沌系统的同步；同步后的发送端与接收端开始执行保密通信。该控制方法在同步时间上更具优越性以及快速响应能力。但是，研究表明一般低维混沌系统易受自适应同步控制的攻击，不具有很高的保密性；低维混沌系统的系统动力学特性简单且密钥空间小，无法抵御相空间重构，很容易被破译。更关键的是，该专利使用的是驱动-响应同步法思想，该法为开环状态，对于噪声及参数失配较敏感，因此鲁棒性较差。更重要的是，该方法的控制器项由三部分组成，包括不确定项、外部扰动项，以及误差系统，结构复杂。导致在具体的电路实现中会需要较多元器件，造成信号之间干扰大，而混沌信号的初值敏感性决定了其容易受到信号的干扰，所以会导致实现较大误差。
5.中国专利(cn110149201a)公开一种基于误差掩盖与混沌同步的保密通信方法，包括以下步骤：发送端构建驱动混沌系统，利用所述驱动混沌系统中的第一个参数对待加密信息进行加密得到已加密信息；送端利用驱动混沌系统中的第二个参数以及第三个参数对加密信息进行掩盖叠加得到混沌信号，并将混沌信号发送至接收端；接收端构造响应混沌系统，并根据所述发送端发送的混沌信号以及响应混沌系统构造误差信号以及同步规律；
接收端对同步规律进行调整，以使所述误差信号趋近于零；并在所述误差信号趋近于零时，根据所述响应混沌系统的第一个参数以及所述混沌信号中包括的加密信息，得到解密信息。该方法可以提高数据传输过程中的安全性。该发明仅在接收端加入了同步规律(控制项)，发送端未加入同步规律，因此从实际系统来看，发送端和接收端混沌系统的线性特性已经发生了变化，已经变成了两个不同的系统，且加入的控制项非常复杂，在实际物理实现上非常困难；该发明误差系统的e3未含非线性项，对于线性系统，其稳定性和输出特性只决定与系统本身的结构和参数；而非线性系统的稳定性和输出动态过程，不仅与系统的结构和参数有关，还与系统的初始条件和输入信号大小有关，加大了信号破译的难度。所以，进行同步保密通信时线性系统比含有非线性系统更易被破解，降低了数据传输过程中的安全性。


技术实现要素：

6.针对现有技术中混沌同步系统数据传输安全性较低的问题，本发明提出一种基于分数阶等效电容耦合的混沌同步系统和设计方法，通过采用分数阶分数阶等效电容对驱动端和响应端进行线性耦合同步，从而提高混沌同步过程中数据的安全性。
7.为了实现上述目的，本发明提供以下技术方案：
8.一种基于分数阶等效电容耦合的混沌同步系统，包括耦合驱动端、控制端、耦合响应端；所述耦合驱动端上设置有耦合驱动电路，所述耦合响应端上设置有耦合响应电路，所述控制端上设置有分数阶等效电容线性耦合电路；耦合驱动电路通过分数阶等效电容线性耦合电路和耦合响应电路连接。
9.优选地，所述耦合驱动电路包括第一驱动电路、第二驱动电路和第三驱动电路；
10.所述第一驱动电路包括第一驱动变量端x1：
11.第一驱动变量端x1和第一电阻r1的一端连接，第一电阻r1的另一端、第一分数阶等效电容f1的一端、第二电阻r2的一端并联后与第一比较器u1的反相输入端连接，第一比较器u1的同相输入端接地，第一分数阶等效电容f1的另一端分别和第一驱动变量端x1、第一比较器u1的输出端、第八电阻r8的一端连接，第八电阻r8的另一端、第九电阻r9的一端并联后与第四比较器u4的反相输入端连接，第四比较器u4的同相输入端接地，第四比较器u4的输出端、第九电阻r9的另一端并联后与第二驱动电路中第三电阻r3的一端连接，第二电阻r2的另一端分别与第二驱动电路中第四电阻r4的一端、第十一电阻r11的另一端、第五比较器u5的输出端以及第三驱动电路中第二乘法器x2的第二输入端连接；
12.第二驱动电路包括第二驱动变量端x2和耦合驱动端u：
