一种基于随机化特征值分解的非高斯随机过程模拟方法

本发明涉及结构工程，特别是一种基于随机化特征值分解的非高斯随机过程模拟方法。

背景技术：

1、非平稳非高斯随机过程的准确模拟，是结构工程、风工程、海洋工程及地震工程等领域中结构动力可靠性分析、极值响应预测与疲劳损伤评估的重要基础。实际工程环境中广泛存在的脉动风速、强震地面运动、极端海浪载荷及随机交通荷载等动态激励，通常同时呈现出两类显著的非经典统计特征：其一是非平稳性，表现为过程的均值、方差及功率谱密度随时间发生明显漂移；其二是非高斯性，即其瞬时幅值的概率密度函数显著偏离正态分布。如何高效且精确地生成同时匹配目标时变相关结构与高阶概率分布特征的随机过程样本，已成为上述工程领域数值模拟研究中的一项关键性基础课题。

2、谱表示法（spectral representation method,srm）是模拟非平稳随机过程的经典途径之一，其核心思想在于借助演变功率谱密度（evolved power spectral density,epsd）叠加具有随机相位的简谐波分量，以构造潜在高斯过程样本，进而通过概率变换实现非高斯映射。然而，该方法的工程适用性受到两个固有难题的制约：其一，对于给定的非平稳自协方差函数，可存在多个与之相容的演变谱函数族，其具体形式高度依赖于调制函数的选取，缺乏唯一性判据；其二，演变谱的模型参数通常需从有限长度的实测样本中辨识，受采样随机性和数据长度限制，参数估计误差往往显著影响后续模拟的保谱精度。上述双重不确定性使得谱表示法在非平稳非高斯场景中的鲁棒性和精度面临严峻挑战。

3、karhunen-loève（k-l）展开法为规避演变谱估计困难提供了另一条有效路径。该方法不依赖于谱密度函数，而是直接对随机过程的目标协方差函数进行积分算子分解，通过求解第二类fredholm积分方程获得标准正交特征函数与对应特征值，进而实现随机过程在均方意义下的最优正交展开。相较于谱表示法，k-l展开不仅具有明确的收敛最优性，且能利用更少的展开项数捕获过程的绝大部分能量，数值实现更为直接稳定。然而，该方法的真正应用瓶颈在于：当模拟时间历程较长、采样步长较密或面临多变量随机场扩展时，离散化后形成的协方差矩阵规模极其庞大，对其执行经典的特征值分解（eigenvaluedecomposition,evd）将导致计算复杂度呈三次方激增，且伴随极高的内存占用，严重制约了k-l展开法在大规模、高维度工程问题中的实际部署效率。因此，在充分保留k-l方法理论优势的前提下，如何发展面向大型协方差矩阵的快速、低秩且高保真特征分解策略，已成为当前非高斯随机过程高效模拟研究中亟需突破的核心技术瓶颈。

技术实现思路

1、本发明的目的是提出一种基于随机化特征值分解的非高斯随机过程模拟方法，通过将大规模协方差矩阵的特征分解压缩至低维子空间，在精准模拟非平稳非高斯随机过程的前提下，显著降低计算耗时与内存开销，提升工程的适用性。

2、为实现上述目的，本发明提出了一种基于随机化特征值分解的非高斯随机过程模拟方法，具体步骤如下：

3、步骤s1：定义随机过程的目标协方差函数及相应的第二类fredholm积分方程，利用数值积分方法对积分方程进行数值离散，得到协方差矩阵b；

4、步骤s2、构造高斯随机矩阵对协方差矩阵b进行随机投影，以构造随机采样矩阵z，并对随机采样矩阵z进行qr分解，获取矩阵b的主特征子空间对应的正交基矩阵q；

5、步骤s3、利用正交基矩阵q，将矩阵b的特征信息压缩至低维子矩阵e中，计算矩阵e的特征值与特征向量，并将分解结果映射回原始空间，获取随机过程k-l展开所需的主特征对；

