一种物理信息嵌入图神经网络求解偏微分方程的方法

本发明涉及计算方法，具体为一种物理信息嵌入图神经网络求解偏微分方程的方法。

背景技术：

1、偏微分方程（pde）是描述物理世界连续介质运动规律的核心数学工具，构成了工业仿真领域的基石。其求解技术直接决定了从航空航天、汽车制造，到芯片设计、能源装备等关键领域的设计水平与安全标准。具体而言：计算流体力学依赖纳维-斯托克斯方程，用于优化飞机机翼、高铁车身、风力叶片等的气动外形，传统仿真一个工况常需数十小时。

2、上述每一个领域都催生了成熟的数值仿真软件，年产值达百亿美元级别，任何对偏微分方程求解技术在通用性、计算效率上的突破，都将直接带来巨大的工程价值。

3、目前，求解偏微分方程：以进行物理场仿真的方法主要分为两大类：传统数值方法和基于人工智能的方法。对于传统方法传统，求解器的性能严重依赖一组手工设定的数值控制参数，而且同一套参数在不同工况下可能发散或收敛极慢，工程师需要通过大量试错才能找到合适值。这种手工调参方式不仅效率低下，而且严重限制了求解器在工业场景中跨工况自适应部署的能力，因此现在发展出了多种人工智能方法来弥补传统求解器的不足。基于人工智能的方法中，与本技术最接近的现有技术是物理信息神经网络（pinn）、神经算子方法（fno/deeponet）和纯数据驱动的图神经网络代理模型。这些方法均存在不足。

4、物理信息神经网络是一种使用全连接神经网络，通过将偏微分方程残差作为损失函数来求解pde的方法。其工作流程为：神经网络接收空间坐标(x,y)作为输入，输出该点的物理量预测值（如压力p、速度u）；然后，通过自动微分计算网络输出对输入的偏导数，构建pde残差项；最后，将该残差项与边界条件误差一同作为损失函数来训练网络。然而，这种方法存在以下不足：

5、（1）物理方程为软约束。物理方程以惩罚项形式加入损失函数，网络在训练过程中可能无法精确满足方程，尤其在处理强非线性问题或梯度较大的区域时训练难度显著增加。

6、（2）换工况需重新训练。当工况条件变化时，通常需要从头重新训练网络。

7、（3）推理方式为逐点计算。需在计算域内采样坐标点逐一推理以获取全场解。

8、（4）无收敛性保证。训练可能不收敛或收敛到错误解，用户无法预先知道。

9、神经算子方法使用神经网络学习从参数空间到解空间的映射（nn=算子），即学习一个函数g:输入参数→pde解。其工作流程为：首先使用传统数值求解器运行大量不同工况的仿真，生成海量的"参数-解"配对数据作为训练集；然后训练一个神经网络模型，使其预测的解与仿真标签之间的误差最小化。训练完成后，推理速度很快。但其存在以下不足：

10、（1）需要大量训练数据。通常需要预先求解的高保真参考解作为训练数据。对于复杂问题，生成训练数据的计算成本较高。

11、（2）模型参数量通常较大。

12、（3）预测结果可能违反质量守恒、动量守恒等基本物理定律。

13、数据驱动图网络代理模型该类方法以meshgraphnets为代表，其核心思想是将物理系统的网格映射为图结构，然后使用图神经网络（gnn）学习从当前状态到下一时刻状态的映射。其工作流程为：首先，需要使用传统数值求解器运行大量不同工况的仿真，生成海量的高保真仿真数据（即状态序列）作为训练标签；然后，训练一个gnn模型，使其预测的下一个时刻状态与仿真标签之间的误差最小化。该方法虽然推理速度快，但其存在以下缺点：

14、（1）通常需要运行大量高精度的传统仿真来生成训练数据，计算资源和时间开销较大。

15、（2）泛化能力受限。当遇到与训练数据分布不同的新工况时，模型预测可能偏离真实的物理规律。

16、（3）当模型预测错误时，缺乏回退到经典求解器的机制。

17、综上所述，所有上述方案均试图用神经网络"替代"经典求解器的某项功能（表示解、表示算子、表示迭代步骤、表示模拟器）。这一"替代"策略可能导致：

18、经典方法积累的收敛性保证和误差估计理论未能保留；

19、神经网络出错时缺少安全回退机制；

20、模型参数量通常较大且随问题规模增长；

21、跨pde类型和跨工况的通用性有待提升。

22、为了解决上述的问题，为此，本发明设计了一种物理信息嵌入图神经网络求解偏微分方程的方法。

技术实现思路

1、针对现有技术的不足，本发明提供了一种物理信息嵌入图神经网络求解偏微分方程的方法，其核心在于将物理控制方程，如雷诺方程、纳维-斯托克斯方程等的离散格式硬编码到图神经网络的消息传递过程中，并配合纯物理驱动的训练与在线微调机制，从根源上克服其他种类神经网络在求解偏微分方程时的缺陷；将传统数值迭代求解器的计算结构严格映射到图神经网络的计算图中解决上述的问题。

