一种用于含裂纹功能梯度板传热问题的非局部方法

1.本发明涉及航空航天材料传热问题的建模方法，尤其是涉及一种用于含裂纹功能梯度板传热问题的非局部方法。


背景技术：

2.功能梯度材料是一种材料性能随着结构和成分在同一方向上呈连续的梯度变化而平滑变化的复合新型材料。在航空航天领域中，使用由陶瓷和金属组合而成的功能梯度材料，可以充分发挥其耐高温、抗剪切、消除应力集中等优势，能显著提高航天器件在高温工况下的使用寿命。在此背景下，研究陶瓷金属基的功能梯度材料结构在热载荷作用下的传热问题具有重要意义。
3.目前，已经有许多学者将基于网格的有限元法、边界元法用于求解功能梯度材料的传热问题。由于这些传统的方法在处理材料参数连续变化的问题时，具有较大误差，只有将网格细化才能得到较为精确的解决方案，但对应的计算效率会有明显降低。近场动力学微分算子(peridynamic differential operator,pddo)理论是近几年提出非局部微分算子理论的重要代表之一，可以有效降低这种由于功能梯度材料的非均匀性而产生的误差。此外，类似于求解含裂纹板这种非连续的问题，根据非局部理论，能够预测裂纹尖端热通量的奇异性，并通过控制材料参数的变化对热通量奇异性的变化趋势进行分析。因此，采用pddo理论求解含裂纹功能梯度板的传热问题，可以有效提高求解的计算精度与效率，准确预测板内温度分布并捕捉裂纹尖端热通量的奇异性，从而达到控制、预防、阻止热损伤及热断裂等危害工程构件使用寿命的情况发生。