13.第二驱动变量端x2与线性耦合电路中第二十三电阻r23的一端连接，耦合驱动端u和第三十电阻r30的一端连接，第一乘法器x1的第一输入端和第一驱动变量端x1连接，第一乘法器x1的输出端和第五电阻r5的一端连接，第三十电阻r30的另一端、第三电阻r3的另一端、第四电阻r4的另一端、第五电阻r5的另一端、第二分数阶等效电容f2的一端并联后与第二比较器u2的反相输入端连接，第二比较器u2的同相输入端接地，第二分数阶等效电容f2的另一端、第二比较器u2的输出端、第十电阻r10的一端并联后与第二驱动变量端x2连接，第十电阻r10的另一端、第十一电阻r11的一端并联后与第五比较器u5的反相输入端连接，第五比较器u5的同相输入端接地，第十一电阻r11的另一端、第五比较器u5的输出端并联后
与第二电阻r2的另一端连接；
14.第三驱动电路包括第三驱动变量端x3：
15.第三驱动变量端x3分别与第一乘法器x1的第二输入端、第六电阻r6的一端、第三分数阶等效电容f3的另一端、第三比较器u3的输出端连接，第二乘法器x2的第一输入端与第一驱动变量端x1连接，第二乘法器x2的第二输入端与第二电阻r2的另一端连接，第二乘法器x2的输出端与第七电阻r7的一端连接，第六电阻r6的另一端、第七电阻r7的另一端、第三分数阶等效电容f3的一端并联后与第三比较器u3的反相输入端连接，第三比较器u3的同相输入端接地。
16.优选地，所述耦合响应电路包括第一响应电路、第二响应电路和第三响应电路；
17.第一响应电路包括第一响应变量端y1：
18.第一响应变量端y1和第十六电阻r16的一端连接，第十六电阻r16的另一端、第四分数阶等效电容f4的一端、第十七电阻r17的一端并联后与第八比较器u8的反相输入端连接，第八比较器u8的同相输入端接地，第四分数阶等效电容f4的另一端、第八比较器u8的输出端、第十四电阻r14的一端并联后与第一响应变量端y1连接，第十四电阻r14的另一端、第十二电阻r12的一端并联后与第六比较器u6的反相输入端连接，第六比较器u6的同相输入端接地，第六比较器u6的输出端、第十二电阻r12的另一端并联后与第二响应电路中第十八电阻r18的一端连接，第十七电阻r17的另一端分别与第二驱动电路中第十九电阻r19的一端、第十三电阻r13的另一端、第七比较器u7的输出端以及第三响应电路中第四乘法器x4的第二输入端连接；
19.第二响应电路包括第二响应变量端y2和耦合响应端-u：
20.线性耦合电路的输出端和耦合响应端-u连接，耦合响应端-u还与第三十一电阻r31的一端连接，第三乘法器x3的第一输入端和第一响应变量端y1连接，第三乘法器x3的输出端和第二十电阻r20的一端连接，第三十一电阻r31的另一端、第十八电阻r18另一端、第十九电阻r19的另一端、第二十电阻r20的另一端、第五分数阶等效电容f5的一端并联后与第九比较器u9的反相输入端连接，第九比较器u9的同相输入端接地，第五分数阶等效电容f5的另一端、第九比较器u9的输出端、第十五电阻r15的一端并联后与第二响应变量端y2连接，第二响应变量端y2还与线性耦合电路中第二十四电阻r24的一端连接，第十五电阻r15的另一端、第十三电阻r13的一端并联后与第七比较器u7的反相输入端连接，第七比较器u7的同相输入端接地，第十三电阻r13的另一端、第七比较器u7的输出端并联后与第十七电阻r17的另一端连接；
21.第三响应电路包括第三响应变量端y3：
22.第三响应变量端y3分别与第三乘法器x3的第二输入端、第二十一电阻r21的一端、第六分数阶等效电容f6的另一端、第十比较器u10的输出端连接，第四乘法器x4的第一输入端与第一响应变量端y1连接，第四乘法器x4的第二输入端与第十七电阻r17的另一端连接，第四乘法器x4的输出端与第二十二电阻r22的一端连接，第二十一电阻r21的另一端、第二十二电阻r22的另一端、第六分数阶等效电容f6的一端并联后与第十比较器u10的反相输入端连接，第十比较器u10的同相输入端接地。