2、为实现以上目的，本发明通过以下技术方案予以实现：一种物理信息嵌入图神经网络求解偏微分方程的方法，神经网络不但保留传统数值迭代求解器的计算结构，还可以学习经典求解器的数值控制参数，而传统算法的数值控制参数通常依赖手动调节。传统迭代求解器的迭代格式为，其中为数值控制参数。本发明将固定参数替换为学习函数，，其中为局部数值状态特征向量，为紧凑多层感知机（mlp），且参数量与计算网格规模无关。这种从学习输入到输出的映射到学习传统算法求解过程的范式转变，克服了现有技术的缺陷。该方法的具体步骤如下：

3、步骤s1：构建图神经网络gnn，将经典迭代求解器中计算节点之间的物理关系（离散格式的通量项），直接替换为gnn的边消息函数，硬编码为gnn各组件。传统算法与gnn之间的映射关系如下：（1）将离散格式中所有计算节点映射为gnn的节点，各节点携带物理场值、残差、局部物理系数和空间坐标作为节点特征；

4、（2）将离散格式中所有存在直接相互作用的节点对之间建立gnn的有向边，边所携带的面平均物理系数作为边特征；

5、（3）将离散格式显式给出的节点间通量公式（如热传导的fourier热通量、流体力学的动量通量、结构力学的弹性力通量等），直接硬编码为gnn的边消息函数m(j→i)——即边消息的函数形式由偏微分方程的离散格式决定，不包含任何可训练参数；

6、（4）将离散格式中的通量散度计算（对应于质量、动量或能量守恒律），硬编码为gnn的节点聚合函数，即入边消息之和减去出边消息之和；

7、（5）将离散格式中的迭代更新公式保留为gnn的节点更新函数，但将其中原有的固定松弛因子omega替换为mlp预测的自适应值omega_mlp(i)；这是整个gnn中包含可训练参数的部分。通过以上构建，得到的gnn本身就是一个完整的偏微分方程迭代求解器，gnn的每一层消息传递等价于该离散格式下经典求解器的一次迭代。gnn的图结构、边消息函数和节点聚合函数全部由所选离散格式显式决定，不需要通过数据训练来学习。

8、步骤s2：提取局部数值状态特征。在求解器迭代过程中，为每个计算网格点提取局部数值状态特征向量s(x)。所述特征向量包含：该点的物理场值（如压力p、膜厚h）、偏微分方程残差r、残差绝对值|r|、局部扩散系数之和、空间坐标(x,y)等。特征设计原则为：包含所有影响局部收敛稳定性的物理量，使mlp能够仅基于局部数值状态判断该点的收敛风险和最优步长。

9、步骤s3：构建紧凑的参数预测器（omega-mlp）。构建一个紧凑的多层感知机作为参数预测器n_phi: s(x)→theta(x)。其优选架构为：

10、输入层：7-8个神经元（对应特征向量维度）；

11、隐藏层：12-16个神经元，激活函数为relu；

12、输出层：1个神经元，激活函数为tanh饱和函数；

13、总参数量|phi|在100-300之间，优选8→16→1，共161参数；关键性质：该mlp的参数量与计算网格规模无关，同一mlp服务于17^2网格、129^2网格、乃至任意规模网格。输出层的tanh饱和函数保证松弛因子被限制在稳定域内omega属于(0, omega_max)，omega_max=0.6为硬性稳定上界。

14、步骤s4：嵌入求解器迭代循环。在求解器的每次迭代中，用mlp预测每个网格点的自适应数值控制参数，替换原有的固定参数值。对于每个网格点(i,j)，迭代更新格式为：。求解器的其余部分完全保持不变：偏微分方程离散格式、边界条件处理、收敛判断准则、多重网格层次结构（fas v-cycle/w-cycle）、fft加速弹性变形计算。这种"嵌入而非替代"的设计保证经典求解器的全部收敛性理论依然适用；mlp只影响收敛速度，不影响收敛结果的正确性（正确性解耦）。

