用于量子计算的交换网络的制作方法

用于量子计算的交换网络


背景技术：

1.量子计算的应用是量子系统的评估(或模拟)。例如，已经表明，量子信息和量子计算方法可以被采用于确定复杂化学化合物的各种属性。因为量子力学多体系统和量子寄存器内的相互作用量子比特的系综两者的行为都受制于量子系统的力学，所以材料(例如，包括化学化合物的材料)的各种量子力学属性可以经由量子计算而被模拟。更简洁地说，n个量子比特的系统可以被采用以模拟量子力学多体系统的动力学，其中n随着相互作用粒子的数目而线性地缩放。
2.经由传统量子计算方法，完全模拟利用n个量子比特的化学系统所需的电路深度衡量为或其取决于实现细节。量子计算模拟的许多感兴趣的应用(诸如化学)包括具有显著大量的相互作用粒子的系统。例如，大的分子可以包括数十或甚至数百个占据轨道。即使经由传统量子计算方法对电路深度的衡量是多项式的，对于要求n个量子比特的甚至适度值的量子计算，电路深度也快速地变得不切实际。


技术实现要素：

3.本发明内容被提供从而以简化的形式介绍一系列概念，下面在详细描述中对其进一步描述。本发明内容既不旨在标识要求保护的主题的关键特征或必要特征，其也不旨在用作确定要求保护的主题的范围的辅助。
4.各种实施例指向量子计算机和操作量子计算机以模拟多体系统的动力学的方法，多体系统诸如但不限于费米子(例如，电子)的非局域相互作用的系统。作为应用的非限制性示例，实施例可以被采用以经由作用于寄存器的量子比特上的量子电路(即量子逻辑门的配置)来模拟(或计算)分子化学中的电子轨道的时间演化。更具体地，实施例包括在量子比特或费米子轨道上执行并行化交换操作的交换门网络，其实现经由量子寄存器内的量子比特的局域化分组对非局域多体相互作用的模拟。经由交换门网络，许多多体项的计算可以在量子计算机内被并行化，从而得到计算机的显著减小的电路深度。交换门网络实现少量电路模板或甚至单个模板的迭代应用，从而作用于量子比特的局域化分组上以模拟非局域化相互作用量子粒子(诸如但不限于费米子)的时间演化。
5.一个实施例包括一种被配置为操作对量子比特集合进行操作以执行方法的量子门网络的量子硬件、计算机或系统。量子门可以包括量子比特交换门。量子比特集合定义多个4量子比特组合。例如，如果集合的基数由正整数n指示，那么量子比特集合可以定义个独特的4量子比特组合。该集合可以是有序集合。该方法可以包括经由多个量子比特交换操作来迭代地更新量子比特集合的次序。量子比特交换操作可以由量子门网络来实现。经由迭代交换操作，4量子比特组合中的每个在多个交换操作期间至少一次被表示为量子比特集合的次序内的连续4量子比特分组。即，个独特的4量子比特组合中的每个独特的4量子比特组合至少一次通过交换操作被呈现为有序集合内的连续4量子比特分组。在多个
交换操作中的每个交换操作中交换的每对量子比特可以由量子比特集合的次序内的至多三个量子比特分隔。
6.在实施例中的至少一些实施例中，量子比特集合还可以定义多个2量子比特组合。例如，个独特的2量子比特组合可以由该集合定义。该集合的次序可以通过附加的量子比特交换操作来迭代地更新。经由附加的交换操作，2量子比特组合中的每个2量子比特组合在附加的交换操作期间至少一次被表示为量子比特集合的次序内的连续2量子比特分组。即，个独特的2量子比特组合中的每个独特的2量子比特组合通过附加的交换操作至少一次被呈现为有序集合内的最近邻居2量子比特配对。在附加的交换操作中的每个交换操作中交换的每对量子比特可以是量子比特集合的次序内的最近邻居对或量子比特。
附图说明
7.下面参考附图详细描述本公开的各方面，其中：
8.图1a至图1b提供适合于在实现本实施例中使用的量子门的示意图；
9.图1c示出与各种实施例一致的2体时间演化算子的一个实施例的矩阵表示的一个实施例；
10.图2a至图2e示出针对实现与各种实施例一致的4量子比特时间演化算子的4量子比特量子电路的五个备选实施例；
11.图3a提供图示由与各种实施例一致的2量子比特对交换网络实现的量子比特交换操作的过程的流程图；
12.图3b提供图示由与各种实施例一致的轮交换网络实现的量子比特交换操作的过程的流程图；
13.图3c示出针对n＝4、n＝5、n＝10和n＝11量子比特寄存器或量子比特轮的如经由一个或多个量子比特交换网络实现的图3a至图3b的过程的旋转操作；
14.图4a提供图示针对与本文呈现的各种实施例一致的3量子比特相互作用的类别类型的各种属性的表；
15.图4b提供图示针对与本文呈现的各种实施例一致的3量子比特组合(其中5≤n≤10)的配置的向量化的表；
16.图4c提供图示针对n＝14、15、16、18和19的种类1的3量子比特组合的向量化的非限制性实施例的表；
17.图4d提供图示针对n＝14、15、16、18和19的种类1的3量子比特组合的向量化的其他非限制性实施例的表；
18.图5a提供图示实现量子比特交换操作以使量子计算机内的所有种类0的3量子比特组合局域化的过程的流程图；
19.图5b示出针对n＝8量子比特量子计算机的过程的交换操作；
20.图5c提供图示使量子计算机内的所有种类1的3量子比特组合局域化的过程的流程图；
21.图5d图示与各种实施例一致的在图5c的过程中利用的2d量子比特配置的实施例；
22.图5e提供指示针对3量子比特算子的交换网络的电路深度大约衡量为的数值结果的绘图；
23.图6a提供图示针对与本文呈现的各种实施例一致的4量子比特相互作用的类别类型的各种属性的表；
24.图6b提供图示针对与本文呈现的各种实施例一致的4量子比特组合(其中5≤n≤10)的配置的向量化的表；
25.图6c提供图示由被采用于本文讨论的4量子比特实施例的2量子比特时隙网络实现的交换操作的过程620的流程图；
26.图7a示出在至少一个实施例中被采用以生成局域化的4量子比特组合的交换操作的类型的概览；
27.图7b提供图示使量子计算机内的所有4量子比特组合局域化的过程的流程图；
28.图7c提供图示使量子计算机内的所有种类0 4量子比特组合局域化的过程的流程图；
29.图7d示出针对n＝10量子比特量子计算机的图7b的过程的交换操作；
30.图7e提供指示针对4量子比特算子的交换网络的电路深度大约衡量为的数值结果的绘图；
31.图8是适合于在实现本公开的实施例中使用的示例性量子计算环境的框图；以及
32.图9是适合于在实现本公开的实施例中使用的示例性经典计算环境的框图。
具体实施方式
33.本公开的各方面的主题在本文详细描述以满足法定要求。然而，本说明书本身不旨在限制本专利的范围。相反，本发明人已经预见到，要求保护的主题也可以结合其他当前的或未来的技术以其他方式来体现，以包括不同的步骤或与本文中描述的步骤相似的步骤的组合。此外，尽管术语“步骤”和/或“框”可以在本文被用于暗示采用的方法的不同单元，但是这些术语不应当被解释为暗指本文公开的各种步骤之中或之间的任何特定次序，除非和除了当个体步骤的次序被明确描述。本文描述的每种方法可以包括量子计算过程、经典计算过程和/或其组合，其可以使用量子和/或经典硬件、固件和/或软件的任何组合来执行。例如，各种功能可以由执行存储在存储器中的指令的处理器来执行。这些方法还可以被体现为存储于计算机存储介质上的计算机可用指令。这些方法可以由独立应用、服务或托管的服务(独立的或与另一托管的服务组合)或到另一产品的插件(仅举几例)提供。
34.如本文所使用的，术语“集合”可以被采用以指代对象(或元素)(诸如但不限于量子比特)的有序的(即，顺序的)或无序的(即，非顺序的)汇集。集合可以包括n个元素(例如，量子比特)，其中n是任何非负整数。即，集合可以包括0、1、2、3、...、n个对象和/或元素，其中n是没有上界的正整数。因此，如本文所使用的，集合可以是不包括任何元素的空集(即，空的集合)。集合可以包括仅仅单个元素。在其他实施例中，集合可以包括显著大于一、二或三个元素的许多元素。如本文所使用的，术语“子集”是被包括于另一集合中的集合。子集可以是但不要求是该子集被包括于其中的其他集合的真子集或严格子集。即，如果集合b是集合a的子集，那么在一些实施例中，集合b是集合a的真子集或严格子集。在其他实施例中，集
合b是集合a的子集，但不是集合a的真子集或严格子集。
35.各种实施例指向量子计算机和操作量子计算机以模拟多体系统的动力学的方法，多体系统诸如但不限于费米子(例如，电子)的非局域相互作用的系统。作为应用的非限制性示例，实施例可以被采用以经由作用于寄存器的量子比特上的量子电路(即量子逻辑门的配置)来模拟(或计算)分子化学中的电子轨道的时间演化。更具体地，实施例包括执行并行化交换操作的交换门网络，其实现对非局域多体相互作用的模拟。在一些实施例中，交换操作包括使量子寄存器内的量子比特的分组局域化的量子比特交换操作。在其他实施例中，交换操作被采用以交换费米子轨道。即，包括费米子交换操作的交换操作可以交换哈密顿项以实现对哈密顿中的项的局域化分组。
36.在二次量子化形式下，与电子轨道的多体相互作用相对应的哈密顿函数和与量子计算机的量子比特的多体相互作用相对应的哈密顿函数之间的映射可以经由正则创建和湮灭算子来生成。由于哈密顿函数的这种映射，被设计为仿真轨道的哈密顿的各个项的时间演化算子的属性的量子电路可以在量子比特上操作。轨道的二次量子化哈密顿包括一体项和二体项两者。哈密顿是非局域的并且一体项与量子寄存器内的两个量子比特的每个可能配对的量子比特之间的2量子比特相互作用相对应。因此，为了评估所有一体项，与一体时间演化算子相对应的电路必须在量子比特的每个可能配对上操作。二体项与寄存器内的四个量子比特的每个可能分组之间的4量子比特相互作用相对应。为了评估所有二体项，与二体时间演化算子相对应的电路必须在四个量子比特的每个可能分组上操作。
37.4量子比特配置的组合衡量起来显著地快于2量子比特项的组合，并且因此4量子比特项在针对这样的计算方案的电路深度中占主导。经由传统量子计算方法，完全模拟利用n个量子比特的化学系统所需的电路深度衡量为量子计算模拟的许多感兴趣的应用(诸如化学)包括具有显著大量的相互作用粒子的系统。例如，大的分子可以包括数十或甚至数百个占据轨道。即使经由传统量子计算方法对电路深度的衡量是多项式的，对于要求n个量子比特的甚至适度值的量子计算，电路深度也快速地变得不切实际。如下面所讨论的，本文的各种增强实施例中的至少一些的电路深度大约衡量为从而提供电路深度方面的至少一个数量级的减小。因此，各种实施例清楚地提供对量子计算机和操作量子计算机的方法的性能、功能和效率的显著改进。
38.如以上所指出的，实施例包括量子比特交换网络，该量子比特交换网络包括多个交换门。尽管本文讨论的实施例中的许多实施例指向交换量子寄存器的量子比特的交换网络，但是其他实施例没有这样的限制。交换操作可以容易地被采用为经由费米子交换操作的费米子交换操作。应理解，本文被讨论为量子比特交换操作的交换操作中的任何交换操作可以被容易地推广以包括费米子交换操作。即，本文讨论的交换网络和/或交换门中的任何可以用作交换费米子轨道的费米子交换算子和/或表示费米子轨道的哈密顿项。类似于量子比特交换操作，费米子交换操作可以是并行化交换操作。
39.经由量子寄存器内的量子比特的局域化分组和/或费米子轨道的局域化分组，量子比特和/或费米子轨道交换操作实现对非局域多体相互作用的模拟。经由交换门的网络，许多多体项的计算可以在量子计算机内被并行化，从而得到计算机的显著减小的电路深度。交换门网络实现少量电路模板或甚至单个模板的迭代应用，从而作用于量子比特的局
域化分组上以模拟非局域化相互作用量子粒子(诸如但不限于费米子)的时间演化。在针对这样的模拟方案构架量子计算机的传统方法中，计算机的电路深度由与4量子比特相互作用相对应的2体哈密顿项占主导并且衡量为如图7e中所示出的，经由由交换网络实现的电路并行化，本文的增强实施例的电路深度衡量为因此，各种实施例提供在从模拟要求的电路的深度的尺度方面的至少一个数量级减小。