6、步骤s4、模拟生成m×n个均值为零的高斯随机变量；

7、步骤s5、利用k-l展开式生成随机过程的

n个初始样本，估计当前样本的边缘累积分布函数，利用逆变换法对初始样本进行分布修正以逼近目标概率分布，并根据修正后的样本更新高斯随机变量；

8、步骤s6、重复执行步骤s5，直至模拟样本的经验分布函数满足预设的收敛条件，输出最终的随机过程模拟样本。

9、优选的，步骤s1中，具体步骤如下：

10、步骤s11、定义随机过程的目标协方差函数，构造相应的第二类fredholm积分方程，公式如下：

11、；

12、其中，为模拟总时长，为第

i阶特征函数，为第

i阶特征值，，为k-l展开的项数，

t、

s为时间自变量；

13、步骤s12、对积分方程两侧进行先离散后数值积分，获得离散积分方程，公式如下：

14、；

15、其中，为时间步长，为第

k个时间离散点，为第

l个时间离散点，为离散点数；

16、步骤s13、将离散积分方程转化成矩阵形式，公式如下：

17、；

18、其中，，为离散化后得到的

l×

l对称半正定协方差矩阵，其元素为，为b的第

i个

l维特征向量，其第

k个元素为。

19、优选的，步骤s2中，具体步骤如下：

20、步骤s21、构造一个标准高斯随机矩阵ω∈

l×(

m+

p)，其中，

p为过采样参数；对矩阵b先后进行幂迭代和随机投影，构造随机采样矩阵z，公式如下：

21、；

22、其中，t为矩阵转置算子；

23、步骤s22、对随机采样矩阵z进行qr分解，获取矩阵b主特征子空间对应的正交基矩阵q，公式如下：

24、；

25、其中，r∈(

m+

p)×(

m+

p)为上三角矩阵，q∈

l×(

m+

p)为正交基矩阵。

26、优选的，步骤s3中，具体步骤如下：

27、步骤s31、使用正交矩阵

q，将矩阵b特征信息压缩至低维子矩阵e中，公式如下：

28、；

29、步骤s32、将矩阵e的特征值分解，公式如下：

30、；

31、其中，u∈(

m+

p)×(

m+

p)、σ∈(

m+

p)×(

m+

p)分别表示矩阵e的特征值矩阵和特征函数矩阵；

32、步骤s33、将矩阵e的特征分解结果映射回原空间，获取矩阵b的截断特征值矩阵和截断特征向量矩阵v，公式如下：

33、；

34、其中，矩阵b的截断特征值矩阵矩阵e的相同，而矩阵b的截断特征函数矩阵v计算如下：

35、；

36、在k-l模拟中，保留的前

m个对角元素和对应v的前

m列，包含了原始特征值问题所需的特征值和特征函数。

37、优选的，步骤s4中，高斯随机变量满足如下正交条件：

38、；

39、其中，

j=1,2,…,

n；为数学期望，为克罗内克函数。

40、优选的，步骤s5中，具体步骤如下：

41、步骤s51、使用k-l分解方法生成随机过程的

n个样本，公式如下：

42、；

43、其中，为样本函数；

44、步骤s52、基于生成的每个样本函数，计算边缘累积分布，公式如下：

45、；

46、其中，为经验分布函数，

x为分布函数的自变量；为指示函数，如果事件发生，则等于1，否则等于0；

47、步骤s53、由于经验分布函数最初偏离目标，对每个样本进行转换以匹配目标分布函数，公式如下：

48、；

49、其中，为经变换后的第

j个样本函数，为随机过程的目标边缘累积分布函数，而为的逆函数，从而随机变量更新为：

50、；

51、其中，是变换样本

z(

t)的总体平均值；

52、步骤s54、对随机变量进行标准化和正交化，满足步骤s4中规定的正交条件。

53、优选的，步骤s6中，重复执行步骤s5，直至模拟样本的经验分布函数满足目标分布函数，输出最终的随机过程模拟样本：

54、。

55、因此，本发明提出了一种基于随机化特征值分解的非高斯随机过程模拟方法，其有益效果如下：

56、（1）本发明方法通过随机化特征值分解将大型协方差矩阵的特征值分解问题转化为低维矩阵的特征值分解问题，在保持主要k-l模态求解精度的同时，显著降低了计算耗时和内存需求。

57、（2）本发明方法通过引入幂迭代技术，能够增强随机子空间对主导特征空间的捕获能力，提高特征值和特征函数的近似精度，尤其适用于特征值衰减较慢的大规模协方差矩阵。

58、（3）本发明方法结合k-l展开和迭代分布匹配方法，不仅能够保持目标随机过程的协方差结构，而且能够精准再现其非高斯边缘分布特征，适用于非平稳非高斯随机过程的高效模拟。

59、下面通过附图和实施例，对本发明的技术方案做进一步的详细描述。