一种用于设计满足局部屈曲约束的多晶格结构优化方法

1.本发明涉及结构优化的技术领域，尤其涉及局部屈曲约束的多晶格结构优化方法。


背景技术：

2.晶格结构轻质，且具有优秀的多功能特性，如抗冲击性、能量吸收性、阻尼增强和缺陷容忍。这些突出的特性使晶格结构在工业上具有大量潜在应用场景，包括航空航天、汽车和生物医学领域等。不同的晶格结构具有不同的材料属性，可广义归为多材料设计优化问题。
3.多尺度设计优化，同时优化宏观结构及微观结构拓扑，非常有助于实现复杂晶格结构设计优化。传统多尺度拓扑优化方法主要基于均匀化框架，把微结构等效于宏观材料单元属性，以最终获得优秀的整体结构性能，或者获得弹性性能理论极限的周期性微结构。然而，结构的屈曲性能通常具有与强度或应力设计相反的特性，难以直接从所优化的结构中直接获得。然而，当结构受到压缩载荷时，其细长杆构件非常容易受到局部屈曲的影响，导致结构局部失效。事实上，已经发现，在工业上实现的强度设计仍远未达到其理论强度极限。为此，必须把屈曲约束纳入此类复杂晶格结构的优化设计中，以实现设计目标。