40.本文讨论的各种实施例中的许多实施例指向模拟与非局域1体费米子相互作用和2体费米子相互作用相关联的哈密顿项。即，当模拟哈密顿的效应时，高阶项被忽略。然而，实施例没有这样的限制，并且实施例可以被推广以通过包括k体相互作用而包括高阶项，其中k是大于1的任何整数。例如，为了计算3体哈密顿项，交换网络(以及其他电路)以及本文讨论的各种方法、过程以及计算系统可以被向上扩展以将8量子比特(或任何其他高阶)相互作用并入量子电路中。这样的实施例可以包括适当缩放的交换网络以使所有可能的8量子比特分组局域化。实施例还可以被推广以模拟针对玻色子的类似哈密顿。所公开的方法和系统可以被应用到基于量子比特的各种物理实现和/或实例化的系统，诸如基于俘获粒子、冷原子、约瑟夫逊结器件、固态自旋、马约拉纳费米子、光子极化等的系统。在一些应用中，所谓的受拓扑保护的量子比特被优选以提供容错。
41.如本文所讨论的，量子计算机或该计算机内的一个或多个量子寄存器可以包括一个或多个量子比特集合。包括于计算机中的一个或多个集合中的至少一个集合包括n个量子比特，其中n是大于1的任何正整数。在各种实施例中，量子比特集合可以是有序量子比特集合。在实施例中的一些实施例中，集合的次序可以是逻辑和/或虚拟化次序。量子比特的逻辑和/或虚拟化次序可以类似于或可以不类似于量子比特的物理实例的任何物理次序、配置和/或布置。当讨论任何量子比特集合的次序时，除非另行陈述，否则其是量子比特的逻辑和/或虚拟化次序，其可以与量子比特的物理实例的任何物理次序分隔。因此，术语“逻辑”或“虚拟”可以在讨论集合的次序时被省略，因为除非另外情况，否则暗示其是正在被讨论的集合的逻辑和/或虚拟化次序。
42.各种实施例可以经由量子比特交换操作来迭代地更新集合的次序，使得集合的当前次序可以在本文讨论的方法和/或过程期间被更新许多次。量子比特的逻辑和/或虚拟化配置和/或布置可以指示集合的当前逻辑和/或虚拟次序，并且可以经由1与n之间的独特整数指数来引用和/或指示每个量子比特。因此，当讨论量子比特的逻辑和/或虚拟化布置和/或配置时，逻辑和/或虚拟化布置和/或配置可以在量子比特的1d数组、字符串和/或点阵的背景下讨论。例如，n＝10个量子比特的逻辑和/或虚拟化布置和/或配置可以被表示为逻辑或虚拟1d数组：(1，2，3，4，5，6，7，8，9，10)。
43.然而，量子比特集合的物理实例可以包括不是物理量子比特的1d点阵或字符串的量子比特的物理布置和/或物理配置。在一些实施例中，量子比特集合的物理实例可以被物理地布置和/或配置在2d或3d物理数组、字符串或点阵中。在其他实施例中，量子比特的物理实例可以被物理地布置和/或配置在1d物理数组、字符串或点阵中。因此，当讨论实施例时，量子比特的逻辑和/或虚拟化布置和/或配置(其是1d数组)可以不同于物理布置和/或配置(其可以包括多于一个维度)。因此，当讨论量子比特的任何布置、配置和/或次序时，除非另行指示，否则暗示逻辑和/或虚拟化布置和/或配置。即，除非另行陈述，否则当讨论量
子比特的布置、配置和/或次序时，除非另行指示，暗示是逻辑和/或虚拟化布置而非物理布置正在被引用。因此，在下面的讨论中，术语逻辑和/或虚拟化可以被省略，因为暗示其是正在被讨论的逻辑和/或虚拟化布置和/或次序。
44.集合的次序由逻辑或虚拟1d数组内的量子比特的逻辑或虚拟比特置指示。因此，在以上n＝10的示例中，量子比特1(其可以分别经由狄拉克符号：＜1|或|1＞指示)处于数组的第1个逻辑位置中，量子比特2处于数组的第2个逻辑位置中，并且量子比特10处于数组的第十个逻辑位置中。如以上所指出的，集合的逻辑次序可以被更新，从而导致对量子比特的逻辑布置和/或逻辑配置的更新。
45.如在本文各处讨论的，集合的重新排序可以经由一个或多个量子比特交换操作来实现。在一对量子比特上操作的量子比特交换操作可以“交换”该对中的两个量子比特的逻辑比特置。交换量子比特的逻辑位置可以重新排序或更新集合的当前次序。例如，在量子比特1和2上操作的交换操作可以在逻辑上对量子比特集合重新排序，使得逻辑布置和/或逻辑配置被更新为：(2，1，3，4，5，6，7，8，9，10)，其中量子比特2处于逻辑第1比特置中并且量子比特1处于集合的逻辑第2位置中。在各种实施例中，交换操作可以跨有序量子比特集合被并行化，使得并行化交换操作可以同时(或接近同时)对先前数组重新排序：(1，2，3，4，5，6，7，8，9，10)
→
(2，1，4，3，6，5，8，7，10，9)，其中交换操作交换位于以下逻辑位置中的量子比特：{1,2}、{3,4}、{5,6}、{7,8}以及{9,10}。这样的交换操作可以以矩阵符号被指示为：其中头一行指示集合的初始次序，并且下一行指示从并行化交换操作得到的经更新的次序。
46.在各种实施例中，量子比特交换门网络(即，交换网络)被采用以交换在逻辑上比特于集合内的特定逻辑位置处的两个量子比特的逻辑位置。这样的量子比特交换门结合至少图1b来讨论。应当指出，经由交换操作交换量子比特的逻辑比特置可以保留量子比特的物理实例的物理布置和/或物理次序。更具体地，量子比特交换操作可以交换两个受影响量子比特的量子状态而不影响量子比特的物理实例的任何物理上可观察到的配置。在以上在量子比特1和2上的交换操作中，最初处于数组的第1个逻辑位置中的量子比特可以处于被表示如下的量子状态(即，量子比特的两个本征态的叠加)：|1＞＝α|
↑
＞ β|
↓
＞。处于数组的第2个逻辑比特置中的量子比特可以处于被表示如下的第二量子状态：|2＞＝α
′
|
↑
＞ β
′
|
↓
＞。(|
↑
＞，|
↓
＞)包括针对量子比特的正交基，α，β，α
′
和β
′
是复振幅(或系数)，并且|α|2 |β|2＝|α
′
|2 |β
′
|2＝＜
↑
|
↑
＞＝＜
↓
|
↓
＞＝1并且＜
↑
|
↓
＞＝＜
↓
|
↑
＞＝0。在交换操作在数组的第1个位置和第2个位置中的量子比特上操作之后，第1位置中的量子比特处于量子状态：|2＞＝α
′
|
↑
＞ β
′
|
↓
＞，并且数组中的第2位置中的量子比特处于量子状态：|1＞＝α|
↑
＞ β|
↓
＞。因此，可以说，量子比特1和2的次序和/或位置已经在逻辑上被交换。注意，为了使量子比特的量子状态在逻辑上被交换，物理实例的任何物理次序或配置不需要被交换。
47.分子化学动力学的物理学
48.所公开的方法和系统总体上涉及基于与感兴趣材料相关联的二次量子化哈密顿的量子计算。二次量子化哈密顿可以被映射到量子比特，并且每个量子比特的逻辑状态可以与单电子自旋轨道的占据相关联，其中0表示已占据，并且1表示未占据。具有多个单电子自旋轨道的系统可以在量子计算机内由n个量子比特来表示。具有任何数量的电子的系统
可以通过适当地缩放n的值来表示。在以下讨论中，n可以是大于1的任何整数。即，n与上界不相关联。在一些实施例中，n大于50。在一些实施例中，n显著大于100或甚至1000。
49.约旦魏格纳变换可以被用于变换创建和湮灭算子以便使用泡利自旋矩阵来表示。尽管针对多体系统的一般时间演化算子可以不被容易地可表示为门的序列，但是二次量子化哈密顿可以被表示为一个电子项和两个电子项之和。这些项中的每个项的时间演化算子可以在物理上经由量子逻辑门的序列来实现。相关联的一元时间演化算子可以基于非交换算子的时间演化使用trotter-suzuki关系来近似。
50.针对多体系统的量子计算可以被公式化为二次量子化形式，其中哈密顿算子被表示为：
[0051][0052]
并且其中p、q、r和s是标识分子轨道的指数，其中每个分子轨道由向上自旋或向下自旋粒子或两者或没有一个占据的。h
pq
和h
pqrs
系数是与各种波函数相关联的振幅。和a算子分别是量子力学的二次量子化形式的正则粒子创建和湮灭算子。高阶项在该公式中被忽略。然而，应当指出，这些项可以通过采用指向k体相互作用的交换网络被包括于各种实施例中，其中k大于4。
[0053]hpq
和h
pqrs
系数可以被精确地确定或近似。例如，这些系数可以通过执行hartree-fock方法的适当积分来近似。为了便于描述，h
pq
和h
pqrs
系数可以在本文分别被称为1体哈密顿系数和2体哈密顿系数。这些系数是针对分别耦合基状态p和q以及p、q、r和s的波函数的复数系数，其中p、q、r和s是整数指数。这些1体哈密顿系数和2体哈密顿系数可以以各种不同的方式使用例如执行计算(诸如在hartree-fock近似之下的空间积分)的传统计算机程序而被获得。以任何方式获得的系数可以被使用在下面的示例中。应当指出，创建和湮灭算子可以经由厄米矩阵和一元2
×
2泡利自旋矩阵来表示，本文被引用为x、y和z。
[0054]
出于量子计算的目的，每个轨道被映射到两个量子比特，其中项在被索引为p和q(表示一个电子)的量子比特的对上操作，并且项在被索引为p、q、r和s(表示两个电子)的四个量子比特的分组上操作。
[0055]
轨道的时间演化经由作用于轨道的波函数上的一元时间演化算子u(t)＝e-iht
来生成。因此，给定针对轨道的初始波函数(ψ(t＝0))，轨道的时间演化可以被确定为：ψ(t)＝e-iht
ψ(0)。注意，一般来说，哈密顿的项不可交换。然而，u(t)的评估可以经由随时间迭代的离散评估(例如，trotter步骤)而被近似为：
[0056][0057]
其中m是trotter步骤的数目，δt是trotter步长，并且hj是哈密顿的项。因此，时间演化算子可以在每个trotter步骤处被近似为：
[0058][0059]
其中且因此，这样的轨道的时间演化可
以经由包括经由哈密顿的取幂操作在量子比特上操作的门的量子计算系统而被模拟。
[0060]
注意，哈密顿包括针对电子的所有非局域相互作用。因此，当映射到n个量子比特时，存在对于每对和四个量子比特的分组所需要的个1体时间演化操作和个2体时间演化操作。对于每个这样的操作需要量子电路，其中每个电路包括一个或多个量子门。因为1体哈密顿项衡量为并且2体哈密顿项衡量为所以2体项在对于量子计算所需要的电路深度中占主导。因此，关于用于计算这些项的量子电路和门的以下讨论将涉及二体项。然而，其他量子电路和门可以被包括以用于1体项的计算。
[0061]
如以上所指出的，一般地，哈密顿的项不可交换。因此，本来，隐含地包括4!＝24个排列项的求和。然而，通过要求系数为实数值并且采用hartree-frock积分中的8重旋转对称性，仅仅存在三个独特项：以及克罗内克德尔塔函数被应用到轨道的自旋状态，并且从两个轨道的自旋波函数的内积的积分得到。因此，当被映射到量子比特时，为了使项为非零，两个内部量子比特的状态必须是等效的并且外部的两个量子比特的状态必须是等效的。当以矩阵形式来表示时，该属性增加矩阵的稀疏性。为了以下讨论中的清楚性，德尔塔直接函数将被省略，但是将被理解为被包括。
[0062]
通过经由约旦魏格纳变换将创建和湮灭算子表示为泡利自旋矩阵，其可以被表示为：
[0063][0064]
其中xi，yi和zi是作用于对应的量子比特上的泡利自旋矩阵。在以上等式左手边的求和是在轨道的自旋状态(或对应的量子比特的状态)上的。如以上所指出的，暗示内部的两个量子比特的状态的对称性要求和外部的两个量子比特的状态的对称性要求，其如在以上等式的右手边示出的，显著地减少非零项的数目。右边的这三项中的每项表示在四个量子比特中的每个量子比特上的两次旋转操作。因此，每个二体项的计算需要在四个对应的量子比特上的六次旋转操作。
[0065]
每个量子比特是两个状态的叠加，并且在一般纠缠的4量子比特组合上操作：因此，被表示为16
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16旋转矩阵，其中取幂被应用到矩阵元素。类似地，被表示为4
×
4旋转矩阵。图1c示出与各种实施例一致的2体时间演化算子(即，)的一个实施例的矩阵表示140的一个实施例。如图1c的取幂矩阵140中所示出的，由于对轨道的自旋状态的对称性要求，矩阵的非对角项中的许多项(但不是全部)全都是0。注意，矩阵元素中的每个中的t因子被暗示，但是未被显式地示出。
[0066]
