一种基于分数阶Lorenz混沌系统的图像加密方法及存储介质与流程

一种基于分数阶lorenz混沌系统的图像加密方法及存储介质
技术领域
1.本发明属于图像处理领域，具体涉及一种基于分数阶lorenz混沌系统的图像加密方法及存储介质。


背景技术：

2.随着科学水平的提高，计算机技术和网络技术作为新兴的学科，各种技术被研究使用，数字图像技术作为一种多媒体信息的载体，有着信息量大、表现生动、直观等优点，数字图像信息在互联网上被广泛传播，容易遭受大量的恶意攻击。因此，图像信息的安全问题变得尤为重要，这推动了图像加密技术的快速发展，图像加密是保护图像信息的主要手段之一。
3.传统的图像加密方法如数据加密标准(des)，国际数据加密算法(idea)以及改进的加密标准(aes)等由于以下两点原因已经不适合对图像进行加密：(1)图像大小以及像素之间的相关性导致其加密速度慢；(2)没有考虑未压缩图像的信息冗余以及压缩图像的语法结构。为了克服传统图像加密方法的缺点，学者将混沌理论引入图像加密中，混沌的类随机性，对初值敏感性以及难以预测等属性使得混沌与密码学有着天然的关联。随着人们不断对lorenz系统的深入研究，目前已经将lorenz系统应用在了图像加密中，同时也发现lorenz混沌序列存在一些缺陷，如：宽频带特性弱、局部单调性在实现过程中存在、不理想的序列相关性等，lorenz系统的加密处理效果不理想。
4.因此，本技术提出一种基于分数阶lorenz混沌系统的图像加密方法。


技术实现要素：

5.为了克服上述现有技术存在的不足，本发明提供了一种基于分数阶lorenz混沌系统的图像加密方法及存储介质。
6.为了实现上述目的，本发明提供如下技术方案：
7.一种基于分数阶lorenz混沌系统的图像加密方法，包括以下步骤：
8.构造分数阶lorenz混沌系统，并产生三个混沌序列；
9.采用任意两个所述混沌序列对待加密图像p的像素位置进行置乱处理；
10.取三个所述混沌序列中的片段组合对置乱后的图像像素值进行混沌加密。
11.优选地，所述分数阶lorenz混沌系统为：
12.13.式中，α为系统阶数，a,b,c为控制参数，x,y,z为系统的三个混沌序列，t为时间。
14.优选地，所述分数阶lorenz混沌系统的构造基于整数阶lorenz混沌系统，所述整数阶lorenz混沌系统的构造过程为：
15.原始lorenz系统如下所示，
[0016][0017]
将原始lorenz系统第二个非线性方程中的y删除，用x2将第三个非线性方程的xy进行置换，得到如下式的整数阶lorenz混沌系统：
[0018][0019]
当α＝1时，所述分数阶lorenz混沌系统等同于整数阶lorenz混沌系统。
[0020]
优选地，所述对待加密图像p的像素位置进行置乱处理的具体处理过程包括：
[0021]
设待加密图像p的大小为m
’×
n’，其中m’为行数，n’为列数；
[0022]
置乱图像的过程中，随机的选择分数阶lorenz混沌系统得到的三个混沌序列中的两个，其中一个序列截取的长度为m，记作序列x1；另一个序列截取的长度为n，记作序列x2；
[0023]
对x1进行从小到大的排序得到序列a，同时记录序列a中元素在x1中的位置得到r，r＝{ri,i＝1,2,.....m}，同理对x2进行排序得到序列c，c＝{ci,i＝1,2,.....n}；
[0024]
将待加密图像p采用下式将r和c序列进行行列置乱，生成置乱后的图像p
rc
；
[0025]
p
rc
(i,j)＝p(ri,cj)
[0026]
从上式中可知，待加密图像p的第ri行和第cj列与置乱后的图像p
rc
的第i行和第j列呈一一对应关系。
[0027]
优选地，所述对置乱后的图像像素值进行混沌加密的具体处理过程包括：
[0028]
在对待加密图像p完成行列位置的置乱后，将置乱后的图像p
rc
的像素值替换成混沌系统产生的序列；长度都为m’*n’/3的3个混沌序列利用混沌系统产生，并做如下离散化处理：
[0029]hi
＝mod((|xi|-floor(|xi|))
×
10
14
,256)；i＝1,2,3
[0030]
式中,hi指的是离散化后的序列，xi指的是分数阶lorenz混沌系统产生的其中一个混沌序列，且长度为m’*n’/3；