技术实现要素：

4.针对上述问题，本发明提出了一种用于设计满足局部屈曲约束的多晶格结构的优化方法。首先，引入自由材料优化的概念，在所有可行的弹性连续体中找到一个最佳的弹性张量分布。通过近似含屈曲约束下的弹性张量，在每个宏观元素中嵌入一个匹配的网格结构。为了获得更好的结构，特别引入了局部单元中的应力。最后，本方法得到了一个具有良好的整体刚度和局部抗屈曲能力的晶格结构，从而提高了结构的力学性能。
5.本发明采用的技术方案如下：
6.一种用于设计满足局部屈曲约束的多晶格结构的优化方法，包括：
7.1)采用自由材料优化方法，在所有可行的弹性连续体中找到最优的弹性张量分布；
8.2)对任意给定的目标材料种类，对连续解在材料空间中进行分层聚类，从而将材料种类减少到事先指定的材料数量；
9.3)从宏观过程中获得各类材料的目标属性和应力分布，构造微观尺度上屈曲约束下的逆均匀化优化问题；
10.4)选取合适的微观桁架晶格模型，采用基于梯度的方法对该优化问题进行求解，从而得到满足约束的多晶格结构。
11.上述技术方案中，进一步的，所述的步骤1)具体如下：
12.将域中每个点的材料弹性张量作为设计变量，并通过优化找到它们在设计域内的最佳分布。为了便于解释，我们在这里研究了二维的情况。考虑一个离散的宏观设计域
它由m个相同大小的不相交的正四边形单元ωe组成。构造定义在ω上的线性半定规划问题：
[0013][0014]
s.t.
[0015][0016]
其中de为对称正定的3
×
3的弹性张量矩阵，τ为该线性半定问题的目标函数，k(d)为结构的全局刚度矩阵，f为载荷约束，是n
×
n对称矩阵的sn空间中的对称半正定矩阵锥，在二维问题中n＝3，三维中n＝6；tr(de)是单元e弹性张量de的迹，用来表示单元材料的成本，被t和所约束，t0为分布在结构中的材料的总量；求解该半定规划问题，从而在自由材料空间中，从所有可行的弹性连续体中找到最优的弹性张量分布。
[0017]
所述的步骤2)，具体如下：
[0018]
分层聚类通过创建一个聚类树或树枝图，将数据在不同的尺度上进行分组。聚类树不是一个单一的聚类集合，而是一个多级的层次结构，一个层次的聚类被连接成下一个层次的聚类。本发明用欧氏距离来衡量两个弹性张量之间的相似性，不同的设计元素被迭代地归入一个二元层次聚类树，最终通过将层次树切割成k集群ξk,k＝1,
…
,k而得到k-集群。
[0019]
所述的步骤3),具体如下：
[0020]
本发明定义的微观优化问题为：
[0021]
s.t.
[0022][0023]
v(p)≤v
*
[0024][0025]
[km(p)-pg(χ,p)]φ＝0
[0026]
上式中，λb为事先指定的屈曲约束的权重，p为设计变量，dh(p)为用均匀化方法计算得出的材料弹性张量，d0为上一步中聚类后得到的相应集群的目标弹性张量，κ
ks
是k-s聚合函数，为微观材料均匀化问题的离散形式，km(p)为微观结构刚度矩阵，d为问题的空间维度，为单元位移解，f
(kl)
为试验kl中的外部载荷，v
*
是期望的体积分数，v(p)是结构的体积，为变量p的可行空间，[km(p)-pg(χ,p)]φ＝0为屈曲特征问题，p为屈曲荷载因子，g为几何刚度矩阵，具体为
[0027][0028]
n是有限元形函数，ye为微观结构的设计单元，yi、yj为ye在不同方向上的分量，σ为单元应力，通过
[0029][0030]
计算得到，be为变形矩阵，χe为单元位移解，为单元应力，由局部应力载荷和目标弹性张量d0决定，并满足关系
[0031][0032]
其中是从由聚集材料组成的宏观结构计算出来的，具体来说，在对宏观问题进行聚类后，每一类材料在不同位置的产生不同的应力，选择一类中冯-米塞斯应力值最大的单元，它的单元应力被设置为该类材料的局部应力载荷
[0033]
聚合函数κ
ks
的定义为：
[0034][0035]
其中μ
κ
是一个聚合参数，这里将其设置为而是所有屈曲模量的合集jb的子集，只包含前nb个屈曲模量，nb根据需要进行设置；pj为中第j个屈曲载荷因子。这里也引入参数
[0036][0037]
用于缩放该聚合函数。此外，对于优化过程中的低密度区域，可能出现伪屈曲模态问题，这些虚假模态可能导致错误的优化结果，本发明基于应力-密度联合度量将它们从有效模态集合中删除。
[0038]
所述的步骤4)，具体如下：
[0039]
为了降低计算成本和提高结构优化的稳定性，这里构造八分之一对称微观晶格结构。在方格的八分之一上选择一些关键节点来生成条形杆件，部分杆的宽度为零，节点之间的杆的宽度将被优化，以获得屈曲约束下的指定弹性张量的晶格微结构。在优化过程中，通过使杆的宽度在零和非零之间变化，得到不同的拓扑结构。
[0040]
所述的步骤4)，具体如下：
[0041]
在优化过程中，用有限元分析来解决设计杆半径p的弹性问题。本发明在一个固定的规则网格上，直接将其几何形状投射到一个密度场，即
[0042][0043]
其中h是阶跃函数，ψ是的水平集函数，这里采用其正则化版本，即
[0044]
[0045]
其中γ是一个控制幅度的小值参数，值为0.005。总的水平集函数ψ是由n根杆的水平集函数聚合而成的,每根杆ω(i)用水平集函数(x,p
()
)描述为
[0046][0047]
这里表示从点x到杆的中轴的最小距离，具体为
[0048][0049]
其中
[0050]
a＝x
2-x1,
[0051]
b＝x-x1,
[0052]
e＝x-x2,
[0053][0054]
微观结构域是杆的结合，即
[0055][0056]
ψ(x)为kreisselmeier-steinhauser函数：
[0057][0058]
最终，采用该微观模型的解析表示，基于链式法则对步骤3)中所定义问题的目标函数和各项约束进行灵敏度计算，并用采用全局收敛的移动渐近线优化方法求解该问题，从而得到最终优化结构。
[0059]
本发明的有益效果是：
[0060]
1)提出并实现了满足局部屈曲要求的晶格结构优化设计方法，使得在模型内部，有选择地填充若干不同种类的晶格结构，满足整体刚性和局部屈曲性的要求。
[0061]
2)采用了基于自由材料优化的策略，以最大可能的获得整体最优的材料弹性张量分布，以及各单元处的应力张量。