各种增强的量子电路和用于模拟与哈密顿的二体项相关联的轨道的波函数的时间演化的量子电路结合至少图1a至图1b和图2a至图2e来讨论。图2a至图2d中示出的量子电路中的每个量子电路将6次旋转分布在四个相互作用的量子比特之中，而不要求附属量子比特。这些实施例不受这样的约束，并且其他实施例可以包括不采用附属量子比特的电路。采用附属量子比特的电路的一个非限制性示例由图2e提供。
[0067]
注意，2体项最大限度地是非局域的，并且执行旋转的电路必须作用于量子比特的分组中的每个分组上。用于设计量子电路以作用于量子比特的每个4元组上的传统方法的电路深度衡量为然而，在本文的各种增强的实施例中，量子比特交换门网络被采用以将非局域相互作用中的每个非局域相互作用呈现为局域。即，经由本文讨论的各种交换网络，用于计算二体项的量子电路可以仅仅作用于四个最近的相邻量子比特的分组上。因此，电路模板(例如，图1a至图1d的实施例中的一个或多个实施例)可以被迭代地采用于四个最近的相邻量子比特的分组上。另外，交换操作和电路模板可以被并行化，其如在图7d的数值结果中所示出的，将电路深度的尺度大大减少至大约
[0068]
量子门和量子电路的实施例
[0069]
图1a至图1b提供适合于在实现本公开的实施例中使用的量子门的示意图。更具体地，图1a提供针对在各种实施例中采用的单量子比特门的各种电路示意性符号。图1b提供针对多量子比特门的示意性符号。图1a示出x门102、y门104、z门106、h门108、s门110、门112(即，s共轭转置或s剑号门)、t门114以及指数门116。这些门中的每个门用于旋转单个量子比特(例如，围绕布洛赫球的旋转)。x门102、y门104和z门106可以共同地或单独地被称为泡利自旋门和/或矩阵。h门108可以被称为哈达玛门或非门的平方根。经由量子比特旋转，门102至门116中的每个门将相对相比特差引入到量子比特的状态。以标准基写的门102至门116中的每个的2
×
2矩阵形式如下：x门y门z门h门h门s门s门门t门并且指数门其中a是2
×
2矩阵。
[0070]
图1b示出多比特量子门：c非门120和四个交换门130、132、134和136。c非门120(控制的非门)和交换门130作用于经由狄拉克符号|1＞和|2＞标记的两个量子比特上。交换门132、134和136分别作用于三个、四个和五个比特上，其中附加的量子比特分别被标记为|3＞、|4＞和|5＞。量子比特行上的输入和输出上的标记显式地表示量子比特的量子状态的交换。多个量子比特可以被纠缠或可以不被纠缠。以标准基写的c非门120和2量子比特交换门130的4
×
4矩阵形式如下：c非门并且交换门
[0071]
为简洁，交换门132、134和136的8
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8、16
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16和32
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32矩阵被省略。然而，这些矩阵可以被类似地生成。在本文各处使用的量子比特交换符号中，交换门130可以被采用于交
换最近邻居量子比特(1，2)
→
(2，1)。采用最近邻居的交换门130的多个实例，非相邻的量子比特可以被交换。更具体地，任何量子比特对(其中局域性的程度由正整数k指示)可以通过采用最近邻居的交换门130的多个实例来交换(其中k＝1，指示最近邻居量子比特交换)。对于交换门132：k＝2，对于交换门134：k＝3，并且对于交换门136：k＝4。在本文各处使用的量子比特交换符号中，交换门132交换量子比特：(1，2，3)
→
(3，2，1)，交换门134交换量子比特：(1，2，3，4)
→
(4，2，3，1)，交换门136交换量子比特：(1，2，3，4，５)
→
(5，2，3，4，1)。对于本文讨论的费米子交换网络的实施例中的每个实施例：1≤k≤4，然而交换门132至136表明任何量子比特对可以如何仅仅采用最近邻居的交换门130的多个实例被交换。即，k针对各种实施例不具有上限。
[0072]
图1a至图1b中示出的量子门中的任何量子门的各种组合可以被采用以构建在各种实施例中利用的量子电路。附加的量子门，诸如但不限于受控制的z门、受控制的相比特门、toffoli门、fredkin门、测量门等可以在各种实施例中与图1a至图1b的门相组合。
[0073]
如以上所指出的，为了完全模拟量子化学，1体时间演化算子必须在每对量子比特上操作，并且2体时间演化算子必须在4个量子比特的分组中的每个分组上操作。当讨论对量子比特的应用时，1体时间演化算子可以被称为2量子比特算子。类似地，2体时间演化算子可以被称为4量子比特算子。2量子比特算子和4量子比特算子中的每项分别与2量子比特量子电路和4量子比特量子电路相对应。这些量子电路可以由结合图1a至图1b讨论的量子门的各种组合构成。如以上所指出的，图1c示出2体时间演化算子的矩阵表示140的一个实施例，其中矩阵元素中的每个中的t因子被暗示。
[0074]
图2a至图2e示出针对与4量子比特时间演化算子相对应的4量子比特量子电路的五个备选实施例。尽管未示出，但是类似的二量子比特量子电路可以被采用于2量子比特时间演化算子因为4量子比特算子的实现在计算的电路深度中占主导，所以以下讨论将集中于4量子比特算法的实现。
[0075]
图2a至图2e的四个电路：210、220、230、240中的每个电路和250分别包括四个量子比特输入和四个量子比特输出，其中四个量子比特被表示为|p＞、|q＞、|r＞和|s＞。电路210、220、230和240中的每个电路经由指数算子(例如，图1a的指数算子116)执行在四个量子比特上分布的2体时间演化算子的6次旋转。然而，电路210、220、230和240在旋转深度(即，在单个量子比特上执行的旋转的最大数目)上不同。电路还在对于实现所需要的二量子比特门(例如，图1b的c非门120)的数目上不同。各种实现折中可以通过在实施例中改变2量子比特门的旋转深度和数目来实现。更具体地，图2a的量子电路210平衡4个量子比特之间的6次旋转(即，针对以下量子比特中的每个量子位比特的两次旋转：|p＞、|q＞和|s＞，针对量子比特|r＞没有旋转)。电路的旋转深度可以是针对电路中的任何量子比特的最大旋转数目。因此，电路210具有旋转深度2，并且利用18个2量子比特门。图2b的量子电路220具有旋转深度2并且利用14个2量子比特门。图2d的量子电路240具有旋转深度3并且利用12个2量子比特门。图2e的量子电路250采用三个附属量子比特。经由各种操纵，可以表明，量
子电路250可以被变换和/或精简成量子电路200、210、230或240中的任何。
[0076]
费米子交换网络的实施例
[0077]
如以上所指出的，为了模拟量子化学以及其他多体量子系统，多个量子体被映射到n个量子比特，其中n是大于1的无限制整数。本文讨论的实施例将考虑二次量子化哈密顿的1体和2体局域项和非局域项。注意，(1体时间演化算子的)1体项可以经由在每对量子比特上操作的2量子比特算子来模拟，并且(2体时间演化算子的)2体项可以经由在4量子比特的分组中的每个上操作的4量子比特算子来模拟。图2a至图2e示出了用于实现这些4量子比特算子的量子电路的各种实施例。
[0078]“量子寄存器”或简单地“寄存器”可以包括或表示n个量子比特的集合，其中n是大于1的任何整数。n可以被称为寄存器的深度。如以上所指出的，该集合可以包括逻辑次序并且该集合可以在逻辑上被配置为逻辑1d数组，其中n个量子比特中的每个量子比特与数组内的逻辑位置或定位相关联。因为量子比特的逻辑位置被迭代地交换，所以量子比特的次序(或顺序)在本文讨论的方法和过程期间被改变。为了以下讨论，量子比特被逻辑地布置在1d数组中。然而，其他实施例不受这样的约束，并且讨论的方法和操作可以被推广到量子比特的2d和3d数组。量子比特的有序字符串可以是引用的符号：(1，2，3，4，...n-3，n-2，n-1，n)，其中整数是指针对每个量子比特的独特指数。除了指数，每个量子比特具有寄存器内的逻辑位置。寄存器中的量子比特的当前位置取决于量子比特的字符串的当前次序。如本文各处所讨论的，交换操作在量子比特上被迭代地执行，使得量子比特在寄存器中的位置(并且因此量子比特的次序)被迭代地更新，但是其独特指数是恒定的。在以上1d数组中，被索引为1的量子比特处于第1位置中，并且被索引为2的量子比特处于第2位置中。如果量子比特1和2被交换，那么寄存器的更新的次序将被标记为：(2，1，3，4，...n-3，n-2，n-1，n)，其中整数是指量子比特的指数。量子比特2现在处于位置1中，并且量子比特1现在处于位置2中。
[0079]“最近邻居”量子比特是寄存器中的两个逻辑上连续的量子比特。因此，以上寄存器布置两者中的两个最近邻居量子比特对包括以下两个量子比特对：(1，2)和(n-1，n-2)。对于正整数k，使得2≤k≤n，k量子比特的局域分组包括(寄存器内)k个逻辑上连续的量子比特的组合。因此，初始寄存器布置中的四个量子比特的局域分组包括(1，2，3，4)和(n-3，n-2，n-1，n)的四个量子比特分组。
[0080]“量子比特轮”或简单地“轮”可以是量子寄存器内的量子比特的逻辑上有序的分组。因此，轮可以是逻辑结构，而不是量子比特的物理分组。如下面所描述的，轮可以包括寄存器内的量子比特集合的子集。在一些实施例中，轮包括寄存器内的n个量子比特的子集。包括于轮中的量子比特的有序子集的基数可以被指示为n，其中1≤n≤n。n可以被称为轮的深度。对于一些轮，轮的量子比特可以是表示寄存器的逻辑次序的1d数组中的逻辑上连续的量子比特。对于其他轮，轮的量子比特可以由寄存器的数组内的一个或多个量子比特分隔。即，经由寄存器的排序，轮可以不是量子比特的局域分组。类似于寄存器，轮内的寄存器被排序。因此，包括于轮中的量子比特可以具有该轮中的位置以及寄存器内的位置。量子比特可以具有作为量子比特在寄存器内的位置的第一位置和作为量子比特在轮内的位置的
第二位置。因为量子比特被迭代地交换，所以量子比特在轮内的位置(并且因此轮的次序)可以被迭代地更新。注意，包括于相同轮中的两个量子比特可以是轮内的最近邻居量子比特，但不是寄存器内的最近邻居量子比特。两个量子比特可以是寄存器内的最近邻居量子比特，但不被包括于相同轮中。如下面所讨论的，在一些实施例中，寄存器的量子比特的有序集合被细分成k个大约等同深度或基数的有序轮。k个轮中的每个轮包括量子比特集合的子集。量子比特的子集中的每个子集可以与量子比特的所有其他子集不相交。即，寄存器的每个量子比特可以被精确地指配给k个轮中的1个轮。
[0081]
寄存器和/或轮内的量子比特可以被交换。量子比特的交换操作可以被称为寄存器(或轮)的旋转。符号{i,j}(其中1≤i≠j≤n)被采用于指代交换寄存器(或轮)内的第i个逻辑位置和第j个逻辑位置中的量子比特的量子比特交换操作。即，取决于上下文，符号{i,j}可以引用轮或寄存器内的位置。在一些实施例中，迭代的量子比特交换的部分被并行化。即，多对量子比特可以在相同的交换(或旋转)操作中被交换。并行化量子比特交换可以被标记为：{{i,j},{j,k}}，其中双重的{{}}指示相同交换或旋转操作中的多个(或并行化)交换。在一些实施例中，(寄存器内或关于轮的)最近邻居的交替对被迭代地交换。例如，考虑最初排序的10量子比特寄存器：(1，2，3，4，5，6，7，8，9，10)。在第一次交换(或旋转)操作期间，以下交换操作中的每个被执行：{{1,2}，{3,4}，{5,6}，{7,8}，{9,10}}，其中整数指代正在被同时交换的量子比特的对的位置。在第一次交换操作之后，寄存器的更新的次序为：(2，1，4，3，6，5，8，7，10，9)。交换操作可以被称为奇数对交换操作，因为交换的比特的每个最近邻居对中的较低位置量子比特被定位于寄存器内的奇数位置处，并且较高定位的量子比特被定位于偶数位置处。下一个交换操作可以交换量子比特的交替位置：{{2,3}，{4,5}，{6,7}，{8,9}}，其中整数指代正在被同时交换的量子比特的对的位置。在第二次交换操作之后，寄存器的更新的次序为：(2，4，1，6，3，8，5，10，7，9)。这些交换操作可以被称为偶数对交换操作，因为交换的比特的每个最近邻居对中的较低位置量子比特被定位于寄存器内的偶数位置处，并且较高定位的量子比特被定位于奇数位置处。寄存器的逻辑排序的演化可以被标记为：因为递降的行示出量子比特集合的次序的更新。类似的操作、符号以及技术可以在讨论轮旋转或交换操作时被采用。
