一种低噪声的多维量子傅里叶变换快速实现方法及系统

本发明属于量子计算与量子信息处理，具体涉及一种低噪声的多维量子傅里叶变换快速实现方法及系统。

背景技术：

1、傅里叶变换是信号处理、通信、图像分析、计算电磁学、晶体学、材料结构分析和偏微分方程谱方法中的基础工具。对于二维矩阵和多维张量，完整傅里叶变换能够揭示空间频率、周期结构、波动模态和多自由度耦合特征。然而，随着维度和网格规模增大，经典直接多维离散傅里叶变换的计算量迅速增长；即使采用经典快速傅里叶变换，在显式处理全部输入和全部输出频域系数时仍然受到数据规模、存储带宽和并行通信开销限制。

2、量子傅里叶变换是量子计算中的核心基础模块，广泛用于shor算法、量子相位估计、量子模拟、量子线性方程组算法以及若干量子谱分析任务。标准量子傅里叶变换能够在量子态振幅层面对傅里叶变换进行相干处理，理论上具有较低门复杂度。但在二维及多维场景中，现有方法通常存在以下不足。

3、第一，现有多维量子傅里叶变换实现方式常默认输入态满足低秩性、可写成若干一维态的张量积，或者默认输入数据能够低成本地制备为量子振幅态。对于任意稠密二维矩阵或多维张量，该假设往往不成立，复杂振幅编码态制备可能产生高昂量子门开销（解决d维qft问题时，若每个方向的基向量个数为,那么初态制备所需的量子门复杂度达到），随之形成巨大的噪声暴露。

4、第二，现有许多研究主要优化标准量子傅里叶变换本身的门数、受控相位门数量、线路深度或硬件连接映射，但仍沿用“先把输入压入量子态，再执行对应变换”的接口逻辑。该类技术对于标准一维量子傅里叶变换很有效，但不能直接解决任意多维输入矩阵的状态制备和多方向重复调用问题，该重复调用会带来较深量子电路、较大控制开销和更严重的噪声累积。

5、因此，需要一种适合二维及多维量子傅里叶变换的量子电路方法，使任意矩阵或张量无需满足特殊可分离结构即可进入统一处理流程，同时减少重复标准量子傅里叶变换调用，并以量子硬件友好的相位门替代复杂置换门。本发明即针对上述问题提出。

技术实现思路

1、本发明的目的在于提供一种低噪声的多维量子傅里叶变换快速实现方法及系统，以解决现有多维量子傅里叶变换对输入结构依赖强、任意稠密输入状态制备成本高、重复标准一维量子傅里叶变换调用多以及置换恢复线路复杂的问题。

2、实现本发明目的的技术解决方案为：第一方面，本发明提供一种低噪声的多维量子傅里叶变换快速实现方法，包括如下步骤：

3、第一步，获取待进行多维量子傅里叶变换的输入数据，所述输入数据为二维系数矩阵或多维系数张量；

4、第二步，在经典预处理层将所述输入数据分解为矩阵单位或张量单位的线性组合，并保存各矩阵单位或张量单位对应的系数；

5、第三步，对所述输入数据的每一个坐标方向建立对应的一维希尔伯特空间，将该方向的计算基向量按照基编号中最高二次幂因子的指数进行划分为若干等价类，并为各等价类选取代表元；

6、第四步，在量子计算层制备每一坐标方向的各等价类代表元的基态向量并对其执行标准一维量子傅里叶变换，得到代表元向量的一维量子傅里叶变换结果；

7、第五步，对同一等价类中的非代表元向量，通过对角相位补偿算子作用于对应代表元的一维量子傅里叶变换结果，恢复该非代表元的一维量子傅里叶变换结果；

8、第六步，按照各坐标方向的一维量子傅里叶变换结果构造矩阵单位或张量单位经过多维量子傅里叶变换后的结果；

9、第七步，在经典重构层按照第二步保存的系数对各矩阵单位或张量单位的多维量子傅里叶变换结果进行线性叠加，得到目标频域矩阵、目标频域张量、目标频域系数子集或谱峰信息。

10、进一步的，所述二维系数矩阵  被分解为

11、

12、其中，为矩阵a的规模，表示行方向长度，表示列方向长度；

13、矩阵  中第 行第  列的元素为 ；

14、 为矩阵单位，第  行第 列的元素为 ，其余元素均为 ，表示为；

15、表示一个维列向量，仅有第u个元素为1，其余元素为零；

16、表示一个维列向量，仅有第v个元素为1，其余元素为零；

17、为的对偶向量，计算上即为的共轭转置；

18、所述分解不要求  具有低秩性、可分离性或可表示为两个低维向量的张量积；同样向多维推广，对于输入的  维系数张量

19、；

20、分别生成i方向的一维量子傅里叶变换结果集合 ，，再对各张量单位取相应方向结果的张量积并按原始系数累加，输出多维频域系数张量，第 个坐标方向长度为 ；为i方向的一维量子傅里叶变换结果集合；表示d维张量中在各方向编号为的系数；表示一个维向量，仅有第个元素为1，其余元素为零；表示对于有个基向量的i方向的基向量的一维qft结果。