[0062]
3)进一步拓展逆向均匀化方法，实现了满足屈曲约束以及弹性张量相匹配的单元晶格结构。
[0063]
4)有别于基于拓扑优化的方法，这里以晶格结构形状参数为设计变量，保证了最终晶格结构的几何有效性，以及优化算法的收敛性。
附图说明
[0064]
图1(a)-图1(d)是本发明方法的流程示意图。
[0065]
图1(a)问题定义
→
图1(b)求得连续解
→
图1(c)聚类获得离散解
→
图1(d)优化微观结构得到最终解。
具体实施方式
[0066]
下面结合附图对本发明做进一步说明。
[0067]
图1为本发明方法的流程示意图，本发明方法具体为：
[0068]
1)采用自由材料优化方法求解最优的连续弹性张量分布
[0069]
将域中每个点的材料弹性张量作为设计变量，并通过优化找到它们在设计域内的最佳分布。对于二维情况下离散的宏观设计域它由m个相同大小的不相交的正四边形单元ωe组成。构造定义在ω上的线性半定规划问题：
[0070][0071]
s.t.
[0072][0073]
其中de为对称正定的3
×
3的弹性张量矩阵，τ为该线性半定问题的目标函数，k(d)为结构的全局刚度矩阵，f为载荷约束，是n
×
n对称矩阵的sn空间中的对称半正定矩阵锥，在二维问题中n＝3，三维中n＝6；tr(de)是单元e弹性张量de的迹，用来表示单元材料的成本，被t和所约束，t0为分布在结构中的材料的总量；可采用通用的数值优化软件求解该半定规划问题，从而在自由材料空间中，从所有可行的弹性连续体中找到最优的弹性张量分布。
[0074]
2)通过聚类减少材料数量
[0075]
用欧氏距离来衡量两个弹性张量之间的相似性，采用分层聚类方式，将不同的设计元素迭代地归入一个二元层次聚类树，最终通过将层次树切割成k集群ξk,k＝1,
…
,k而得到k-集群。
[0076]
3)针对每个集群构造微观尺度上屈曲约束下的逆均匀化优化问题
[0077]
定义微观优化问题：
[0078]
s.t.
[0079][0080]
v(p)≤v
*
[0081][0082]
[km(p)-pg(χ,p)]φ＝0
[0083]
上式中，λb为事先指定的屈曲约束的权重，p为设计变量，dh(p)为用均匀化方法计算得出的材料弹性张量，d0为上一步中聚类后得到的相应集群的目标弹性张量，κ
ks
是k-s聚合函数，为微观材料均匀化问题的离散形式，km(p)为微观结构刚度矩
阵，d为问题的空间维度，为单元位移解，f
(kl)
为试验kl中的外部载荷，v
*
是期望的体积分数，v(p)是结构的体积，为变量p的可行空间，[km(p)-pg(χ,p)]φ＝0为屈曲特征问题，p为屈曲荷载因子，g为几何刚度矩阵，具体为
[0084][0085]
n是有限元形函数，ye为微观结构的设计单元，yi、yj为ye在不同方向上的分量，σ为单元应力，通过
[0086][0087]
计算得到，be为变形矩阵，χe为单元位移解，为单元应力，由局部应力载荷和目标弹性张量d0决定，并满足关系
[0088][0089]
其中是从由聚集材料组成的宏观结构计算出来的，具体来说，在对宏观问题进行聚类后，每一类材料在不同位置的产生不同的应力，选择一类中冯-米塞斯应力值最大的单元，它的单元应力被设置为该类材料的局部应力载荷
[0090]
聚合函数κ
ks
的定义为：
[0091][0092]
其中μ
κ
是一个聚合参数，这里将其设置为而是所有屈曲模量的合集jb的子集，只包含前nb个屈曲模量，nb根据需要进行设置；pj为中第j个屈曲载荷因子。这里也可引入参数
[0093][0094]
用于缩放该聚合函数。此外，对于优化过程中的低密度区域，可能出现伪屈曲模态问题，这些虚假模态可能导致错误的优化结果，本发明基于应力-密度联合度量将它们从有效模态集合中删除(具体的，对这些虚假模态的识别可以采用xingjun gao,lijuan li,haitao ma.an adaptive continuation method for topology optimization of continuum structures considering buckling constraints[j].inter-national journal of applied mechanics,2017,9(07):1750092.中的方法)。
[0095]
4)选取合适的微观桁架晶格模型：
[0096]
在方格的八分之一上选择一些关键节点来生成条形杆件，部分杆的宽度为零，节点之间的杆的宽度将被优化，以获得屈曲约束下的指定弹性张量的晶格微结构。在优化过程中，通过使杆的宽度在零和非零之间变化，得到不同的拓扑结构。
[0097]
5)采用基于梯度的方法定义并求解微观问题
[0098]
在一个固定的规则网格上，直接将杆其几何形状投射到一个密度场，即
[0099]
[0100]
其中h是阶跃函数，ψ是的水平集函数，
[0101][0102]
其中γ是一个控制幅度的小值参数，值为0.005。总的水平集函数ψ是由n根杆的水平集函数聚合而成的,每根杆ω(i)用水平集函数描述为
[0103][0104]
这里表示从点x到杆的中轴的最小距离，具体为
[0105][0106]
其中
[0107]
a＝x
2-x1,
[0108]
b＝x-x1,
[0109]
e＝x-x2,
[0110][0111]
微观结构域是杆的结合，即ψ(x)为kreisselmeier-steinhauser函数：其中k是一个过渡参数。
[0112]
最后，基于经典的链式法则对步骤3)中所定义问题的目标函数和各项约束进行灵敏度计算，并用采用全局收敛的移动渐近线优化方法求解该问题，从而得到最终优化结构。
[0113]
以下为采用本发明方法进行的一项具体求解案例：
[0114]
图1(d)所示为经典桥问题的优化结果。宏观结构被划分为48
×
24个单元，外载大小为0.1，体积约束为0.35，聚类数量设置为5。微观结构优化分辨率为40
×
40。在各向同空间中对宏观问题进行求解。这里的屈曲权重为0.02。可以看出，整体结构性能并未因局部屈曲约束的引入而随之单调下降，这一方面可能是逆均匀化算法本身的局部性导致的，另一方面也说明局部屈曲约束对整体结构有正向促进作用，可在一定程度上克服前述的局部性。