23.优选地，所述分数阶等效电容线性耦合电路包括第七分数阶等效电容f7：
24.第二十三电阻r23的一端与第二驱动变量端x2连接，第二十四电阻r24的一端与第
二响应变量端y2连接，第二十三电阻r23的另一端、第二十六电阻r26的一端并联后与第十一比较器u11的反相输入端连接，第二十四电阻r24的另一端、第二十五电阻r25的一端并联后与第十一比较器u11的同相输入端连接，第二十五电阻r25的另一端接地，第二十六电阻r26另一端、第十一比较器u11的输出端并联后与第七分数阶等效电容f7的一端连接，第七分数阶等效电容f7的另一端、第二十七电阻r27的一端并联后与第十二比较器u12的反相输入端连接，第十二比较器u12的同相输入端接地，第十二比较器u12的输出端、第二十七电阻r27的另一端、第二十八电阻r28的一端并联后与耦合驱动端u连接，第二十八电阻r28的另一端、第二十九电阻r29的一端并联后与第十三比较器u13的反相输入端连接，第十三比较器u13的同相输入端接地，第二十九电阻r29的另一端、第十三比较器u13的输出端并联后与耦合响应端-u连接。
25.优选地，所述第七分数阶等效电容f7的等效电路为：
26.第a电阻ra的一端和第一电容c1的一端并联后与输入端口连接，第a电阻ra的另一端、第一电容c1的另一端并联后分别与第b电阻rb的一端、第二电容c2的一端连接，第b电阻rb的另一端、第二电容c2的另一端并联后分别与第c电阻rc的一端、第三电容c3的一端连接，第c电阻rc的另一端、第三电容c3的另一端并联后与输出端口连接。
27.本发明还提供一种基于分数阶等效电容耦合的混沌同步系统的设计方法，具体包括以下步骤：
28.s1：构建驱动端的数学模型：
[0029][0030]
公式(1)中，x1,x2,x3分别表示驱动变量，分别为x1,x2,x3的导数，q表示分数阶导数；
[0031]
s2：根据驱动端的数学模型构建响应端的数学模型：
[0032][0033]
公式(2)中，y1,y2,y3分别表示响应变量，分别为y1,y2,y3的导
数；
[0034]
s3：确定分数阶等效电容线性耦合项，并分别对驱动端和响应端进行改进，得到耦合驱动端和耦合响应电路端；
[0035]
分数阶等效电容线性耦合项的数学模型为：
[0036][0037]
公式(3)中，u表示分数阶等效电容线性耦合项；
[0038]
将分数阶等效电容线性耦合项与驱动端进行结合得到耦合驱动端，其数学模型为：
[0039][0040]
将分数阶电容线性耦合项与响应端进行结合得到耦合响应端，其数学模型为：
[0041][0042]
公式(4)、(5)中，x1,x2,x3表示驱动变量，分别为x1,x2,x3的导数；y1,y2,y3表示响应变量，分别为y1,y2,y3的导数，q表示分数阶导数；
[0043]
s4：根据公式(4)、(5)定义耦合驱动端和耦合响应端的同步误差，得到误差系统，将误差系统布置在控制端，从而实现耦合驱动端和耦合响应端的同步；
[0044]
误差系统的数学模型为：
[0045]
[0046]
公式(6)中，ei＝x
i-yi,i＝1,2,3；
[0047]
优选地，所述s1中，驱动端的数学模型对应的电路状态方程为：
[0048][0049]
电路状态方程(5)映射的无量纲状态方程表示如下：
[0050][0051]
公式(7)、(8)中，v1、v2、v3分别表示电压，对应x1,x2,x3，t＝τ/t0，r0＝100kω,c0＝10nf,t0＝r0c0，f表示分数阶分数阶等效电容，令r1＝r2＝2.5kω，r3＝r5＝r7＝10kω，r4＝4kω，r6＝33.3kω。