[0031]
通过上述公式将混沌序列改变成整数序列，取值范围为[0,255]，按顺序将这三个整数序列连接在一起，形成整数密钥序列b，长度为m’*n’，即b＝{h1,h2,h3}；
[0032]
根据加密后的图像像素序列的变化原则，利用整数密钥序列b对置乱后的图像p
rc
进行像素变换；
[0033][0034]
上式中bj指的是总混沌密钥序列，cj为加密后的图像像素序列，且c0作为第一像素点是一个指定常数，p
jrc
为图像加密置乱后的像素序列。
[0035]
本发明的另一目的在于提供一种计算机可读存储介质，所述计算机可读存储介质存储有计算机程序，所述计算机程序被处理器执行时实现基于分数阶lorenz混沌系统的图像加密方法。
[0036]
本发明提供的基于分数阶lorenz混沌系统的图像加密方法及存储介质具有以下有益效果：
[0037]
本发明提出了一种新的分数阶lorenz混沌系统，在利用新系统产生的混沌序列对对灰度图像进行加密，通过分析可知分数阶新系统在图像加密、通信保密等相关领域的应用更具有优势，具有更为复杂的动力学特性、更强的伪随机性和不可预测性、强的抗攻击性及更大的参数空间和更高的安全性。
附图说明
[0038]
为了更清楚地说明本发明实施例及其设计方案，下面将对本实施例所需的附图作简单地介绍。下面描述中的附图仅仅是本发明的部分实施例，对于本领域普通技术人员来说，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
[0039]
图1为本发明实施例1的基于分数阶lorenz混沌系统的图像加密方法的流程；
[0040]
图2为获得的混沌吸引子相位图的仿真图；
[0041]
图3为不同参数时获得的混沌吸引子相位图的仿真图；
[0042]
图4为新系统吸引子相位图；
[0043]
图5为混沌吸引子的空间相位图；
[0044]
图6为混沌序列自相关和互相关性的波形图；
[0045]
图7为基于基于分数阶lorenz混沌系统产生的混沌序列的图像加密图；
[0046]
图8为利用matlab软件对不同方向上任取1000对相邻像素进行仿真分析加密前图像的分布图；
[0047]
图9为利用matlab软件对不同方向上任取1000对相邻像素进行仿真分析加密后图像的分布图；
[0048]
图10为新的分数阶混沌系统加密后四个不同方向上的相邻像素共生二维直方图；
[0049]
图11为原始图像及错误密钥时的解密图像。
具体实施方式
[0050]
为了使本领域技术人员更好的理解本发明的技术方案并能予以实施，下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。
[0051]
实施例1
[0052]
本发明提供了一种基于分数阶lorenz混沌系统的图像加密方法，具体如图1所示，包括以下步骤：
[0053]
步骤1、构造分数阶lorenz混沌系统，并产生三个混沌序列；lorenz混沌系统是三维的，因此会产生三个混沌序列，给定初值后，利用龙格-库塔方法可产生序列。
[0054]
具体的，本实施例构造的分数阶lorenz混沌系统为：
[0055][0056]
式中，α为系统阶数，a,b,c为控制参数，x,y,z为系统的三个混沌序列(即状态变量)，t为时间，控制参数的选取会影响系统是否产生混沌行为。
[0057]
进一步地，本实施例中分数阶lorenz混沌系统的构造基于整数阶lorenz混沌系统，整数阶lorenz混沌系统的构造过程为：
[0058]
原始lorenz系统如公式(2)所示，
[0059][0060]
将原始lorenz系统第二个非线性方程中的y删除，用x2将第三个非线性方程的xy进行置换，可得到如公式(3)式的整数阶lorenz混沌系统：
[0061][0062]
当α＝1时，分数阶lorenz混沌系统等同于整数阶lorenz混沌系统。
[0063]
步骤2、采用任意两个混沌序列对待加密图像p的像素位置进行置乱处理，置乱像素位置是为了能够达到抵抗选择明文攻击的目的，在本发明中，置乱采用的方法是混沌序列，置乱过程具体包括：
[0064]
步骤2.1、设待加密图像p的大小为m
’×
n’，其中m’为行数，n’为列数；
[0065]