15、步骤s5：纯物理损失驱动训练（零数据依赖）；构建纯物理损失函数（pde残差），不依赖任何预计算的参考解数据。

16、全局载荷平衡约束梯度计算可选用有限差分法（spsa）或自动微分，使用adam优化器更新mlp参数。训练仅需pde残差，无需任何标注数据。

17、步骤s6：三种可选部署模式：

18、模式a（迭代加速）：在标准fas v-cycle中预测逐点自适应omega(x)，替换固定松弛因子，加速1.2-5倍，完整物理保证。

19、模式b（一步推理）：冻结训练的mlp，通过固定层数gnn前向传播直接输出收敛解，无需迭代和收敛判断。在129^2网格上约0.5秒（传统fas约29.2秒），加速约58倍。

20、模式c（少样本在线微调）：仅微调mlp的100-300个参数（网格/图/核冻结），10-50步梯度更新（2-10秒），实现新工况快速适配。

21、进一步的，图神经网络物理通量硬编码：

22、步骤a1：图映射。在n×n有限差分网格上构建有向二部图g=(v,e)。节点集v对应n^2个网格点。每个内部节点有4条入边和4条出边。边特征为面平均扩散系数。

23、步骤a2：边消息硬编码为物理通量。边(i→j)的消息定义为：

24、

25、该消息在数学上等价于poiseuille通量项（reynolds方程的通量分量）。此映射是五点有限差分离散格式的精确代数恒等式，不是近似——等价性在机器精度下独立于mlp参数成立。

26、步骤a3：节点聚合为通量散度。节点v的消息聚合值=sum(入边消息)-sum(出边消息)，在数学上等价于通量散度计算，恰好对应reynolds残差中的poiseuille部分。

27、进一步的，fallback安全回退机制：

28、设置线性混合比例f属于[0,1]： omega_eff(x) = omega_fixed + f * (omega_mlp(x) - omega_fixed)

29、当f=0时：系统完全等价于传统固定参数求解器，数值误差小于10^-12（机器精度）。当f=1时：完全使用mlp预测的自适应参数，获最大加速。当f在0到1之间时：在安全基线和最大加速之间连续平滑过渡。这一机制提供工业级安全保障：求解器可始终在f=0的安全基线运行，随信任增加逐步增大f。这是pinn、fno等现有nn方法不具备的能力。

30、进一步的，多参数联合学习：

31、扩展为三个mlp的组合，共279参数：

32、omega-mlp（161参数，8→16→1）：预测逐节点自适应松弛因子；

33、eta-mlp（65参数，4→8→1）：从全局特征预测载荷调节率；

34、gamma-mlp（53参数，4→8→1）：从残差统计量预测粗网格修正阻尼；

35、三个mlp在fas多重网格框架内联合训练，总损失为pde残差+载荷约束+阻尼正则化。

36、本发明具有以下有益效果：物理信息以硬约束方式嵌入神经网络结构；与pinn将物理方程作为损失函数中的软约束不同，本发明将偏微分方程离散格式显式给出的通量公式直接硬编码为图神经网络（gnn）的边消息函数，物理通量的计算成为网络结构的一部分而非训练目标。这使得gnn的每一次消息传递执行的是离散格式的精确代数恒等式，而非数据驱动的近似。

37、图神经网络结构与传统迭代算法差分格式直接对应。本发明的gnn图结构不是从数据中学习得到的，而是传统求解器离散格式的直接映射：差分关系决定节点间是否有边连接，通量计算公式决定边上的消息函数。gnn的消息传递过程与传统迭代求解器的迭代计算过程具有相同的数学结构。

38、训练过程与求解过程统一。与现有方法中先训练模型再推理求解的两阶段模式不同，本发明中紧凑mlp的参数更新与偏微分方程的迭代求解在同一个循环中交替进行；求解器的每一步迭代为mlp提供训练信号（pde残差），mlp的参数更新为下一步迭代提供更优的松弛因子。求解收敛时mlp也训练完成，不需要预先准备训练数据集。

39、通过线性混合机制提供安全回退能力。通过设置混合比例f∈[0,1]，求解器可在传统固定参数模式（f=0）和完全自适应模式（f=1）之间连续过渡。当f=0时，求解器退化为传统迭代求解器，解的正确性不受mlp参数影响。

40、紧凑mlp参数量与计算网格规模无关。同一mlp模型（如8→16→1，共161参数）可服务于不同规模的网格，参数量不随网格加密而增长。

41、适用于多种离散方法和物理问题。gnn与偏微分方程差分格式间的映射关系（计算节点→图节点，通量→边消息，散度→节点聚合，迭代更新→节点更新）适用于有限差分法、有限体积法、有限元法和无网格粒子法等多种离散方法，以及热传导、流体力学、结构力学等具有通量形式离散格式的物理问题。