[0052]
优选地，所述s4中，误差系统的同步误差ei＝x
i-yi,i＝1,2,3。
[0053]
综上所述，由于采用了上述技术方案，与现有技术相比，本发明至少具有以下有益效果：
[0054]
1.本发明利用分数阶导数实现耦合同步，由于分数阶系统具有历史记忆性等特点,它的动力学特性更加的复杂，难于破译，可以大大增强混沌保密通信的安全性。
[0055]
2.本发明采用分数阶等效电容实现耦合驱动端和耦合响应端的线性耦合，相比于现有的非线性耦合技术，采用的元件更少，结构更加简单，易于实现，具有非常突出的实用价值。
[0056]
3.成本低：现有的分数阶混沌同步系统采用的元器件较多，信号之间干扰大，实现误差较大；本发明只需要一个分数阶等效电容即可实现耦合项，器件和结构比较简单，稳定更高，即利用更少的元器件实现分数阶混沌系统的同步是实际应用的趋势，对混沌保密研究的应用有重大意义。
附图说明：
[0057]
图1为根据本发明示例性实施例的一种基于分数阶等效电容耦合的混沌同步系统
的电路示意图。
[0058]
图2为根据本发明示例性实施例的分数阶等效电容的等效电路示意图。
[0059]
图3为根据本发明示例性实施例的误差系统的同步误差模拟示意图。
具体实施方式
[0060]
下面结合实施例及具体实施方式对本发明作进一步的详细描述。但不应将此理解为本发明上述主题的范围仅限于以下的实施例，凡基于本发明内容所实现的技术均属于本发明的范围。
[0061]
在本发明的描述中，需要理解的是，术语“纵向”、“横向”、“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“顶”、“底”“内”、“外”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。
[0062]
在本发明的描述中，除非另有规定和限定，需要说明的是，术语“安装”、“相连”、“连接”应做广义理解，例如，可以是机械连接或电连接，也可以是两个元件内部的连通，可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，对于本领域的普通技术人员而言，可以根据具体情况理解上述术语的具体含义。
[0063]
混沌同步是实现混沌保密通信的重要条件。混沌同步通信的基本思想是：把被传输的信号源加在某一由混沌系统产生的混沌信号上，生成混沌类噪声信号，对信息源加密，该混沌信号发送到接收器上后，再由一个相应的混沌系统分离其中的混沌信号，即解密过程，进而恢复出原输送的信息源，由于混沌同步效应的存在，使得这一解密过程能够实现。
[0064]
本发明是利用分数阶等效电容来实现驱动系统和响应系统的线性耦合，最终达到同步，并将同步后的混沌系统用于保密通信领域。本发明流程图主要包括：构建驱动系统及其电路实现、构建响应系统及其电路实现、通过分数阶等效电容实现耦合项并绘制同步电路图、根据耦合驱动系统和耦合响应系统构建误差系统及其电路实现、实现分数阶混沌系统同步五个主要步骤。
[0065]
如图1所示，本发明提供一种基于分数阶等效电容耦合的混沌同步系统，包括耦合驱动端、控制端、耦合响应端，耦合驱动端上设置有耦合驱动电路1，耦合响应端上设置有耦合响应电路3，控制端上设置有分数阶等效电容线性耦合电路2，耦合驱动电路1、耦合响应电路3，耦合驱动电路1通过分数阶等效电容线性耦合电路2和耦合响应电路3连接。
[0066]
本实施例中，耦合驱动电路1包括第一驱动电路、第二驱动电路和第三驱动电路。
[0067]
第一驱动电路包括第一驱动变量端x1：
[0068]