步骤2.2、置乱图像的过程中，随机的选择分数阶lorenz混沌系统得到的三个混沌序列中的两个(就是系统生成的x,y,z序列中的2个)，其中一个序列截取的长度为m，记作序列x1；另一个序列截取的长度为n，记作序列x2；本实施例中，m与m’的大小相同，n与n’的大小相同。
[0066]
步骤2.3、对x1进行从小到大的排序得到序列a，同时记录序列a中元素在x1中的位置得到r，r＝{ri,i＝1,2,.....m}，同理对x2进行排序得到序列c，c＝{ci,i＝1,2,.....n}。
[0067]
步骤2.4、将待加密图像p采用如下方程式(4)将r和c序列进行行列置乱，生成置乱后的图像p
rc
。
[0068]
p
rc
(i,j)＝p(ri,cj) (4)
[0069]
从(4)式中可以看出，待加密图像p的第ri行和第cj列与置乱后的图像p
rc
的第i行和第j列呈一一对应关系。
[0070]
步骤3、截取三个混沌序列中的片段组合对置乱后的图像像素值进行混沌加密，具
体包括：
[0071]
步骤3.1、在对待加密图像p完成行列位置的置乱后，可将置乱后的图像p
rc
的像素值替换成混沌系统产生的序列；长度都为m’*n’/3的3个混沌序列可利用混沌系统产生，并做如下离散化处理：(整个图像有m’*n’个像素点，每个序列取m’*n’/3的长度，三个序列合起来长度为m’*n’)
[0072]hi
＝mod((|xi|-floor(|xi|))
×
10
14
,256)；i＝1,2,3
ꢀꢀꢀꢀ
(5)
[0073]
式中,hi指的是离散化后的序列，xi指的是分数阶lorenz混沌系统产生的其中一个混沌序列，且长度为m’*n’/3。
[0074]
步骤3.2、通过公式(5)将混沌序列改变成整数序列，取值范围为[0,255]，按顺序将这三个整数序列连接在一起，形成整数密钥序列b，长度为m’*n’，即b＝{h1,h2,h3}。
[0075]
步骤3.3、根据公式(6)的变化原则，利用整数密钥序列b对置乱后的图像p
rc
进行像素变换。
[0076][0077]
公式(9)中bj指的是总混沌密钥序列，cj为加密后的图像像素序列，且c0作为第一像素点是一个指定常数，p
jrc
为图像加密置乱后的像素序列，对图像像素的混沌加密可按照上述的方法来实现。
[0078]
本实施例还提供一种计算机可读存储介质，计算机可读存储介质存储有计算机程序，计算机程序被处理器执行时实现基于分数阶lorenz混沌系统的图像加密方法。
[0079]
下面，对分数阶lorenz混沌系统的获取过程做进一步的说明。
[0080]
首先，本发明构造新了的高性能整数阶lorenz混沌系统，将原lorenz系统第二个非线性方程中的y删除，用x2将第三个非线性方程的xy进行置换，可得到如(2)式的系统：
[0081][0082]
当a＝20,b＝9,c＝25,d＝15时,le1＝7.0661，le2＝0，le3＝-36.0523分别为该系统的lyapunov指数。将该系统和原lorenz系统的lyapunov指数进行比较，发现该系统的lyapunov指数最大正值更大，具有更加复杂的混沌行为。利用matlab软件对两个系统进行仿真，设定初值为(1,1,1)，图2和图3是获得的混沌吸引子相位图的仿真图。
[0083]
图2在a＝10，b＝28，c＝1，d＝8/3时原lorenz系统吸引子相图(a)x-y平面；(b)x-z平面；(c)y-z平面；(d)x-y-z。
[0084]
图3在a＝20，b＝9，c＝2，d＝15时整数阶lorenz混沌系统吸引子相图(a)x-y平面；(b)x-z平面；(c)y-z平面；(d)x-y-z。
[0085]
从图3所示的仿真结果来看，本发明提出的系统的混沌吸引子具有复杂的折叠和拉伸轨线，吸附性较强，说明该系统的混沌状态较为明显。
[0086]
在整数阶lorenz混沌系统的基础上，本发明提出了改进的分数阶系统，即分数阶lorenz混沌系统，改进的分数阶系统可描述如下：
[0087][0088]
(1)式中α为系统阶数，当α＝1时该系统就等同于整数阶改进系统,可以看出该分数阶系统相比于现有的系统，系统方程结构简单，控制灵活，为了叙述方便，将该系统简称为新系统。为了更深入的研究新系统，需对其动力学特性进行探讨。
[0089]