[0082]
各种实施例迭代地应用交换算子，其可以在n个量子比特上的图1b的交换门130至136来实现。交换门可以被实现于交换门的一个或多个网络(即交换网络)中。迭代的交换操作和/或交换网络可以被配置为将可能的2量子比特对中的每个2量子比特对至少一次呈现为逻辑上最近邻居对，并且将可能的4量子比特组合中的每个4量子比特组合呈现为四个逻辑上连续的量子比特的分组。因此，哈密顿算子需要仅仅在局域量子比特的分组(例如，最近邻居量子比特的对和/或四个连续量子比特的分组)上操作。即，应用于模拟非局域1体哈密顿项的2量子比特(非局域)时间演化算子仅仅需要在量子比特的两个最近邻居对上操作。类似地，应用于模拟非局域2体哈密顿项的4量子比特(非局域)时间演化算子仅仅需要在量子比特的四个最近邻居对上操作。即，2量子比特和4量子比特量子电
路仅仅需要作用于四个量子比特的局域对(即，最近邻居量子比特)或局域化分组(即，位置上连续)上。
[0083]
另外，交换算子仅仅需要局域地作用于至多在逻辑上由三个量子比特(即，k≤4，如图1b的交换门130至136中所示出的)分隔的量子比特上。因此，交换算子还可以在某种程度上是局域化的。更具体地，所有非局域多体相互作用可以经由局域2量子比特和4量子比特量子电路以及最近邻居交换门(例如，交换门130至136)来计算。通过配置针对并行量子比特交换的交换网络并且使电路和门局域化，非局域相互作用的模拟可以被并行化，从而减少电路深度和计算时间。下面针对2体、3体和4体相互作用算子来讨论用于量子比特交换操作的架构。然而，其他实施例不受这样的约束，并且高阶项可以经由推广本文讨论的交换操作的网络来计算。即，各种实施例可以被容易地推广用于k体相互作用，其中k是大于1的任何整数。
[0084]
使2量子比特对(即，k＝2)局域化
[0085]
下面针对k＝2的实施例的讨论涉及量子比特交换操作。然而，如本文各处所指出的，各种实施例不受这样的约束，并且交换操作可以包括费米子交换操作。现在将讨论各种量子比特交换网络。交换网络可以包括执行讨论的各种量子比特交换操作的多个交换门(例如，图1b的交换门130至136)。交换网络可以包括并行化交换门以同时(或接近同时地)交换多对量子比特。每个离散交换门可以作用于量子电路中的n个量子比特行中的两行上。
[0086]
图3a提供图示2量子比特对交换网络的操作的过程300的流程图。图3b提供图示轮交换网络的操作的过程320的流程图。如所指出的，2体交换网络和轮交换网络两者都可以经由图1b的交换门130至136的系统应用而被实现。即，过程300和320中的每个过程可以经由将交换门的对应配置(即，交换网络)植入被采用于模拟本文讨论的时间演化算子的量子计算机内来物理地实现。过程300和320将结合图3c来讨论。图3c示出实现针对n＝4、n＝5、n＝10和n＝11量子比特的图3a至图3b的过程300和320的量子比特交换网络的旋转操作。下面对过程300和320的讨论指向量子比特交换操作。然而，如本文各处所指出的，各种实施例不受这样的约束，并且本文各处讨论的交换操作可以包括费米子交换操作。
[0087]
2量子比特对交换网络(诸如实现图3a的过程300的那个)在寄存器的n个量子比特(或轮的n个量子比特)的最近邻居对上应用交换操作，使得个2量子比特对中的每个2量子比特对在过程300期间至少一次是最近邻居(或邻近)对。因为每个2量子比特对在过程300的实现期间至少一次是最近邻居对，所以局域化的2量子比特时间演化电路可以在可能的个对中的每对上操作，以经由局域化的量子比特对来模拟非局域相互作用中的每个非局域相互作用。可以表明，2量子比特对交换网络的交换深度是：d2(n)＝n-1。即，经由过程300，当寄存器(或轮)被旋转通过n-1个配置(包括其初始配置)时，n个量子比特中的每个量子比特将已经成为关于其他n-1个量子比特中的每个的最近邻居。
[0088]
轮交换网络(诸如实现图3b的过程320的那个)在轮的n个量子比特的对上应用交换操作，使得n个量子比特中的每个至少一次到达轮内的n个位置中的每个位置。交换操作中的每个交换操作在轮内的最近邻居对上执行。然而，轮内的最近邻居对可以不是寄存器内的最近邻居对。即，轮交换网络可以在寄存器内的非邻近比特上操作。然而，在其中2≤k≤4的实施例中，轮的两个最近邻居量子比特至多由3个中介量子比特分隔。因此，交换门
130至136可以被采用于实现轮交换网络。可以表明，轮交换网络的交换深度为：即，经由过程320，当寄存器(或轮)被旋转通过2n-2 mod(n，2)个配置(包括其初始配置)时，n个量子比特中的每个量子比特在过程320的实现期间至少一次将已经处于轮的逻辑n个位置中的每个位置处。
[0089]
过程300和320是相似的过程，因为每个过程300和320在量子比特上迭代地应用并行化交替奇数对和偶数对交换操作。过程300和过程320差别在于它们的终止准则。过程300可以当每个量子比特至少一次已经成为到每个其他量子比特的最近邻居量子比特时被终止：ds(n)＝n-1。过程320可以当每个量子比特至少一次已经访问其轮内的每个位置时被终止：dw(n)＝2n-2 mod(n，2)。过程300和320中的每个过程包括在奇数对交换操作和偶数对交换操作之间交替的迭代循环。如所指出的，针对过程300的迭代循环的终止条件是在过程300期间每个量子比特至少一次已经成为关于每个其他量子比特的最近邻居量子比特，其随着以下交换深度确定性地发生：ds(n)＝n-1。针对过程320的迭代循环的终止条件是在过程320期间每个量子比特至少一次已经到其轮内的每个位置，其随着以下交换深度确定性地发生：dw(n)＝2n-2 mod(n，2)。如图3a和3b中所示出的，过程300和320包括检查终止条件是否被满足的判定框(即，针对过程300的框306和框312以及针对过程320的框326和框332)。因为终止条件经由确定性地确定的交换深度发生，所以这些判定框是可选的。即，过程300和320不需要检查终止条件是否已经发生，因为其经由以上相应的交换深度确定性地发生。这些判定框出于说明性目的而被包括，而不需要被实现。
[0090]
过程300在开始门之后在框302处开始，其中量子比特的每个奇数对最近邻居对被交换。多个交换可以经由并行化的2量子比特对交换网络而被并行化。例如，在经由针对n＝10的寄存器的并行化的2量子比特对交换网络实现的框302的第一次迭代上，将寄存器从其初始次序(1，2，3，4，5，6，7，8，9，10)变换到更新的次序(2，1，4，3，6，5，8，7，10，9)，其中交换操作已经被应用到最近邻居量子比特的奇数对中的每个。在可选框304处，2量子比特算子(诸如但不限于)可以被应用到量子比特的每个最近邻居对。在判定框306处，针对2量子比特对交换网络的终止条件被检查。即，在判定框306处，可以确定每个量子比特是否已经成为到寄存器中的每个其他量子比特的最近邻居(或邻近其)。如以上所讨论的，这发生在寄存器的d2(n)＝n-1个配置之后。如果终止条件未被满足，那么过程300流向框308。否则，过程300可以在结束框处终止。
[0091]
在框308处，量子比特的每个偶数对最近邻居对可以被交换。类似于奇数对交换，多个偶数对交换可以被并行化。继续以上示例，框308的第一次迭代将寄存器从其第二布置(2，1，4，3，6，5，8，7，10，9)变换到第三布置(2，4，1，6，3，8，5，10，7，9)，其中交换操作已经被应用到最近邻居量子比特的偶数对中的每个偶数对。在可选框310处，2量子比特算子可以被应用到量子比特的每个最近邻居对。在判定框312处，针对2量子比特对交换网络的终止条件被检查。如果终止条件未被满足，那么过程300返回到框302。否则，过程300可以在终止框处终止。
[0092]
过程320在开始门之后在框302处开始，其中轮内的量子比特的每个奇数对分组被交换。在可选框324处，k量子比特算子(诸如但不限于)可以被应用到k个量子比特的局域化分组。这样的算子可以经由量子电路(诸如但不限于图2a至图2e的电路210、
220、230、240或250)来实现。在判定框326处，针对轮交换网络的终止条件被检查。即，在判定框326处，可以确定每个量子比特是否已经访问了轮内的每个位置。如以上所讨论的，这发生在轮的dw(n)＝2n-2 mod(n，2)个配置之后。如果终止条件未被满足，那么过程320流向框328。否则，过程320可以在结束框处终止。
[0093]
在框328处，量子比特的每个偶数对最近邻居对可以被交换。类似于奇数对交换，多个偶数对交换可以被并行化。在可选框330处，类似于可选框324，k量子比特算子可以被应用到。在判定框322处，针对轮交换网络的终止条件被检查。如果终止条件未被满足，那么过程320返回到框322。否则，过程320可以在终止框处终止。
[0094]
图3c示出如分别经由针对n＝4、n＝5、n＝10和n＝11量子比特寄存器和/或轮的2量子比特对交换网络和轮交换网络实现的过程300和320两者的旋转(或并行化交换)操作。更具体地，交换或旋转操作330是针对n＝4的，交换操作340是针对n＝5的，交换操作360是针对n＝10的，并且交换操作380是针对n＝11的。在各种矩阵内，行指示寄存器和/或轮内的量子比特的布置(或逻辑次序)，其中整数指示量子比特指数。从一行到该行正下方的行之间的过渡指示经由2量子比特交换网络或轮交换网络实现的一个旋转操作，例如，过程300的框302或308和/或过程320的框322或328。当讨论2量子比特交换网络和/或过程300时，这些行可以指示寄存器量子比特的布置。当讨论轮交换网络时，这些行可以指示量子比特的轮的布置。
[0095]
针对n＝4的操作330，d2(4)＝3且dw(4)＝6。水平条334和水平条332分别指示针对n＝4的过程300(例如，2量子比特交换网络的操作)和过程320(例如，轮交换网络的操作)的终止。水平条332下面的额外旋转操作指示附加旋转操作可以如何将寄存器和/或轮返回到量子比特的其初始布置。针对n＝5的操作340，d2(5)＝4并且dw(5)＝9。水平条344和水平条342分别指示针对n＝5的过程300和过程320的终止。水平条342下面的附加旋转操作指示额外旋转操作可以如何将寄存器和/或轮返回到量子比特的其初始布置。针对n＝10的操作360，d2(10)＝9且dw(10)＝19。水平条364指示过程300的终止。针对操作360，过程320在最后一行终止。针对n＝11的操作380，d2(11)＝10且dw(11)＝21。水平条384指示过程300的终止。针对操作380，过程320在最后一行终止。
[0096]
注意这些寄存器/轮旋转中的一般模式，其中最初奇数指数量子比特行进向轮内的第n个位置，并且偶数指数量子比特行进向轮内的第1个位置。当量子比特到达寄存器/轮的第1个或第n个(即，边界)位置时，量子比特位于针对两个交换迭代的边界位置处，并且之后返回行进向寄存器/轮中的相反边界位置。当量子比特行进向寄存器/轮的第n个位置时，所以量子比特可以被称为进入量子比特，而当量子比特行进向寄存器/轮的第1个位置时，量子比特可以被称为外出量子比特。此外注意，当每个量子比特到达寄存器/轮的第1个或第n个比特置时，量子比特位于针对两个交换操作的该位置处并且之后改变行进的方向。