第一驱动变量端x1和第一电阻r1的一端连接，第一电阻r1的另一端、第一分数阶等效电容f1的一端、第二电阻r2的一端并联后与第一比较器u1的反相输入端连接，第一比较器u1的同相输入端接地，第一分数阶等效电容f1的另一端分别和第一驱动变量端x1、第一比较器u1的输出端、第八电阻r8的一端连接，第八电阻r8的另一端、第九电阻r9的一端并联后与第四比较器u4的反相输入端连接，第四比较器u4的同相输入端接地，第四比较器u4的输出端、第九电阻r9的另一端并联后与第二驱动电路中第三电阻r3的一端连接，第二电阻r2的另一端分别与第二驱动电路中第四电阻r4的一端、第十一电阻r11的另一端、第五比
较器u5的输出端以及第三驱动电路中第二乘法器x2的第二输入端连接。本实施例中，第八电阻r8、第九电阻r9、第四比较器u4构成的电路作用是：对第一驱动变量端x1输入的第一变量信号x1进行反相。
[0069]
第二驱动电路包括第二驱动变量端x2和耦合驱动端u：
[0070]
第二驱动变量端x2与分数阶等效电容线性耦合电路2的输入端(第二十三电阻的一端)连接，耦合驱动端u和第三十电阻r30的一端连接，x1的第一输入端和第一驱动变量端x1连接，x1的输出端和第五电阻r5的一端连接，第三十电阻r30的另一端、第三电阻r3的另一端、第四电阻r4的另一端、第五电阻r5的另一端、第二分数阶等效电容f2的一端并联后与第二比较器u2的反相输入端连接，第二比较器u2的同相输入端接地，第二分数阶等效电容f2的另一端、第二比较器u2的输出端、第十电阻r10的一端并联后与第二驱动变量端x2连接，第十电阻r10的另一端、第十一电阻r11的一端并联后与第五比较器u5的反相输入端连接，第五比较器u5的同相输入端接地，第十一电阻r11的另一端、第五比较器u5的输出端并联后与第二电阻r2的另一端连接。本实施例中，第十电阻r10、第十一电阻r11、第五比较器u5构成的电路作用是：对第二驱动变量端x2输入的第二变量信号x2进行反相。
[0071]
第三驱动电路包括第三驱动变量端x3：
[0072]
第三驱动变量端x3分别与x1的第二输入端、第六电阻r6的一端、第三分数阶等效电容f3的另一端、第三比较器u3的输出端连接，x2的第一输入端与第一驱动变量端x1连接，x2的第二输入端与第二电阻r2的另一端连接，x2的输出端与第七电阻r7的一端连接，第六电阻r6的另一端、第七电阻r7的另一端、第三分数阶等效电容f3的一端并联后与第三比较器u3的反相输入端连接，第三比较器u3的同相输入端接地。
[0073]
本实施例中，耦合驱动电路1对应的数学模型为：
[0074][0075]
公式(1)中，x1,x2,x3分别表示第一驱动电路、第二驱动电路、第三驱动电路输入的驱动变量，分别为x1,x2,x3的导数，q表示分数阶导数。
[0076]
本实施例中，对应的，耦合响应电路3包括第一响应电路、第二响应电路和第三响应电路。
[0077]
第一响应电路包括第一响应变量端y1：
[0078]
第一响应变量端y1和第十六电阻r16的一端连接，第十六电阻r16的另一端、第四分数阶等效电容f4的一端、第十七电阻r17的一端并联后与第八比较器u8的反相输入端连接，第八比较器u8的同相输入端接地，第四分数阶等效电容f4的另一端、第八比较器u8的输出端、第十四电阻r14的一端并联后与第一响应变量端y1连接，第十四电阻r14的另一端、第十二电阻r12的一端并联后与第六比较器u6的反相输入端连接，第六比较器u6的同相输入
端接地，第六比较器u6的输出端、第十二电阻r12的另一端并联后与第二响应电路中第十八电阻r18的一端连接，第十七电阻r17的另一端分别与第二驱动电路中第十九电阻r19的一端、第十三电阻r13的另一端、第七比较器u7的输出端以及第三响应电路中第四乘法器x4的第二输入端连接。