技术实现要素：

4.发明目的：为了克服背景技术的不足，本发明公开了一种用于含裂纹功能梯度板传热问题的非局部方法。
5.技术方案：本发明公开的用于含裂纹功能梯度板传热问题的非局部方法，包括以下步骤：
6.s1、确定功能梯度材料的参数以及板的尺寸；
7.s2、确定初始裂纹位置；
8.s3、以合适的网格间距离散实体模型；
9.s4、确定功能梯度板温度场的控制方程并设置模型的边界条件；
10.s5、基于近场动力学微分算子理论将控制方程与边界条件转化为非局部形式，离散并构建求解方程组；
11.s6、求解方程组，得到每个物质点的温度值。
12.其中，涉及的功能梯度板的材料属性由金属至陶瓷成梯度变化。
13.进一步的，涉及的功能梯度板参数包括：陶瓷相的热传导系数kc、金属相的热传导系数km、梯度参数ng、板长w。
14.进一步的，该方法求解涉及的裂纹为绝热裂纹。
15.进一步的，s3中所选用的网格间距为δx＝w/250～w/100。
16.进一步的，s4中温度场的控制方程推导过程为：
17.稳态导热方程为：
[0018][0019]
式中，t为温度，k为导热系数，q为热源；
[0020]
对于一个二维问题，假设功能梯度板的材料性能随x变化，即：
[0021]
k＝k(x)
[0022]
在没有热源的情况下，功能梯度板的温度场控制方程为：
[0023][0024]
进一步的，s4中设置的边界条件有以下三种类型：
[0025]
dirichlet边界条件：
[0026]
neumann边界条件：
[0027]
第三类边界条件：
[0028]
式中，为已知温度，为已知热通量，h为对流换热系数，t0为环境温度。
[0029]
进一步的，s5中控制方程离散的具体计算方法为：
[0030]
对于一个二维空间中的场函数f(x)＝f(x,y)在点x处进行n阶泰勒展开：
[0031][0032]
其中，r(n,x)指可忽略的余数，n1和n2表示对x和y的微分阶数，ξ＝ξ1e1 ξ2e2，e1和e2表示x和y方向上的单位向量，ξ1和ξ2表示两物质点之间长度在x和y方向上的投影；
[0033]
利用正交函数的性质，用pd函数将偏微分转化为积分形式
[0034][0035]
其中1≤p1 p2≤n，h
x
表示x点的近场范围，pd函数为：
[0036][0037]
其中是权函数，是未知系数矩阵，可由下式得到：
[0038]
[0039][0040][0041]
其中是形状矩阵，是已知的系数矩阵；
[0042]
s4中控制方程及涉及微分的neumann边界条件和第三类边界条件，其微分形式改写为积分形式如下：
[0043][0044][0045][0046]
其中t
′
＝t(x
′
,y
′
)，
[0047]
将上式离散化得：
[0048][0049][0050][0051]
其中，含下标(k)和(j)的符号分别表示对应函数在两不同物质点(x
(k)
,y
(k)
)和(x
(j)
,y
(j)
)的值，n
(k)
表示物质点(x
(k)
,y
(k)
)近场范围内的物质点总数。
[0052]
进一步的，s6中求解温度的方法为：
[0053]
离散后的控制方程与边界条件是线性的，可以组成如下形式的线性方程组：
[0054]
at＝0,bt＝c
[0055]
其中矩阵a和b表示由方程微分所产生的系数，向量c表示在边界处物质点的已知值，向量t是待求温度，可以写成：
[0056][0057]
其中n
tol
表示总离散点数，
[0058]
引入拉格朗日算子ε，并利用变分分析，上述方程组有如下表达方式：
[0059][0060]
通过编程求解后即可得到每一个物质点处的温度值。
[0061]
有益效果：与现有技术相比：本发明通过调控参数控制功能梯度材料特性并运用
近场动力学微分算子理论对热载荷作用下的功能梯度板进行建模。不同于传统基于网格类的有限元与边界元方法，近场动力学微分算子理论搭建了功能梯度板温度场控制方程的微分形式与其积分形式之间的一座桥梁，避免在不连续问题中求导而产生的奇异性，有效降低局部微分算子求解具有非均匀性功能梯度材料的传热问题时产生的较大误差，提高求解的计算精度，能够准确的预测温度载荷作用下的功能梯度板的温度分布；
[0062]
对于含裂纹的传热工程构件，通过本发明对裂纹尖端处热通量奇异性的预测，可以有效阻止并减少热损伤及热断裂对结构的破坏，增加工程构件的使用寿命。
附图说明
[0063]
图1为本发明含裂纹功能梯度板模型示意图；
[0064]
图2为本发明实施例中梯度参数ng＝1时，计算得到的温度分布图；
[0065]
图3为本发明实施例中梯度参数ng＝1时，计算得到的y方向热通量分布图；
[0066]
图4为本发明实施例中梯度参数ng＝100时，计算得到的温度分布图；
[0067]
图5为本发明实施例中梯度参数ng＝100时，计算得到的y方向热通量分布图；
[0068]
图6为本发明实施例中不同梯度参数对应于x＝0.25m时的热通量分布曲线图；
[0069]
图7为本发明实施例中不同梯度参数对应于x＝0.25m时的温度分布曲线图。
具体实施方式
[0070]
下面结合附图和实施例对本发明的技术方案作进一步的说明。
[0071]
s1、如图1所示，构建含裂纹功能梯度材料方板在热载荷下的二维模型。本实施例中功能梯度板由陶瓷氧化锆(zro2)和金属蒙乃尔(70ni-30cu)混合制成。对于这种两相复合材料，选择mori-tanaka方法来估计有效性能，金属和陶瓷分别作为颗粒相和基体相，其参数如下表所示。
[0072]
表1功能梯度板参数
[0073][0074]
s2、选定裂纹长度为2a＝0.5m，裂纹两端坐标为(0,0.25)和(0,-0.25)。
[0075]
s3、选取网格间距为δx＝w/200＝5mm，将实体模型划分为物质点的离散模型。
[0076]
s4、确定温度场的控制方程并设置模型的边界条件；
[0077]
本实施例中，温度场的控制方程推导过程为：
[0078]
稳态导热方程：
[0079]
式中，t为温度，k为导热系数，q为热源。
[0080]
对于一个二维问题，功能梯度材料的导热系数k有如下关系：
[0081][0082]vc
表示陶瓷相的体积分数，假设为幂次型函数，有如下关系：
[0083][0084]
其中ng是指示梯度参数。金属相的体积分数为vm＝1-vc。
[0085]
在没有热源的情况下，功能梯度板的温度场控制方程为：
[0086][0087]
本实施例的边界条件为：
[0088]
dirichlet边界条件：
[0089]
neumann边界条件：
[0090]
其中给定温度tr＝300k、t
l
＝1000k。
[0091]
s5、基于近场动力学微分算子理论离散控制方程与边界条件，构建方程组进行求解。
[0092]
二维空间中的场函数f(x)＝f(x,y)在点x处进行n阶泰勒展开：
[0093][0094]
其中，r(n,x)指可忽略的余数，n1和n2表示对x和y的微分阶数，ξ＝ξ1e1 ξ2e2，e1和e2表示x和y方向上的单位向量，ξ1和ξ2表示两物质点之间长度在x和y方向上的投影；
[0095]
利用正交函数的性质，用pd函数将偏微分转化为积分形式
[0096][0097]
其中1≤p1 p2≤n，h
x
表示x点的近场范围，pd函数为：
[0098][0099]
其中其中是未知系数矩阵，可由下式得到：
[0100][0101]
[0102][0103]
其中是形状矩阵，是已知的系数矩阵；
[0104]
本实施例中的控制方程与neumann边界条件可由其微分形式改写为积分形式如下：
[0105][0106][0107]
将上述控制方程、neumann边界条件及dirichlet边界条件离散化得：
[0108][0109]
t
,2(k)
＝0,
[0110]
t
(k)
＝t
l
,
[0111]
t
(k)
＝tr,
[0112]
离散后的控制方程与边界条件是线性的，可以组成如下形式的线性方程组：
[0113]
at＝0,bt＝c
[0114]
其中矩阵a和b表示由方程的pd微分所产生的系数。向量c表示在边界处物质点的已知值。向量t是待求温度，可以写成：
[0115][0116]
其中n
tol
表示总离散点数。
[0117]
引入拉格朗日算子ε，并利用变分分析，上述方程组有如下表达方式：
[0118][0119]
通过编程求解后即可得到每一个物质点处的温度值。
[0120]
如图2至图5所示，分别为ng＝1和100时的温度分布和y方向的热通量分布。图6和图7分别给出的ng＝1、5、10、50、100时，在y＝0.25m处y方向热通量和温度分布沿x方向变化的曲线。
[0121]
从模拟结果可以看出，本方法可高效、准确对含裂纹功能梯度板的温度场及热通量分布进行模拟，同时该方法可实现对裂纹尖端热通量奇异性的准确预测，提高了人工干预、保护工程构件，提高构件使用寿命的能力，推动了传热结构热防护的进一步发展。