下面，对分数阶lorenz混沌系统的耗散性、平衡点稳定性、lyapunov指数和维数、混沌序列相关性、混沌系统复杂度进行分析：
[0090]
1、耗散性
[0091]
当控制参数a＝9,b＝3,c＝6,d＝21时求系统耗散性，因为所以新系统是耗散的，表明新系统在选取上述控制参数时的状态变化是有界的，并以指数形式dv/dt＝e-12
收敛到零，因此系统运动轨线被限制在一个体积为零的集合上，说明了系统吸引子的存在性。
[0092]
2、平衡点稳定性
[0093]
根据平衡点所对应的稳定性分析新系统的平衡点，使新系统的左边等于零，即：
[0094][0095]
得到(0,0,0),分别是新系统的平衡点。本发明提出的新系统的jacobian矩阵为：
[0096][0097]
根据式(8)，其特征方程为：
[0098]
λ3 (a b)λ2 (ab ad(z-c))λ 2x2ad abd(z-c)＝0当a＝9,b＝3,c＝6,d＝21时,s1＝(0,0,0)，s2＝(4.24,0.2,6)和s3＝(-4.24,-0.2,6)分别是新系统的三个平衡点。将s1＝(0,0,0)代入上述特征方程中求得三个特征根(-38.4743,29.4743,-3)，求出的特征根有正有负，表明s1平衡点是1类不稳定鞍点。同理可求得s2和s3的特征根分别为(-23.3289,5.6645 16.0999i,5.6645-16.0999i)。非零平衡点s2和s3为2类的不稳定鞍点，其中不稳定特征值为λ＝5.6645
±
16.0999i。根据分数阶系统存在混沌的必要条件，即式(4)，本发明构造的分数阶新系统存在混沌的必要条件为容易得到当α≥0.795，分数阶新系统处于混沌状态。
[0099]
根据现有技术中求解分数阶微分方程的方法，对新系统通过matlab软件进行仿真。图(3)给出了当a＝9,b＝3,c＝6,d＝21时，α＝0.9,该分数阶新系统的相位图。
[0100]
图4为a＝9,b＝3,c＝6,d＝21时新系统吸引子相位图，(a)为x-y平面；(b)为x-z平面；(c)为y-z平面；(d)为x-y-z。
[0101]
由图4中可以看出,新系统的轨线以初始状态为出发点，围绕两个吸引子在相空间呈来回游走相互缠绕形态,最终以两个吸引子为中心形成两个窝圈，而这条轨线永不终止,没有尽头,这意味着系统的运动是无周期的。
[0102]
图5给出了当a＝9,b＝3,c＝6,d＝21时，α＝0.9，α＝0.96,α＝0.85,α＝0.795时的混沌吸引子的空间相位图，进一步验证了当α≥0.795，分数阶新系统处于混沌状态。
[0103]
图5在a＝9,b＝3,c＝6,d＝21时不同α阶新系统吸引子空间相位图(a)α＝0.795；(b)α＝0.85；(c)α＝0.9；(d)α＝0.96。
[0104]
3、lyapunov指数和维数
[0105]
lyapunov指数是表征lorenz混沌系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率，是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标。(lyapunov指数，混沌系统的基本特点就是系统对初始值的极端敏感性，两个相差无几的初值所产生的轨迹，随着时间的推移按指数方式分离，lyapunov指数就是定量的描述这一现象的量。lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌,可以从最大lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来:一个正的lyapunov指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。)
[0106]
为了进一步研究本发明分数阶新系统的动力学行为，以现有系统中提到的分数阶lorenz系统作为对比系统，利用基于qr法的分数阶系统lyapunov指数的改进算法，计算当α＝0.9时两个系统的lyapunov指数和维数，具体数据如表1所示。
[0107]
表1混沌系统的lyapunov指数和维数
[0108][0109][0110]