[0079]
第二响应电路包括第二响应变量端y2和耦合响应端-u：
[0080]
分数阶等效电容线性耦合电路2的输出端和耦合响应端-u连接，耦合响应端-u还与第三十一电阻r31的一端连接，x3的第一输入端和第一响应变量端y1连接，x3的输出端和第二十电阻r20的一端连接，第三十一电阻r31的另一端、第十八电阻r18另一端、第十九电阻r19的另一端、第二十电阻r20的另一端、第五分数阶等效电容f5的一端并联后与第九比较器u9的反相输入端连接，第九比较器u9的同相输入端接地，第五分数阶等效电容f5的另一端、第九比较器u9的输出端、第十五电阻r15的一端并联后与第二响应变量端y2连接，第二响应变量端y2还与分数阶等效电容线性耦合电路2中第二十四电阻r24的一端连接，第十五电阻r15的另一端、第十三电阻r13的一端并联后与第七比较器u7的反相输入端连接，第七比较器u7的同相输入端接地，第十三电阻r13的另一端、第七比较器u7的输出端并联后与第十七电阻r17的另一端连接。
[0081]
第三响应电路包括第三响应变量端y3：
[0082]
第三响应变量端y3分别与x3的第二输入端、第二十一电阻r21的一端、第六分数阶等效电容f6的另一端、第十比较器u10的输出端连接，x4的第一输入端与第一响应变量端y1连接，x4的第二输入端与第十七电阻r17的另一端连接，x4的输出端与第二十二电阻r22的一端连接，第二十一电阻r21的另一端、第二十二电阻r22的另一端、第六分数阶等效电容f6的一端并联后与第十比较器u10的反相输入端连接，第十比较器u10的同相输入端接地。
[0083]
本实施例中，耦合响应电路3的数学模型为：
[0084][0085]
公式(2)中，y1,y2,y3分别表示第一响应电路、第二响应电路、第三响应电路输出的响应变量，分别为y1,y2,y3的导数，q表示分数阶导数。
[0086]
本实施例中，驱动电路和响应电路是一一对应关系，例如第一驱动电路对应第一响应电路，第二驱动电路对应第二响应电路，第三驱动电路对应第三响应电路。
[0087]
本实施例中，分数阶等效电容线性耦合电路2包括第七分数阶等效电容f7：
[0088]
第二十三电阻r23的一端与第二驱动变量端x2连接，第二十四电阻r24的一端与第二响应变量端y2连接，第二十三电阻r23的另一端、第二十六电阻r26的一端并联后与第十一比较器u11的反相输入端连接，第二十四电阻r24的另一端、第二十五电阻r25的一端、并联后与第十一比较器u11的同相输入端连接，第二十五电阻r25的另一端接地，第二十六电
阻r26另一端、第十一比较器u11的输出端并联后与第七分数阶等效电容f7的一端连接，第七分数阶等效电容f7的另一端、第二十七电阻r27的一端并联后与第十二比较器u12的反相输入端连接，第十二比较器u12的同相输入端接地，第十二比较器u12的输出端、第二十七电阻r27的另一端、第二十八电阻r28的一端并联后与耦合驱动端u连接，第二十八电阻r28的另一端、第二十九电阻r29的一端并联后与第十三比较器u13的反相输入端连接，第十三比较器u13的同相输入端接地，第二十九电阻r29的另一端、第十三比较器u13的输出端并联后与耦合响应端-u连接。
[0089]
本实施例中，分数阶等效电容线性耦合电路2的数学模型为：
[0090][0091]
公式(3)中，u表示分数阶等效电容线性耦合项；
[0092]
本实施例中，r23＝r24＝r25＝r26＝r28＝r29＝10kω，r27＝100kω。
[0093]
本实施例中，每个分数阶等效电容均为分数阶等效电容f，即f1＝f2＝f3＝f4＝f5＝f6＝f7＝f，分数阶等效电容f的等效电路如图2所示：