[0097]
经由通过2量子比特交换网络实现的过程300，每个量子比特至少一次将是到n-1的旋转深度内的每个其他量子比特的最近邻居。经由通过轮交换网络实现的过程320，当第二个到最后一个最初进入量子比特到达第n个位置时，每个量子比特至少一次将到达寄存器/轮内的每个位置。最初进入量子比特是偶数指数量子比特。因此，当第二个到最后一个偶数指数位置到达第n个位置时，每个量子比特将已经访问了每个位置。针对n＝4，第二个到最后一个偶数指数量子比特是量子比特2，针对n＝5，第二个到最后一个偶数指数量子比
特是量子比特4，针对n＝10，第二个到最后一个偶数指数量子比特是量子比特8，并且针对n＝10，第二个到最后一个偶数指数量子比特是量子比特10。因此，经由过程320对寄存器/轮的旋转可以当量子比特2、4、8或10分别到达针对n＝4、5、10或11个寄存器/轮的第n个比特置时被终止。在水平行332和334之下的旋转表明附加的寄存器/轮旋转被采用以将量子比特的排序返回到其初始排序。应当指出，在实施例中可以不要求将量子比特返回到初始位置。
[0098]
经由过程300和302中的每个，每个2量子比特项可以经由针对所有n的量子比特的最近邻居对被操作。另外，操作可以经由并行化的交换门的网络被并行化以减少电路深度。结合2量子比特交换网络和轮交换网络讨论的过程300和320的实施例可以被递归地采用以经由量子比特的局域化分组来实现k量子比特非局域相互作用，其中k是大于2的整数。更具体地，2量子比特对和轮交换网络的概念可以经由局域化的(即，位置上连续的)k量子比特的分组与量子比特的向量化和量子比特的向量化配置的旋转/排列相组合以实现非局域相互作用。
[0099]
使3量子比特组合(即，k＝3)局域化
[0100]
下面针对k＝3的实施例的讨论涉及量子比特交换操作。然而，如本文各处所指出的，各种实施例不受这样的约束，并且交换操作可以包括费米子交换操作。现在将讨论三量子比特相互作用(即，k＝3)。针对3量子比特相互作用，考虑三个量子比特的独特组合中的每个独特组合。类似于k＝2的实施例，交换网络被采用于迭代地交换量子比特使得每个非局域3量子比特相互作用经由三个局域(即，逻辑上连续的)量子比特被呈现为局域相互作用。如下面所讨论的，k＝3的实施例可以被递归地采用以经由四个局域(即，逻辑上连续的)量子比特将所有非局域4量子比特(即，k＝4)相互作用呈现为局域相互作用。如以上所讨论的，分子化学轨道模拟可以经由在k＝2和k＝4项上的求和来实现。k＝2、k＝3和k＝4实施例可以被推广到k的任何更高值。
[0101]
针对k＞2，寄存器的量子比特可以被布置成向量化配置。针对这样的向量化配置，n个量子比特中的每个可以被分类为属于k个类别中的一个类别。因此，每个量子比特被标记有独特指数和类别标签，其中量子比特的指数是n个量子比特中的每个量子比特的独特id，并且一个或多个量子比特被指配给k个量子比特类别中的每个量子比特类别。相比于独特量子比特指数，多个量子比特可以被标记有相同类别。因此，存在n个独特量子比特指数和量子比特的k个类别，其中k＜n。因此，针对k＝3，除了独特量子比特指数，每个量子比特将被指配以类别1、2或3中的一个类别。量子比特将以循环方式来标记。针对14量子比特寄存器，14个量子比特可以被标记并且排序为(11，22，33，41，52，63，71，82，93，101，112，123，131，142)，其中正常字体大小的整数指示量子比特的独特指数并且下标整数指示量子比特的类别(即，1、2或3)。
[0102]
可以针对每个类别形成单独的量子比特轮，包括被指配给该类别的量子比特。因为每个量子比特被精确地指配以一个类别，所以类别的形成生成n个量子比特的k个不相交子集。例如，针对14量子比特寄存器，类别1轮包括量子比特：(11，41，71，101，131)，类别2轮包括量子比特：(22，52，82，112，142)，并且类别3轮包括量子比特：(33，63，93，123)。针对n量子比
特寄存器，量子比特轮_1的深度被计算为：量子比特轮_2的深度是：并且量子比特轮_3的深度是：注意针对所有n，n1≥n2≥n3。
[0103]
3量子比特相互作用中的每个3量子比特相互作用可以经由局域(即，寄存器内逻辑上连续的)3量子比特组合的分组来计算。例如，必须通过模拟针对k＝3的时间演化算子的量子电路作用于来自类别1的一个量子比特、来自类别2的一个量子比特和来自类别3的一个量子比特的所有独特组合。123的符号被采用以指示特定类型的3量子比特组合，其中一个量子比特来自类别1，一个量子比特来自类别2，并且一个量子比特来自类别3。例如，(1，2，3)、(4，5，6)和(7，8，9)的组合是被指示为123的3量子比特组合类型的3量子比特组合以及(1，5，9)、(4，8，12)和(13，11，3)的组合。注意存在123类型3量子比特组合中的量子比特的n1·
n2·
n3独特组合。对该符号进行推广，必须通过经由量子电路实现的时间演化算子作用于组合类型122(例如，(4，2，11))和133(例如，(10，3，9))组合的所有独特3量子比特组合，以及211(例如，(8，4，13))、233(例如，(14，6，12))、311(例如，(6，1，10))以及322(例如，(12，52，14))量子比特的组合类别。类似地，必须经由量子电路作用于组合类型111(例如，(4，10，13))、222(例如，(2，8，11))以及333(例如，(3，6，9))的所有组合。
[0104]
3量子比特组合类型可以基于量子比特类别的量子比特组合类型的对称性被分类成5个种类。例如，鉴于量子比特组合类型122和133之间的对称性，这些量子比特组合类型可以被分类为具有成员量子比特组合类型122和133的种类。类似地，量子比特组合类型211和233可以被分类在一起，量子比特组合类型311和322可以被分类在一起，并且量子比特组合类型111、222和333可以被分类在一起。
[0105]
图4a提供图示针对与本文呈现的各种实施例一致的3量子比特相互作用的类别类型的各种属性的表400。更具体地，表400的每行与量子比特组合类型的种类相对应。注意针对k＝3，种类0与123类型组合相对应并且种类4包括成员类型111、222和333。种类1、2、3，每个包括具有来自由种类指示的轮的单个量子比特以及来自另外两个轮中的一个轮的两个量子比特的成员类型。表400的第一列指示3量子比特组合类型的种类。表400的第二列指示包括于行的种类中的组合类型成员。表400的第三列指示包括于种类中的独特3量子比特组合的数目。注意，该列中的计算假设n除以3。针对大的n，并且因此归因于该假设的任何误差是小的。表400的第四列指示针对(如由列3指示的)种类的3量子比特组合与针对大的n的3量子比特组合的总数目的比率。如下面将解释的，表400的第五列指示将所有3量子比特组合呈现为三个局域(即，连续)量子比特的分组的轮旋转(例如，量子比特交换操作)的深度。
[0106]
图4b提供图示针对与本文呈现的各种实施例一致的针对5≤n≤10的3量子比特配置的向量化的表410。表410的每行与n的分隔的值相对应，其中n的值被指示在第一列中。表410的第二列、第三列、第四列以及第五列与3量子比特组合类型的种类0、种类1、种类2以及种类3相对应。表中的每个条目提供针对n的对应的值和组合类型种类的(长度n的)向量。如
下面将讨论的，向量指示组合类型的布置以实现个3量子比特相互作用中的每个3量子比特相互作用。
[0107]
这里简单地来说，针对组合类型的种类的向量化指示应当被布置(或交换到)寄存器的对应比特置中以实现针对作为组合类型的对应种类的成员的组合类型的许多独特3量子比特组合中的每个3量子比特组合的量子比特的类别。例如，如下面结合至少图5a至图5b讨论的，为了实现可能的3量子比特组合中的每个3量子比特组合，经由3量子比特的局域分组，针对n＝8，8个量子比特被布置为使得寄存器内的量子比特类别经由以下向量来排序：[1，2，3，1，2，3，1，2]，其中整数指示量子比特类型，而不是量子比特指数。8量子比特寄存器内的一个可能的这样的量子比特布置是以下初始量子比特排序：(1，2，3，4，5，6，7，8)，其中整数指代量子比特指数。作为另一示例，针对n＝8的种类1，8个量子比特被布置为使得寄存器内的量子比特类别被排序为以下向量：[1，2，2，1，2，3，3，1]。8量子比特寄存器内的一个可能的这样的量子比特布置是以下初始量子比特排序：(1，2，5，4，8，3，6，7)。各种组合类型(和种类)的向量化模式从表410的对称性显而易见。图4c的表420示出针对n＝14、15、16、17、18和19的种类1的向量化的非限制性实施例。即，表420提供针对被提供在图4a的表400中的较大n值的向量化的各种实施例。图4d的表430示出针对n＝14、15、16、17、18和19的种类1的向量化的另外的其他非限制性实施例。表420和430中示出的向量化是非限制性的，并且其他向量化可以被采用。例如，在针对n＝17的备选向量化(其未示出在图4c或图4d中)中，是{1,2,2,1,2,2,1,2,2,1,3,3,1,3,3,1,3}。
[0108]
注意，图4b的表410中示出的3量子比特向量的实施例是非限制性的，并且其他向量是可能的。因此，实施例不经由表410中示出的向量被约束。作为非限制性示例，在一些实施例中，针对n＝6、种类1的向量可以包括向量：[1，3，3，1，2，2]，而不是向量：[1，2，2，1，3，3]，如表410中示出的。作为附加的非限制性示例，针对n＝10、种类2的向量可以备选地包括向量：[1，1，2，1，1，2，3，3，2，3]，并且针对n＝10、种类3的向量可以备选地包括向量：[1，1，3，1，1，3，2，2，3，2]。即，针对种类2和/或3，模式“1，2，2”可以被重复直到轮_2量子比特被用完，并且之后“3，3，1”的模式被采用。
[0109]
图5a提供图示使量子计算机内的所有123类型的3量子比特组合(即，种类0)局域化的轮交换网络的操作的过程500的流程图。图5b示出针对n＝8量子比特量子计算机的过程500的操作。图5a至图5b将被一起讨论。图5a至图5b的以下讨论涉及量子比特交换操作。然而，如本文各处所指出的，各种实施例不受这样的约束，并且交换操作可以包括费米子交换操作。
[0110]
图5b的交换操作520示出在被细分成3个量子比特轮的n＝8量子比特寄存器上的过程500的迭代轮旋转操作。操作520的矩阵符号指示针对n＝8的过程500的每个迭代步骤的量子比特交换(即，旋转)的动力学。在以下讨论中，轮的单个旋转操作可以指代轮内的最近邻居对的一个并行化奇数对或偶数对交换。即，单个轮旋转可以包括与以下项中的一项相对应的运行的轮的并行化奇数对或偶数对交换操作：框322或框328，图3b的过程320中的每个过程。轮的完全旋转可以与过程320的完全运行相对应。如果轮的深度为dw(n)，那么轮必须过渡通过针对完全旋转的n个布置(或重新排序)。因此，从初始布置(或次序)开始，其一般采取n-1个针对每个量子比特的单一交换操作以访问轮内的每个位置。
[0111]
过程500包括在奇数对和偶数对交换操作之间交替的迭代循环。如所指出的，针对过程500的迭代循环的终止条件是在过程500期间每个量子比特至少一次已经到其轮内的每个位置，其随着以下交换深度确定性地发生：dw(n)＝2n-2 mod(n，2)。如图5a中所示出的，过程500包括检查终止条件是否被满足的判定框(即，框504)。因为终止条件经由确定性地确定的交换深度发生，所以该判定框是可选的。即，过程500不需要检查终止条件是否已经发生，因为其经由确定性地确定的交换深度确定性地发生。该判定框出于说明性目的而被包括，而不需要被实现。
[0112]