从表1可以看出，本发明改进的新混沌系统的三个lyapunov指数中，一个为正，一个为负，一个为零，且它们的和小于零，说明该系统是混沌系统，存在混沌因子，维数是分数也证明该系统存在混沌现象；新系统的正lyapunov指数和维数都比现有系统中的分数阶lorenz系统大，混沌优势明显。
[0111]
4、混沌序列相关性分析
[0112]
混沌序列的相关性会对在实际中应用的性能有直接的影响。分析方法描述为：首先给定两个初始值x0和y0，x1和x2是混沌序列生成的不同两个序列，设模拟序列x的均值为
其次根据公式(9)，计算出新系统的混沌序列自相关和互相关性的波形如图6所示。
[0113][0114]
图6为新系统产生混沌序列的相关性，(a)为自相关；(b)为互相关。
[0115]
由图6的结果可以看出新系统产生的随机序列相关性好。为了更加清晰的比较新系统和现有系统的差异，本发明分别利用两个系统生成的长度为500的随机序列，计算其互相关及自相关的最大值、最小值以及波动平均值，结果如表2所示，其中自相关的最大值是除整数1以外的最大值。
[0116]
表2混沌系统的自相关和互相关值
[0117][0118]
从表2可知，两个混沌系统都能产生具有良好自相关性和互相关性的随机序列；分析其最大值、最小值和波动平均值可知本发明提出的新系统能够产生相关特征更加稳定、波动更小的随机序列，更有利于在扩频通信和图像加密等领域的应用需求。
[0119]
5、混沌系统复杂度分析
[0120]
c0复杂度是基于分析随机序列中无规律数值比例来说明序列复杂程度的指标。算法的核心思想是：先将随机序列分解为不规则和规则的两部分，然后在给定长度为n的时间序列{x(n),n＝0,1,2...,n-1}进行离散傅里叶变换：
[0121][0122]
其中k＝0,1,...,n-1，设{x(k),k＝0,1,2...,n-1}的均方值为：
[0123][0124]
引入参数r,保留超过均方值r倍的频谱，而将其余部分设置为零，即：
[0125][0126]
对上式进行傅里叶逆变换有：
[0127][0128]
其中n＝0,1,...,n-1，定义c0复杂度为：
[0129][0130]
可见基于fft变换的c0复杂度算法是去除信号变换域中的规则部分、保留其非规则部分，序列中非规则部分比例越大，其对应时域信号就越接近随机序列，复杂度就越大。
[0131]
按照上述方法，计算两个系统的c0复杂度，取参数r＝8，混沌序列长度为n＝2000,
结果如表3所示。
[0132]
表3混沌系统产生随机序列的c0复杂度
[0133][0134]
从表3来看，本发明建议的分数阶新系统产生的混沌序列具有更大的c0复杂度。通过比较两个系统的lyapunov指数、维数，产生序列相关性以及c0复杂度都可得到相同的结论说明本发明提出的新系统具有更加明显的混沌优势。
[0135]
下面，对灰度图像的加密进行测试
[0136]
本发明仿真测试的对象是lena灰度图像，大小为256
×
256，本发明利用新系统产生的混沌序列来实现加密，其结果如图7所示。
[0137]
图7为基于新系统产生的混沌序列的图像加密图，图(a)为原始图像；(b)为置乱图像；(c)为加密图像；(d)为解密图像；(e)为原始图像直方图；(f)为加密图像直方图。
[0138]
对比图7(a)的原始图像和图7(b)中所示的置乱图像，本发明能发现，置乱图像中虽然像素点的位置变化非常大，但是仅是相邻像素点的相关性被破环了，而像素值的大小未变，破译起来相对容易，为了增加破译的难度，就必须改变置乱后像素值的大小。
[0139]
对比图7(a)、图7(c)所示的原始图像和加密图像，加密图像的像素点位置、大小均发生了改变。分析图7(e)和图7(f)所示的x，加密前和加密后直方图，其灰度统计直方图特性也发生了改变，加密结果能有效的抵抗统计攻击。
[0140]
6、加密图像的相关性分析
[0141]
为了研究本发明提出的混沌系统的加密效果，对比分析加密前后相邻像素的额相关性及统计特征具有重要意义。首先利用新的分数阶混沌系统产生的随机序列对lena图像进行置乱加密，然后利用matlab软件对不同方向上任取1000对相邻像素进行仿真分析加密前后图像的分布图，结果如图8和图9所示。
[0142]