[0094]
第a电阻ra的一端和第一电容c1的一端并联后与输入端口连接，第a电阻ra的另一端、第一电容c1的另一端并联后分别与第b电阻rb的一端、第二电容c2的一端连接，第b电阻rb的另一端、第二电容c2的另一端并联后分别与第c电阻rc的一端、第三电容c3的一端连接，第c电阻rc的另一端、第三电容c3的另一端并联后与输出端口连接。
[0095]
本实施例中，当分数阶导数q＝0.95时，c1＝3.616mf、c2＝4.622mf、c3＝1.267mf、ra＝15.1kω、rb＝1.51mω、rc＝692.9mω。
[0096]
现有技术方案，大多使用的为整数阶混沌系统，其混沌特性远远低于分数阶混沌系统。因为分数阶导数或积分反映的不是局部或某个点的性质或数量，而是综合考虑了过去历史以及非局部分布式的影响，因此分数阶混沌系统能更准确地描述实际混沌的物理模型，对分数阶系统的同步控制进行分析研究拥有更普遍的应用范围。而且，从控制能量的角度来讲，耦合混沌同步的耦合强度要远比混沌或周期状态下实现耦合同步的耦合强度大得多。所以，本发明利用分数阶混沌(q)实现耦合同步，由于分数阶系统具有历史记忆性等特点,它的动力学特性更加的复杂，难于破译，可以大大增强混沌保密通信的安全性。
[0097]
本发明提供一种基于分数阶等效电容耦合的混沌同步系统的设计方法，具体包括以下步骤：
[0098]
s1：在驱动端构建驱动电路的数学模型：
[0099][0100]
公式(4)中，x1,x2,x3分别表示第一驱动电路、第二驱动电路、第三驱动电路输入的
驱动变量，分别为x1,x2,x3的导数，q表示分数阶导数。
[0101]
采用multisim软件实现驱动电路仿真，使得搭建驱动电路中的各电压之间的关系满足式(2)，则基于电路原理，驱动电路的状态方程表达式如下：
[0102][0103]
则从公式(5)映射的无量纲状态方程表示如下：
[0104][0105]
公式(5)、(6)中，v1、v2、v3分别表示第一驱动电路、第二驱动电路、第三驱动电路的电压，t＝τ/t0，r0＝100kω,c0＝10nf,t0＝r0c0，f表示分数阶电容，令r1＝r2＝2.5kω，r3＝r5＝r7＝10kω，r4＝4kω，r6＝33.3kω。
[0106]
s2：根据驱动电路的数学模型在响应端构建响应电路的数学模型：
[0107][0108]
公式(7)中，y1,y2,y3分别表示第一响应电路、第二响应电路、第三响应电路输出的响应变量，分别为y1,y2,y3的导数，q表示分数阶导数。
[0109]
本实施例中，要实现同步，则需要响应电路的电路结构和驱动电路的电路结构相同，这样才能更好地进行信号同步，因此响应电路的电路状态模型变换原理和驱动电路的电路状态模型原理相同，属于简单的替换，因此不在此重复赘述。
[0110]
s3：确定分数阶电容线性耦合项的数学模型，并分别对驱动电路的数学模型和响
应电路的数学模型进行改进，得到耦合驱动电路的数学模型和耦合响应电路的数学模型。
[0111]
分数阶等效电容线性耦合项的数学模型为：
[0112][0113]
公式(8)中，u表示分数阶等效电容线性耦合项；
[0114]
则将分数阶等效电容线性耦合项与驱动电路进行结合得到耦合驱动电路，其数学模型为：
[0115][0116]
将分数阶等效电容线性耦合项与相应电路进行结合得到耦合响应电路，其数学模型为：
[0117][0118]
公式(9)、(10)中，x1,x2,x3分别表示第一驱动电路、第二驱动电路、第三驱动电路输入的驱动变量，分别为x1,x2,x3的导数；y1,y2,y3分别表示第一响应电路、第二响应电路、第三响应电路输出的响应变量，分别为y1,y2,y3的导数，q表示分数阶导数。