过程500在开始框之后在框502处开始，其中n个量子比特中的每个被指配给轮_1、轮_2或轮_3中的一个轮。如图5b中所示出的，针对n＝8，轮_1 530包括量子比特[1,4,7]，轮l_2 540包括量子比特[2,5,8]，并且轮_3 560包括量子比特[3,6]。因此，n1＝3、n2＝3且n3＝2。在每个轮的水平上的量子比特交换的对应动力学被示出在操作520右边的对应的行和列中。过程500包括在轮_1和轮_2上迭代地操作以将每个种类0 3量子比特组合实现为局域分组的轮交换网络。如图5a至图5b中所示出的，在轮_1上操作的轮交换网络可以被嵌套和/或运行为在轮_2上操作的轮交换网络的子例程。为了实现每个独特的3量子比特种类0组合，轮_3不需要要求被旋转。
[0113]
因为在轮_1上操作的轮交换网络是在轮_2上操作的轮交换网络的子例程，所以针对(轮_2的轮深度内的)轮_2的每个布置(即，重新排序)，轮_1被完全旋转。即，针对轮_2的次序的每次更新，轮_1经由图3b的过程320被完全旋转，使得轮_1中的每个量子比特至少一次访问轮_1内的每个位置。针对n＝8，针对轮_1 530和轮_2 540的轮深度是：dw(n1)＝dw(n2)＝dw(3)＝5。因此，为了使量子比特访问针对轮_1 540或轮_2 540中的每个位置，对应的轮必须通过5个布置(或排序)过渡，其一般要求5-1＝4个单一并行化的奇数对或偶数对交换操作，即，单一旋转。在图5b中并且针对轮_1 530，将轮_1 530的五个重新排序分组的框指示轮_1 530的完全旋转。注意，轮_1 530的四个并行化的交换操作(或四个单一旋转)被要求以完全旋转轮_1 530。针对轮_2 540，这些框将轮_2 540的单一交换操作(即，单个旋转)分组。注意类似于轮_1 530，针对轮_2 540的完全旋转，四个单一并行化的交换操作(或单一旋转)被要求以用于使每个量子比特访问轮_2 540内的每个比特置。针对轮_1 530和轮_2 540的框指示轮_1 530的旋转是轮_2 540的旋转的子例程。轮上的交换操作的完全循环可以包括轮的完全旋转和/或过程320在轮上的完全运行。
[0114]
如还在图5b中所示出的，轮_1 540的旋转是随着以下6个旋转的周期而循环的：[1，4，7]
→
[4，1，7]
→
[4，7，1]
→
[7，4，1]
→
[7，1，4]
→
[1，7，4]
→
[1，4，7]。经由关于轮_1 530的对称性，轮_2 540的旋转也是随着以下6个旋转的周期而循环的：[2，5，8]
→
[5，2，8]
→
[5，8，2]
→
[8，5，2]
→
[8，2，5]
→
[2，5，8]
→
[2，5，8]。在图5b的操作520中并且针对n＝8，123类型(即，种类0)量子比特组合中的全部n1·
n2·
n3＝12被实现。如图4a的表400的第五列中所示出的，(针对种类0组合的)过程500中的轮_1和轮_2的嵌套旋转的深度是dw(n1)
·dw
(n2)。
[0115]
在判定框504处，确定针对旋转轮_2的终止条件是否被满足。如结合至少图3b的判定框326所讨论的，在框504处，确定轮_2中的每个量子比特是否已经访问了轮_2内的每个位置。如所指出的，轮_2具有dw(3)＝5的交换深度。因此，针对轮_2的终止条件在轮_2的四个旋转之后被满足。如果轮_2尚未被完全旋转，那么过程500流向框506。否则，过程500流向
框510。
[0116]
在框506处，轮_1被完全旋转。用于旋转轮_1的各种实施例结合至少图3b的过程320来讨论。如以上所指出的，图5b中的将轮_1 530的重新排序分组的框示出轮_1 530的完全旋转。在框508处，轮_2经由一个交换操作(经由并行化奇数对或偶数对量子比特交换操作)旋转。将轮_2 540的单一交换操作(或轮旋转)分组的框示出轮_1的一个旋转。过程500返回到判定框504。在框510处，交换操作的另一完全循环和/或轮的完全旋转被要求以生成所有种类0 3量子比特组合。过程500之后终止。
[0117]
如图5b中所示出的，过程500实现对每个种类0 3量子比特组合的生成。种类1、2、3和4的3量子比特组合也可以被生成。图5c提供图示使量子计算机内的所有种类1 3量子比特组合局域化的过程580的流程图。由于种类1、2和3之间的对称性，所以过程580可以被推广以找到替代那些种类的对应轮的种类2和3的所有3量子比特组合。下面讨论种类4 3量子比特组合。
[0118]
图5d图示与各种实施例一致的在图5c的过程580中利用的2d量子比特配置的实施例。注意，图5d中示出的量子比特配置的2d本质不需要是量子比特的物理配置，而是相反可以是逻辑结构。因此，图5d将结合图5c的过程580来讨论。图5c至图5d的以下讨论指向量子比特交换操作。然而，如本文各处所指出的，各种实施例不受这样的约束，并且交换操作可以包括费米子交换操作。过程580包括在奇数对交换操作和偶数对交换操作之间交替的迭代循环。如所指出的，针对过程580的迭代循环的终止条件是在过程580期间每个量子比特至少一次已经到其轮内的每个位置，其随着以下交换深度确定性地发生：dw(n)＝2n-2 mod(n，2)。如图5c中所示出的，过程580包括检查终止条件是否被满足的判定框(即，框588)。因为终止条件经由确定性地确定的交换深度发生，所以该判定框是可选的。即，过程580不需要检查终止条件是否已经发生，因为其经由确定性地确定的交换深度确定性地发生。该判定框出于说明性目的而被包括，而不需要被实现。
[0119]
在开始框之后，过程580在框582处开始，其中量子比特被排序成与种类1的向量和/或基于其的次序。图4b、图4c和图4d示出针对种类1的向量。针对这些向量的模式可以被推广到n的更高值。任何量子比特排序例程可以被采用以经由量子比特交换操作对量子比特排序。例如，在过程500的终止之后，量子比特将被排序使得轮被交错。冒泡排序算法可以被采用以将量子比特排序成基于针对种类1的向量的次序。图5d示出针对n＝18的非限制性示例。示出了被指配给三个轮中的每个的量子比特。如由图4c的表420所指示的，针对种类1的n＝18的向量可以为：{1，2，2，1，3，3，1，2，2，1，3，3，1，2，2，1，3，3}。如图4d中的表430所指示的，其他交替向量是可能的。经排序的寄存器示出基于向量的量子比特的一个可能排序。寄存器的其他排序是可能的。在一个实施例中，在框582之前，量子比特可以经由附加的轮旋转被返回到它们的初始位置，并且然后基于向量而被排序。在图5d中，将种类1向量中的相同轮量子比特的框和经排序的寄存器中的框分组的箭头示出向量与排序的寄存器之间的对应关系，如经由框582所生成的。针对n＝18，n1＝n2＝n3＝6。
[0120]
过程580生成每个可能的122和每个可能的133类型的组合。在过程580的各种实施例中，轮_1经由图5b的过程520被旋转。轮_2和轮_3可以被配置为2d量子比特配置。针对轮_2和轮_3的2d量子比特配置被示出在图5d的底部附近。2d量子比特配置是不需要为量子比特的物理实例的物理布置的量子比特的逻辑或虚拟布置。如图5d中所示出的，2d量子比特
配置可以包括量子比特的2d逻辑布置，所述2d逻辑布置包括2列和行的，其中n是轮中的量子比特的数目。如果n是奇数，那么最后一行将仅包括单一量子比特。
[0121]
2d量子比特配置可以在某种程度上类似于2轮自动售货机，其中2d量子比特的垂直列类似于自动售货机的轮，并且水平行对应于自动售货机的投币口。水平行中的每个行与寄存器内的轮的最近邻居对中的一个轮。如图5d中所示出的，针对n＝18，存在针对轮_2和轮_3中的每个轮的三个水平行。水平行中的每个行与来自基于种类1的向量的相同轮的量子比特的两个量子比特对中的一个量子比特对相对应。在图5d中，经排序的寄存器中的2量子比特对和水平行之间的箭头表明对应关系。
[0122]
轮_1经由并行化的交换操作被旋转，使得轮_1中的每个量子比特至少一次访问寄存器内的与种类1的向量相对应的每个位置。在图5d中，轮_1的并行化的奇数对和偶数对交换操作被示出为种类1向量中的箭头。为了实现每个122类型组合，轮_2的可能的个2量子比特对中的每个2量子比特对必须在轮_1的每个布置期间至少一次在轮_2 2d量子比特配置的水平行中的一个中看上去连续。类似地，为了生成每个133类型组合，轮_3的可能的个2量子比特对中的每个2量子比特对必须在轮_1的每个布置期间至少一次在轮_2 2d量子比特配置的水平行中的一个中看上去连续。因此，2d量子比特配置的量子比特可以(例如，分别经由图3a和图3b的过程300或过程320)被逐渐地交换，使得轮中的每个对在水平行中的一个水平行处看上去连续。
[0123]
因此，在过程580中，轮_1经由图3b的过程320被旋转。作为轮_1的交换操作的子例程，轮_2和轮_3的2d量子比特配置可以被并行地增加，生成每个122和133类型的3量子比特组合。应当理解，过程580可以通过重新排列被旋转的轮来生成112、233、311和322组合中的每个组合，并且两个轮被布置在2d量子比特配置上。因此，针对种类1、2和3的所有3量子比特组合可以经由过程580被生成。
[0124]
返回到图5c，在框584处，轮_2被逻辑地布置成2d量子比特配置。在框586处，轮_3被逻辑地布置成2d量子比特配置。针对轮_2和轮_3的2d量子比特配置的一个实施例被示出在图5d中。在判定框588处，针对轮_1确定终止条件是否已经被满足。即，在框588处，确定轮_1内的每个量子比特是否已经到轮_1的每个位置。如果是的话，那么过程580流向框594。否则，过程580流向框590。在框590处，轮_2和轮_3中的每个轮的2d量子比特配置经由交换操作被递增，使得轮_2的可能的个2量子比特对中的每个2量子比特对在轮_2的2d量子比特配置的水平行中的一个行中看上去为连续对，并且轮_3的可能的个2量子比特对中的每个2量子比特对在轮_3的2d量子比特配置的水平行中的一个行中看上去为连续对。过程300或过程320的各种实施例可以被采用以经由交替的并行化奇数对和偶数对交换操作增加2d量子比特配置，使得轮中的每个对至少一次是最近邻居对并且在水平行中的一个行中邻近。如所指出的，到轮_2和轮_3的增加可以被并行化，使得轮_2和轮_3被一起增加。
[0125]
在框592处，经由并行化奇数对交换操作和并行化偶数对交换操作的一个旋转操作在轮_1上被执行。图3b的过程320的至少一部分可以被采用于以轮_1上执行旋转操作。过
程580返回到判定框588。在框594处，为了生成与轮_1的最终布置相关联的剩余的122和133类型的3量子比特分组，轮_2和轮_3中的每个轮的2d量子比特配置经由交换操作被增加，使得轮_2的可能的个2量子比特对中的每个2量子比特对在轮_2的2d量子比特配置的水平行中的一个行中看上去为连续对，并且轮_3的可能的个2量子比特对中的每个2量子比特对在轮_3的2d量子比特配置的水平行中的一个行中看上去为连续对。一旦种类1的所有局域化的3量子比特分组已经被生成，过程580就可以终止。注意，因为轮_2和轮_3的增加被并行化在框590和594中，122和133类型组合被并行地生成。
[0126]
种类2和种类3局域化3量子比特组合可以经由重新排列轮的类似的过程被生成。因此，过程500可以生成种类0组合，并且过程580(以及其变型)可以生成种类1、2和3组合。种类4组合可以经由递归地采用过程500和580来生成。在示例性和非限制性实施例中。在生成种类0、1、2和3组合中的每个组合后，寄存器可以基于以下的种类4向量来排序(例如，并行冒泡排序)：{1，1，1，...1，1，1，2，2，2，...，2，2，2，3，3，3，...，3，3，3}。即，寄存器可以被排序成三个子寄存器，每个子寄存器保存三个轮中的一个轮的量子比特。过程500和580可以被递归地应用到这些子寄存器中的每个寄存器，从而生成子子寄存器。递归应用可以继续直到所有种类4局域化3量子比特组合已经被局域化在这些子寄存器中的每个寄存器内。注意，生成子寄存器内的种类0、1、2和3局域化组合的过程500和580的递归应用可以被并行化以提高效率并且减小生成局域化3量子比特组合所需的交换网络的深度。在终止递归后，针对3量子比特的种类0、1、2、3和4局域化组合中的每个局域化组合已经被生成。