21、进一步的，对于长度  的一维方向，即该方向有n个基向量，计算基编号 划分到等价类

22、，

23、为满足的自然数，并设置零类 ，其中  的代表元为 ， 的代表元为 ；

24、同一等价类  内的计算基向量在经过一维量子傅里叶变换的求和式中若固定频域基向量顺序为自然数排列，则基向量前的相位具有相同周期，其最小正周期只与  有关而与奇数因子  无关，由此使非代表元的一维量子傅里叶变换结果能够由对应代表元结果恢复。

25、进一步的，所述对于等价类中的向量，其一维qft结果可以通过对等价类中代表元基向量的一维qft的结果进行对角相位补偿得到，即对代表元基向量的一维qft的结果进行对角相位补偿可以得到非代表元 经过一维qft的结果，其中对角相位补偿算子为

26、；

27、其满足

28、；

29、为将代表元基向量一维qft的结果变换为 经过一维qft的结果的酉算子，q为奇数；表示负指数约定下的对n个基向量的一维量子傅里叶变换算子；为简单基向量，除了第个元素为1，其余元素均为0；为次单位根；

30、将频域索引  写为二进制形式  （其中表示k写作二进制数后第r位上的值，有为0或1）后，所述对角相位补偿算子分解为单量子比特相位门的张量积

31、；

32、所述对角相位补偿电路根据量子硬件门集、连接拓扑、噪声模型和容错阈值进行编译优化，包括省略恒等相位门、合并相邻相位门、截断小角度相位门和缓存相位角参数。

33、当对应相位角为  的整数倍或满足预设近似阈值时，省略相应相位门。

34、进一步的，本发明方法中涉及到的量子电路包括代表元初态制备子电路、标准一维量子傅里叶变换子电路和对角相位补偿子电路；其中代表元制备子电路从初态 出发，对代表元  至多施加一个量子比特翻转门；标准一维量子傅里叶变换子电路仅对代表元向量集合执行；对角相位补偿子电路由单量子比特相位门组成，用于恢复非代表元向量经过一维量子傅里叶变换的结果。

35、进一步的，对于二维系数矩阵 ，在二维系数张量表示下，矩阵单位  的二维量子傅里叶变换结果构造为

36、；

37、目标频域矩阵b构造为

38、；

39、b为待求的矩阵a经过二维qft的频域矩阵；为矩阵单位  的二维量子傅里叶变换结果；

40、在矩阵算符表示下，根据坐标方向的正负指数约定，将上述转置替换为共轭转置或等效的行列方向变换。

41、进一步的，当至少一个坐标方向长度不为二的整数次幂时，在对应方向采用零元素嵌入、量子bluestein子程序或任意长度量子傅里叶变换子程序生成该方向的一维量子傅里叶变换结果集合，且对于多个坐标方向具有相同长度或可嵌入到相同二幂长度空间的情形，复用同一方向的等价类划分结果、代表元量子傅里叶变换电路结构和相位角参数表，以减少多维情形下重复线路编译和重复参数计算。

42、进一步的，所述方法通过保留输入系数于经典层、避免任意稠密输入整体振幅态制备、减少重复标准量子傅里叶变换子电路执行次数以及以对角相位门替代一般频域置换综合，降低量子门资源消耗、线路深度、状态制备压力和噪声暴露；所述经典重构层可输出完整频域矩阵或频域张量，也可只输出指定频点、指定频域区域、频谱峰值、阈值筛选结果或供后续量子算法使用的频域接口数据。

43、第二方面，本发明提供一种实现第一方面所述方法的多维量子傅里叶变换系统，包括经典预处理模块、等价类索引模块、量子基变换模块、相位补偿模块、张量积组装模块、经典重构模块和应用接口模块；所述经典预处理模块用于执行矩阵单位或张量单位分解并保存系数；所述等价类索引模块用于生成代表元集合和相位角表；所述量子基变换模块用于制备代表元计算基态并执行标准一维量子傅里叶变换；所述相位补偿模块用于对非代表元执行对角相位补偿；所述张量积组装模块用于形成各单位元的多维变换结果；所述经典重构模块用于输出目标频域矩阵、频域张量或指定频域系数；所述应用接口模块用于向量子相位估计、量子模拟、量子线性代数、量子图像处理或多维科学计算任务提供频域输入。

44、第三方面，本发明提供一种量子计算装置，包括经典控制器、量子处理器和存储器，所述存储器中存储有用于使所述经典控制器和量子处理器协同执行第一方面所述方法的指令；其中量子处理器执行代表元标准量子傅里叶变换和对角相位补偿门，经典控制器执行输入分解、等价类索引计算、相位角计算、量子线路调度、结果缓存和输出重构。

45、本发明与现有技术相比，其显著优点为：

46、（1）有待进行多维傅里叶变换的任意二维矩阵或多维张量无需满足低秩性、可分离性或特殊张量积结构均可被统一处理；

47、（2）算法总体的量子门复杂度为，利用创新型一维qft方法，对每个方向只需执行  级代表元标准qft调用，再通过对角相位补偿恢复其余基向量的qft结果；

48、（3）将多维qft实现为“经典单位分解、量子方向基变换、相位复用恢复、经典线性重构”的新型量子-经典接口，降低量子门资源消耗、线路深度和噪声暴露；

49、（4）基于对各方向基向量都需要进行一维qft需要提出的创新型一维qft方法有很强的多维可拓展性，总量子门复杂度与维数呈线性关系，尤其当多个方向基向量个数相同或可嵌入到含有相同二幂个基向量的空间时，利用有限维希尔伯特空间同构的性质，可复用同一方向的等价类划分、代表元线路和相位角参数。