[0119]
s4：根据公式(9)、(10)定义耦合驱动端和耦合响应端的同步误差，得到误差系统，将误差系统布置在控制端，从而实现耦合驱动端和耦合响应端的同步，误差系统的数学模型为：
[0120][0121]
公式(11)中，ei＝x
i-yi,i＝1,2,3；q表示分数阶导数。
[0122]
当ei＝0,i＝1,2,3是渐进稳定，则耦合驱动端和耦合响应端可实现分数阶混沌系统同步。
[0123]
本实施例中，可利用李雅普诺夫指数判据来判断同步稳定性为：
[0124]
对于非线性系统方程而言，对运动轨道各点的拉伸或压缩速率做长时间的平均就得到了lyapunov指数λ。若λ》0，意味着运动轨道在每个局部都是不稳定的，相邻点之间最终要呈指数分离，但在轨道的整体稳定因素作用下反复折叠后形成混沌吸引子；若λ《0，则意味着运动轨道在局部也是稳定的，相邻点之间最终要靠拢，对应于动力学系统的周期运动或稳定平衡点；λ＝0则对应于分岔点，由负变正的过程即倍周期分岔到混沌的过程。所以，当s4中误差系统(11)的所有李雅普诺夫指数都是负值时，其状态误差会在有限时间内逐渐趋于零，说明耦合驱动端和耦合响应端达到了同步。
[0125]
例如，令分数阶导数q＝0.95，耦合驱动端(9)的驱动变量x1,x2,x3为(2,2,2)，耦合响应端(10)的响应变量y1,y2,y3为(-2,-5,5)，则计算得到s4中误差系统(11)的三个李雅普洛夫指数为(-1.2827,-2.6588,-5.6636)，均为负数，即表明耦合驱动端和耦合响应端。
[0126]
本实施例中，同步误差多次模拟得到模拟图，如图3所示，同步误差值err(t)在一段时间内(2s)逐渐趋于零，耦合驱动端和耦合响应端达到完全同步。
[0127]
本发明相对于现有技术来说,具备以下优势：
[0128]
1.安全性高：现有技术方案，大多使用的为一般整数阶混沌系统，其混沌特性远远低于分数阶混沌系统。分数阶混沌系统能更准确地描述实际混沌的物理模型。因为分数阶导数或积分反映的不是局部或某个点的性质或数量，而是综合考虑了过去历史以及非局部分布式的影响。所以，分数阶混沌系统更能反映系统呈现的工程物理现象，对分数阶系统的同步控制进行分析研究拥有更普遍的应用范围。而且，从控制能量的角度来讲，耦合混沌同步的耦合强度要远比混沌或周期状态下实现耦合同步的耦合强度大得多。所以，本发明利用分数阶混沌实现耦合同步，由于分数阶系统具有历史记忆性等特点,它的动力学特性更加的复杂，难于破译，可以大大增强混沌保密通信的安全性。
[0129]
2.基于线性耦合技术实现同步：非线性系统通过线性反馈实现耦合的连续性与持久性，即使在较大的环境噪声干扰下，耦合分数阶混沌系统仍然可以实现同步，具有较强的抗噪声能力。因此，经过结构简单易于实现的线性耦合控制器，分数阶混沌系统可以实现稳定耦合同步，并且混沌同步系统对于噪声干扰和混沌系统参数扰动具有较强的抑制能力，
耦合控制分数阶混沌同步系统具有更好的鲁棒性。更重要的是，相互耦合的非线性系统在自然界中普遍存在，且由于本发明的线性耦合结构简单，因此具有非常突出的实用价值。另外，线性耦合同步系统不需要对混沌系统进行预先的计算分析，技术可行，易于实现。
[0130]
3.成本低：现有的分数阶混沌同步系统采用的元器件较多，信号之间干扰大，实现误差较大；本发明只需要一个分数阶等效电容即可实现耦合项，器件和结构比较简单，稳定更高，即利用更少的元器件实现分数阶混沌系统的同步是实际应用的趋势，对混沌保密研究的应用有重大意义。
[0131]
本领域的普通技术人员可以理解，上述各实施方式是实现本发明的具体实施例，而在实际应用中，可以在形式上和细节上对其作各种改变，而不偏离本发发明的精神和范围。