[0127]
注意，为了实现生成种类4组合所需要的递归，可以表明所需的交换网络的深度被确定为：因此，如结合至少图5e所描述的，所需的交换网络的深度衡量为
[0128]
图5e提供指示针对3量子比特算子的交换网络的电路深度大约衡量为的计算的绘图596。针对实心圆离散数据点(
●
)，作为n的函数的网络的深度通过利用包括在针对各种种类的组合类型的交换操作之间过渡所需的并行冒泡排序操作的完整交换网络模拟交换操作来计算。即，针对实心数据点，结合至少图5a至图5d讨论的交换操作已经在数值上被模拟以生成针对高达n＝400的可能的对的局域化(即，寄存器中逻辑上连续的)3量子比特对中的每个。针对非实心数据点(
○
)，网络的深度经由针对由图4a的表400的第五列中示出的各种种类所需的交换操作的深度的表达式被解析地确定。针对非实心数据点，并行冒泡排序操作的贡献已经被忽略。实线指示到实心数据点的双对数线性回归拟合。虚线指示到非实心数据点的双对数线性回归拟合。针对实线，双对数线性拟合为：(1.19
±
0.03)
·
10
2.007
±
0.004
。针对虚线，双对数线性拟合为：(1.10
±
0.03)
·
10
2.020
±
0.005
。到两种方法(数值模拟和解析计算)的线性拟合表明交换网络(或并行化交换操作)的深度大约衡量为并且并行冒泡排序不会驱使对所需的电路深度的缩放。
[0129]
使4量子比特组合(即，k＝4)局域化
[0130]
下面针对k＝4的实施例的讨论指向量子比特交换操作。然而，如本文各处所指出
的，各种实施例不受这样的约束，并且交换操作可以包括费米子交换操作。可能的个4量子比特组合中的每个4量子比特组合可以通过如现在讨论的递归地生成局域化的2量子比特和3量子比特组合来局域化。即，至少结合图3a至图5e讨论的各种实施例可以被迭代地且递归地应用于使4量子比特组合局域化。针对k＝4，n个量子比特可以被细分成四个轮：轮_1、轮_2、轮_3和轮_4。将量子比特指配给四个轮的过程可以从将量子比特指配给三个轮的过程推广。另外，4量子比特组合类型可以经由四个轮被生成，类似于关于3量子比特组合类型所讨论的那个。例如，4量子比特组合类型包括但不限于：1234、1122、1134、1113和1111。类似于3量子比特组合的种类，通过采用组合类型的对称性，4量子比特类型可以被组织成各种类。注意针对k＝3的实施例，第三个轮不需要被旋转，即，交换操作不需要在包括于轮_3中的量子比特上执行。类似地，针对k＝4的实施例，交换操作不需要在轮_4的量子比特上执行。因此，在一些实施例中，不需要要求对轮_4的生成。
[0131]
图6a提供图示针对与本文呈现的各种实施例一致的4量子比特相互作用的类别类型的各种属性的表600。表600类似于图4a的表400，但是是针对4量子比特组合的而非3量子比特组合的。表600的第一列示出针对4量子比特组合存在组合类型的15个种类，并且列二指示每个种类的成员。组合类型中的每个组合类型可以被引用为：1234、xxyy、xxyz、xxxy和xxxx，其中变量x、y和z可以在值1、2、3或4的值上取值。
[0132]
图6b提供图示针对5≤n≤10的与本文呈现的各种实施例一致的4量子比特配置的向量化的表610。表610的每行与分隔的n值相对应，其中n的值被指示在第一列中。表410的第二列、第三列、第四列和第五列与4量子比特组合类型的种类1、种类2(以及种类3和4)、种类5(以及种类6-10)以及种类11(以及种类12-14)相对应。表中的每个条目提供针对对应的n值和组合类型种类的(长度n的)向量。如下面将讨论的，向量指示组合类型的布置以实现个4量子比特相互作用中的每个4量子比特相互作用。
[0133]
图6c提供图示由被采用于本文讨论的4量子比特实施例的2量子比特时隙网络实现的交换操作的过程620的流程图。如下面将讨论的，2量子比特时隙网络(诸如经由过程620实现的那个)被采用以生成4量子比特相互作用，诸如图6a的表600的种类2、3和4组合类型相互作用。与本文各处讨论的其他过程类似，即使过程620的讨论指向量子比特交换操作，实施例也没有这样的限制，并且交换操作可以被应用到费米子轨道。过程620可以是递归过程。过程620在开始框之后在框622处开始，其中量子比特(或费米子轨道)被划分成两个分组：分组_0和分组_1。量子比特可以是轮的成员。如果轮具有n个量子比特，那么分组_0可以包括个量子比特并且分组_1可以包括个量子比特。
[0134]
在框624处，并行冒泡排序被应用使得每个分组中的量子比特与其他分组中的具有对应指数的量子比特邻近。在框626处，轮交换网络被应用以循环通过分组_1中的标记指配。在判定框628处，确定终止条件是否已经被满足。在一些实施例中，针对过程620的终止条件可以包括是否成立。如果终止条件被满足，那么过程620可以终止。否则，过程620可以返回到框622以用于对过程620的递归调用。双重返回箭头指示分组_0和分组_1中的每个分组递归地调用过程620。在递归调用中，每个分组被进一步细分，从而在每个递归
调用中减小n的当前值。注意，关于其他实施例，递归调用的数目是确定性的，因此判定框628可能不需要被调用。可以示出，实现过程620的2量子比特时隙网络的电路深度是：如图6a的表600中所指出的，该交换网络深度被采用于种类1、2和3量子比特组合中。
[0135]
图7a提供使每种类型的4量子比特组合局域化的交换网络的组合的示意性概览。更具体地，图7a示出在至少一个实施例中被采用于生成针对以下的局域化的4量子比特组合的交换操作的类型的概览：1234、xxyy、xxyz、xxxy和xxxx组合类型。如所示出的，针对1、2、3、4类型，轮交换网络的四个实例被采用，其中量子比特的1、2、3和4类别中的每个类别被包括于轮中的一个轮中。类似于3量子比特组合，轮的旋转被嵌套并且可以被运行为多个嵌套的子例程。图7c的过程720示出嵌套的一个非限制性实施例。针对xxyy类型，2量子比特对交换网络被利用于x轮中的每个轮，并且2量子比特时隙交换网络被采用于y轮中的每个轮。针对xxxy类型，3量子比特组合交换网络被利用于x轮中的每个轮，并且轮交换网络被采用于y轮中的每个轮。针对xxyz类型，2量子比特时隙交换网络被采用于x轮中的每个轮，轮交换网络被采用于y轮中的每个轮，并且轮交换网络被采用于z轮中的每个轮。如还在图7a中所示出的，xxxx组合从对其他类型的组合的递归调用生成。针对每个轮执行递归调用。因此，针对轮_1生成四个子轮(例如，轮_1_1、轮_1_2、轮_1_3和轮_1_4)，针对轮_2生成四个子轮(例如，轮_2_1、轮_2_2、轮_2_3和轮_2_4)，针对轮_3生成四个子轮(例如，轮_3_1、轮_3_2、轮_3_3和轮_3_4)，并且针对轮_4生成四个子轮(例如，轮_4_1、轮_4_2、轮_4_3和轮_4_4)。当1111、2222、3333和4444类型的局域化组合中的每个局域化组合已经被生成时递归被终止。针对每个轮(和每个子轮)的递归调用可以被并行化以减小所需的电路深度。
[0136]
图7b提供图示使量子计算机内的所有2量子比特和所有4量子比特组合局域化的过程700的流程图。更具体地，过程700使用针对图7a中图示的组合类型中的每个的交换网络。过程700在开始框之后在框702处开始，其中2量子比特项中的每个2量子位比特项通过被应用到寄存器的2量子比特对网络或轮交换网络来生成。网络可以在寄存器上执行多个交换操作。至少结合图3a至图3c讨论2量子比特对和轮交换操作的各种实施例。在框704处，量子比特被细分成四个轮：轮_1、轮_2、轮_3和轮_4。在本文各处讨论的，包括于轮_4中的量子比特不需要被交换。因此，在一些实施例中，轮_4可能不需要被生成，并且属于轮_4的量子比特可以被分类为不属于轮_1、轮_2或轮_3中的任何一个轮。
[0137]
在框706处，1234类型的局域化组合经由通过针对四个轮中的每个轮的轮交换网络应用的轮交换操作来生成。轮交换操作可以被嵌套，类似于图5a的过程500。嵌套轮交换操作的一个非限制性实施例结合图7c的过程720讨论。因此，在框704处，生成种类1(如图7c的表600中所图示的)中的每个种类。如表600中所示出的，针对种类1，交换操作的深度可以经由dw(n)被确定性地确定。
[0138]
在框708处，xxyy项经由被应用到x轮的2量子比特对交换网络的嵌套交换操作而被生成，并且2量子比特时隙网络被应用到y轮。这些交换操作的各种实施例结合至少图3a和图6c来讨论。因此，在框708处，生成针对表600的种类2、3和4的组合中的每个组合。如表600中所示出的，针对种类2、3和4，交换操作的深度可以经由dw(n)和ds(n)被确定性地确定。注意，在框708处生成xxyy项之前，对量子比特的排序可以被执行从而以适当的向量化
次序来配置量子比特。4量子比特向量化的各种实施例被示出在图6b的表610中。例如，并行冒泡排序交换操作可以被执行。
[0139]
在框710处，xxyz项通过在x轮上操作的2量子比特对交换网络以及在y和z轮中的每个上操作的轮交换网络的交换操作(例如，参见图3b和图5a至图5d)来生成。即，在框710处生成表600的种类5至10组合。如表610中所示出的，针对种类5至10，交换操作的深度可以经由被应用到合适的轮的d2(n)和dw(n)被确定性地确定。类似于上文，并行化冒泡排序可以在量子比特上被执行以经由适当的向量化排序来对量子比特进行恰当地排序。
[0140]
在框712处，xxxy项经由被应用到y轮的轮交换网络和被应用到x轮的3量子比特交换网络的交换操作来生成。即，在框712处生成种类11至14组合。更具体地，3量子比特结构被采用以循环通过三元组对中的每个对并且之后轮被用于循环通过未配对的指数。用于这样的交换操作的各种实施例结合至少图3b和图5a至图5d来讨论。如表610中所示出的，针对种类11至14，交换操作的深度可以经由被应用到合适的轮的d3(n)和dw(n)被确定性地确定。注意，在框712处生成xxxy项之前，对量子比特的排序可以被执行从而以合适的向量化次序来配置量子比特。例如，并行冒泡排序交换操作可以被执行。
[0141]
为了生成种类15组合，类似于针对3量子比特的种类4组合的递归过程被采用。并行冒泡交换可以被采用于将量子比特排序成合适的量子比特向量。在判定框714处，确定xxxx类型组合中的每个类型组合已经被局域化。如果是的话，那么过程700终止。否则，针对四个轮中的每个进行递归调用。即，每个轮被返回到框704。针对四个轮的递归调用经由从框714到框704的四个返回路径被示出。类似于分别关于图3a、图3b、图5a和图5c的过程300、320、500和580的判定框的讨论，判定框714不需要在各种实施例中由于满足循环的终止条件所需的确定性交换深度而被实现。
[0142]
图7c提供图示使量子计算机内的所有种类0(即，1234类型组合)4量子比特组合局域化的过程720的流程图。过程720可以是图7b的过程700的子例程。例如，过程720可以经由过程700的框706的运行而被调用。在过程720中，在轮_3上(经由轮交换网络)执行并行化交换操作，使得轮_3中的每个量子比特访问轮_3中的每个位置。即，轮_3被完全旋转通过其深度。作为轮_3的旋转的子例程，轮_2被完全旋转通过其深度。作为轮_2的旋转的子例程，轮_1被完全旋转通过其深度。为了生成种类0组合，轮_4不需要被旋转。因此，某种程度上类似于图5a的过程500，但是涉及四个轮而非三个轮。
[0143]