图8为初始图像的相邻像素分布图，(a)为垂直方向；(b)为水平方向；(c)为对角方向。图9新系统加密后的图像相邻像素分布图，(a)为垂直方向；(b)为水平方向；(c)为对角方向。图像的像素分布从图8、图9可以看出加密后的分布更为均匀和分散，具有明显的加密效果。
[0143]
采用相邻像素联合共生二维直方图对加密图像像素的空间分布特性进行深入分析，图10是新的分数阶混沌系统加密后四个不同方向上的相邻像素共生二维直方图。表4是给出了采用新的混沌加密系统和原系统加密后图像不同方向相邻像素的相关系数和二维直方图熵，能够直观的分析加密图像相邻像素空间的分布均匀程度。图10利用新系统加密的二维直方图(a)0
°
方向；(b)45
°
方向；(c)90
°
方向；(d)135
°
方向。
[0144]
表4加密后图像的四个方向图熵和相关性系数
[0145][0146]
从表4中可看出新的分数阶混沌系统和现有系统加密后的图像具有相似的相关系数和二维直方图熵，表明新系统加密图像的相邻像素有良好的随机性，且空间分布呈均匀状态。
[0147]
7、差分攻击
[0148]
对于图像加密算法，像素数变化率(r
npc
)和归一化平均变化强度(i
uac
)是衡量其抵抗差分攻击的重要指标。在原始图像中，随机的改变某个像素点的值，r
npc
表示加密图像的像素值改变后的所占比例，i
uac
表示加密图像的像素值改变后的变化程度。对于加密算法来说，若抵抗差分攻击的能力越强，则像素值的改变可导致加密图像引起很大的变化。
[0149]
假设仅有一个像素值不同的两幅图像，加密后的图像分别是图像c和c'，c(i，j)和c'(i，j)分别是位置(i，j)处的像素值。像素数变化率如式10所示、归一化平均变化强度指标为如式11所示
[0150][0151][0152]
其中
[0153]
原始lena图像(1,23)处的像素值为148，将其改为149，采用现有系统和新系统两种混沌系统对改变前后的图像进行加密，表5给出了加密图像结果所对应的r
npc
和i
uac
，可以看出，密文的明显变化是由于明文微小的变化所引起的，且用新系统加密后的值更大，说明新系统在图像加密中具有更强的抗差分攻击能力，具备更好的加密性能。
[0154]
表5加密图像的r
npc
和i
uac
指标值
[0155][0156]
8、密钥敏感性测试
[0157]
密钥敏感性也是密码学中的一个基本特性，加密算法越好对密钥的敏感性越高。本发明将f0＝(1,1,1)作为初始参数利用新的分数阶混沌系统生成的密钥序列进行图像加密，在解密时利用f1＝(1,1.000000001,1)作为初始参数通过新混沌系统生成密钥序列进行解密。图11为原始图像及错误密钥时的解密图像，其中图(a)为原始图像；(b)为错误密钥解密图像。可以发现当解密时，一旦密钥有微许差错，就无法获得正确的解密图像，由此可以看出再解密时，该算法对密钥的敏感性较高。
[0158]
本发明在前期研究的改进整数阶lorenz混沌系统的基础上，对其分数阶系统进行数值仿真，构造新的分数阶lorenz混沌系统，研究其lyapunov指数、空间相位图以及系统动力学行为。在图像加密的过程中应用新构造的分数阶混沌系统，通过对图像像素点的置乱和像素值的改变，实现图像的加密。验证了新分数阶系统的混沌特性。
[0159]
本发明在研究分数阶微积分的基础上，将一种结构简单的改进的高性能lorenz系统从整数阶推广到分数阶，得到了一种新的分数阶lorenz混沌系统。通过深入研究新系统的耗散性、对称性、平衡点稳定性，并对比原分数阶lorenz系统的lyapunov指数和维数和产生序列的相关性和c0复杂度等动力学特性，本发明提出的的新型分数阶系统方程结构简单，易于电路实现，正lyapunov指数相对更大、更好序列相关性和c0复杂度，说明本发明提出的新系统是一个更加高效的分数阶lorenz混沌系统。在利用新系统产生的混沌序列对对灰度图像加密时，分析加密结果的图像相关性、差分攻击性和密匙敏感性都体现出更优的相关特性，表明了本发明提出的分数阶新系统在图像加密、通信保密等相关领域的应用更具有优势。
[0160]
以上所述实施例仅为本发明较佳的具体实施方式，本发明的保护范围不限于此，任何熟悉本领域的技术人员在本发明披露的技术范围内，可显而易见地得到的技术方案的简单变化或等效替换，均属于本发明的保护范围。