为了说明性目的，并且因为轮正在经由嵌套旋转和/或子例程旋转的观念，轮计数器的概念已经被引入过程720中。这些轮计数器可以被认为类似于for-loop过程中的循环计数器(或循环指数)。因为过程720的循环被运行为子例程，所以一旦嵌套循环已经完成，这些轮计数器就被增加和重置。轮计数器的增加被推断并且过程720包括重置轮计数器的显式框(例如，框734和736)。注意，这些轮(或循环)计数器仅出于说明性目的，并且不需要由于交换操作的确定性地可确定的深度而被实现。另外，与如以上所讨论的类似地，检查循环的终止条件的判定框(例如，框722、724和726)不需要由于交换操作的确定性本质而被显式地实现。
[0144]
过程720在开始框之后在判定框722处开始，其中确定轮_3中的每个量子比特至少一次已经访问了轮_3中的每个位置。如果针对轮_3的终止条件被满足，那么过程720流向框738。在框738处，轮_2再次被完全旋转并且轮_1被旋转为轮_2的旋转的子例程。用于将轮_1
旋转为完全旋转轮_2的子例程的一个实施例结合至少图5a的过程500来讨论。轮_1和轮_2的这些最终旋转将完成所有1234类型组合的生成。因此，过程720可以在框738的运行之后终止。如果针对轮_3的终止条件未被满足，那么过程720流向判定框724。
[0145]
在判定框724处，确定轮_2中的每个量子比特已经访问了轮_2中的每个位置，因为针对轮_2的计数器已经被重置。如果针对轮_2的终止条件被满足，那么过程720流向框736，否则过程流向判定框726。在框736处，针对轮_2的终止条件被重置，并且过程720流向框732。在框732处，在轮_3上执行一个并行化交换操作。用于在轮上执行并行化交换操作的各种实施例至少结合图3b的过程320来讨论。然而，本文简单地来说，轮_3经由奇数对或偶数对并行化量子比特交换操作而被旋转。过程720之后返回到判定框722。
[0146]
在判定框726处，确定轮_1中的每个量子比特已经访问了轮_1中的每个位置，因为针对轮_1的计数器已经被重置。如果针对轮_1的终止条件被满足，那么过程720流向框734，否则过程流向判定框728。在框734处，针对轮_1的终止条件被重置，并且过程720流向框730。在框730处，在轮_2上执行一个并行化交换操作。用于在轮上执行并行化交换操作的各种实施例结合至少图3b的过程320来讨论。然而，本文简单地来说，轮_2经由奇数对或偶数对并行化量子比特交换操作而被旋转。过程720之后返回到判定框724。
[0147]
在框728处，在轮_1上执行一个并行化交换操作。用于在轮上执行并行化交换操作的各种实施例结合至少图3b的过程320来讨论。然而，本文简单地来说，轮_1经由奇数对或偶数对并行化量子比特交换操作而被旋转。过程720之后返回到判定框726。
[0148]
图7d示出针对n＝10量子比特量子计算机的图7b的过程700的交换操作740。更具体地，交换操作740示出可能的4量子比特组合中的每个4量子比特组合如何被局域化。列之间的箭头示出次序，其中矩阵被拆分以适合放在单一页面上。
[0149]
图7e提供指示针对4量子比特算子的交换网络的电路深度大约衡量为的计算的绘图760。针对实心圆离散数据点(
●
)，作为n的函数的网络的深度通过利用包括在针对各种种类的组合类型的交换操作之间过渡所需的并行冒泡排序操作的完整交换网络模拟交换操作来计算。即，针对实心数据点，结合至少图7a至图7d讨论的交换操作已经在数值上被模拟以生成针对高达n＝400的可能的对的局域化(即，寄存器中逻辑上连续的)4量子比特对中的每个。针对非实心数据点(
○
)，网络的深度经由针对由图6a的表600的第五列中示出的各种种类所需的交换操作的深度的表达式被解析地确定。针对非实心数据点，并行冒泡排序操作的贡献已经被忽略。实线指示到实心数据点的双对数线性回归拟合。虚线指示到非实心数据点的双对数线性回归拟合。针对实线，双对数线性拟合为：(0.69
±
0.09)
·
10
3.06
±
0.03
。针对虚线，双对数线性拟合为：(0.76
±
0.03)
·
10
3.04
±
0.01
。到两种方法(数值模拟和解析计算)的线性拟合表明交换网络(或并行化交换操作)的深度大约衡量为并且并行冒泡排序不会驱使对所需的电路深度的缩放。
[0150]
图7e提供指示针对4量子比特算子的交换网络的电路深度大约衡量为的数值结果的绘图760。结合至少图7a至图7d讨论的交换操作已经在数值上被模拟以生成针对高达n＝400的可能对的局域化(即，在寄存器中逻辑上连续的)4量子比特对中的每个
量子比特对。注意，绘图760是双对数坐标图。双对数回归拟合表明交换网络(或并行化交换操作)的深度大约衡量为因此，与大约衡量为的传统方法相比较，各种增强实施例提供在电路深度方面的至少一个数量级的减小。
[0151]
量子计算环境
[0152]
图8是适合于在实现本公开的实施例中使用的示例性量子计算环境800的框图。量子计算环境800包括量子硬件，诸如但不限于量子处理单元802、量子寄存器以及一个或多个监测/测量设备846。量子寄存器848可以包括n个量子比特的物理实现。量子比特可以经由测量和监测设备846来监测、测量、观察或以其他方式探查。量子处理器802运行量子电路(例如，实现本文讨论的时间演化算子和并行化交换网络的电路)。电路可以由经典编译器单元820使用一个或多个经典处理器810来预编译。经编译的量子电路可以经由量子总线806被下载到量子处理单元中。在一些情况下，量子电路或其部分在设备存储器821中被预定义并且存储为量子电路定义。例如，与哈密顿的二次量子表示相关联的量子电路以及实现如以上所描述的应用的量子比特交换网络或其他功能和过程或其部分的量子电路可以被存储于库中。经典计算机860可以被布置以控制量子计算机或其一个或多个量子电路。经典计算机860可以接收经典或量子计算机的输出。基于接收到的输出，经典计算机指示哪些量子电路要被使用在随后的量子计算中，提供合适的量子电路的定义，或者，在一些情况下，并且控制附加的经典计算。特定架构取决于量子比特的数目，以及其他设计考虑。因此，交换网络设计模块863可以基于一个或多个设计参数和/或设计准则至少部分地使设计工作中的一些自动化以得出交换网络定义。经典计算设备和/或经典计算环境的各种实施例结合至少图9来讨论。
[0153]
参考图8，量子电路的编译可以包括将量子算法的高级描述转换为量子电路的序列的过程。这样的高级描述可以视情况而定利用一个或多个存储器和/或存储设备862被存储在量子计算环境800外部的一个或多个外部计算机860上，之后在必要时经由一个或多个通信连接850被下载到计算环境800中。高级描述可以被存储并且经典地解读，并且经典计算机可以控制量子计算机中定义的门的序列。高级描述还基于初始数据值、中间数据值或最终数据值来控制门的应用。在一个示例中，存储器和/或存储设备862存储用于如以上所描述的系数排序和调整的计算机可执行指令。这样的指令还可以被提供到经典处理器810。
[0154]
经典计算设备
[0155]
参考图9，经典计算设备900包括直接地或间接地耦合以下设备的总线910：存储器912、一个或多个处理器914、一个或多个表示组件916、一个或多个输入/输出(i/o)端口918、一个或多个i/o组件920以及说明性电源922。如结合图8所讨论的，经典计算设备900可以被采用于图8的量子计算环境800上。总线910表示什么可以是一个或多个总线(诸如地址总线、数据总线或其组合)。尽管图9的各个框为了清楚起见用线来示出，但是实际上这些框表示逻辑的而不一定是实际的组件。例如，可以将诸如显示设备的表示组件认为是i/o组件。此外，处理器具有存储器。本文的发明人意识到，这就是艺术的本质，并且重申图9的示图仅仅说明可以结合本公开的一个或多个实施例使用的示例性计算设备。不在诸如“工作站”、“服务器”、“膝上型计算机”、“手持设备”等的种类之间进行区分，因为全部都被预见到在图9的范围之内并且参考“计算设备”。
[0156]
计算设备900通常包括各种计算机可读介质。计算机可读介质可以是可以由计算
设备900接入的任何可用介质并且包括易失性介质和非易失性介质、可移除介质和不可移除介质两者。例如但不限于，计算机可读介质可以包括计算机存储介质和通信介质。计算机存储介质包括以用于存储诸如计算机可读指令、数据结构、程序模块或其他数据的信息的任何方法或技术实现的易失性介质和非易失性介质、可移除介质和不可移除介质两者。计算机可读介质包括但不限于ram、rom、eeprom、闪存或其他存储器技术、cd-rom、数字多用盘(dvd)或其他光盘存储、磁带盒、磁带、磁盘存储或其他磁性存储设备、或可以用于存储期望的信息并且可以由计算设备900接入的任何其他介质。计算机存储介质不包括信号本身。通信介质通常将计算机可读指令、数据结构、程序模块或其他数据体现在经调制的数据信号(诸如载波或其他传输介质)中并且包括任何信息递送介质。术语“经调制的数据信号”意指其特性中的一个或多个特性以将信息编码在信号中的方式设置或改变的信号。例如但不限于，通信介质包括有线介质(诸如有线网络或直接线连接)和无线网络(诸如声学、rf、红外以及其他无线介质)。以上中的任何的组合还应当被包括于计算机可读介质的范围内。
[0157]
存储器912包括以易失性存储器和/或非易失性存储器的形式的计算机存储介质。存储器可以是可移除的、不可移除的或其组合。示例性硬件设备包括固态存储器、硬盘驱动器、光盘驱动器等。计算设备900包括从诸如存储器912或i/o组件920的各种实体读取数据的一个或多个处理器914。(多个)表示组件916将数据指示呈现给用户或其他设备。在一些实现中，系统200的表示组件220可以被体现为表示组件916。表示组件的其他示例可以包括显示设备、扬声器、打印组件、振动组件等。
[0158]
i/o端口918允许计算设备900被逻辑地耦合到其他设备，包括i/o组件920，其中的一些可以是内置的。说明性组件包括麦克风、操纵杆、游戏手柄、卫星天线、扫描仪、打印机、无线设备等。i/o组件920可以提供处理由用户生成的空中手势、语音或其他生理输入的自然用户接口(nui)。在一些实例中，输入可以被发送到适当的网络元件以用于进一步处理。nui可以实现语音识别、触摸和触笔识别、面部识别、生物特征识别、屏幕上和邻近屏幕两者的手势识别、空中手势、头部和眼部跟踪、以及与计算设备900上的显示器相关联的触摸识别的任何组合。计算设备900可以被装备有深度相机，诸如立体视觉相机系统、红外相机系统、rgb相机系统、以及这些的组合，用于手势检测和识别。另外，计算设备900可以被装备有实现对运动的检测的加速度计或陀螺仪。加速度计或陀螺仪的输出可以被提供到计算设备900的显示器以呈现沉浸式增强现实或虚拟现实。
[0159]
计算设备900的一些实施例可以包括一个或多个无线电装置924(或类似的无线通信组件)。无线电装置924发送和接收无线电或无线通信。计算设备900可以是适于通过各种无线网络接收通信和介质的无线终端。计算设备900可以经由诸如码分多址(“cdma”)、全球移动系统(“gsm”)或时分多址(“tdma”)以及其他的无线协议进行通信以与其他设备进行通信。无线电通信可以是短距离连接、长距离连接、或短距离无线电信连接和长距离无线电信连接两者的组合。当我们提到“短”和“长”类型的连接时，我们不是指两个设备之间的空间关系。代替地，我们一般是指短距离和长距离是不同种类的或类型的连接(即，主要连接和辅连接)。短距离连接可以包括例如但不限于到设备(例如，移动热点)的连接，其提供对无线通信网络的访问，诸如使用802.11协议的wlan连接；到另一计算设备的蓝牙连接是短距离连接或近场通信连接的第二示例。长距离连接可以包括使用例如但不限于cdma、gprs、gsm、tdma以及802.16协议中的一项或多项的连接。
[0160]
所描绘的各种组件以及未示出的组件的许多不同布置是可能的而不脱离下面的权利要求的范围。本公开的实施例已经以说明性而非限制性的意图来描述。备选实施例在阅读本公开之后并且由于阅读本公开而对本公开的读者变得明显。实现前文的备选方式可以被完成而脱离下面的权利要求的范围。某些特征和子组合是实用的并且可以在不引用其他特征和子组合的情况下被采用并且被预见到在权利要求的范围之内。